Procesos de Hurts y movimientos brownianos fraccionales en mercados fractales

Abstract

El supuesto de independencia en la definición del movimiento browniano que es el proceso estocástico utilizado en la deducción de la ecuación del modelo Black-Scholes y la valuación de derivados es cuestionado en el presente trabajo. Los resultados de la aplicación de la metodología (R/S) de la teoría de fractales para la determinaci¢n del coeficiente Hurst, revelan un comportamiento de memoria larga en algunas variables de mercado de México y Estados Unidos. El movimiento browniano fraccional (MBF) es un proceso estocástico más general, que, como caso particular, en los procesos independientes incluye al movimiento browniano. A partir de este proceso y con bases matemáticas más generales construidas desde un espacio de Hilbert se recuperan ideas y conceptos de las finanzas del mercado Black-Scholes como son las probabilidades condicionadas, las martingalas y el Lema de Ito. Con base en estos nuevos procesos y herramientas se deduce una forma más general de valuación de derivados y la ecuación Black-Scholes, así como la ecuación general de bonos y la estructura de plazos del modelo de tasas de Vasicek, sobre todo para casos en donde las series financieras muestran comportamientos de persistencia. Esta generalización también puede extenderse al método H-J-B para la determinación del consumo óptimo en un proceso browniano fraccional, en donde además del activo subyacente, también se propone modelar la volatilidad con un segundo proceso browniano fracci¢n al independiente del primero. Al final se deduce una ecuación Black-Scholes generalizada para un derivado cuyo subyacente y su volatilidad son modelados por MBF.Browniano Fraccional, procesos estocásticos, ecuación de Black-Scholes