URL: http://www-spht.cea.fr/articles/S98/109Nous nous intéressons à la convection thermocapillaire, produite par l'imposition d'un gradient {\it horizontal} de température sur une mince couche de fluide avec surface libre. En géométrie bidimensionnelle nous observons deux modes différents en compétition, tandis qu'en géométrie bidimensionnelle avec conditions limites périodiques, nous étudions la transition à la turbulence d'une onde propagative homogène

Chiffaudel, A.

Daviaud, François

Garnier, N.

Prigent, A.

HAL-CEA

Ondes hydrothermales non-line´aires dans un disque etun anneauN. Garnier, A. Chiffaudel, Franc¸ois Daviaud, A. PrigentTo cite this version:N. Garnier, A. Chiffaudel, Franc¸ois Daviaud, A. Prigent. Ondes hydrothermales non-line´airesdans un disque et un anneau. 2me Colloque sur le Chaos Temporel et le Chaos Spatio-Temporel,1998, Rouen, France. 1998. <hal-00163229>HAL Id: hal-00163229https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00163229Submitted on 17 Jul 2007HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.1Chapitre 1Ondes hydrothermalesnon-line´aires dans undisque et un anneauN. Garnier, A. Chiffaudel, F. Daviaud, A. PrigentCEA/Saclay, SPEC91191 Gif-sur-Yvette CEDEXNous nous inte´ressons a` la convection thermocapillaire, produite parl’imposition d’un gradient horizontal de tempe´rature sur une mince couchede fluide avec surface libre. En ge´ome´trie bidimensionnelle nous observonsdeux modes diffe´rents en compe´tition, tandis qu’en ge´ome´trie unidimen-sionnelle avec conditions limites pe´riodiques, nous e´tudions la transition a`la turbulence d’une onde propagative homoge`ne.2CHAPITRE 1. ONDES HYDROTHERMALES NON-LINE´AIRES DANS UN DISQUE ET UN ANNEAU1.1 Ge´ome´trie cylindrique 2D : disque(a) onde de type 1 (b) ondes de type 1 et 2Fig. 1.1 - Photographie de la cellule avec un montage ombroscopique, pourune hauteur h = 1.20 mm. A gauche, ∆T = 10K > ∆T 1. A droite ∆T =14K > ∆T 2 > ∆T 1.Nous e´tudions tout d’abord une ge´ometrie cylindrique “ 2D ”. Un gra-dient de tempe´rature centrifuge est re´alise´ par l’imposition de la tempe´-rature T−d’un plot au centre de la cellule (diame`tre du plot dint = 8mm) et de la tempe´rature T+ > T− de la couronne exte´rieure, de diame`tredext = 137 mm. La couche de fluide, typiquement de 1 ou 2 mm, est tre`spetite devant les dimensions horizontales (distance entre les bords chaudet froid : 65 mm). Le fluide utilise´ est de l’huile aux silicones de viscosite´ν = 0.65 cSt et de nombre de Prandtl Pr ∼ 10. Le parame`tre de controˆleest la diffe´rence de tempe´rature ∆T = T+ − T− applique´e au fluide.Dans cette configuration, pour les petites hauteurs h, une premie`re in-stabilite´ oscillatoire apparaˆıt de fac¸on supercritique a` la valeur ∆T 1 = 7.5K.Ses caracte´ristiques sont les suivantes :– Elle est localise´e pre`s du bord froid, dans la zone de plus fort gradientthermique.– Au seuil, la fre´quence est non nulle (signature d’une bifurcation deHopf).1.1. GE´OME´TRIE CYLINDRIQUE 2D : DISQUE 3∆T (K)1.2 1.7 h (mm)127.5(a) (b)Fig. 1.2 - (a) : Evolution de la composante orthoradiale kθ en fonction de∆T . (b) : Zones d’existence sche´matiques des ondes issues des instabilite´sen ondes 1 et 2 dans l’espace des parame`tres (∆T, h) dans le cas de lage´ome´trie “disque ”.4CHAPITRE 1. ONDES HYDROTHERMALES NON-LINE´AIRES DANS UN DISQUE ET UN ANNEAU– L’exposant critique de´crivant l’e´volution de l’amplitude avec  vaut1/2 (figure 1.2a).– Au seuil, le vecteur d’onde a une composante uniquement radiale :~k = kr ~er.– Au-dessus du seuil (1 = (∆T − ∆T 1)/∆T 1 > 0), la composanteorthoradiale kθ = ~k.~eθ varie line´airement avec , (figure 1.2a), cequi change qualitativement l’apparence d’une se´rie d’anneaux concen-triques en une se´rie de spirales de plus en plus ouvertes.La figure 1.1a montre un cliche´ obtenu pour ∆T = 10K(1 = 0.25);l’onde y posse`de une composante radiale et une composante orthoradialeunique, ce qui lui confe`re son bel aspect de spirale. Une seconde instabilite´survient pour ∆T 2 ' 14K, qui envahit uniforme´ment toute la celluleet se superpose a` la premie`re. Il s’agit d’une nouvelle bifurcation de Hopfsupercritique dont les caracte´ristiques sont quantitativement diffe´rentes. Lafigure 1.1b montre un cliche´ obtenu pour ∆T = 14K.Des expe´riences pre´liminaires pour diverses hauteurs h permettent dedonner l’allure du diagramme des phases repre´sente´ sche´matiquement surla figure 1.2b. Ainsi, en choisissant la hauteur ade´quate, nous envisageonsd’e´tudier la compe´tition et l’interaction entre ces deux modes oscillantsau voisinage d’un point de codimension 2. L’onde associe´e a` la seconde in-stabilite´ posse`de des e´quiphases dont l’e´quation est celle de spirales d’Archi-me`de : r(θ) ∝ θ. Elles sont donc interpre´tables comme des ondes “ planes ”dansle plan (r, θ).La deuxie`me partie de l’expose´ se concentre sur ce mode, qui est le plusfavorable pour des hauteurs de fluide plus grandes, h = 1.7 mm par exemple(figure 1.2b).1.2 Ge´ome´trie cylindrique 1D : anneauDans un canal annulaire e´troit, limite “1D ”du disque pre´ce´dent, nouse´tudions la stabilite´ des ondes hydrothermales se propageant dans la direc-tion orthoradiale θ note´e ci-apre`s x.La figure 1.3 (a) montre, dans le plan (k, ), la zone d’existence desondes homoge`nes. Pour des fortes valeurs de , ces ondes deviennent in-stables par rapport a` des modulations de phase de grande longueur d’onde(de la taille de la boˆıte), c’est-a`-dire des modes d’Eckhaus. En augmen-tant  on rencontre d’abord une zone tre`s e´troite ou` les modulations sont1.2. GE´OME´TRIE CYLINDRIQUE 1D : ANNEAU 5            :DYHQXPEHUN/ε  =  ∆Τ/∆Τε  =  ∆Τ/∆ΤF− 1− 1+RPRJHQHRXVVWDWHV6WDEOH(FNKDXVPRGXODWLRQV(FNKDXVXQVWDEOHVWDWHVWXUEXOHQFHPDUJLQDOVWDELOLW\FXUYH(FNKDXV,QVWDELOLW\WXUEXOHQFH            :DYHQXPEHUN/ε  =  ∆Τ/∆Τε  =  ∆Τ/∆ΤF− 1− 1(FNKDXVVWDEOH(a) (b)Fig. 1.3 - (a) : Re´gion d’existence des ondes et ses limites de stabilite´ dansle plan (k, ), pour h = 1.7 mm. (b) : Exemple de courbe de stabilite´ de phaseobtenue pour c1 = −0.2 , c2 = −0.6, δ = 1, c4 = 2, γ = c3 = η = c5 = 0.La courbe de stabilite´ marginale est aussi repre´sente´e (parabole).6CHAPITRE 1. ONDES HYDROTHERMALES NON-LINE´AIRES DANS UN DISQUE ET UN ANNEAUnon-line´airement stables, c’est-a`-dire que l’instabilite´ d’Eckhaus est super-critique [2]. Puis on observe une se´lection du nombre d’onde qui re´duit lavaleur de k. Pour des plus basses valeurs de k on observe ensuite des fe-neˆtres turbulentes montrant une intermittence de trous d’amplitude.La forme de la courbe d’Eckhaus sugge´re´e sur ce diagramme, disyme´-trique et quasiment referme´e sur elle-meˆme, ne peut eˆtre de´crite par l’e´qua-tion de Ginzburg-Landau complexe qui de´crit classiquement les ondes non-line´aires supercritiques. Pour ce faire, nous proposons de rajouter les termesd’ordre supe´rieur (ordre 4) brisant la syme´trie x 7→ −x (i.e. gauche/droite),ainsi qu’un terme d’ordre 5 sugge´re´ par une analyse fine des re´sultats ex-pe´rimentaux :∂A∂t= A + (1 + ic1)∂2A∂x2− (1 + ic2)|A|2A+ γ(1 + ic3)A∂|A|2∂x+ δ(1 + ic4)|A|2 ∂A∂x+ η(1 + ic5)|A|2∂2A∂x2(1.1)Le calcul de la stabilite´ d’une onde plane solution de cette e´quationconduit a` conside´rer la limite dans le plan (k, ) entre une zone ou` ces so-lutions sont stables et une zone ou` elles sont instables. Une telle courbeest donne´e en figure 1.3b qui montre qualitativement des comportementsproches des observations expe´rimentales. L’obtention des coefficients del’e´quation 1.1 a` partir des re´sultats expe´rimentaux est en cours, et per-mettra une comparaison quantitative avec la courbe “ the´orique ”pre´vuepour ces valeurs des coefficients [3].Cette possibilite´ de de´crire pre´cisement le comportement non-line´airede ce syste`me d’onde loin du seuil par une e´quation d’amplitude est re-marquable. Elle justifie nos efforts pour e´tudier les proprie´te´s ge´ne´rales dela transition au chaos spatio-temporel ou a` la turbulence dans des sys-te`mes non-line´aires mode`les dont les ondes hydrothermales constituent unbel exemple.BIBLIOGRAPHIE 7Bibliographie[1] M. K. Smith & Stephen H. Davis, Instabilities of dynamic ther-mocapillary liquid layers. Part 1. Convective instabilities, Journal ofFluid Mechanics, 132, 119-144, 1993[2] N. Mukolobwiez, A. Chiffaudel & F. Daviaud. Supercritical Eck-haus Instability for Surface-Tension-Driven Hydrothermal Waves, Phy-sical Review Letters, 80 (21), 4661-4664, 1998.[3] Nicolas Garnier & Arnaud Chiffaudel. en pre´paration

Ondes hydrothermales non-linéaires dans un disque et un anneau

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