La hamiltoniana que describe fermiones compuestos es presentada usualmente en forma fenomenológica, conociendo de antemano la forma funcional que se espera para describir tal sistema. En este trabajo, utilizando una lagrangiana de gauge no relativista U(1) × U(1) de electrones en un campo electromagnético, mostramos cómo obtener la hamiltoniana de campo medio que describe fermiones compuestos en 2+1 dimensiones en forma rigurosa. Además, comparamos estos resultados con los que obtenemos al considerar la inclusión de un término de masa topológica para el campo electromagnético en la lagrangiana.By assuming the expected functional form which describes composite fermions, the Hamiltonian is usually presented in a phenomenological way. In this paper, by using a U(1) × U(1) nonrelativistic gauge Lagrangian for electrons in an electromagnetic field, we show how to obtain the mean field Hamiltonian describing rigorously composite fermions in 2+1 dimensions. In addition, we compare these results with those obtained when considering the inclusion of a topological mass term for the electromagnetic field in the Lagrangian.Fil: Id Betan, Rodolfo Mohamed. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Rosario. Instituto de Física de Rosario (i); ArgentinaFil: Manavella, Edmundo C.. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Rosario. Instituto de Física de Rosario (i); ArgentinaFil: Repetto, Carlos Enrique. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Rosario. Instituto de Física de Rosario (i); Argentin

Id Betan, Rodolfo Mohamed

Manavella, Edmundo C.

Repetto, Carlos Enrique

LAReferencia - Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas Latinoamericanas

DEDUCCIÓN ALTERNATIVA DE LAS ECUACIONES DE CAMPO MEDIO DEFERMIONES COMPUESTOSALTERNATIVE DERIVATION OF MEAN-FIELD EQUATIONS FOR COMPOSITEFERMIONSRodolfo M. Id Betan, Edmundo C. Manavella* y Carlos E. RepettoInstituto de Física de Rosario (CONICET-UNR), Bv. 27 de Febrero 210 bis, S2000EZP RosarioFacultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (UNR), Av. Pellegrini 250, S2000BTP RosarioRecibido: 31/10/2013; aceptado: 09/06/2014La hamiltoniana que describe fermiones compuestos es presentada usualmente en forma fenomenológica,conociendo de antemano la forma funcional que se espera para describir tal sistema. En este trabajo, utilizandouna lagrangiana de gauge no relativista U(1)× U(1) de electrones en un campo electromagnético, mostramoscómo obtener la hamiltoniana de campo medio que describe fermiones compuestos en 2+1 dimensiones enforma rigurosa. Además, comparamos estos resultados con los que obtenemos al considerar la inclusión de untérmino de masa topológica para el campo electromagnético en la lagrangiana.Palabras claves: teoría cuántica de campos, formulaciones langragianas y hamiltonianas, método de Dirac.By assuming the expected functional form which describes composite fermions, the Hamiltonian is usuallypresented in a phenomenological way. In this paper, by using a U(1)× U(1) nonrelativistic gauge Lagrangianfor electrons in an electromagnetic field, we show how to obtain the mean field Hamiltonian describing rigor-ously composite fermions in 2+1 dimensions. In addition, we compare these results with those obtained whenconsidering the inclusion of a topological mass term for the electromagnetic field in the Lagrangian.Keywords: Quantum field theory, Lagrangian and Hamiltonian formulations, Dirac method.I. INTRODUCCIÓNEl estudio, desde el punto de vista cuántico, de sistemaselectrónicos en bajas dimensiones, es decir, en planos ycadenas de átomos en lugar de los sólidos tridimensionalesusuales, es un tema de enorme interés actual en el campode la materia condensada. Ello se debe, entre otras cosas, aque estos sistemas presentan características especiales quellevan a fenómenos tales como la superconductividad dealta temperatura crítica y a propiedades magnéticas parti-culares, con potenciales aplicaciones tecnológicas.Una forma de estudiar estos sistemas es en base a lateoría cuántica de campos. Otra forma consiste en utilizarla teoría cuántica de muchos cuerpos [1], implementadamediante técnicas analíticas y computacionales.En refs. [2, 3], hemos propuesto modelos de partícu-las compuestas y los hemos estudiado en base al primermecanismo citado en el párrafo anterior. Estos modelosconstituyen generalizaciones de los modelos analizados enrefs. [4–6] mediante el segundo mecanismo.En esta situación, nuestro propósito es vincular los re-sultados obtenidos en refs. [2, 3] con los correspondientesa ref. [4] utilizando las técnicas usuales de teoría de cam-pos. De esta manera, mostramos que se llega a las mismasecuaciones que en los modelos fenomenológicos de mate-ria condensada.El trabajo está organizado de la siguiente manera. Ensec. II, mostramos cómo obtener la hamiltoniana canóni-ca a partir de la lagrangiana de partida. Luego, en sec.*e-mail: manavella@ifir-conicet.gov.arIII, vemos qué cambios se producen al agregar un términode masa topológica para el campo electromagnético en ladensidad lagrangiana. Finalmente, en sec. IV, enunciamosnuestras conclusiones.II. DENSIDAD LAGRANGIANAConsideramos una teoría de campos clásica no rela-tivista, con simetría de gauge U(1)×U(1) en dimensiones2 + 1 para la interacción electromagnética de electronesψ con un campo auxiliar de Chern-Simons (CS) aµ consimetría U(1). La densidad lagrangiana singular que pro-ponemos para describir esta interacción esL = iψ†D0ψ +12meψ†D2ψ − µψ†ψ+14πφ̃εµνρaµ∂νaρ −14FµνFµν . (1)Los índices griegos adoptan los valores µ, ν, ρ = 0, 1, 2.Utilizamos unidades naturales donde ~ = c = 1. La métri-ca de Minkowski es gµν = diag(1,−1,−1) y ε012 =ε12 = 1. La derivada covariante que involucra tanto alcampo de CS como al campo electromagnético, se escribecomo Dµ = ∂µ − iaµ − ieAµ, y designamos D2 =D21 + D22 . Además, Fµν es el tensor del campo electro-magnético.El campo de materia ψ es un campo espinorial cargadoque describe electrones, con carga −e, y me es su masaefectiva. µ es el potencial químico de los electrones. Laconstante φ̃ introducida en la densidad lagrangiana será de-terminada más adelante.ANALES AFA Vol. 25 N.3 (143-145) 143 2Las variables de campos dinámicas independientes sonAI = (aµ, Aν , ψα, ψ†β) y sus respectivos momentoscanónicos conjugados P I = (pµ, P ν , π†α, πβ) que se de-finen a partir de ec. (1) como: P I = δL/δȦI . En es-tas expresiones, los índices griegos asumen los valoresα, β = 1, 2. La densidad hamiltoniana canónica se definecomoHc = ȧµpµ + ȦµPµ + ψ̇π† + ψ̇†π −L, resultandoHc = −14πφ̃εija0∂iaj + ∂ia0pi+14FijFij + ∂iA0Pi − 12P iPi+µψ†ψ − ψ†(a0+eA0)ψ −12meψ†D2ψ, (2)donde los índices latinos adoptan los valores i, j = 1, 2.El momento P i no genera vínculo y asume la expresiónP i = F i0. Los vínculos de primera clase sonΣ1 = e∂ipi − ∂iP i +e4πφ̃εij∂iaj ≈ 0 , (3)Σ2 = ψ†π − ψπ† − ie∂iPi ≈ 0 , (4)Σ3 = p0 ≈ 0 , (5)Σ4 = P0 ≈ 0 . (6)y se eligen las siguientes condiciones de fijado de gaugeΘ1 = ∂iai ≈ 0 , (7)Θ2 = ∂iAi ≈ 0 , (8)Θ3 = a0 ≈ 0 , (9)Θ4 = ∇2A0 − ∂iP i ≈ 0 . (10)Todos los anteriores resultados han sido demostrados for-malmente en ref. [2].Al imponer los corchetes de Dirac finales, debemostomar como ecuaciones fuertemente iguales a cero los vín-culos del modelo y las condiciones de fijado de gauge.Luego, las siguientes variables de campos quedan deter-minadas:a0 = 0 , (11)A0(x) =14π∫d2y∂iPi(y)|x− y|, (12)p0 = 0 , (13)pi =14πφ̃εijaj , (14)P 0 = 0 , (15)π†α = −iτ + 12ψ†α , (16)πα = iτ − 12ψα . (17)Reemplazando los momentos (16) y (17) en ec. (4) resulta∂iPi = −eψ†ψ . (18)En consecuencia, el potencial escalar dado en ec. (12) tomala formaA0(x) = −e4π∫d2yψ†(y)ψ(y)|x− y|. (19)El término eA0ψ†ψ presente en la densidad lagrangianade partida da origen a una densidad coulombiana, la cuales agregada ad hoc en ref. [4].Calculando la derivada espacial del momento pi dado enec. (14) y reemplazándola en ec. (3), obtenemos la siguien-te identidad12πφ̃∇× a · ẑ = −ψ†ψ . (20)En ref. [4], esta ecuación es tomada como un vínculo de lateoría. En dicha densidad lagrangiana aparece este vínculoafectado por a0, desempeñando el rol de multiplicador deLagrange. El rotor del campo de CS se asocia a un campomagnético ∇ × a = B. A partir de ec. (20), puede verseque la distribución del campo magnético de CS coincidecon la distribución de partículas.De esta manera, queda especificada la relación entrela densidad electrónica y los cuantos de flujo magnético.Así, la densidad lagrangiana (1) describe un sistema defermiones compuestos, donde φ̃ es la intensidad del tubode flujo en unidades de cuanto de flujo 2π, como se descri-be en ref. [2]. En consecuencia, los fermiones compuestosse comportan como fermiones libres en un campo magnéti-co efectivo B∗ = B− B, donde B = ∇×A es el campomagnético físico. En la aproximación de campo medio, elcampo B∗ se considera constante y uniforme [7].Reemplazando todos los resultados hasta aquíobtenidos en ec. (2), obtenemosHc = Hemc + µψ† ψ −12meψ†D2ψ , (21)dondeHemc = −12PiPi +14F ijFij . (22)Como el campo Ai verifica el gauge de Coulomb dadoen ec. (8), el potencial vector resulta transversal, y se puedemostrar que−12P iPi = HCoul −12∂0Ai∂0Ai , (23)conHCoul =12∫d2y ρ(x)V (x− y)ρ(y) , (24)donde V (x− y) = e2/4π|x− y| y ρ = ψ†ψ.Por otro lado, siguiendo ref. [8], el campo eléctricopuede separarse en las partes transversal y longitudinalE = E⊥ + E‖, donde E⊥ = −∂0A y E‖ = −∇A0.Así,−12∂0Ai∂0Ai +14F ijFij =12[(E⊥)2 + B2]. (25)Finalmente, la densidad hamiltoniana canónica quedaHc = HCoul + µψ† ψ −12meψ†D2ψ+12[(E⊥)2 + B2]. (26)144 ANALES AFA Vol. 25 N.3 (143-145)3III. INCLUSIÓN DE UN TÉRMINO DE MASATOPOLÓGICAComo es conocido, el agregado de un término de CS a laacción de Maxwell conduce a la electrodinámica topológi-camente masiva (2+1)-dimensional [9]. En esta teoría,aparece una ley de Gauss modificada, con el resultado quecualquier partícula cargada transporta un flujo magnéticoproporcional a su carga.En esta sección, estudiaremos las diferencias que sur-gen al agregar a la densidad lagrangiana original L, dadaen ec. (1), un término de masa topológica para el campoelectromagnéticoLtm = L+12σεµνρAµ ∂νAρ , (27)donde la masa topológica es 2π/σ y el flujo magnéticoligado a los electrones es ahora eσ/2π.En este caso, la densidad hamiltoniana canónica resultaHtmc = Hc −12σεijAiPj− 18σ2AiAi − 12σεijA0 ∂iAj , (28)donde Hc está dado en ec. (2), y ahora P i = F i0 +(1/2σ)εijAj .Los únicos vínculos de primera clase que se modificanrespecto de los anteriores sonΣtm1 = Σ1 −12σεij∂iAj ≈ 0 , (29)Σtm2 = Σ2 −i2σeεij∂iAj ≈ 0 . (30)Asimismo, sólo cambia la siguiente condición de fijadode gauge:Θtm4 = Θ4 +12σεij∂iAj ≈ 0 . (31)Estos resultados han sido demostrados formalmente enref. [3].Trabajando de la misma manera que en el caso descriptoen la sección anterior, se puede demostrar que el vínculo(20) sigue siendo válido.La componente A0 queda determinada ahora comoA0(x) = −14π∫dyeψ†(y)ψ(y) + 1σ εij∂iAj(y)|x− y|. (32)Finalmente, la densidad hamiltoniana canónica resultaHtmc = −12eA0ψ† ψ − 12σεijA0∂iAj + µψ† ψ− 12meψ†D2ψ + 12[(E⊥)2 +B2]. (33)Si reemplazamos A0 de ec. (32) en ec. (33), podemos rela-cionar esta densidad hamiltoniana con la de la sección an-terior en la formaHtmc = Hc +e8πσ∫dyεij∂iAj(y)ψ†(x)ψ(x)|x− y|+e8πσ∫dyεij∂iAj(x)ψ†(y)ψ(y)|x− y|+18πσ2∫dyεij∂iAj(x)εkl∂kAl(y)|x− y|. (34)IV. CONCLUSIONESEn el tratamiento usual de modelos que consideran lainteracción electromagnética de fermiones compuestos separte de una hamiltoniana fenomenológica. En este traba-jo, hemos demostrado que utilizando las técnicas usualesde la teoría de campos, se puede llegar a la misma hamil-toniana (26).Por otro lado, en sec. II hemos demostrado cómo la in-teracción de Coulomb aparece en forma natural mientrasque en la formulación usual es introducida ad hoc. La ec.(20) en la formulación usual es tomada como un vínculode la teoría. En este trabajo, deducimos su validez a partirde la estructura de vínculos.Finalmente, en sec. III vemos cómo la inclusión de untérmino de masa topológica para el campo electromagnéti-co en la densidad lagrangiana introduce términos de inte-racción ausentes en la hamiltoniana canónica de sec. II.V. REFERENCIAS[1] Schrieffer, J. R., en Theory of Superconductivity. W. A. Ben-jamin, Inc., New York (1964); Mahan G. D., Many-ParticlePhysics. 3rd Ed., Kluwer Academic/Plenum Publishers, NewYork (2000).[2] Manavella, E. C., Int. J. Theor. Phys. 40, 1453 (2001).[3] Manavella, E. C. and Addad, R. R., Int. J. Theor. Phys. 48,2473 (2009).[4] Halperin, B. I., Lee, P. A. and Read, N., Phys. Rev. B 47,7312 (1993).[5] Lopez, A. and Fradkin, E., en “Composite Fermions”, Ed. O.Heinonen, World Scientific, Singapore (2003).[6] Lopez, A. and Fradkin, E., Phys. Rev. B 44, 5246-62 (1991).[7] Jain, J. K., en “Composite Fermions”, Cambridge UniversityPress, Cambridge (2007).[8] Greiner; W. and Reinhardt, J., in “Field Quantization”,Springer-Verlag, Berlin (1996) (págs. 200,201).[9] Jackiw, R. and Templeton; S., Phys. Rev. D 23, 2291 (1981).ANALES AFA Vol. 25 N.3 (143-145) 145 

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Alternative derivation of mean-field equations for composite fermions

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DEDUCCIÓN ALTERNATIVA DE LAS ECUACIONES DE CAMPOMEDIO DEFERMIONES COMPUESTOSALTERNATIVE DERIVATION OF MEAN-FIELD EQUATIONS FOR COMPOSITEFERMIONSRodolfo M. Id Betan, Edmundo C. Manavella* y Carlos E. RepettoInstituto de Física de Rosario (CONICET-UNR), Bv. 27 de Febrero 210 bis, S2000EZP RosarioFacultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (UNR), Av. Pellegrini 250, S2000BTP RosarioRecibido: 31/10/2013; aceptado: 09/06/2014La hamiltoniana que describe fermiones compuestos es presentada usualmente en forma fenomenológica,conociendo de antemano la forma funcional que se espera para describir tal sistema. En este trabajo, utilizandouna lagrangiana de gauge no relativista U(1)× U(1) de electrones en un campo electromagnético, mostramoscómo obtener la hamiltoniana de campo medio que describe fermiones compuestos en 2+1 dimensiones enforma rigurosa. Además, comparamos estos resultados con los que obtenemos al considerar la inclusión de untérmino de masa topológica para el campo electromagnético en la lagrangiana.Palabras claves: teoría cuántica de campos, formulaciones langragianas y hamiltonianas, método de Dirac.By assuming the expected functional form which describes composite fermions, the Hamiltonian is usuallypresented in a phenomenological way. In this paper, by using a U(1)× U(1) nonrelativistic gauge Lagrangianfor electrons in an electromagnetic field, we show how to obtain the mean field Hamiltonian describing rigor-ously composite fermions in 2+1 dimensions. In addition, we compare these results with those obtained whenconsidering the inclusion of a topological mass term for the electromagnetic field in the Lagrangian.Keywords: Quantum field theory, Lagrangian and Hamiltonian formulations, Dirac method.I. INTRODUCCIÓNEl estudio, desde el punto de vista cuántico, de sistemaselectrónicos en bajas dimensiones, es decir, en planos ycadenas de átomos en lugar de los sólidos tridimensionalesusuales, es un tema de enorme interés actual en el campode la materia condensada. Ello se debe, entre otras cosas, aque estos sistemas presentan características especiales quellevan a fenómenos tales como la superconductividad dealta temperatura crítica y a propiedades magnéticas parti-culares, con potenciales aplicaciones tecnológicas.Una forma de estudiar estos sistemas es en base a lateoría cuántica de campos. Otra forma consiste en utilizarla teoría cuántica de muchos cuerpos [1], implementadamediante técnicas analíticas y computacionales.En refs. [2, 3], hemos propuesto modelos de partícu-las compuestas y los hemos estudiado en base al primermecanismo citado en el párrafo anterior. Estos modelosconstituyen generalizaciones de los modelos analizados enrefs. [4–6] mediante el segundo mecanismo.En esta situación, nuestro propósito es vincular los re-sultados obtenidos en refs. [2, 3] con los correspondientesa ref. [4] utilizando las técnicas usuales de teoría de cam-pos. De esta manera, mostramos que se llega a las mismasecuaciones que en los modelos fenomenológicos de mate-ria condensada.El trabajo está organizado de la siguiente manera. Ensec. II, mostramos cómo obtener la hamiltoniana canóni-ca a partir de la lagrangiana de partida. Luego, en sec.*e-mail: manavella@ifir-conicet.gov.arIII, vemos qué cambios se producen al agregar un términode masa topológica para el campo electromagnético en ladensidad lagrangiana. Finalmente, en sec. IV, enunciamosnuestras conclusiones.II. DENSIDAD LAGRANGIANAConsideramos una teoría de campos clásica no rela-tivista, con simetría de gauge U(1)×U(1) en dimensiones2 + 1 para la interacción electromagnética de electronesψ con un campo auxiliar de Chern-Simons (CS) aµ consimetría U(1). La densidad lagrangiana singular que pro-ponemos para describir esta interacción esL = iψ†D0ψ + 12meψ†D2ψ − µψ†ψ+14piφ˜εµνρaµ∂νaρ − 14FµνFµν . (1)Los índices griegos adoptan los valores µ, ν, ρ = 0, 1, 2.Utilizamos unidades naturales donde ~ = c = 1. La métri-ca de Minkowski es gµν = diag(1,−1,−1) y ε012 =ε12 = 1. La derivada covariante que involucra tanto alcampo de CS como al campo electromagnético, se escribecomo Dµ = ∂µ − iaµ − ieAµ, y designamos D2 =D21 + D22 . Además, Fµν es el tensor del campo electro-magnético.El campo de materia ψ es un campo espinorial cargadoque describe electrones, con carga −e, y me es su masaefectiva. µ es el potencial químico de los electrones. Laconstante φ˜ introducida en la densidad lagrangiana será de-terminada más adelante.ANALES AFA Vol. 25 N.3 (143-145)143 2Las variables de campos dinámicas independientes sonAI = (aµ, Aν , ψα, ψ†β) y sus respectivos momentoscanónicos conjugados P I = (pµ, P ν , pi†α, piβ) que se de-finen a partir de ec. (1) como: P I = δL/δA˙I . En es-tas expresiones, los índices griegos asumen los valoresα, β = 1, 2. La densidad hamiltoniana canónica se definecomoHc = a˙µpµ + A˙µPµ + ψ˙pi† + ψ˙†pi −L, resultandoHc = − 14piφ˜εija0∂iaj + ∂ia0pi+14FijFij + ∂iA0Pi − 12P iPi+µψ†ψ − ψ†(a0+eA0)ψ − 12meψ†D2ψ, (2)donde los índices latinos adoptan los valores i, j = 1, 2.El momento P i no genera vínculo y asume la expresiónP i = F i0. Los vínculos de primera clase sonΣ1 = e∂ipi − ∂iP i + e4piφ˜εij∂iaj ≈ 0 , (3)Σ2 = ψ†pi − ψpi† − ie∂iPi ≈ 0 , (4)Σ3 = p0 ≈ 0 , (5)Σ4 = P0 ≈ 0 . (6)y se eligen las siguientes condiciones de fijado de gaugeΘ1 = ∂iai ≈ 0 , (7)Θ2 = ∂iAi ≈ 0 , (8)Θ3 = a0 ≈ 0 , (9)Θ4 = ∇2A0 − ∂iP i ≈ 0 . (10)Todos los anteriores resultados han sido demostrados for-malmente en ref. [2].Al imponer los corchetes de Dirac finales, debemostomar como ecuaciones fuertemente iguales a cero los vín-culos del modelo y las condiciones de fijado de gauge.Luego, las siguientes variables de campos quedan deter-minadas:a0 = 0 , (11)A0(x) =14pi∫d2y∂iPi(y)|x− y| , (12)p0 = 0 , (13)pi =14piφ˜εijaj , (14)P 0 = 0 , (15)pi†α = −iτ + 12ψ†α , (16)piα = iτ − 12ψα . (17)Reemplazando los momentos (16) y (17) en ec. (4) resulta∂iPi = −eψ†ψ . (18)En consecuencia, el potencial escalar dado en ec. (12) tomala formaA0(x) = − e4pi∫d2yψ†(y)ψ(y)|x− y| . (19)El término eA0ψ†ψ presente en la densidad lagrangianade partida da origen a una densidad coulombiana, la cuales agregada ad hoc en ref. [4].Calculando la derivada espacial del momento pi dado enec. (14) y reemplazándola en ec. (3), obtenemos la siguien-te identidad12piφ˜∇× a · zˆ = −ψ†ψ . (20)En ref. [4], esta ecuación es tomada como un vínculo de lateoría. En dicha densidad lagrangiana aparece este vínculoafectado por a0, desempeñando el rol de multiplicador deLagrange. El rotor del campo de CS se asocia a un campomagnético ∇ × a = B. A partir de ec. (20), puede verseque la distribución del campo magnético de CS coincidecon la distribución de partículas.De esta manera, queda especificada la relación entrela densidad electrónica y los cuantos de flujo magnético.Así, la densidad lagrangiana (1) describe un sistema defermiones compuestos, donde φ˜ es la intensidad del tubode flujo en unidades de cuanto de flujo 2pi, como se descri-be en ref. [2]. En consecuencia, los fermiones compuestosse comportan como fermiones libres en un campo magnéti-co efectivo B∗ = B− B, donde B = ∇×A es el campomagnético físico. En la aproximación de campo medio, elcampo B∗ se considera constante y uniforme [7].Reemplazando todos los resultados hasta aquíobtenidos en ec. (2), obtenemosHc = Hemc + µψ† ψ −12meψ†D2ψ , (21)dondeHemc = −12PiPi +14F ijFij . (22)Como el campo Ai verifica el gauge de Coulomb dadoen ec. (8), el potencial vector resulta transversal, y se puedemostrar que−12P iPi = HCoul − 12∂0Ai∂0Ai , (23)conHCoul = 12∫d2y ρ(x)V (x− y)ρ(y) , (24)donde V (x− y) = e2/4pi|x− y| y ρ = ψ†ψ.Por otro lado, siguiendo ref. [8], el campo eléctricopuede separarse en las partes transversal y longitudinalE = E⊥ + E‖, donde E⊥ = −∂0A y E‖ = −∇A0.Así,−12∂0Ai∂0Ai +14F ijFij =12[(E⊥)2 +B2]. (25)Finalmente, la densidad hamiltoniana canónica quedaHc = HCoul + µψ† ψ − 12meψ†D2ψ+12[(E⊥)2 +B2]. (26)144 ANALES AFA Vol. 25 N.3 (143-145)3III. INCLUSIÓN DE UN TÉRMINO DE MASATOPOLÓGICAComo es conocido, el agregado de un término de CS a laacción de Maxwell conduce a la electrodinámica topológi-camente masiva (2+1)-dimensional [9]. En esta teoría,aparece una ley de Gauss modificada, con el resultado quecualquier partícula cargada transporta un flujo magnéticoproporcional a su carga.En esta sección, estudiaremos las diferencias que sur-gen al agregar a la densidad lagrangiana original L, dadaen ec. (1), un término de masa topológica para el campoelectromagnéticoLtm = L+ 12σεµνρAµ ∂νAρ , (27)donde la masa topológica es 2pi/σ y el flujo magnéticoligado a los electrones es ahora eσ/2pi.En este caso, la densidad hamiltoniana canónica resultaHtmc = Hc −12σεijAiPj− 18σ2AiAi − 12σεijA0 ∂iAj , (28)donde Hc está dado en ec. (2), y ahora P i = F i0 +(1/2σ)εijAj .Los únicos vínculos de primera clase que se modificanrespecto de los anteriores sonΣtm1 = Σ1 −12σεij∂iAj ≈ 0 , (29)Σtm2 = Σ2 −i2σeεij∂iAj ≈ 0 . (30)Asimismo, sólo cambia la siguiente condición de fijadode gauge:Θtm4 = Θ4 +12σεij∂iAj ≈ 0 . (31)Estos resultados han sido demostrados formalmente enref. [3].Trabajando de la misma manera que en el caso descriptoen la sección anterior, se puede demostrar que el vínculo(20) sigue siendo válido.La componente A0 queda determinada ahora comoA0(x) = − 14pi∫dyeψ†(y)ψ(y) + 1σ εij∂iAj(y)|x− y| . (32)Finalmente, la densidad hamiltoniana canónica resultaHtmc = −12eA0ψ† ψ − 12σεijA0∂iAj + µψ† ψ− 12meψ†D2ψ + 12[(E⊥)2 +B2]. (33)Si reemplazamos A0 de ec. (32) en ec. (33), podemos rela-cionar esta densidad hamiltoniana con la de la sección an-terior en la formaHtmc = Hc +e8piσ∫dyεij∂iAj(y)ψ†(x)ψ(x)|x− y|+e8piσ∫dyεij∂iAj(x)ψ†(y)ψ(y)|x− y|+18piσ2∫dyεij∂iAj(x)εkl∂kAl(y)|x− y| . (34)IV. CONCLUSIONESEn el tratamiento usual de modelos que consideran lainteracción electromagnética de fermiones compuestos separte de una hamiltoniana fenomenológica. En este traba-jo, hemos demostrado que utilizando las técnicas usualesde la teoría de campos, se puede llegar a la misma hamil-toniana (26).Por otro lado, en sec. II hemos demostrado cómo la in-teracción de Coulomb aparece en forma natural mientrasque en la formulación usual es introducida ad hoc. La ec.(20) en la formulación usual es tomada como un vínculode la teoría. En este trabajo, deducimos su validez a partirde la estructura de vínculos.Finalmente, en sec. III vemos cómo la inclusión de untérmino de masa topológica para el campo electromagnéti-co en la densidad lagrangiana introduce términos de inte-racción ausentes en la hamiltoniana canónica de sec. II.V. REFERENCIAS[1] Schrieffer, J. R., en Theory of Superconductivity. W. A. Ben-jamin, Inc., New York (1964); Mahan G. D., Many-ParticlePhysics. 3rd Ed., Kluwer Academic/Plenum Publishers, NewYork (2000).[2] Manavella, E. C., Int. J. Theor. Phys. 40, 1453 (2001).[3] Manavella, E. C. and Addad, R. R., Int. J. Theor. Phys. 48,2473 (2009).[4] Halperin, B. I., Lee, P. A. and Read, N., Phys. Rev. B 47,7312 (1993).[5] Lopez, A. and Fradkin, E., en “Composite Fermions”, Ed. O.Heinonen, World Scientific, Singapore (2003).[6] Lopez, A. and Fradkin, E., Phys. Rev. B 44, 5246-62 (1991).[7] Jain, J. K., en “Composite Fermions”, Cambridge UniversityPress, Cambridge (2007).[8] Greiner; W. and Reinhardt, J., in “Field Quantization”,Springer-Verlag, Berlin (1996) (págs. 200,201).[9] Jackiw, R. and Templeton; S., Phys. Rev. D 23, 2291 (1981).ANALES AFA Vol. 25 N.3 (143-145)145 

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