We give an asymptotic formula for the quadratic total variation of the sequence of fractional parts of the quotients of a positive real number by the consecutive natural numbers

Balazard, Michel

HAL AMU

Sur la variation quadratique totale de la suite desparties fractionnaires des quotients d’un nombre re´elpositif par les nombres entiers naturels conse´cutifsMichel BalazardTo cite this version:Michel Balazard. Sur la variation quadratique totale de la suite des parties fractionnaires desquotients d’un nombre re´el positif par les nombres entiers naturels conse´cutifs. 2016. <hal-01329292>HAL Id: hal-01329292https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01329292Submitted on 8 Jun 2016HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Sur la variation quadratique totale de la suite des partiesfractionnaires des quotients d’un nombre réel positif par lesnombres entiers naturels consécutifsMichel BalazardAbstractWe give an asymptotic formula for the quadratic total variation of the sequence of fractional partsof the quotients of a positive real number by the consecutive natural numbers :∑n>1({x/(n+ 1)} − {x/n})2=ζ(3/2)pix1/2 +O(x3/7).KeywordsFractional part, quadratic total variationMSC classification : 11N371 Énoncé du résultatPosonsQ(x) =∑n>1({x/(n + 1)} − {x/n})2 (x > 0),où {t} = t − ⌊t⌋ désigne la partie fractionnaire du nombre réel t, et ⌊t⌋ sa partie entière. Leprésent document est annexe à l’article [1] et a pour objet la démonstration du résultat suivant,mentionné dans [1].Théorème On aQ(x) =ζ(3/2)pix1/2 +O(x3/7) (x > 0).La démonstration est similaire à celle du théorème de [1]. Nous reprenons l’ensemble desnotations de cet article.12 Démonstration du théorèmePosons donc, pour d ∈ N,Qd(x) =∑n>1[⌊x/n⌋ − ⌊x/(n + 1)⌋ = d] · ({x/n} − {x/(n + 1)})2 ,où nous avons utilisé la notation d’Iverson : [P ] = 1 si la proposition P est vraie, 0 sinon.Nous allons évaluer la quantité Qd(x) pour tout d.2.1 Contribution des grandes valeurs de dOn a d’abord, comme dans le cas de la fonction W de [1] :∑d>DQd(x) <√x/(D − 1) (1)pour D > 1 et x > 0.2.2 Estimation de Q0(x)On aQ0(x) =∑06k6x∑x/(k+1)<n6x/k−1x2/n2(n+ 1)2= ∆1(x)−∆2(x),où∆1(x) = x2∑06k6K∑x/(k+1)<n6x/k1/n2(n+ 1)2∆2(x) = x2∑06k6K1/⌊x/k⌋2(⌊x/k⌋ + 1)2 ,etK = K(x) = ⌊√x+ 1/4 − 1/2⌋.Si x > 2, on a K > 1 et∆1(x) = x2∑n>x/(K+1)(n−4 +O(n−5))= x2(K3 +O(K2)3x3+O(K4/x4))=√x3+O(1) ,2et∆2(x) = x2∑06k6K(k4/x4 +O(k5/x5))=K5 +O(K4)5x2+O(K6/x3)=√x5+O(1).Par conséquent,Q0(x) =2√x15+O(1) (2)2.3 Calcul de Qd(x) pour d positifAvec des notations correspondant à celles de [1], nous évaluons maintenantQd,1(x) =∑Kd−1<k6Kd−1∑x/(k−d+1)−1<n6x/k(d− xn(n+ 1))2=∑Kd−1<k6Kd−1(d2(⌊x/k⌋ − ⌊x/(k − d+ 1)⌋ + 1) − 2dx( 1⌊x/(k − d+ 1)⌋ −1⌊x/k⌋+ 1)+ x2(F (x/(k − d+ 1))− F (x/k + 1))),oùF (t) =∑n>t−11n2(n+ 1)2·On se ramène ensuite à des sommes (d− 1)-télescopiques en utilisant la fonctionϕ(t) =1⌊t⌋ −1⌊t⌋+ 1,et en notant queF (t+ 1) = F (t)− ϕ(t)2.Ainsi,Qd,1(x) = d2∑Kd−d<k6Kd−1⌊x/k⌋ − d2∑Kd−1−d+1<k6Kd−1⌊x/k⌋+ d2(Kd −Kd−1 − 1)+ 2dx∑Kd−d<k6Kd−11⌊x/k⌋ − 2dx∑Kd−1−d+1<k6Kd−11⌊x/k⌋ − 2dx∑Kd−1<k6Kd−1ϕ(x/k)− x2∑Kd−d<k6Kd−1F (x/k) + x2∑Kd−1−d+1<k6Kd−1F (x/k) + x2∑Kd−1<k6Kd−1ϕ(x/k)2.3De même,Qd,2(x) = −d2∑Kd+1−d−1<k6Kd+1⌊x/k⌋+ d2∑Kd−d<k6Kd+1⌊x/k⌋ − d2(Kd+1 −Kd − 1)− 2dx∑Kd+1−d−1<k6Kd+11⌊x/k⌋ + 2dx∑Kd−d<k6Kd+11⌊x/k⌋ + 2dx∑Kd+1<k6Kd+1ϕ(x/k)+ x2∑Kd+1−d−1<k6Kd+1F (x/k) − x2∑Kd−d<k6Kd+1F (x/k) − x2∑Kd+1<k6Kd+1ϕ(x/k)2.Enfin,Qd,3(x) =∑xKd+1<k6 xKd(d− xn(n+ 1))2= d2(⌊x/Kd⌋ − ⌊x/(Kd + 1)⌋) − 2dx( 1⌊x/(Kd + 1)⌋+ 1− 1⌊x/Kd⌋+ 1)+ x2(F(x/(Kd + 1) + 1) − F (x/Kd + 1)).L’addition des formules obtenues pour Qd,1, Qd,2 et Qd,3 donneQd(x) =(2∑Kd−d<k6Kd−∑Kd+1−d−1<k6Kd+1−∑Kd−1−d+1<k6Kd−1)(d2⌊x/k⌋ + 2dx/⌊x/k⌋ − x2F (x/k))−( ∑Kd<k6Kd+1−∑Kd−1<k6Kd)(d− xϕ(x/k))2. (3)2.4 Estimation de Qd(x) pour d positif2.4.1 Estimations complémentaires concernant KdLes propositions suivantes n’étaient pas utiles pour démontrer le résultat de [1], mais nousen aurons l’usage pour l’estimation de Qd(x).Proposition 1 Pour 0 6 d 6 x, on aKd(x) =√dx+d2+O(d3/2x−1/2) +O(1).Démonstration4On aKd(x) = ⌊(d+√d2 + 4dx )/2⌋=√dx (1 + d/4x)1/2 + d/2 +O(1)=√dx+d2+O(d3/2x−1/2) +O(1). 2Proposition 2 Pour 0 6 d 6 x, on a∑Kd−d<k6Kdk = d√dx+O(d5/2x−1/2) +O(d).DémonstrationOn a∑Kd−d<k6Kdk =12(K2d +Kd − (Kd − d)2 −Kd + d)= dKd − d22+d2= d√dx+O(d5/2x−1/2) +O(d) ,d’après la proposition 1. 2Proposition 3 Pour 0 6 d 6 x, on a∑Kd−d<k6Kdk3 = x(d2√dx+O(d7/2x−1/2) +O(d2)).DémonstrationOn a∑Kd−d<k6Kdk3 =14(K4d − (Kd − d)4)+12(K3d − (Kd − d)3)+14(K2d − (Kd − d)2)= dK3d −32d(d− 1)K2d +O(d3Kd) (puisque d 6 Kd)= d(d3/2x3/2 +32d2x+O(d5/2x1/2) +O(dx)) − 32d(d− 1)(dx+O(d3/2x1/2))+O(d7/2x1/2)(d’après la proposition 1)= x(d2√dx+O(d7/2x−1/2) +O(d2)). 25Proposition 4 Pour 0 6 d 6 x, on a∑Kd<k6Kd+1k4 =(d+ 1)2√d+ 1− d2√d5x5/2 +O((d+ 1)2x2).DémonstrationSoit P le polynôme tel que∑k6Kk4 = P (K) (K ∈ N).Le terme de plus haut degré de P (K) est K5/5. Par conséquent, si d est fixé, on a∑Kd<k6Kd+1k4 ∼ (d+ 1)2√d+ 1− d2√d5x5/2 (x→∞).Maintenant, soitQ(X,Y ) =P (X) − P (Y )X − Y ·Cette fraction rationnelle est en fait un polynôme de degré 4. Notons Q4(X,Y ) sa partie homo-gène de degré 4, et R = Q−Q4, de sorte que R est de degré 3.La contribution de chaque monôme de Q4 à la quantité Q4(Kd+1,Kd) est de la forme c(d)x2+O((d+1)5/2x3/2)où la fonction c(d) dépend du monôme considéré, mais est toujours O((d+1)2).D’autre part, R(Kd+1,Kd) = O((d+ 1)3/2x3/2). On en déduit queP (Kd+1)− P (Kd) = (Kd+1 −Kd)(C(d)x2 +O((d+ 1)5/2x3/2)),où C(d) est la somme des c(d). En particulier, C(d) = O((d + 1)2). En utilisant maintenant laproposition 2 de [1], on obtientP (Kd+1)− P (Kd) = C1(d)x5/2 +O((d+ 1)2x2),pour une certaine constante C1(d), qui vaut nécessairement(d+ 1)2√d+ 1− d2√d5· 22.4.2 Estimation de la fonction FNous utiliserons l’estimation suivante.6Proposition 5 Pour t > 1 on aF (t) =13⌊t⌋3 +O(1/t5).DémonstrationOn a l’identité3n2(n+ 1)2=1n3− 1(n + 1)3− 1n3(n+ 1)3,doncF (t) =∑n>t−11n2(n+ 1)2=13∑n>t−1( 1n3− 1(n+ 1)3)+∑n>t−1O(n−6)=13⌊t⌋3 +O(1/t5). 22.4.3 Estimation préliminaire concernant les sommants de (3)La quantitéd2⌊x/k⌋ + 2dx/⌊x/k⌋ − x2F (x/k)apparaît dans (3). Nous en donnons maintenant une estimation.Proposition 6 Pour 0 < d 6 x/2, on ad2⌊x/k⌋ + 2dx/⌊x/k⌋ − x2F (x/k) = 2d√dx+ kd− k33x+O(d5/2x−1/2) (Kd − d < k 6 Kd).DémonstrationSupposons donc 0 < d 6 x/2 et Kd − d < k 6 Kd. On a d’abord, d’après la proposition 5,x2F (x/k) = x2/3⌊x/k⌋3 +O(k5/x3) ,et le terme d’erreur est bien O(d5/2x−1/2) puisque k 6 Kd ≪√dx.Ensuite, la proposition 4 de [1] nous donned2⌊x/k⌋+ dx/⌊x/k⌋ = 2d√dx+O(d5/2x−1/2).On a doncd2⌊x/k⌋ + 2dx/⌊x/k⌋ − x2F (x/k) = 2d√dx+ dx/⌊x/k⌋ − x2/3⌊x/k⌋3 +O(d5/2x−1/2).7Maintenantdx/⌊x/k⌋ − x2/3⌊x/k⌋3 = dxx/k − {x/k} −x23(x/k − {x/k})3= kd(1 + k{x/k}/x +O(k2/x2)) − k33x(1 + 3k{x/k}/x +O(k2/x2))= kd− k33x− (k4/x2 − k2d/x){x/k} +O(d5/2x−1/2).Enfink4/x2 − k2d/x = k2(k +√dx)(k −√dx)/x2≪ d5/2x−1/2puisque k −√dx≪ d (cf. [1], (17)). 22.4.4 Estimation des trois premières sommes de (3)Proposition 7 Pour 0 < d 6 x/2, on a∑Kd−d<k6Kd(d2⌊x/k⌋+ 2dx/⌊x/k⌋ − x2F (x/k)) = 83d2√dx+O(d7/2x−1/2) +O(d2). (4)DémonstrationLa proposition 6 nous donne :∑Kd−d<k6Kd(d2⌊x/k⌋+2dx/⌊x/k⌋−x2F (x/k)) = 2d2√dx+ ∑Kd−d<k6Kd(kd−k3/3x)+O(d7/2x−1/2)La proposition découle de cette expression et des propositions 2 et 3.. 2Proposition 8 Pour 0 < d+ 1 6 x/2, on a∑Kd+1−d−1<k6Kd+1(d2⌊x/k⌋+ 2dx/⌊x/k⌋ − x2F (x/k)) =8d2 + 4d− 13√(d+ 1)x+O(d7/2x−1/2) +O(d2). (5)Démonstration8On a∑Kd+1−d−1<k6Kd+1(d2⌊x/k⌋+ 2dx/⌊x/k⌋ − x2F (x/k)) =∑Kd+1−d−1<k6Kd+1((d+ 1)2⌊x/k⌋+ 2(d + 1)x/⌊x/k⌋ − x2F (x/k))−∑Kd+1−d−1<k6Kd+1((2d + 1)⌊x/k⌋ + 2x/⌊x/k⌋). (6)La première somme du second membre de (6) vaut83(d+ 1)2√(d+ 1)x+O(d7/2x−1/2) +O(d2)d’après la proposition 7.En utilisant l’estimationxk=√x/(d+ 1) +O(1) (Kd+1 − d− 1 < k 6 Kd+1) ,on voit que la seconde somme du second membre de (6) vaut∑Kd+1−d−1<k6Kd+1((2d+ 1)⌊x/k⌋ + 2x/⌊x/k⌋) = (4d + 3)√(d+ 1)x+O(d2).La proposition s’en déduit. 2Proposition 9 Pour 0 6 d− 1 6 x/2, on a∑Kd−1−d+1<k6Kd−1(d2⌊x/k⌋+2dx/⌊x/k⌋−x2F (x/k)) = 8d2 − 4d− 13√(d− 1)x+O(d7/2x−1/2)+O(d2).(7)DémonstrationSi d = 1 le résultat est trivial. Si d > 1, on a∑Kd−1−d+1<k6Kd−1(d2⌊x/k⌋ + 2dx/⌊x/k⌋ − x2F (x/k)) =∑Kd−1−d+1<k6Kd−1((d− 1)2⌊x/k⌋+ 2(d− 1)x/⌊x/k⌋ − x2F (x/k))+∑Kd−1−d+1<k6Kd−1((2d − 1)⌊x/k⌋ + 2x/⌊x/k⌋). (8)9La première somme du second membre de (8) vaut83(d− 1)2√(d− 1)x+O(d7/2x−1/2) +O(d2)d’après la proposition 7.En utilisant l’estimationxk=√x/(d− 1) +O(1) (Kd−1 − d+ 1 < k 6 Kd−1) ,on voit que la seconde somme du second membre de (8) vaut∑Kd−1−d+1<k6Kd−1((2d− 1)⌊x/k⌋ + 2x/⌊x/k⌋) = (4d− 3)√(d− 1)x+O(d2).La proposition s’en déduit. 22.4.5 Estimation des deux dernières sommes de (3)En utilisant la proposition 2 de [1], on obtient−d2(Kd+1 − 2Kd +Kd−1) = −d2(√d+ 1 +√d− 1− 2√d )√x+O(d2) (9)En utilisant la relation asymptotiqueϕ(t) =1t2+O(1/t3) (t > 1)et la proposition 3 de [1], on obtient2dx( ∑Kd<k6Kd+1−∑Kd−1<k6Kd)ϕ(x/k) =2d3((d+ 1)√d+ 1 + (d− 1)√d− 1− 2d√d)√x+O(d2). (10)Enfin, en utilisant la relation asymptotiqueϕ(t)2 =1t4+O(1/t5) (t > 1)et la proposition 4, on obtient− x2( ∑Kd<k6Kd+1−∑Kd−1<k6Kd)ϕ(x/k)2 =− 15((d+ 1)2√d+ 1 + (d− 1)2√d− 1− 2d2√d)√x+O(d2). (11)102.4.6 Estimation de Qd(x)En insérant (4), (5), (7), (9), (10) et (11) dans (3), on obtient la proposition suivante.Proposition 10 Pour d ∈ N∗ et x > 0, on aQd(x) = ϑ(d)√x+O(d2).oùϑ(d) =32d25√d− 48d2 + 16d− 215√d+ 1− 48d2 − 16d− 215√d− 1.DémonstrationIl s’agit de voir que l’on peut omettre le terme d’erreur O(d7/2x−1/2) et la contrainte d+1 6x/2.Si d 6 x1/3, ce terme d’erreur est absorbé par le O(d2). D’autre part, en utilisant l’approxi-mation √d± 1 =√d(1± 1/2d − 1/8d2 ± 1/16d3 +O(d−4)) ,on voit que ϑ(d) = O(d−3/2). La majoration uniforme Qd(x)≪√x/d montre alors queQd(x)− ϑ(d)√x≪ d (d > x1/3),ce qui permet encore d’omettre le terme d’erreur O(d7/2x−1/2). Enfin, l’énoncé de la propositionest trivial si d > x/2− 1. 22.5 Sommation de la série des ϑ(d)Puisque ϑ(d) = O(d−3/2), la série∑d>1 ϑ(d) converge ; nous allons calculer sa somme.En écrivantϑ(d) =165(d5/2 − (d+ 1)5/2)− 165((d− 1)5/2 − d5/2)+163((d+ 1)3/2 − (d− 1)3/2)− 2(d+ 1)1/2 − 2(d − 1)1/2.et et en supposant D entier positif, on obtient comme dans [1], §2.5,∑d6Dϑ(d) = − 215− 165((D + 1)5/2 −D5/2) (12)+163((D + 1)3/2 +D3/2)− 2((D + 1)1/2 −D1/2)− 4D∑d=1√d= − 215+ζ(3/2)pi+O(D−1/2). (13)112.6 ConclusionPour x > 0 et D > 2, on aQ(x) = Q0(x) +∑16d6DQd(x) +∑d>DQd(x)=215√x+O(1) +∑16d6D(ϑ(d)√x+O(d2))+O(√x/D) (d’après (2), la proposition 10, et (1))=(2/15 +∞∑d=1ϑ(d))√x+O(D3) +O(√x/D)(car ϑ(d) = O(d−3/2))=ζ(3/2)pi√x+O(x3/7),d’après (13), et en choisissant D = x1/7.Références[1] M. Balazard – « Sur la variation totale de la suite des parties fractionnaires des quotientsd’un nombre réel positif par les nombres entiers naturels consécutifs », à paraître au Mosc.J. Comb. Number Theory.BALAZARD, MichelAix Marseille Université, CNRS, Centrale Marseille, I2M UMR 737313453, MarseilleFRANCEAdresse électronique : balazard@math.cnrs.fr12

Sur la variation quadratique totale de la suite des parties fractionnaires des quotients d'un nombre réel positif par les nombres entiers naturels consécutifs

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01329292

Sur la variation quadratique totale de la suite des parties fractionnaires des quotients d'un nombre réel positif par les nombres entiers naturels consécutifs

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

HAL AMU