Balogh, Tamás

Insperger, Tamás Antal

Repository of the Academy's Library

XXVI. Nemzetközi Gépészeti Konferencia, Marosvásárhely, Románia, 2018. április 26-29. Inverz inga stabilizálása tört rendű késleltetett PD szabályozóval Stabilization of an inverted pendulum by fractional-order delayed PD controller BALOGH Tamás 1, INSPERGER Tamás 2 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Budapest, Magyarország (e-mail: baloghtamas2727@gmail.com) 2 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Műszaki Mechanikai Tanszék és MTA-BME Lendület Emberi Egyensúlyozás Kutatócsoport, Budapest, Magyarország (e-mail: insperger@mm.bme.hu) Abstract In the last few decades the advantages of fractional-order control was demonstrated with several examples in comparison with integer-order control. In this paper an inverted pendulum with delayed PDm controller was investigated. The stability chart and the stabilizability diagram was determined. According to the stabilizability diagram, the system can be stabilized for larger values of time delay using PDm controller than using PD controller. Összefoglaló Az utóbbi évtizedekben számos példán keresztül mutatták be a tört deriváltat tartalmazó szabályozások előnyeit az egész rendű szabályozásokhoz képest. A cikkben egy inverz inga mozgásának megfelelő rendszer időkésleltetett PDm szabályozóval történő szabályozását vizsgáltuk. Meghatároztuk a szabályozás stabilitási térképét és a stabilizálhatósági határt. A kapott eredmény alapján PDm szabályozóval nagyobb időkésés esetén is stabilizálható a rendszer, mint PD szabályozóval. Kulcsszavak időkésés, inverz inga, stabilitás, stabilizálhatóság, tört derivált 1. BEVEZETÉS Az utóbbi időben a mérnöki tudományok és természettudományok területén számos alkalmazásban jelent meg a tört derivált és a tört deriváltat tartalmazó differenciálegyenletek. A tört derivált fogalmát alkalmazhatjuk többek között a viszkoelasztikus anyagmodellek, és a cikkben is tárgyalt tört deriváltat tartalmazó szabályozók esetén is. 1.1. Alapfogalmak A szakirodalomban többféle definíció is található a tört deriváltra vonatkozóan. Ezek közül az egyik leggyakrabban használt a Caputo-féle tört derivált definíció, ami az n-szeres integrál rendjének a pozitív valós számokra történő általánosításán alapul. Az 𝑎 alsó határú, 𝛼 rendű Caputo-féle tört deriváltat a következőképpen definiálhatjuk [7]:  𝐷𝑎𝑡∗𝛼𝑓(𝑡) ≔ { 1Γ(𝑚−𝛼) ∫ (𝑡 − 𝜏)𝑚−𝛼−1𝑓(𝑚)(𝜏)𝑡𝑎d𝜏 , 𝑚 − 1 < 𝛼 < 𝑚 ∈ ℕ , d𝑚d𝑡𝑚𝑓(𝑡) ,                                                 𝛼 = 𝑚 ∈ ℕ , (1) ahol Γ(𝑥) a gamma-függvény. Egy függvény Caputo-féle tört deriváltjának Laplace-transzformáltja 𝑎 = 0 alsó határ esetén [7]:  ℒ( 𝐷0𝑡∗𝛼𝑓(𝑡)) = 𝑠𝛼𝐹(𝑠) − ∑ 𝑠𝛼−𝑘−1𝑓(𝑘)(0)𝑚−1𝑘=0  . (2) XXVI. Nemzetközi Gépészeti Konferencia, Marosvásárhely, Románia, 2018. április 26-29. 1.2. Tört differenciálegyenletek stabilitása Az egész rendű differenciálegyenletekhez hasonlóan tört differenciálegyenleteket is értelmezhetünk. Egy Caputo-féle tört deriváltakkal adott lineáris állandó együtthatós tört differenciálegyenlet stabilitását a differenciálegyenlet karakterisztikus egyenlete segítségével vizsgálhatjuk. A Laplace-transzformáció után kapott karakterisztikus egyenlet általános esetben a következő alakú:  𝑠𝛼𝑛 + ∑ 𝐴𝑖 𝑠𝛼𝑖𝑛−1𝑖=1 + 𝐴0 = 0 . (3) A (3) egyenletnek megfelelő időkésleltetés nélküli esetben egy gerjesztetlen rendszer aszimptotikus stabilitásának és egy gerjesztett rendszer BIBO (Bounded Input Bounded Output) stabilitásának feltétele is az, hogy a (3) egyenlet bal oldalán található karakterisztikus függvény első Riemann-levélhez tartozó gyökeinek valós része legyen negatív [4, 6]. Legyenek a (3) egyenletben az 𝛼𝑖 kitevők racionális számok, és legyen 𝑀 az 𝛼𝑖 kitevők nevezőinek legkisebb közös többszöröse. Ekkor a 𝜆 = 𝑠1𝑀 helyettesítéssel a karakterisztikus függvényt egy polinommá alakíthatjuk. Ez a leképezés trigonometrikus alakban is felírható: 𝜆 = |𝑠|1𝑀  (cos (arg(𝑠)+2𝑘𝜋𝑀) + i sin (arg(𝑠)+2𝑘𝜋𝑀)), ahol 𝑘 = 0, 1, … , 𝑀 − 1 és −𝜋 < arg(𝑠) ≤ 𝜋. A különböző 𝑘 értékekhez tartozó leképezések közül a 𝑘 = 0-hoz tartozó felel meg a 𝑠1𝑀 hatvány első Riemann-levélnek megfelelő értékének (főértékének). Ezért a stabilitás feltétele úgy is megfogalmazható, hogy a helyettesítés után kapott polinom 𝜆𝑖 gyökeire teljesüljön a |arg(𝜆𝑖)| >1𝑀𝜋2 egyenlőtlenség [4, 6]. A leképezést és a stabil tartományt az 𝑠-síkon, illetve a 𝜆-síkon az 1. ábra szemlélteti.  1. ábra A stabil tartomány az 𝑠-síkon és a 𝜆-síkon 𝑀 = 3 esetén A későbbiekben vizsgált időkésleltetett esetben is hasonló a stabilitás feltétele, mint az időkésleltetés nélküli esetben: a gerjesztett rendszer BIBO stabil, ha a karakterisztikus függvény első Riemann-levélen lévő gyökeinek valós része negatív [1]. 2. STABILITÁSVIZSGÁLAT A későbbiekben egy tört deriváltat tartalmazó PD szabályozóval szabályozott inverz inga stabilitását vizsgáljuk. A stabilitási térkép meghatározása D-felbontás segítségével történik [2]. Ezután a stabilizálhatósági határ meghatározása következik. 2.1. A vizsgált rendszer differenciálegyenlete Szabályozzuk az inverz inga mozgásának megfelelő egy szabadságfokú másodrendű instabil rendszert PDm szabályozóval, és vegyük figyelembe az időkésést is. A zárt szabályozási kör bemenete XXVI. Nemzetközi Gépészeti Konferencia, Marosvásárhely, Románia, 2018. április 26-29. legyen az 𝑢r(𝑡) referenciajel. A különbségképzés után a hibajel 𝑒(𝑡) = 𝑢r(𝑡) − 𝑦(𝑡). Az eredő rendszer egyenlete a következő lesz:  d2𝑦(𝑡)d𝑡2− 𝑎0 𝑦(𝑡) = 𝑘p 𝑒(𝑡 − 𝜏) + 𝑘d 𝐷∗𝜇0𝑡 𝑒(𝑡 − 𝜏) , (4) ahol 𝑎0 > 0 a merevség, 𝜏 az időkésés, 𝑘p az arányos tag együtthatója, 𝑘d a deriváló tag együtthatója és 0 < 𝜇 < 2 a deriválás rendje. A (4) differenciálegyenlet dimenziótlanítás után a következő alakra hozható:  d2𝑦(𝜗)d𝜗2− 𝑎 𝑦(𝜗) = 𝑝 𝑒(𝜗 − 1) + 𝑑 𝐷∗𝜇0𝜗 𝑒(𝜗 − 1) , (5) ahol 𝜗 =𝑡𝜏 , 𝑎 = 𝑎0𝜏2, 𝑝 = 𝑘𝑝𝜏2, 𝑑 = 𝑘𝑑𝜏2−𝜇. A dimenziótlanított differenciálegyenlet karakterisztikus függvényét megkaphatjuk Laplace-transzformáció segítségével:  𝐷(𝑠) = 𝑠2 − 𝑎 + 𝑝 𝑒−𝑠 + 𝑑 𝑠𝜇𝑒−𝑠 . (6) 2.2. A stabilitási térkép A stabilitási térkép tartományainak határait jelentő RRB (Real Root Boundary) és CRB (Complex Root Boundary) típusú D-görbéket a 𝐷(𝑠) karakterisztikus függvényből kaphatjuk meg a 𝐷(0) = 0 és 𝐷(±i 𝑥) = 0 egyenletek alapján [2]. Az RRB D-görbe egyenlete:  𝑝 = 𝑎 . (7) A CRB D-görbe paraméteres egyenletrendszere:  𝑝 =(𝑥2+𝑎) sin(𝜇𝜋2−𝑥)sin(𝜇𝜋2) , 𝑑 =(𝑥2+𝑎) sin(𝑥)𝑥𝜇 sin(𝜇𝜋2) , 𝑥 > 0 . (8) A D-görbék által határolt tartományokban az instabil gyökök száma egy numerikus módszer segítségével meghatározható [5], így meghatározható a stabil tartomány is a stabilitási térképen. A 2. ábrán látható a stabilitási térkép és a BIBO stabil tartomány különböző 𝑎 és 𝜇 értékek esetén.  2. ábra Az (5) egyenlet stabilitási térképének változása az 𝑎 és 𝜇 paraméterek változása esetén XXVI. Nemzetközi Gépészeti Konferencia, Marosvásárhely, Románia, 2018. április 26-29. 2.3. A stabilizálhatósági határ A 2. ábra alapján látszik, hogy rögzített 𝜇 esetén a stabil tartomány egyre kisebb lesz, majd eltűnik, ha 𝑎 nő. A stabil tartomány eltűnéséhez tartozó 𝑎 értéket (𝑎max) nevezhetjük stabilizálhatósági határnak. A stabil tartományt a CRB görbe kezdeti szakasza határozza meg, a stabilizálhatósági határ meghatározásakor elég a CRB görbe 0 < 𝑥 < 𝜇𝜋2 szakaszát vizsgálni. Az 𝑎max(𝜇) görbe meghatározása különböző módon történhet a 0 < 𝜇 < 1 és a 1 < 𝜇 < 2 esetben, mivel a két esetben különbözik a stabilizálhatóság határhelyzetére vonatkozó feltétel. A 0 < 𝜇 < 1 esetben a stabilizálhatóság határhelyzetében az RRB egyenes érinti a CRB D-görbét, az érintési pontban 𝑝 = 𝑎, illetve a 𝑝(𝑥) függvénynek lokális maximuma van, tehát 𝑝(𝑥) függvény 𝑥 szerinti deriváltja 0. A határhelyzetre vonatkozó feltételeket felhasználva levezethető az 𝑎max(𝜇) görbe két részben megadható paraméteres egyenletrendszere:  𝜇1,2 =2𝜋arctg (−4 sin(𝑥) cos(𝑥)+2 sin(𝑥)+𝑥 cos(𝑥) ±√Δ(𝑥)2(−2 cos2(𝑥)+2 cos(𝑥)−𝑥 sin(𝑥))) ,     𝑎max1,2 =𝑥2 sin(𝜇1,2𝜋2−𝑥)sin(𝜇1,2𝜋2)−sin(𝜇1,2𝜋2−𝑥) ,     (9) ahol Δ(𝑥) = 4 sin2(𝑥) + 𝑥2 cos2(𝑥) + 4𝑥 sin(𝑥) cos(𝑥) − 8𝑥 sin(𝑥). Mindkét rész értelmezési tartománya a ]0, 𝑥max] intervallum. Az 𝑥max helyen a két görbe ugyanazt az értéket veszi fel, ezért Δ(𝑥max) = 0. Tehát 𝑥max a Δ(𝑥) = 0 egyenlet 0 < 𝑥 < 𝜇𝜋2<𝜋2 feltétel melletti gyöke. Az egyenlet numerikus megoldásával kapott érték: 𝑥max = 0,543358. A 1 < 𝜇 < 2 esetben a stabil tartományt közrezáró hurok a stabilizálhatóság határhelyzetében megszűnik. A hurok megszűnéséhez tartozó 𝑎 érték, és így az 𝑎max(𝜇) görbe is meghatározható numerikus módszerek segítségével. A teljes 0 < 𝜇 < 2 tartományra vonatkozó stabilizálhatósági határ a 3. ábrán látható.  3. ábra A stabilizálhatóság határára vonatkozó 𝑎max(𝜇) görbe, ha 0 < 𝜇 < 2 Látszik, hogy PDm szabályozó alkalmazása esetén növelhető a stabilizálhatóság a PD szabályozóhoz tartozó 𝑎max(𝜇 = 1) = 2 szakirodalomból ismert értékhez képest [3]. Az 𝑎max(𝜇) görbe maximumértéke és maximumhelye a görbe numerikusan kiszámított pontjai alapján: 𝑎max∗ =𝑎max(𝜇∗)  = 2,5066 és 𝜇∗ = 1,106. [1] Busłowicz, M.: Stability of linear continuous-time fractional order systems with delays of the retarded type, Bull. Pol. Ac.: Tech, 56(4): 319–324, 2008. [2] Hamamci, S. E.: An algorithm for stabilization of fractional-order time delay systems using fractional-order PID controllers, IEEE Transactions on Automatic Control, 52(10): 1964–1969, 2007. [3] Insperger, T., Stépán, G.: Semi-Discretization for Time-Delay Systems – Stability and Engineering Applications, Springer, New York, 2013. [4] Matignon, D.: Stability results for fractional differential equations with applications to control processing, Computational engineering in systems applications, 2: 963–968, Lille, 1996. [5] Merrikh-Bayat, F.: General formula for stability testing of linear systems with fractional-delay characteristic equation, Open Physics, 11(6): 855–862, 2013. [6] Monje, C. A., Chen, Y., Vinagre, B. M., Xue, D., Feliu-Batlle, V.: Fractional-order systems and controls: fundamentals and applications, Springer, London, 2010. [7] Podlubny, I.: Fractional differential equations, Academic Press, San Diego, 1999. 

Inverz inga stabilizálása tört rendű késleltetett PD szabályozóval

http://real.mtak.hu/81419/1/2018_OGET_Balogh.pdf

Inverz inga stabilizálása tört rendű késleltetett PD szabályozóval

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository of the Academy's Library