International audienceIl arrive que des résultats mathématiques très abstraits aient des retombées " concrètes " surprenantes. En 1986, le mathématicien Kenneth Falconer, spécialiste de la théorie des fractales, était loin de penser qu'un de ses théorèmes mènerait à un objet commercialisé... http://images.math.cnrs.fr/Un-cadran-solaire-digital.htm

Ghys, Etienne

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Un cadran solaire digitalEtienne GhysTo cite this version:Etienne Ghys. Un cadran solaire digital. Images des Mathe´matiques, CNRS, 2008,http://images.math.cnrs.fr/Un-cadran-solaire-digital.html. <hal-00590215>HAL Id: hal-00590215https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00590215Submitted on 3 May 2011HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.SUn cadran solaire digitalou, comment bien dépenser 91€Le 28 octobre 2008, par Étienne GhysDirecteur de recherche CNRS, École Normale Supérieure de Lyon(page web)Il  arrive  que  des  résultats  mathématiques  très  abstraits  aient  des  retombées« concrètes »  surprenantes.  En  1986,  le  mathématicien  Kenneth  Falconer,spécialiste de la théorie des fractales, était loin de penser qu’un de ses théorèmesmènerait à un objet commercialisé...UPPOSONS qu’on observe un objet X dans l’espace en en faisant le tour et en prenant parexemple  des  photographies  dans  toutes  les  directions.  Comme  nous  sommesmathématiciens, nous n’hésitons pas à dire que nous avons une infinité de photographies,une pour chaque direction ! Réciproquement, supposons maintenant qu’on dispose d’uneinfinité de photos, une pour chaque direction. Existe-il un objet X dans l’espace dont les photossont celles dont on dispose ? Par exemple, si toutes nos photos représentent toujours le mêmedisque,  alors  on  sait  bien  que  X  peut  être  une  boule.  Mais  si  par  exemple,  certaines  photosreprésentent un rectangle et d’autres un disque ? Alors X  est peut-être un cylindre, qui est vucomme un disque par en haut et comme un rectangle quand on le regarde de côté.Falconer  démontre  alors  le  théorème qu’un tel  objet  X  existe  toujours,  quelles  que soient  lesphotos dont on dispose.Voici un énoncé plus précis, que le lecteur peut ne pas lire s’il le souhaite.Supposons que l’on dispose pour chaque plan P passant par l’origine dans l’espace, d’une partie  dece plan (une photo placée dans ce plan). Alors, il existe un objet X dans l’espace tel que lorsqu’on leprojette orthogonalement (i.e. lorsqu’on photographie) sur (presque) tous les plans P, la projection est(presque) . Pour être encore plus précis, il faut dire que les mots "presque’’ sont pris au sens de lamesure de Lebesgue, qui est l’une des formulations mathématiques les plus adaptées à notre problème.Pour être encore plus précis, il faudrait dire que  dépend mesurablement de P mais le lecteur nonmathématicien peut ne pas lire cela et le mathématicien peut aller consulter l’article de K. Falconer.Pour illustrer son théorème, un peu comme une plaisanterie, Falconer a l’idée d’un cadran solairedigital.« Il est possible, au moins en théorie, de construire un ensemble dans l’espace dont l’ombre àpresque tout moment de la journée donne l’heure écrite en chiffres » écrit-il dans son article.X PX PX Phttp://images.math.cnrs.fr/Un-cadran-solaire-digital.htmlVoici le dessin qu’il inclut.En 1986, il aurait été bien surpris d’entendre qu’un jour un brevet serait déposé et qu’on pourraitacheter sur internet un cadran solaire digital pour la somme de 91 € !C’est pourtant ce qui fut fait par H. Scharstein, W. Krotz-Vogel et D. Scharstein.On peut acheter l’objet surhttp://www.digitalsundial.com/order...Voici une photographie du cadran.http://images.math.cnrs.fr/Un-cadran-solaire-digital.htmlAinsi, lorsque l’on installe son cadran solaire digital dans son jardin, convenablement orienté biensûr, l’ombre du soleil indique l’heure en chiffres directement sur le cadran ! Incroyable mais vrai.Une indication sur le preuve du théorème de Falconer ? Le principe est celui des stores vénitiens.La lumière du soleil est bloquée par un store vénitien dans presque toutes les directions et passesans  difficultés  dans  les  directions  parallèles  aux  lattes  du  store.  Si  l’on  superpose  un  grandnombre de stores, orientés dans de multiples directions, on peut faire en sorte que la lumière passedans certaines directions et pas dans d’autres, un peu selon notre souhait. C’est l’idée générale...Pour plus de détails, le lecteur a deux possibilités. La première est de lire l’article de K. Falconer,s’il est suffisamment versé en mathématiques.Falconer, K. J. Sets with prescribed projections and Nikodým sets. Proc. London Math. Soc. (3) 53(1986), no. 1, 48—64.La seconde, pour les bricoleurs, est de lire brevet qui contient tous les détails :http://community.middlebury.edu/~sc...Pour la petite histoire, K. Falconer m’a fait une démonstration de « son » cadran solaire digitaldans son bureau de l’Université de St Andrews en Écosse. Il m’a expliqué qu’il n’est pas facilepour lui de l’utiliser car d’une part le soleil n’est pas si ardent en Écosse, et d’autre part son bureauest orienté au nord ! Il en est donc réduit à montrer le fonctionnement de son cadran grâce à unelampe de poche. Fidèle à la tradition du mathématicien « pur », il n’avait pas pensé à déposer unbrevet pour son idée... mais l’entreprise Digital Sundial International qui fabrique le cadran a eu lagentillesse de lui envoyer un exemplaire gratuit !Bien sûr, le cadran indique l’heure solaire et pas l’heure légale ! Voir l’article.Kenneth  Falconer  a  écrit  un  livre  remarquable  (et  pas  trop  difficile  à  lire  si  vous  avez  uneformation mathématique) sur la géométrie fractale :Fractal Geometry : Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sonshttp://images.math.cnrs.fr/Un-cadran-solaire-digital.htmlJe vois sur Amazon.com qu’on peut acheter ce livre pour 165,83 € et il est peut-être préférabled’acheter un cadran à 91€ ! mais on peut aussi acheter des exemplaires d’occasion du livre pour15,09 € !Crédits imagesPour citer cet article : Étienne Ghys, Un cadran solaire digital. Images des Mathématiques, CNRS,2008. En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Un-cadran-solaire-digital.htmlhttp://images.math.cnrs.fr/Un-cadran-solaire-digital.html

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