Boulton, Lyonell

Rosas Celis, Mercedes Helena

Rosas Celis, Mercedes

Secretaría de Estado de Cultura

Sumando la Derivada de la Serie Geométrica

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

Bolet´ın de la Asociacio´n Matema´tica Venezolana, Vol. X, No. 1 (2003) 89MATEMA´TICAS RECREATIVASSumando la Derivada de la Serie Geome´tricaLyonell Boulton y Mercedes H. Rosas1. Introduccio´nJacobo Bernoulli (1654 – 1705) publica Tractatus de Seriebus Infinitas en1689. En esta obra, el primero de la dinast´ıa de los Bernoulli, demostrara´ ladivergenia de la serie armo´nica y estudiara´ la nocio´n de convergencia. Tambie´nconseguira´ la suma de unas pocas series, logrando reducirlas a geome´tricas ytelesco´picas.Pese a todo el desarrollo que ha sufrido la matema´tica desde finales del sigloXVII, no son muchas las series que podemos sumar de manera exacta. En suTractatus, Bernoulli plantea lo que se conocera´ posteriormente como el “prob-lema de Basilea”: Se desea conocer la suma de los rec´ıprocos de los cuadradosde los nu´meros naturales. La historia de la solucio´n de este problema coincidecon una e´poca de grandes cambios en la manera de concebir las matema´ticas.En el oton˜o de 1666 el joven Isaac Newton (1643 – 1727) inventa el ca´lculomatema´tico. Un an˜o antes ha probado su famoso teorema del binomio. Newtonguardara´ celosamente sus resultados. No es sino hasta el an˜o de 1687 que pu-blicara´ Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (o Principia Matema´ticacomo se le conoce actualmente), y esperara´ hasta 1711 para publicar Analysisper Quantitatum Series, Fluxiones. A partir de 1675 el filo´sofo y matema´ticoGottfried Leibniz (1640 – 1716) desarrolla el ca´lculo de manera independientede Newton. Al contrario de e´ste, Leibniz decide comunicar sus resultados, pu-blica´ndolos en 1684, y es gracias al segundo que las academias de finales delsiglo XVII comienzan a hacer uso de esta poderosa herramienta.En 1705 muere Jacobo Bernoulli sin conocer la solucio´n al problema deBasilea y sin ver publicada su obra, Ars Conjectandi, un tratado donde de-sarrolla la teor´ıa de probabilidades, el cual aparece posteriormente en 1713.El problema de Basilea intriga a grandes matema´ticos de la e´poca como Jo-hann y Daniel Bernoulli, Leibniz, Stirling y de Moivre. Todos ellos tratan deresolverlo, sin e´xito. En el an˜o de 1731, un joven estudiante del hermano de Ja-cobo, Johann Bernoulli (1667 – 1748), sorprende a su maestro con una solucio´nmuy ingeniosa. Leonhard Euler (1707 – 1783) demuestra que el problema deBasilea tiene solucio´n pi2/6, utilizando las funciones sime´tricas. En 1748 Eulerpublicara´ Introductio in Analysin Infinitorum, en donde revoluciona el ca´lculomatema´tico al definir el concepto de funcio´n y estudiar de manera sistema´ticasus expansiones en series.90 L. Boulton, M. RosasHoy en d´ıa, las nociones de derivada y expansio´n en series de una funcio´n,permiten hallar la suma exacta de series infinitas como∞∑n=1np2ndonde p = 0, 1, 2, · · ·Para el caso p = 0, no tenemos otra cosa que la serie geome´trica evaluada en1/2. Para p > 0, lo que tenemos es el te´rmino principal de la derivada de e´sta,evaluado en ese mismo punto. Para hallar la suma, debemos derivar p veces a1/(1 − z), aislar el te´rmino principal de manera que so´lo dependa de series delmismo tipo con potencias p de menor o´rden, y luego evaluar en z = 1/2. Sinembargo, como hemos comentado, esta forma de proceder no se invento´ sinohasta mediados del siglo XVIII.A continuacio´n mostramos —haciendo un ejercicio de imaginacio´n— que esposible sumar estas series con las herramientas matema´ticas desarrolladas hasta1689, sin incluir las ideas del ca´lculo. Es decir, es perfectamente plausible queJacobo Bernoulli hubiese podido sumar de manera exacta estas series. Se sabeque ciertamente resolvio´ los casos p = 0 y p = 1, pero no se sabe de ningunafuente que indique que conoc´ıa la solucio´n para los otros casos.2. Las tres primeras derivadas de la serie geome´tricaComencemos con el caso p = 0. El famoso papiro de Rhind, actualmenteen el British Museum de Londres, muestra que ya los egipcios sab´ıan co´mosumar la serie geome´trica. Hoy en d´ıa conocemos varias maneras de hacer e´sto.Por ejemplo, el siguiente dibujo ilustra a un recta´ngulo de a´rea uno. Si lo des-componemos como una unio´n de recta´ngulos ma´s pequen˜os, podemos calcularsu a´rea, sumando el a´rea de cada uno de los pedazos, [2],1/41/81/32...1/641/161/2Figura 1:Ambos resultados han de ser iguales, as´ı que∞∑n=112n=12+14+18+116+ · · · = 1.sumando la derivada de la serie geome´trica 91Ahora que sabemos co´mo sumar la serie geome´trica, podemos intentar hacerlo mismo con su derivada, [1]. Deseamos encontrar el valor de∑∞n=1n2n. Paraello, cada sumando de esta serie puede ser colocado en las filas del siguientearreglo cuya suma se puede calcular de manera sencilla hallando la suma decada columna:1/2 1/4 1/4 1/8 1/8 1/8 1/16 1/16 1/16 1/16 . . . .. . . .. . . .1 1/2 1/4 1/8+ + + = 2 = + ... Figura 2:Obtenemos as´ı que∞∑n=1n2n=12+222+323+424+ · · · = 2.Veamos que´ podemos hacer ahora para sumar la segunda derivada de la seriegeome´trica. Ahora debemos hallar∞∑n=1n22n=12+2222+3223+4224+ · · · (1)Para esto construimos una pira´mide como la que ilustra la figura 4, a base decubos del mismo taman˜o, y tales que el peso de los cubos en cada nivel, es lamitad del peso de los del nivel superior. El tope de esta pira´mide pesa mediaunidad. Para calcular cua´nto suma la serie (1), debemos conseguir el peso totalde la pira´mide. La pared exterior pesa92 L. Boulton, M. RosasFigura 3:Si descomponemos nuestra pira´mide por capas como lo indican los colores de lasiguiente figura,Figura 4:concluimos que la serie (1) suma 6.Ahora, si fuese nuestra intencio´n sumar la tercera derivada de la serie geo-me´trica utilizando el mismo procedimiento, tendr´ıamos que saber dibujar encuatro dimensiones. Como no es el caso, una pequen˜a modificacio´n del argu-mento anterior nos permitira´ quedarnos dentro del espacio de tres dimensiones.Queremos demostrar que12+2322+3323+4324+ · · · = 26. (2)Para esto construimos una pira´mide como la que ilustra la figura 6, a base decubos cuyo peso disminuye a la mitad siempre que bajamos un nivel. El pesosumando la derivada de la serie geome´trica 93total de esta pira´mide corresponde con la suma de la serie (2). El peso de lapared exterior es 10:Figura 5:Las tapas superiores de cada nivel deben ser pesadas por separado, recordandoque ya la pared exterior ha sido tomada en cuenta. Esto se logra formando conestos cubos una nueva pira´mide como la ya utilizada en la figura 3, teniendo encuenta que el tope ahora comienza pesando 1/4. En consecuencia la suma totalde la serie (2) esFigura 6:94 L. Boulton, M. Rosas3. Derivadas de orden superiorDeseamos ahora construir argumentos del mismo estilo, para hallar la sumade las derivadas de orden superior de la serie geome´trica. Es decir, queremoshallar∞∑n=pnp2n=12+2p22+3p23+ · · ·donde p = 4, 5, . . .. Para ello procedemos de manera ana´loga al caso p = 1ya discutido, pero cambiando convenientemente el peso de cada cuadrado. Porejemplo, para p = 2, tenemos1/2 2/4 2/4 3/8 3/8 3/8 4/16 4/16 4/16 4/16 Figura 7:Sumando por columnas, se obtiene∞∑n=1n22n=∞∑n=1n2n+∞∑n=1n + 12n+1+ . . . +∞∑n=1n + k2n+k+ . . .=∞∑n=1∞∑k=0n + k2n+k=∞∑n=1∞∑k=0n2n+k+∞∑n=1∞∑k=0k2n+k=∞∑n=1n2n∞∑k=012k+∞∑n=112n∞∑k=1k2k= 2 · 2 + 1 · 2 = 6.Se puede observar que el arreglo de la figura 7 no es ma´s que una proyeccio´nal plano de la pira´mide construida en la figura 4, donde cada casilla indica lasuma del peso de los bloques en direccio´n perpendicular a la proyeccio´n.Queremos generalizar este argumento para p + 1 = 4, 5, . . .. Para esto debe-mos considerar los arreglos descritos en la siguiente figurasumando la derivada de la serie geome´trica 951p/2 2p/4 2p/4 3p/8 3p/8 3p/8 4p/16 4p/16 4p/16 4p/16 Figura 8:cuya suma de nuevo se obtiene calculando por separado el peso de cada columna.Asumimos, por induccio´n, que sabemos calcular la suma de las derivadas deorden menor o igual a p, y obtenemos∞∑n=1np+12n=∞∑n=1np2n+∞∑n=1(n + 1)p2n+1+ . . . +∞∑n=1(n + k)p2n+k+ . . .=∞∑n=1np2n+∞∑k=1∞∑n=1(n + k)p2n+k=∞∑n=1np2n+∞∑k=1∞∑n=112n+kp∑j=0(pj)np−jkj=∞∑n=1np2n+p∑j=0(pj) ∞∑k=1kj2k∞∑n=1np−j2n.Esto proporciona una manera recursiva de calcular las sumas de las derivadasp-e´simas de la serie armo´nica. SiS(p) =∞∑n=1np2ny S(1) = 1,S(p + 1) = S(p) +p∑j=0(pj)S(j) S(p − j).Por ejemplo para el caso p + 1 = 3 obtenemos∞∑n=1n32n= 6 + 1 · 6 + 2 · 2 · 2 + 6 · 1 = 26,96 L. Boulton, M. Rosaslo que confirma nuestra cuenta anterior, y e´ste permite hallar el caso p + 1 = 4,∞∑n=1n42n= 26 + 1 · 26 + 3 · 2 · 6 + 3 · 6 · 2 + 26 · 1 = 150.Es interesante observar que, as´ı como sucedio´ para p = 2, cada arreglo enlos casos p = 3, 4, . . . corresponde a la proyeccio´n plana de una pira´mide en elespacio p + 2 dimensional formada por cubos (p + 1)-dimensionales, y que elpeso de cada casilla corresponde a la suma del peso de los cubos en direccio´nperpendicular a la proyeccio´n.4. Preguntas y comentariosHemos obtenido la siguiente sucesio´n de nu´meros naturales 1, 2, 6, 26, 150, 1082,9366, 94586, 1091670, 14174522, 204495126, ... Es imposible evitar preguntarse:¿Que´ cuentan estos nu´meros? La respuesta podemos encontrarla en la pa´ginade N.J.A. Sloane:http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.htmlVisitando esta pagina en la internet, e introduciendo los primeros valores dela sucesio´n 1, 2, 6, 26, 150, · · · , el lector encontrara´ referencias acerca de lasiguiente informacio´n. La recursio´n S(p), cuenta el nu´mero de collares que sepueden construir con un conjunto de p de perlas etiquetadas. Adema´s S(p)es el nu´mero de secuencias de cuantificadores de primer orden, lo´gicamentediferentes, en las cuales ocurren p variables. Tambie´n se puede probar que estosnu´meros son coeficientes de las expansiones en serie de potencias centradas enel origen de − ln(2 − ex) y de su derivada ex/(2 − ex).Dejamos al lector las siguientes preguntas que nos parecen de intere´s general:¿El argumento geome´trico empleado servira´ para calcular la suma de algunaotra serie?¿Es posible hallar la suma de la derivada de la serie geome´trica utilizandoargumentos que involucren a la pira´mide de la figura 4 con cada uno de suscubos pesados de manera conveniente?En este caso, ¿que´ interpretracio´n geome´trica tendr´ıa esta manera de pro-ceder?5. Nota FinalLa referencia histo´rica de la seccio´n introductoria fue tomada del libro [1],cuya lectura recomendamos. Algunos detalles adicionales, como la informacio´ndel papiro de Rhind, fueron obtenidos de la pa´gina de Historia de la Matema´ticade la Universidad de Saint Andrews:http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~historysumando la derivada de la serie geome´trica 97Tambie´n se puede encontrar informacio´n sobre este papiro en la pa´gina oficialdel British Museum de Londreshttp://www.thebritishmuseum.ac.uk/Queremos agradecer a Argimiro Arratia por sus muy u´tiles sugerencias y aNerio Borges por su intere´s en este trabajo.Referencias[1] Dunham, William, Euler: The master of us all. The Dolciani MathematicalExpositions, 22. Mathematical Association of America, Washington, DC,1999.[2] Roger B. Nelsen, Proof without words II, Mathematical Association ofAmerica, Washington, DC, 2000.L. Boulton, M. RosasDepartamento de Matema´ticas Puras y AplicadasUniversidad Simo´n Bol´ıvar, Venezuela.lboulton@ma.usb.ve, mrosas@ma.usb.ve

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