International audienceNous comparons l'existence de solutions pour le problème du Consensus ou le problème de la Diffusion dans le cadre de réseaux de communication synchrones où la transmission de message n'est pas fiable. Certains messages peuvent être perdus et à chaque ronde le nombre de messages perdus est borné d'une certaine manière. Nous montrons que dans ce cas, et quelle que soit la manière de compter les pertes (localement, globalement,...) le problème du Consensus est équivalent au problème de la Diffusion tant en terme de calculabilité qu'en terme de complexité

Godard, Emmanuel

Peters, Joseph

HAL AMU

E´quivalence du Consensus et de la Diffusion dans lesRe´seaux a` Omissions Borne´esEmmanuel Godard, Joseph PetersTo cite this version:Emmanuel Godard, Joseph Peters. E´quivalence du Consensus et de la Diffusion dans lesRe´seaux a` Omissions Borne´es. Mathieu, Fabien et Hanusse, Nicolas. 14e`mes Rencontres Fran-cophones sur les Aspects Algorithmiques des Te´le´communications (AlgoTel), 2012, La GrandeMotte, France. pp.1-4, 2012. <hal-00690266v2>HAL Id: hal-00690266https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00690266v2Submitted on 10 May 2012HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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Nous montrons que dansce cas, et quelle que soit la manière de compter les pertes (localement, globalement,...) le problème du Consensus estéquivalent au problème de la Diffusion tant en terme de calculabilité qu’en terme de complexité.Keywords: consensus, diffusion, réseaux synchrones, tolérance aux pannes, pertes de messagesLes problèmes du Consensus et de la Diffusion sont deux problèmes fondamentaux de l’algorithmiquedistribuée. On s’intéresse ici à leurs solutions éventuelles dans le cadre d’un réseau synchrone où certainsmessages peuvent être perdus (omissions). A chaque ronde les combinaisons de pertes possibles sont lesmêmes (modèle des fautes mobiles [SW07]). On montre que si ces combinaisons sont obtenues en bornantle nombre de fautes, quelle que soit la manière de les compter, alors le Consensus et la Diffusion sont desproblèmes équivalents. Ce résultat permet notamment de retrouver des résultats dans le cas d’une borneglobale [FG11] (répondant à une question ouverte de [SW07]) ainsi que dans celui d’une borne locale[SWK09]. Cette présentation est une version autonome d’un des résultats de [GP11].1 Définitions et NotationsRéseaux de Communication Un réseau de communication est représenté par un graphe dirigé G = (V,E)(pas nécessairement symétrique). Tous les nœuds possèdent un identifiant unique. La communication estport-à-port. Tous les sous-graphes que nous considérons ici seront des sous-graphes couvrants. Nous iden-tifierons donc l’ensemble d’arcs avec le sous-graphe couvrant correspondant.Schémas d’Omission Dans notre modèle, la communication est synchrone mais non-fiable. Lorsqu’uneomission (perte de message) se produit au cours d’une ronde, la communication correspondante sera re-présentée par le sous-graphe couvrant de G contenant exactement les arcs sans omissions lors de cetteronde. Les arcs absents représentent les pertes. Le graphe sous-jacent G = (V,E) étant donné, on noteOG = {(V,F) | F ⊆ E}. Cet ensemble représente toutes les communications simultanées possibles.Définition 1.1. Un élément de OG est appelé évènement de communication (ou simplement évènement). Unscénario à omissions (ou plus simplement scénario) est une séquence infinie d’évènements de communica-tion. Un schéma d’omission sur G est un sous-ensemble S⊂OG. Un réseau soumis à un schéma d’omissionS est un réseau où les scénarios possibles sont toutes les séquences constituées d’éléments de S.Nombre d’Omissions Borné On définit ici les notions de métrique d’omissions et d’omissions bornées.Définition 1.2. La fonction µ : OG −→ N est une métrique d’omissions sur G si(fiabilité de G) µ(G) = 0(monotonie) ∀H,K ∈ OG, H ⊆ K =⇒ µ(H)≥ µ(K)Intuitivement, s’il y a moins d’arcs dans H, son nombre d’omissions, quelle que soit la manière de lescompter, est au moins égal à celui de K. De tels exemples de métriques sont la métrique globale µg(F) =Emmanuel Godard and Joseph Peters#(E\F) ou encore la métrique locale µ`(F) = maxu∈V #{v ∈V | (u,v) ∈ E\F}.Un schéma d’omission S est définissable par borne (ou plus simplement borné) s’il existe une métriqued’omissions µ et k ∈ N tels que S = {H ∈ OG | µ(H)≤ k}. En remarquant que µ(G) = 0 dans tous les cas,on a toujours G ∈ S.Proposition 1.3. Soit S un schéma d’omission borné (de métrique µ et de borne k ∈ N).Pour tout H,H ′ ∈ S et tout a ∈ H ′, H ∪{a} ∈ S. En particulier H ∪H ′ ∈ S.Démonstration. Le graphe H ′ est un sous-graphe couvrant donc a ∈ E. Donc H ∪{a} ⊆ E. En utilisant lapropriété de monotonie, on obtient que µ(H ∪{a})≤ µ(H). Or µ(H)≤ k, donc H ∪{a} ∈ S.Nous présentons ensuite deux exemples de système avec deux processus : G = {◦•}.Exemple 1. Le schéma d’omission O1 = {◦•,◦←•,◦→•} a été très étudié et correspond à la situationoù il se produit globalement au plus une omission par ronde. Il est définissable par borne (avec µg et k = 1).Exemple 2. Le schéma d’omission H = {◦←•,◦→•} décrit un système dans lequel au plus un messagepeut être transmis simultanément. En particulier, si un seul message est envoyé, il peut ne pas être reçu.Ce schéma n’est pas définissable par borne car le graphe sous-jacent ◦• n’appartient pas à H .Exécution d’un Algorithme Distribué soumis à Omissions Considérons un processus u et l’un de sesvoisins sortants v. Un message msg est envoyé depuis u vers v, selon les instructions de l’algorithme A .Supposons que l’évènement H ∈ OG se produise. La fonction de réception recv(u) renverra msg seulementsi (u,v) ∈H. Sinon, la valeur renvoyée sera null. Les messages envoyés lors d’une ronde peuvent être reçusuniquement dans cette ronde. Une exécution de A soumise à S est la séquence (potentiellement infinie) detels échanges de messages et configurations correspondantes lorsque les évènements appartiennent à S.Définition 1.4. Soit S un schéma d’omission, un algorithme A résout un problème P de manière S−fiableavec la configuration initiale ι, si, pour tout scénario w soumis à S, il existe un préfixe fini w′ de w tel quel’état su(w′) de chaque processus u ∈V satisfait les spécifications de P pour la configuration initiale ι.Diffusabilité Soit H un évènement et un nœud u de V . Un nœud v∈V est accessible depuis u dans H si ilexiste un chemin dirigé de u vers v dans H. Le nœud u est une source de H si tout v∈V est accessible depuisu dans H. Un schéma d’omission S est source-incompatible si il n’existe aucune source commune à tous leséléments de S. On rappelle que le problème de la Diffusion consiste à trouver un sommet v et un algorithmepermettant de diffuser depuis v. Avec ces définitions, on a clairement (cf. la preuve dans [GP11]) :Théorème 1.5. Soit G un graphe et S un schéma d’omission pour G. Il est possible de diffuser de manièreS−fiable, si et seulement si S n’est pas source-incompatible.2 Équivalence du Consensus et de la DiffusionNous allons prouver que les Problèmes du Consensus et de la Diffusion sont équivalents dans la large(et peut-être la seule comptant en pratique) famille des schémas d’omissions définissables par borne. Lesconséquences sont très importantes car vérifier la Diffusabilité est très simple (voir Théorème 1.5). Leproblème du Consensus est le suivant. Chaque nœud possède une valeur initiale 0 ou 1 et doit décider unevaleur identique aux autres nœuds de telle manière que si les valeurs initiales sont déjà identiques, c’est cettevaleur commune qui est décidée. Il est immédiat que si le problème de la Diffusion possède une solutiondepuis un nœud v, alors il existe un algorithme pour le Consensus en diffusant la valeur initiale de v.Théorème 2.1 (Équivalence). Soit S⊂OG un schéma d’omission borné sur un graphe G. Alors le Consen-sus admet une solution S−fiable si et seulement si la Diffusion admet une solution S−fiable.Démonstration. Par Théorème 1.5, il suffit de montrer que si S est source-incompatible alors le Consensusne peut être résolu. La preuve utilise la technique classique de bivalence.On suppose qu’il existe un algorithmeA résolvant le Consensus. On dit qu’une configuration est 0−valente(resp. 1−valente) si toute exécution de A depuis cette configuration aboutit à une valeur de décision 0 (resp.1). Une configuration est univalente si elle est 0 ou 1−valente. Elle est bivalente sinon.Équivalence du Consensus et de la Diffusion dans les Réseaux à Omissions BornéesInitialisation bivalente. Soit V = {v1, . . . ,vn} et soit ι` la configuration initiale dans laquelle vi a pourvaleur initiale 0 si i > `, et 1 sinon. Comme ι0 (resp. ιn) doit être 0−valent (resp. 1−valent) par définitiondu Consensus, si toutes les configurations ι`, 1 ≤ ` ≤ n sont univalentes, alors il existe ` tel que ι`−1 est0−valent et ι` est 1−valent. Comme S est source-incompatible, il existe H ∈ S tel que v` ne soit pas sourcede H. Donc il existe un sommet u non-accessible depuis v`. En remarquant que ces initialisations ι`−1 etι` ne diffèrent qu’en v`, les exécutions depuis ces deux configurations initiales où H est le seul évènementaboutissent à un état identique pour u. Et u doit décider la même valeur dans les deux exécutions. Ceci esten contradiction avec les valences de ι0 et ιn.Extension bivalente. Nous montrons que si une exécution partielle produit une configuration bivalentealors il existe une extension de cette exécution qui est encore bivalente. On raisonne par l’absurde, sup-posons qu’aucune extension ne soit bivalente, par conséquent elles sont toutes univalentes et comme laconfiguration étendue était bivalente, il existe une extension 0−valente (resp. 1−valente). Notons H0 (resp.H1) l’évènement correspondant. D’après le Lemme 1.3, il existe G0,G1, . . . ,Gq ∈ S tels que G0 = H0 etGq = H1 et tels que Gi et Gi+1 ne diffère que d’un seul arc, pour 0≤ i< q. En effet, il est possible d’ajouterdes arcs à H0 pour obtenir H0 ∪H1, puis d’enlever des arcs pour obtenir H1. Par hypothèse d’univalence,et comme précédemment, il existe ` < q tel que la configuration atteinte après G`, σ0, soit 0−valente etcelle atteinte après G`+1, σ1, soit 1−valente. Notons a l’arc différant entre G` et G`+1, et v le sommet dedestination de cet arc. Comme S est source-incompatible, il existe H ∈ S tel que v ne soit pas source de H.Donc il existe un sommet u non-accessible depuis v. Par conséquent, si on étend l’exécution depuis σ0 etσ1 en n’ayant comme unique évènement H, on aura un état identique pour u. Donc u doit décider la mêmevaleur dans les deux exécutions. Contradiction.Conclusion. Par conséquent, à partir de la configuration initiale bivalente, il est possible de construireune exécution infinie qui soit toujours bivalente, ie tel que l’algorithme A ne soit jamais terminé. Ce quicontredit le fait que l’algorithme A résolve le Consensus.Soit O fG(G) l’ensemble des sous-graphes couvrants de G avec au plus f arcs manquants par rapport àG. Une borne supérieure sur f au sujet de l’existence de solution au Consensus soumis à O fG(G) est donnédans [SW07], et cette borne fut démontrée exacte par une technique de simulation ad hoc dans [FG11]. Cerésultat apparaît maintenant comme un corollaire immédiat du Théorème 2.1.Corollaire 2.2. Soit f ∈N et G un graphe (symétrique). Le Consensus admet une solution soumis à O fG(G)si et seulement si f < c(G), où c(G) est la connectivité du graphe G.Notons qu’il n’est pas possible de diffuser de manière H−fiable (Exemple 2) alors que le Consensusadmet une solution pour ce schéma d’omission. L’algorithme où la valeur décidée par un nœud est la valeurreçue, si elle est non null, sa propre valeur initiale sinon, résout le Consensus en une ronde. Par conséquent,les deux problèmes peuvent ne pas être équivalents dès que les omissions ne sont pas bornées. Lorsque lesomissions sont bornées, l’équivalence concerne également le nombre de rondes nécessaires.Proposition 2.3. Soit S ⊂ OG un ensemble d’évènements définissable par borne sur un graphe G. Le pro-blème du Consensus admet une solution S−fiable en r rondes si et seulement si le problème de la Diffusionadmet une solution S−fiable en r rondes.Démonstration. Puisqu’un algorithme de Diffusion peut toujours être utilisé pour réaliser le Consensus, ilsuffit de montrer que le Consensus ne peut être résolu en moins de rondes que la Diffusion. On supposequ’il existe un algorithme A résolvant le Consensus en rc rondes et que la Diffusion nécessite au moinsrd > rc rondes. Ainsi, une Diffusion, de toute origine, aura un nombre de rondes strictement supérieur à rc.On va montrer qu’il doit y avoir une configuration initiale bivalente. Soit V = {v1, . . . ,vn} et ι`,0≤ `≤ n,les configurations initiales définies dans la preuve précédente. Si toutes ces configurations sont univalentes,alors, il existe ` tel que ι`−1 est 0−valent et ι` est 1−valent. Comme une Diffusion initiée en v` nécessiteplus que rc rounds, alors il existe un sommet u qui n’a reçu aucune valeur de v`, donc aucune exécutionde longueur rc de l’algorithme A depuis les configurations initiales ι`−1 et ι` ne peut être distinguée d’uneautre par u. En conséquence, u décide nécessairement la même valeur pour les deux configurations initiales :contradiction. Maintenant, on montre de la même manière que si toutes les extensions d’une configurationbivalente sont univalentes, alors l’algorithme A nécessite plus de rc rondes supplémentaires.Emmanuel Godard and Joseph PetersIl existe de très nombreux résultats concernant le problème de la diffusion dans des familles de réseauxspécifiques. Les graphes quelconques sont étudiés dans [CDP94] et les hypergraphes dans [MV98]. Unalgorithme optimal pour la famille des hypercubes est donné dans [DV99]. Pour un hypercube de dimensionn, si au plus n−1 messages sont perdus à chaque ronde, alors la Diffusion peut être réalisée en n+2 rounds,comparé à n rondes quand il n’y a aucune erreur d’omissions. Dans [DV04], l’impact précis sur la Diffusiondu nombre exact de défaillances est donné. En utilisant directement les résultats de [DV04], on obtient :Corollaire 2.4. Dans un hypercube de dimension n, si le nombre global d’omissions est au plus f parronde, alors1. si f ≥ n, alors le Consensus n’admet aucune solution,2. si f = n−1, le Consensus admet une solution optimale en n+2 rondes,3. si f = n−2, le Consensus admet une solution optimale en n+1 rondes,4. si f < n−2, le Consensus admet une solution optimale en n rondes.L’exemple suivant montre que si le schéma de défaillance n’est pas borné, alors il est possible que leConsensus admette une solution avec strictement moins de rondes que la Diffusion.a bcdFIGURE 1: Évènement H1.a bcdFIGURE 2: Évènement H2.Exemple 3. Soit le schéma {H1,H2} où H1 (resp. H2) est donné par Fig. 1 (resp. Fig. 2). Ce schéma n’estpas borné car le graphe H1∪H2 n’y appartient pas.Le sommet d a besoin de deux rondes pour diffuser soumis à {H1}, et le sommet c a besoin égalementde deux rondes pour diffuser soumis à {H2}. Les sommets a et b nécessitent plus que deux rondes.Cependant, il existe un algorithme de Consensus qui décide en une seule ronde. Remarquons que chaquenœud peut détecter immédiatement lequel des deux évènements s’est effectivement produit. Par conséquent,l’algorithme dans lequel chaque nœud décide la valeur de c si H1 se produit, ou bien celle de d si H2 seproduit, est un algorithme de Consensus.Références[CDP94] B. S Chlebus, K. Diks, and A. Pelc. Broadcasting in synchronous networks with dynamic faults.NETWORKS, 27 :309—318, 1994.[DV99] Stefan Dobrev and Imrich Vrto. Optimal broadcasting in hypercubes with dynamic faults. In-formation Processing Letters, 71 :81—85, 1999.[DV04] Stefan Dobrev and Imrich Vrto. Dynamic faults have small effect on broadcasting in hypercubes.Discrete Applied Mathematics, 137(2) :155–158, March 2004.[FG11] Tristan Fevat and Emmanuel Godard. About minimal obstructions for the coordinated attackproblem. In Proc. of IEEE Int. Symp. on Parallel & Distributed Processing IPDPS’2011, 2011.[GP11] Emmanuel Godard and Joseph Peters. Consensus vs broadcast in communication networks witharbitrary mobile omission faults. In Proc. of Sirocco’2011, volume 6796 of LNCS, 2011.[MV98] Gianluca De Marco and Ugo Vaccaro. Broadcasting in hypercubes and star graphs with dynamicfaults. Information Processing Letters, 66(6) :321–326, 1998.[SW07] Nicola Santoro and Peter Widmayer. Agreement in synchronous networks with ubiquitous faults.Theor. Comput. Sci., 384(2-3) :232–249, 2007.[SWK09] U. Schmid, B. Weiss, and I. Keidar. Impossibility results and lower bounds for consensus underlink failures. SIAM Journal on Computing, 38(5) :1912–1951, 2009.

Équivalence du Consensus et de la Diffusion dans les Réseaux à Omissions Bornées

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