International audienceThis article deals with the use of optimal lattice and optimal window in Discrete Gabor Transform computation. In the case of a generalized Gaussian window, extending earlier contributions, we introduce an additional local window adaptation technique for non-stationary signals. We illustrate our approach and the earlier one by addressing three time-frequency analysis problems: close frequencies distinction, frequency estimation and Signal to Noise Ratio estimation. The results are presented, when possible, with real world audio signals.Cet article présente l'utilisation d'une grille optimale et d'une fenêtre optimale pour le calcul de la transformée de Gabor discrète. Dans le cas d'une Gaussienne généralisée, nous étendons des travaux précédents et proposons une fenêtre localement optimale pour des si-gnaux non-stationnaires. Nous présentons des résultats sur trois problèmes d'analyse temps-fréquence, sur des signaux réels et synthétiques : la distinction de composantes temps-fréquence proches, l'estimation de fréquence instantané et l'estimation du Rapport Signal à Bruit. Abstract – This article deals with the use of optimal lattice and optimal window in Discrete Gabor Transform computation. In the case of a generalized Gaussian window, extending earlier contributions, we introduce an additional local window adaptation technique for non-stationary signals. We illustrate our approach and the earlier one by addressing three time-frequency analysis problems: close frequencies distinction, frequency estimation and Signal to Noise Ratio estimation. The results are presented, when possible, with real world audio signals

Lachambre, Hélène

Onchis-Moaca, Darian

Ricaud, Benjamin

Stempfel, Guillaume

Torresani, Bruno

Wiesmeyr, Christoph

HAL AMU

Feneˆtre et grille optimales pour la transforme´e de GaborExemples d’application a` l’analyse audioHe´le`ne Lachambre, Benjamin Ricaud, Guillaume Stempfel, Bruno Torresani,Christoph Wiesmeyr, Darian Onchis-MoacaTo cite this version:He´le`ne Lachambre, Benjamin Ricaud, Guillaume Stempfel, Bruno Torresani, Christoph Wies-meyr, et al.. Feneˆtre et grille optimales pour la transforme´e de Gabor Exemples d’applicationa` l’analyse audio. XXV-ie`me Colloque GRETSI, Sep 2015, Lyon, France. Colloque GRETSI2015, 2015, <http://gretsi.fr/colloque2015/>. <hal-01279441>HAL Id: hal-01279441https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01279441Submitted on 29 Feb 2016HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Fenêtre et grille optimales pour la transformée de GaborExemples d’application à l’analyse audioH. LACHAMBRE1, B. RICAUD2, G. STEMPFEL3, B. TORRESANI3, C. WIESMEYR4, D. M. ONCHIS51Genesis, Domaine du Petit Arbois, 13545 Aix-en-Provence, France2Signal Processing Laboratory 2, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL), Station 11, 1015 Lausanne, Switzerland3Aix-Marseille Université, CNRS, Centrale Marseille, LATP, UMR 7353, 13453 Marseille, France4Faculty of Mathematics, University of Vienna, Oskar-Morgenstern-Platz 1, 1090 Wien, Austria5West University of Timisoara, Blvd. V. Parvan 4, Timisoara, 300223, Romaniahelene.lachambre@genesis.fr, benjamin.ricaud@epfl.ch,guillaume.stempfel@genesis.frbruno.torresani@univ-amu.fr, christoph.wiesmeyr@univie.ac.at, donchis@hpc.uvt.roRésumé – Cet article présente l’utilisation d’une grille optimale et d’une fenêtre optimale pour le calcul de la transformée de Gabor discrète.Dans le cas d’une Gaussienne généralisée, nous étendons des travaux précédents et proposons une fenêtre localement optimale pour des si-gnaux non-stationnaires. Nous présentons des résultats sur trois problèmes d’analyse temps-fréquence, sur des signaux réels et synthétiques : ladistinction de composantes temps-fréquence proches, l’estimation de fréquence instantané et l’estimation du Rapport Signal à Bruit.Abstract – This article deals with the use of optimal lattice and optimal window in Discrete Gabor Transform computation. In the case of ageneralized Gaussian window, extending earlier contributions, we introduce an additional local window adaptation technique for non-stationarysignals. We illustrate our approach and the earlier one by addressing three time-frequency analysis problems: close frequencies distinction,frequency estimation and Signal to Noise Ratio estimation. The results are presented, when possible, with real world audio signals.1 IntroductionNotre travail se place dans le contexte général de l’analyseTemps-Fréquence (T-F) du signal [3]. La représentation T-Fest d’une extrême utilité pour l’analyse de signaux non sta-tionnaires, que ce soit pour la recherche scientifique ou dansl’industrie. Cependant, cette représentation et sa précision, àtravers la transformation de Gabor discrète (DGT), dépend duchoix d’une fenêtre [2] et d’une grille temps fréquence. Chaquechoix permet de visualiser avec précision un seul type de com-posant T-F et n’est donc pas adapté aux différents types pouvantsurvenir successivement dans des signaux non-stationnaires.Un travail précédent [5] présentait la recherche de la fenêtreGaussienne réelle optimale. Le critère d’optimisation était laminimisation de l’entropie de Renyi [6] ou de Shannon.Dans une étude récente [7], nous avons défini et calculé lafenêtre Gaussienne généralisée optimale pour un signal donné.Le critère d’optimisation est la maximisation de la concentra-tion de l’énergie dans le domaine T-F, ou la parcimonie de lareprésentation T-F. Nous proposions aussi une optimisation desparamètres de la grille. Cette étude, axée sur la théorie, ne per-met de voir que partiellement l’utilité réelle de l’approche.Par cette contribution, nous souhaitons mettre en valeur lesrésultats de [7] en la complétant. Premièrement, nous propo-sons un adaptation locale de la fenêtre, évoluant avec les dif-férents composants fréquentiels rencontrés dans un signal non-stationnaire. Ceci permet la création d’un nouveau type de spec-trogramme s’adaptant au signal au cours du temps. Deuxième-ment, nous démontrons d’un point de vue pratique l’utilité deces fenêtres et grilles (globalement ou localement) optimales.Nous nous concentrons sur la représentation T-F et sa précisionà des fins d’analyse (et non de synthèse). Nous présentons dansla mesure du possible les résultats sur des signaux réels. La lec-ture de ce nouveau spectrogramme adapté est plus claire quandles composants fréquentiels du signal évoluent avec le temps.Dans la suite, nous rappelons brièvement dans la partie 2 leprincipe de notre approche et présentons l’adaptation locale dela fenêtre. Puis dans la partie 3 nous présentons trois applica-tions sur des signaux réels et synthétiques.2 Aspects théoriquesLa théorie complète pour l’optimisation de fenêtre et de grillea été présentée dans un article distinct [7]. Nous n’en rappelonsque les principaux points. Nous travaillons dans l’espace des si-gnaux de dimension finie CN . Soit g ∈ CN une fenêtre d’ana-lyse et Λ ⊂ ZN×ZN une grille T-F. La DGT du signal f ∈ CNest définie comme Vgf(x, ξ) =∑Nn=0 f(n)g(n− x)e−j2piξn/N ,avec (x, ξ) ∈ Λ un point de la grille.2.1 Optimisation de la fenêtreDans un premier temps, notre but est de trouver la fenêtreoptimale en termes de concentration de l’énergie de la DGT [5].Pour mesurer cette concentration, nous considérons la normelp de la DGT. La norme lp est une mesure d’étalement pourp < 2, et de parcimonie pour p > 2. Ici, nous choisissons demaximiser la norme lp avec p > 2 (p = 2.5), ce qui mène à uncritère différentiable [7].Le problème que nous devons résoudre s’écrit :Argmaxg,‖g‖2=1‖Vgf‖pp = Argmaxg,‖g‖2=1∑ξ,x∈Λ|Vgf(x, ξ)|p (1)De manière à obtenir une fenêtre interprétable, nous restrei-gnons notre problème à la famille des Gaussiennes «chirpées» :gσ,s(t) =4√2Nσe−pit2Nσ+jpist2 N+1N (2)avec σ > 0 l’étalement dans le temps, s ∈ R le paramètre de«chirp» et N la longueur du signal. Le problème à optimiserdevient alors :Argmaxσ,s‖Vgσ,sf‖pp. (3)L’optimisation est réalisée en utilisant la méthode BFGS [4],qui est une approche Quasi-Newton.2.2 Optimisation de la grilleLe second problème est de déterminer, pour une redondanceR = |Λ| /N donnée, la meilleure grille, c’est à dire le place-ment optimal des atomes temps-fréquence.Une grille correctement choisie est définie comme une grillequi mène à une DGT inverse stable numériquement. La grilleoptimale est donc celle qui donne la DGT inverse la plus stable.En partant de l’hypothèse que la grille hexagonale est opti-male pour une Gaussienne standard [8], alors la grille optimalepour la fenêtre gσ,s optimale est [7] :Λ =√NR(1 0s 1)( √σ 00 1/√σ)( 4√3√2014√3√2√24√3)Z2N(4)où nous avons, de gauche à droite, les matrices de «shearing»(ou cisaillement), de dilatation et d’échantillonnage hexagonal.La constante à gauche donne la bonne redondance.2.3 Optimisation locale de la fenêtreUne fenêtre d’analyse unique n’est pas forcément adaptéesur la totalité du signal (voir les figures 1.a et 1.b), mais unique-ment sur une région T-F limitée. Dans ce travail, nous propo-sons d’adapter localement la fenêtre d’analyse, en utilisant unegrille constante pour la totalité du signal. En partant de l’hy-pothèse que dans les signaux réels l’évolution temporelle desamplitudes et des fréquences sont régulières, nous cherchonsune fenêtre qui évolue régulièrement au cours du temps. Nousestimons les paramètres σt et st de la façon suivante :— partitionner le signal en M segments,— sur chaque segment, trouver la fenêtre optimale commeproposé dans la partie 2.1,— considérer que cette fenêtre est optimale pour la tramecentrale de chaque segment, et interpoler les paramètresσ et s sur toutes les trames,— calculer la DGT, en considérant une fenêtre différente àchaque trame.Notons que la DGT ainsi calculée est en réalité une tranforméede Gabor non-stationnaire [1], et que son inversibilité n’est pasacquise a priori. Notons également que la première étape estactuellement réalisée manuellement.3 ApplicationsNous évaluons les avantages de l’approche proposée sur troisapplications : la distinction de composantes temps-fréquences(T-F) proches, l’estimation de la fréquence instantanée, et durapport signal à bruit.Pour chaque application, nous proposons une méthode naïvebasée sur l’analyse de la DGT. Nous comparons alors les per-formances obtenues par cette méthode, avec des DGTs calcu-lées avec différentes fenêtres et sur différentes grilles. La grilleoptimale sera comparée à d’autres grilles de même redondance.La fenêtre Gaussienne chirpée optimale sera comparée à la fe-nêtre Gaussienne réelle optimale. Cette dernière est estimée demanière similaire à l’équation 3, avec un seul paramètre (la di-latation) pour l’optimisation :Argmaxσ‖Vgσ (f)‖pp. (5)3.1 Distinction de composantes T-F prochesDans cette première application, la validation de l’approcheest faite visuellement. L’exemple présenté sur les figures 1 et 2est l’enregistrement d’un passage d’avion. Ce passage produitdeux fréquences très proches qui varient au cours du temps (ef-fet Doppler). Sur la figure 1.b, le signal est analysé avec lafenêtre Gaussienne réelle, optimisée pour le début du signal(changement de fréquence lent). Sur la figure 1.a, la fenêtre estla Gaussienne chirpée optimale, optimale pour la fin du signal(changement de fréquence rapide). Enfin, sur la figure 1.c, lafenêtre est adaptée localement (avec un découpage du signalen segments de une seconde) : les deux composantes sont vi-sibles tout du long. Ces DGTs ont été calculées avec la mêmegrille.La figure 2 montre l’intérêt d’utiliser la grille optimale. Lemême signal d’avion est analysé avec la fenêtre optimale ettrois grilles de même redondance : la grille optimale (2.a), unegrille avec plus de points en temps et moins en fréquence (2.b),une grille avec moins de points en temps et plus en fréquence(2.c). Dans les cas (b) et (c), le manque de résolution fréquen-tielle ou temporelle fait que les deux composantes proches nesont pas visibles.FIGURE 1 – Passage d’avion, présentant deux fréquencesproches. (a) Gaussienne chirpée optimale, (b) Gaussienneréelle optimale, (c) Gaussienne chirpée localement optimale.3.2 Estimation de fréquence instantanéeDans ce deuxième exemple, la tâche que nous nous fixons estde suivre une unique fréquence. Ainsi, nous proposons d’esti-mer, sur chaque trame, la fréquence cherchée comme celle cor-respondant au maximum d’amplitude. Ici, le signal est un en-registrement de nombreuses bulles qui explosent dans de l’eau.Le son de l’explosion de chaque bulle produit un motif très re-connaissable dans le plan T-F (voir la figure 3). Sur la figure 3.a,la DGT est calculée avec la fenêtre Gaussienne réelle optimale.Sur la figure 3.b, elle est calculée avec la fenêtre «chirpée»optimale. Sur chaque figure, la fréquence estimée est mise enévidence à l’aide de points noirs. Sur la figure 3.a, contraire-ment à ce attendu, les motifs ne sont ni similaires ni réguliers.Au contraire, sur la figure 3.b, les motifs sont similaires et ré-guliers. Comme ce motif dans le plan T-F ne change pas aucours du temps, une adaptation locale de la fenêtre n’apporte-FIGURE 2 – DGTs d’un passage d’avion, calculées avec lesmêmes fenêtre et redondance, mais des grilles différentes : (a)Grille optimale, (b) Plus de points en temps, moins en fré-quence, (c) Moins de points en temps, plus en fréquence.rait pas d’amélioration significative de la représentation. La fe-nêtre optimale permet donc de révéler la signature acoustiquedes bulles, ainsi que le suivi de leur fréquence instantanée.3.3 Estimation du rapport signal à bruitPour cette dernière application, nous estimons le rapport si-gnal à bruit (RSB) d’un signal bruité. Dans notre exemple, lesignal est un chirp quadratique dont l’amplitude décroit de ma-nière log-linéaire. Le bruit est un bruit blanc Gaussien constant.Nous avons choisi un signal artificiel dans ce cas, pour disposerdes vraies valeurs et pouvoir mesurer les performances.Comme l’estimation de la puissance du bruit ne dépend pasde la fenêtre (tant que sa norme est unitaire, ce qui est vrai ici),nous l’estimons donc directement comme la valeur moyennede la partie non harmonique du spectre.FIGURE 3 – Bulles dans de l’eau. La fréquence estimée estmise en évidence à l’aide des points noirs. (a) Gaussienne réelleoptimale, (b) Gaussienne chirpée optimale.La puissance du chirp quadratique est proportionnelle à l’am-plitude maximum du spectre. Le facteur de normalisation à ap-pliquer dépend de la fenêtre, il est estimé avec un signal connu(ici un sinus pur d’amplitude connue).Avec ces deux valeurs (puissance instantanée du chirp etpuissance du bruit), nous alors pouvons calculer le RSB instan-tané. Les courbes de RSB calculées avec différentes fenêtres,de même que le RSB de référence, sont présentées sur la fi-gure 4. La figure montre clairement que le meilleur estimateurest obtenu avec la fenêtre optimale adaptée localement.FIGURE 4 – Chirp quadratique d’amplitude décroissant log-linéairement avec un bruit blanc Gaussien constant. Le RSBest estimé sur des DGTs calculées avec diverses fenêtres.4 Conclusion et perspectivesNous avons présenté ici l’application d’une procédure d’op-timisation de la fenêtre et de la grille de calcul de la DGT danstrois cas réels : la distinction de fréquences proches, l’estima-tion de fréquence, l’estimation du RSB. Pour les deux premierscas, nous présentons des résultats qualitatifs sur des signauxréels, dans le dernier cas des résultats quantitatifs sur un si-gnal synthétique. L’utilisation de la fenêtre et la grille optimalesmène à des DGTs plus interprétables pour ces applications.Le spectrogramme adapté présenté ici apporte une vraie plusvalue par rapport au spectrogramme standard. Notre approcheest à la fois adaptée automatiquement, rapide à implémenteret précise dans la discrimination fréquentielle de signaux non-stationnaires.5 RemerciementsCes travaux ont été réalisés dans le cadre du projet EU FETOpen grant UNLocX (255931), et du projet EU grant no. FP7-REGPOT-CT-2011-284595 (HOST) pour le dernier auteur.Références[1] P. Balazs, M. Dorfler, F. Jaillet, N. Holighaus, and G. A.Velasco. Theory, Implementation and Applications ofNonstationary Gabor Frames. J. of Computational and Ap-plied Mathematics, 236(6) :1481–1496, 2011.[2] B. Boashash. Time-Frequency Signal Analysis and Proces-sing : A Comprehensive Reference. Elsevier, 2003.[3] P. Flandrin. Time-Frequency/Time-Scale Analysis. Acade-mic Press, San Diego, 1999.[4] D. Goldfarb. A Family of Variable-Metric Methods Deri-ved by Variational Means. Mathematics of Computation,24(109) :23–26, 1970.[5] F. Jaillet and B. Torrésani. Time-Frequency Jigsaw Puzzle :Adaptive multiwindow and multilayered Gabor expan-sions. International Journal of Wavelets Multiresolutionand Information Processing, 5(2) :293–315, 2007.[6] A. Rényi. On Measures of Entropy and Information. In 4thBerkeley Symposium on Mathematical Statistics and Pro-bability, volume 1, pages 547–561, 1960.[7] B. Ricaud, G. Stempfel, B. Torrésani, C. Wiesmeyr, H. La-chambre, and D. Onchis. An optimally concentrated Ga-bor transform for localized time-frequency components.Advances in Computational Mathematics, 40(3) :683–702,2013.[8] C. Wiesmeyr, N. Holighaus, and P. Sondergaard. Effi-cient Algorithms for Discrete Gabor Transform on a Non-separable Lattice. IEEE Trans. on Signal Processing,61(20) :5131–5142, 2013.

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