6ppNational audienceOn présente ici une méthode de couplage entre les équations de Boussinesq "étendues", suivant la formulation potentielle de Jamois, et la méthode d'équation intégrale. La mise en œuvre est réalisée dans le cas d'un bassin à houle bidimensionnel. Des validations sont présentées

Hamidou, M.

Kadri, M.

Kimmoun, Olivier

Liu, Yanan

Molin, Bernard

HAL AMU

Un couplage Boussinesq - e´quation inte´grale applique´e a`l’interaction de la houle avec des obstaclesbidimensionnelsM. Hamidou, Bernard Molin, Olivier Kimmoun, M. Kadri, Yanan LiuTo cite this version:M. Hamidou, Bernard Molin, Olivier Kimmoun, M. Kadri, Yanan Liu. Un couplage Boussinesq- e´quation inte´grale applique´e a` l’interaction de la houle avec des obstacles bidimensionnels. 19e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique, Aug 2009, Marseille, France. S03, pp.n 127, 2009, ISSN2103-6225. <hal-00458551>HAL Id: hal-00458551https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00458551Submitted on 21 Feb 2010HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.19 e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Marseille, 24-28 aouˆt 2009Un couplage Boussinesq - e´quation inte´grale applique´ a`l’interaction de la houle avec des obstacles bidimensionnelsM. HAMIDOUa, B. MOLINb, O. KIMMOUNb, M. KADRIc, Y. LIUba. De´partement d’Hydraulique, Universite´ de M’Sila, Alge´rieb. E´cole centrale de Marseille & IRPHE, 13 451 Marseille cedex 20c. De´partement de Ge´nie Civil, Universite´ de Boumerdes, Alge´rieRe´sume´ :On pre´sente ici une me´thode de couplage entre les e´quations de Boussinesq ”e´tendues”, suivant la formulation poten-tielle de Jamois [1], et la me´thode d’e´quation inte´grale. La mise en œuvre est re´alise´e dans le cas d’un bassin a` houlebidimensionnel. Des validations sont pre´sente´es.Abstract :A coupling method is proposed, between the extended Boussinesq equations as formulated by Jamois [1], in potentialform, and the integral equation method. The implementation is carried out in the case of a two-dimensional wave-tank.Validations are presented.Mots clefs : E´quations de Boussinesq, e´quation inte´grale, bassin a` houle nume´rique.1 IntroductionLes re´centes anne´es ont vu de nombreux de´veloppements apporte´s aux e´quations dites de Boussinesq, dont ilexiste aujourd’hui diverses formulations. On fait ici re´fe´rence aux travaux des chercheurs du DTU (TechnicalUniversity of Denmark), en particulier Madsen, Fuhrman et Bingham (voir par exemple Madsen et al. [2] ouFuhrman & Bingham [3]). Les mode`les qu’ils ont de´veloppe´s permettent de simuler la propagation d’e´tats demer fortement non line´aires sur des bathyme´tries lentement variables, avec de bonnes proprie´te´s dispersivesjusqu’a` des valeurs e´leve´es de la profondeur adimensionnelle kh (k e´tant le nombre d’onde et h la profondeur).Des grands domaines (plusieurs dizaines de longueurs d’onde en x et en y) peuvent ainsi eˆtre couverts pourdes couˆts de calcul raisonnables.Les mode`les de Boussinesq proce`dent d’un de´veloppement du champ de vitesses (ou du potentiel des vitessesen formulation potentielle) sous la forme de polynoˆmes par rapport a` la cote verticale z (ou z − ẑ, ou` ẑ estune profondeur de re´fe´rence), tronque´s a` un certain ordre. Leur application a` l’interaction de la houle avecdes structures marines est alors restreinte a` des obstacles immobiles a` parois verticales. C’est ainsi que Jamois[1] pre´sente des simulations nume´riques de l’interaction non-line´aire de houles re´gulie`res avec des plaquesverticales qui se comparent avantageusement a` des re´sultats d’essais en bassin re´alise´s dans le BGO-First dela Seyne sur mer (voir aussi Jamois et al. [4]). En particulier le pe´nome`ne dit de run-up qui apparaıˆt au centrede la plaque est tre`s bien reproduit. Ce run-up est duˆ aux interactions ”tertiaires” (de troisie`me ordre), entrela houle incidente et la houle re´fle´chie par la plaque, qui prennent place sur un grand domaine en amont de laplaque (voir Molin et al. [5]).Une voie pour pouvoir traiter le cas d’obstacles de forme quelconque et de structures flottantes est de partition-ner le domaine fluide en deux sous-domaines : un sous-domaine exte´rieur traite´ par un mode`le Boussinesq et unsous-domaine proche traite´ par une autre me´thode. Nous avons choisi ici une me´thode d’e´quation inte´grale, lesavantages e´tant que la meˆme the´orie potentielle est applique´e dans les deux sous-domaines, et que les e´quationsnon-line´aires de surface libre sont e´crites sous la meˆme forme dite de Zakharov [6]. Le proble`me ouvert estalors la me´thode de couplage entre les deux mode`les a` leur frontie`re commune.On propose ici une me´thode qui permet d’assurer un couplage fort entre les deux mode`les. La mise en œuvreet les validations sont re´alise´es en deux dimensions.2 The´orieOn utilise un syste`me de coordonne´es rectangulaires Oxz tel que l’axe x coı¨ncide avec la surface libre au reposet que l’axe z soit vertical ascendant. On se place dans le cadre de la the´orie potentielle : le fluide est suppose´parfait, isovolume, et l’e´coulement irrotationnel. Soit Φ(x, z, t) le potentiel des vitesses et η(x, t) l’e´le´vationde surface libre. On note Φ˜(x, t) la restriction du potentiel a` la surface libre : Φ˜(x, t) = Φ(x, η(x, t), t).119 e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Marseille, 24-28 aouˆt 2009Suivant Zakharov [6] on e´crit les conditions, dynamique et cine´matique, de surface libre sous la forme :Φ˜t = −g η + 12 W˜2 (1 + η2x)−12Φ˜2x (1)ηt = W˜ (1 + η2x)− ηx Φ˜x (2)ou` W˜ (x, t) = Φz(x, η(x, t), t) est la vitesse verticale a` la surface libre.Outre ces conditions le potentiel ve´rifie la condition de Laplace ∆Φ = 0 dans le domaine fluide et la conditionde Neumann homoge`ne ∂Φ/∂n = 0 sur le fond de cote z = −h(x) et sur les obstacles e´ventuels, ici suppose´sfixes. Par autre souci de simplification on supposera la profondeur constante h(x) = hi dans le ou les sous-domaines Boussinesq.Les e´quations (1) et (2) permettent d’avancer en temps le potentiel a` la surface libre Φ˜ et l’e´le´vation η souscondition que la vitesse verticale W˜ soit de´termine´e.2.1 Mode`le BoussinesqOn suit la formulation de Jamois [1]. Cette formulation assure de bonnes proprie´te´s dispersives jusqu’a` kh '10, rend compte des effets non-line´aires du troisie`me ordre jusqu’a` kh ' 8, tandis que les profils de vitesse ausein du fluide sont correctement reproduits jusqu’a` kh ' 4.Potentiel des vitesses Φ(x, z, t) et vitesse verticale W (x, z, t) sont de´veloppe´s sous la forme :Φ(x, z, t) = Φ̂∗ + (z − ẑ) Ŵ ∗ −(12(z − ẑ)2 − ẑ210)Φ̂∗xx −(16(z − ẑ)3 − ẑ210(z − ẑ))Ŵ ∗xx (3)W (x, z, t) = Ŵ ∗ − (z − ẑ) Φ̂∗xx −(12(z − ẑ)2 − ẑ210)Ŵ ∗xx +(16(z − ẑ)3 − ẑ210(z − ẑ))Φ̂∗xxxx (4)La cote de re´fe´rence ẑ est prise classiquement a` mi-profondeur ẑ = −h/2. Les inconnues Φ̂∗(x, t) et Ŵ ∗(x, t)sont des variables utilitaires, relie´es line´airement a` Φ̂(x, t) = Φ(x, ẑ, t) et Ŵ (x, t) = W (x, ẑ, t). Cette trans-formation permet d’ame´liorer les proprie´te´s dispersives du mode`le (voir Jamois [1]).La condition de glissement sur le fondW (x,−h, t) = 0 et l’identification deΦ(x, η, t) avec Φ˜(x, t) a` la surfacelibre fournissent deux conditions par point de calcul x. Pratiquement les de´rive´es en x sont de´termine´es pardiffe´rences finies, a` partir des valeurs prises en quatre points voisins (deux de chaque coˆte´). Cela signifie quedeux points additionnels doivent eˆtre introduits a` l’inte´rieur du domaine E.I. (E´quation Inte´grale), soient A etB, ou` les valeurs Φ̂∗A, Φ̂∗B , Ŵ∗A, Ŵ∗B sont requises (voir figure 1).2.2 E´quation inte´graleLa seconde identite´ de Greenα(P ) Φ(P ) +∫ΓΦ(Q) ∇QG(P,Q) · −→n Q dΓQ =∫ΓG(P,Q) ∇QΦ(Q) · −→n Q dΓQ (5)permet de relier valeurs du potentiel et de sa de´rive´e normale le long du contour Γ. La fonction de GreenG(P,Q) est ici simplement ln(PQ). α(P ) est l’angle entre les deux tangentes au contour en P , le vecteurnormal−→n est dirige´ vers l’exte´rieur du domaine. Sur certaines parties du contour Φ est connu (la surface libre),sur d’autres c’est sa de´rive´e normale (le fond et les frontie`res rigides). La re´solution de l’e´quation inte´gralepermet d’obtenir la vitesse normale a` la surface libre. De nombreux ”bassins a` houle nume´rique” sont base´s surcette technique (voir, par exemple, Cointe [7]). La frontie`re du domaine e´tant discre´tise´e en N segments, desapproximations line´aires sont utilise´es, l’inte´gration des termes sur chaque e´le´ment e´tant faite nume´riquementpar quadrature de Gauss [8]. A l’intersection du corps avec la surface libre, du fait de la discontinuite´ de lade´rive´e normale du potentiel des deux coˆte´s de l’intersection, l’approche dite du ”double nœud” est utilise´e.2.3 Couplage entre les deux mode`lesSuivant la figure 1, on place l’origine du repe`re a` la frontie`re entre les deux domaines. Il s’agit de raccorder,sur le segment vertical x = 0,−h ≤ z ≤ 0, les potentiels et les vitesses horizontales. Ce faisant, il faut gardera` l’esprit que la repre´sentation du potentiel dans le domaine Boussinesq n’est qu’une approximation, sous laforme d’un de´veloppement polynoˆmial tronque´ a` l’ordre trois. On va donc exprimer, dans le domaine E.I.,a` la frontie`re, le potentiel et la vitesse horizontale suivant la meˆme forme polynoˆmiale que dans le domaineBoussinesq. Le raccordement se fera alors en identifiant les coefficients des monoˆmes en (z − ẑ)i.219 e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Marseille, 24-28 aouˆt 2009 z I E Boussinesq x A B 0=∂Φ∂n Φ~  Φ~   z I E Boussinesq Boussinesq x A B C D 0=∂Φ∂n Φ~  Φ~  Φ~  FIG. 1 – Ge´ome´trie. Deux domaines (gauche) ou trois domaines (droite).Dans le domaine E.I., le potentiel des vitesses est e´crit sous la formeΦ(x, z, t) = ϕP (x, z, t) +4∑i=1Ai ϕi(x, z, t) (6)ou` ϕP est solution du proble`me aux limites∆ϕP = 0 dans le domaine E.I. (7)ϕP = Φ˜ a` la surface libre (8)∂ϕP∂x= 0 x = 0 (9)∂ϕP∂n= 0 sur les frontie`res solides (10)et ou` les potentiels ϕi sont les solutions de∆ϕi = 0 dans le domaine E.I. (11)ϕi = 0 a` la surface libre (12)∂ϕi∂x= (z − ẑ)i−1 x = 0 (13)∂ϕi∂n= 0 sur les frontie`res solides (14)Les coefficients Ai sont inde´termine´s a` ce stade. Quelles que soient leurs valeurs, le potentiel Φ ve´rifie lacondition de surface libre et les conditions de glissement aux frontie`res solides.Les 5 proble`mes aux limites e´crits ci-dessus e´tant re´solus, et les potentiels ϕP , ϕi, obtenus dans le domaineE.I., leur trace en x = 0 est de´veloppe´e sous la forme polynoˆmiale :ϕP (0, z, t) '4∑j=1αPj (z − ẑ)j−1 (15)ϕi(0, z, t) '4∑j=1αij (z − ẑ)j−1 (16)Les coefficients αPj , αij sont de´termine´s en minimisant l’e´cart entre les deux membres.On a donc e´crit, d’une part, la vitesse horizontale Φx(0, z, t) sous la formeΦx(0, z, t) =4∑i=1Ai (z − ẑ)i−1 (17)et, d’autre part, le potentiel Φ(0, z, t) sous la formeΦ(0, z, t) =4∑i=1(z − ẑ)i−1αPi + 4∑j=1αji Aj (18)319 e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Marseille, 24-28 aouˆt 2009On proce`de maintenant a` l’identification avec les de´veloppements polynoˆmiaux du potentiel et de la vitessehorizontale dans le domaine Boussinesq. Ceci fournit 8 e´quations pour 4 coefficients inconnus Ai. Introduisantles 4 autres inconnues Φ̂∗A, Φ̂∗B , Ŵ∗A, Ŵ∗B a` partir desquelles sont exprime´es les de´rive´es en x de Φ̂∗ et Ŵ ∗,on obtient un nombre d’e´quations e´gal au nombre d’inconnues, ce qui permet la re´solution dans le domaineBoussinesq. La de´termination des coefficients Ai permet d’exprimer la vitesse normale a` la surface libre dansle domaine E.I. La vitesse tangentielle s’obtient par diffe´rences finies.On peut alors avancer en temps Φ˜ et η, ici par un sche´ma Runge-Kutta d’ordre 4.2.4 Trois domainesLa me´thode de couplage expose´e ci-dessus a e´te´ e´tendue au cas ou` le domaine E.I. est inse´re´ entre deuxdomaines Boussinesq, de profondeurs h1 et h2. Cette extension est directe : dans le domaine E.I., s’e´tendantde x = 0 a` x = l, le potentiel est maintenant e´crit sous la forme :Φ(x, z, t) = ϕP (x, z, t) +8∑i=1Ai ϕi(x, z, t) (19)ou` ϕP est solution du proble`me aux limites∆ϕP = 0 dans le domaine E.I. (20)ϕP = Φ˜ a` la surface libre (21)∂ϕP∂x= 0 x = 0, x = l (22)∂ϕP∂n= 0 sur les frontie`res solides (23)et ou` les potentiels ϕi ve´rifient, comme dans le cas pre´ce´dent, la condition de Laplace, la condition de Dirichlethomoge`ne a` la surface libre, la condition de Neumann sur le fond et∂ϕi∂x= (z − ẑ1)i−1 x = 0 (24)∂ϕi∂x= 0 x = l (25)pour i = 1, 4 et∂ϕi∂x= 0 x = 0 (26)∂ϕi∂x= (z − ẑ2)i−5 x = l (27)pour i = 5, 8.La suite est identique au cas pre´ce´dent.On peut ainsi simuler un bassin a` houle avec un obstacle et/ou des accidents bathyme´triques localise´s entredeux abscisses. En entre´e la houle re´gulie`re est impose´e progressivement sur une zone longue d’une longueurd’onde, a` partir du mode`le de fonction de courant de Fenton [9]. Des zones de relaxation sont mises en placeen entre´e et en sortie du domaine de calcul, de manie`re a` absorber les ondes transmises et re´fle´chies par lesobstacles.3 Applications3.1 Progression de la houle re´gulie`re en fond platOn conside`re un domaine long de 8 longueurs d’onde L = 1.326 m, partitionne´ en trois sous-domaines. Le pasd’espace est pris e´gal a` un quarantie`me de longueur d’onde. Le sous-domaine amont fait 4 longueurs d’onde,le sous-domaine interme´diaire une longueur d’onde et le sous-domaine aval 3 longueurs d’onde. Les limitesdes diffe´rents sous-domaines sont marque´es par des traits verticaux sur la figure 2.Les simulations nume´riques sont re´alise´es pour une profondeur h = 42 cm telle que kh = 2 et une cambrure2A/L e´gale a` 0.06. La pe´riode est alors 2.014 s. Cent pas de temps sont pris par pe´riode. Les calculs sonteffectue´s de deux manie`res, avec les e´quations de Boussinesq sur la totalite´ du domaine, et avec la me´thode decouplage, le domaine interme´diaire e´tant traite´ via l’e´quation inte´grale.419 e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Marseille, 24-28 aouˆt 2009-0.04-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0  2  4  6  8  10  12eta(m)x(m)Boussinesq+IEBoussinesqFIG. 2 – E´le´vation de surface libre le long du bassin apre`s 15 pe´riodes.-0.04-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0  2  4  6  8  10  12  14eta(m)t(s)Boussinesq+IEBoussinesq-0.04-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0  2  4  6  8  10  12  14eta(m)t(s)Boussinesq+IEBoussinesqFIG. 3 – E´le´vations de surface libre au cours du temps aux deux points de raccordement.-0.4-0.3-0.2-0.1 0-0.055 -0.05 -0.045 -0.04 -0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015z(m)potentielBoussinesq+IEBoussinesq-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.1 0.05  0.1  0.15  0.2  0.25  0.3z(m)vitesse horizontale (m/s)Boussinesq+IEBoussinesqFIG. 4 – Raccordement des potentiels et des vitesses.La figure 2 pre´sente, au bout de 15 pe´riodes, l’e´le´vation de surface libre le long du domaine, calcule´e suivantles deux me´thodes. Les deux courbes sont confondues. La figure 3 pre´sente, aux deux points de raccordement,les e´le´vations de surface libre au cours du temps suivant les deux calculs. A nouveau les courbes sont confon-dues. Finalement la figure 4 pre´sente, au meˆme instant des deux simulations, a` la frontie`re gauche, les profilsverticaux du potentiel et de la vitesse horizontale.519 e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Marseille, 24-28 aouˆt 2009 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0  0.5  1  1.5  2  2.5  3  3.5  4CRT  (s)semi-analyticalBoussinesq + I.E. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0  0.5  1  1.5  2  2.5  3  3.5  4CTT  (s)semi-analyticalBoussinesq + I.E.FIG. 5 – Caisson rectangulaire. Coefficients de re´flexion (gauche) et de transmission (droite).3.2 Interaction line´aire avec un caisson rectangulaireOn prend une profondeur d’eau de 37.5 cm, avec un caisson rectangulaire, immobile, de longueur 60 cm etde tirant d’eau 11 cm. Ces dimensions correspondent a` des essais effectue´s dans le canal a` houle de l’E´coleCentrale de Marseille.Le caisson, immobile, est soumis a` des houles re´gulie`res de petite amplitude. Une partie de la houle est trans-mise, une autre partie est re´fle´chie par le caisson. Dans le cadre de la the´orie potentielle line´arise´e, le proble`mede diffraction peut eˆtre simplement re´solu par de´composition du potentiel sur des bases de fonctions propres,dans les trois domaines, en amont du caisson, sous le caisson et en aval du caisson [10].La figure 5 pre´sente les coefficients de re´flexion et de transmission, calcule´s par le mode`le semi-analytique, ettire´s des simulations nume´riques avec une faible amplitude de houle et les conditions de surface libre (1) (2)line´arise´es. L’accord est excellent. Ceci prouve que notre me´thode de couplage permet a` l’information de sepropager aussi bien vers l’amont que vers l’aval.4 ConclusionOn a propose´ une me´thode de couplage entre e´quations de Bousinesq et e´quation inte´grale. La mise en œuvrere´alise´e en deux dimensions prouve que la me´thode est efficace et robuste. De plus, elle est e´conomique :les simulations re´alise´es en combinant sous-domaines Boussinesq et e´quation inte´grale sont beaucoup moinscouˆteuses que l’utilisation de la me´thode d’e´quation inte´grale seule.L’extension a` trois dimensions reste a` faire.Re´fe´rences[1] Jamois E. Interaction houle-structure en zone coˆtie`re. The`se, Universite´ Aix-Marseille II, 2005.[2] Madsen P., Bingham H., and Liu H. A new boussinesq method for fully nonlinear waves from shallow todeep water. J. Fluid Mech., 462, 1–30, 2002.[3] Fuhrman D. and Bingham H. Numerical solution of fully non-linear and highly dispersive boussinesqequations in two horizontal dimensions. Int. J. Numer. Methods Fluids, 44, 231–255, 2004.[4] Jamois E., Fuhrman D., Bingham H., and Molin B. A numerical study of nonlinear wave run-up on avertical plate. Coast. Eng., 53, 929–945, 2006.[5] Molin B., Remy F., Kimmoun O., and Jamois E. The role of tertiary wave interactions in wave-bodyproblems. J. Fluid Mech., 528, 323–354, 2005.[6] Zakharov V. Stability of periodic waves of finite amplitude on the surface of a deep fluid. J. Appl. Mech.Tech. Phys., 9, 190–194, 1968.[7] Cointe R. Quelques aspects de la simulation nume´rique d’un canal a` houle. The`se, E´cole Nationale desPonts et Chausse´es, 1989.[8] Brebbia C. and Dominguez J. Boundary elements ; an introductory course. WIT Press, ComputationalMechanics Publications, 1992.[9] Fenton J. The numerical solution of steady water wave problems. Comput. Geosci., 14, 357–368, 1988.[10] Cointe R., Geyer P., King B., Molin B., and Tramoni M.-P. Nonlinear and linear motions of a rectangularbarge in a perfect fluid. Proceedings of 18th Symposium Naval Hydrodynamics, Ann Arbor, 1990.6

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