En este trabajo se integra la ecuación no lineal de Schrödinger junto con condiciones de frontera absorbentes. Se han considerado elementos finitos lineales para la discretización espacial y se han acoplado, de manera adaptativa, las condiciones de frontera absorbentes construidas para una discretización análoga de la ecuación lineal de Schrödinger

Alonso Mallo, Isaías

Reguera López, Nuria

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y AplicacionesX Congreso de Matema´tica AplicadaSevilla, 24-28 septiembre 2007(pp. 1–5)Condiciones de frontera absorbentes para la ecuacio´n deSchro¨dinger no lineal discretizada con elementos finitosI. Alonso Mallo1, N. Reguera21 Dpto. de Matema´tica Aplicada, Universidad de Valladolid, Facultad de Ciencias, Prado de laMagdalena s.n., Valladolid. E-mail: isaias@mac.uva.es.2 Dpto. de Matema´ticas y Computacio´n, Universidad de Burgos, Escuela Polite´cnica Superior, Campusr´ıo Vena, Avda. Cantabria s.n, Burgos. E-mail: nreguera@ubu.es.Palabras clave: condiciones de frontera absorbentes, ecuacio´n no lineal de Schro¨dingerResumenEn este trabajo se integra la ecuacio´n no lineal de Schro¨dinger junto con condi-ciones de frontera absorbentes. Se han considerado elementos finitos lineales para ladiscretizacio´n espacial y se han acoplado, de manera adaptativa, las condiciones defrontera absorbentes construidas para una discretizacio´n ana´loga de la ecuacio´n linealde Schro¨dinger.1. Introduccio´nSon numerosas las situaciones que nos llevan a resolver nume´ricamente un problemade evolucio´n de ecuaciones en derivadas parciales definido en un dominio infinito. Paraello, es necesario restringir el problema a un subdominio acotado e imponer condicionesde frontera artificiales. Si la solucio´n de este nuevo problema coincide con la restriccio´nde la solucio´n del problema original, las condiciones de frontera se llaman transparentes(CFT). Sin embargo, aunque estas condiciones de frontera evitan la existencia de reflejoscuando la solucio´n llega a la frontera, suelen ser no locales y en la pra´ctica, muchas vecesse prefiere utilizar condiciones de frontera locales absorbentes (CFA). Estas condicionesde frontera se construyen como aproximacio´n de las CFT y permiten pequen˜os reflejos dela solucio´n. En la literatura existente en este campo, cabe destacar el trabajo pionero deEngquist y Majda [6] para la ecuacio´n de ondas. Tambie´n se han obtenido CFA para otrasmuchas ecuaciones, como la ecuacio´n lineal de Schro¨dinger [1, 2, 3, 4, 7],∂tu(x, t) =−ic(∂xxu(x, t) + V u(x, t)), (1)1I. Alonso Mallo, N. Regueradonde c y V son constantes reales. En [1, 2, 3, 7] se utilizan diferencias finitas para ladiscretizacio´n espacial de la ecuacio´n. Es ma´s, en [2, 3] las CFA son espec´ıficas de dichadiscretizacio´n espacial. Por el contrario, en [4] se construyen CFA para una discretizacio´nen espacio mediante elementos finitos lineales. Como se analiza en este trabajo, estas CFAtienen la ventaja de que se pueden acoplar a una discretizacio´n mediante elementos finitosde mayor orden en el domionio interior.En este trabajo consideramos la ecuacio´n no lineal de Schro¨dinger∂tu(x, t) = i(∂xxu(x, t) + ν|u(x, t)|2u(x, t)), (2)donde ν es una constante real. Para esta ecuacio´n existen menos trabajos sobre CFA en laliteratura. Una opcio´n , seguida en [5] y [10] es utilizar para (2) las CFA obtenidas para laecuacio´n lineal de Schro¨dinger. Sin embargo, los resultados mostrados en [10] no son muyoptimistas. Una alternativa distinta es la considerada en [8], entre otros, incluyendo en laecuacio´n un potencial absorbente. Sin embargo, esta te´cnica tiene inconvenientes pues serealiza un cambio artificial en la ecuacio´n original que se quiere integrar.En este trabajo integramos la ecuacio´n no lineal de Schro¨dinger (2) utilizando elemen-tos finitos lineales para la discretizacio´n espacial y acoplamos de manera adaptativa lasCFA obtenidas en [4] para la ecuacio´n lineal. Adema´s, la implementacio´n de las CFA estambie´n adaptativa (de forma similar a como se propuso en [3] para el caso lineal). De estamanera, las CFA van cambiando en cada paso en tiempo teniendo en cuenta la solucio´nnume´rica que llega en ese instante de tiempo a la frontera. Los resultados nume´ricos sonsatisfactorios, obtenie´ndos resultados de absorcio´n.2. Discretizacio´n de la ecuacio´n y condiciones de fronteraabsorbentesEn primer lugar vamos a considerar la discretizacio´n espacial de la ecuacio´n (2) me-diante elementos finitos lineales. Para ello, sea h = (xr − xl)/N > 0, y denotemos porxj = xl + jh, j = 0, . . . , N los nodos de una red del intervalo [xl, xr], en el cual queremosintegrar la ecuacio´n. Denotemos por ρi la funciones de forma y seauh(t) =N∑i=1ui(t)ρi.La discretizacio´n espacial que vamos a considerar en el dominio interior [xl, xr] es portanto16(ddtuj−1 + 4ddtuj +ddtuj+1)=ih2(uj−1 − 2uj + uj+1)+ ϕj(uh), (3)para j = 1, . . . , N − 1, donde ϕj(uh) hace referencia al te´rmino no lineal.Como ya hemos comentado anteriormente, vamos a acoplar a esta discretizacio´n de laecuacio´n no lineal (2), las CFA construidas para una discretizacio´n similar de la ecuacio´nlineal de Schro¨dinger. Estas CFA vienen dadas porδ0u1 + δ1ddtu1 = δ2u0 + δ3v0 + δ4ddtv0, (4)2Condiciones de frontera absorbentespara la frontera izquierda, yδ0uN−1 + δ1ddtuN−1 = δ2uN + δ3vN + δ4ddtvN , (5)para la frontera derecha. Hemos utilizado la notacio´nddtu0 = v0 (6)ddtuN = vN . (7)Los coeficientes δj de estas CFA dependen de ciertos nodos de interpolacio´n (ve´ase [4]para ma´s detalles) y del potencial V de la ecuacio´n lineal (1). Puesto que ahora vamosa utilizar estas CFA para el caso no lineal (2), en cada paso en tiempo vamos a elegirV = ν|uJ |2, para un nu´mero natural J fijo, pro´ximo a N . En cuanto a los nodos deinterpolacio´n, al igual que se hace en [3] para el caso lineal, van a ser elegidos de maneraadaptativa en cada paso en tiempo.La discretizacio´n en espacio (3) junto con (6), (7) y las CFA (4) y (5) nos lleva aplantear un sistema de ecuaciones diferenciales ordinariasR ddtu(t) = Mu(t) + φ(u(t))u(0) = u0(8)dondeu(t) = [v0(t), u0(t), u1(t), . . . , uN (t), vN (t)]T ,u0 = [0, u00, u10, . . . , uN0 , 0]T .Para integrar nume´ricamente (8) hemos considerado la regla del punto medio impl´ıcita,siguiendo las indicaciones de [9] para su implementacio´n y obteniendo as´ıRGn =k2(M(un +Gn) + φ(un +Gn)) (9)un+1 = un + 2Gn (10)La resolucio´n nume´rica del sistema de ecuaciones no lineales (9) se ha realizado con elsiguiente me´todo iterativo:(R− k2M)Gi+1n =k2(Mun + φ(un +Gin)).3. Experimentos nume´ricosVeamos por u´ltimo los resultados nume´ricos que obtenemos con el algoritmo propuestoen la seccio´n anterior. Tomaremos como condicio´n inicialu0(x) =√2 exp(i5x/2) sech(x), x ∈ [−35, 35].No´tese que el dominio computacional [−35, 35] se ha elegido suficientemente grande paraque contenga el soporte de la condicio´n inicial. Hemos representado en las Figuras 1 y 23I. Alonso Mallo, N. Reguera−30 −20 −10 0 10 20 3000.511.5t =0 −30 −20 −10 0 10 20 3000.511.5t ≈ 3.5 Figura 1: Mo´dulo de la solucio´n nume´rica para t = 0 y t ≈ 3,5−30 −20 −10 0 10 20 3000.020.040.060.080.10.120.14t≈ 7.5 −30 −20 −10 0 10 20 3000.020.040.060.080.10.120.14t ≈ 19.5 Figura 2: Mo´dulo de la solucio´n nume´rica para t ≈ 7,5 y t ≈ 19,5el mo´dulo de la solucio´n nume´rica en cuatro instantes de tiempo distintos. Vemos co´mola solucio´n viaja hacia la derecha con una velocidad aproximadamente 5 y es absorbidapor las CFA al llegar a la frontera. El experimento nume´rico es por tanto satisfactorio,consiguiendo una buena absorcio´n de la solucio´n en la frontera. No´tese adema´s que es-tos buenos resultados de absorcio´n son obtenidos sin utilizar informacio´n a priori de lasolucio´n, gracias a la te´cnica adaptativa utilizada.AgradecimientosEste trabajo esta´ parcialmente subvencionado por MCYT mediante el proyecto MTM2004-08012 cofinanciado con fondos FEDER.4Condiciones de frontera absorbentesReferencias[1] I. Alonso-Mallo, N. Reguera, Weak ill-posedness of spatial discretizations of absorbing boundaryconditions for Schro¨dinger-type equations, SIAM J. Numer. Anal., V40, N1, (2002), 134–158.[2] I. Alonso-Mallo, N. Reguera, Discrete absorbing boundary conditions for Schro¨dinger-type equations.Construction and error analysis, SIAM J. Numer. Anal., V41, N5, (2003), 1824–1850.[3] I. Alonso-Mallo, N. Reguera, Discrete absorbing boundary conditions for Schro¨dinger-type equations.Practical implementation, Math. Comput., V73, N245 , (2004), 127–142.[4] I. Alonso-Mallo, N. Reguera, A high order finite element discretization with local absorbing boundaryconditions of the linear Schro¨dinger equation, J. Comput. Physics, V220, N1, (2006), 409–421.[5] C.-H. Bruneau, L. Di Menza, T. Lehner, Numerical resolution of some nonlinear Schro¨dinger-likeequations in plasmas, Numer. Methods Partial Diff. Equations, V15, (1999), 672–696.[6] B. Engquist, A. Majda, Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves, Math.Comput., V31, (1977), 629–651.[7] T. Fevens, H. Jiang, Absorbing boundary conditions for the Schro¨dinger equation, SIAM J. Sci.Comput., V21, (1999), 255–282.[8] F. If, P. Berg, P.L. Christiansen, O. Skovgaard, Split-step spectral method for nonlinear Schro¨dingerequation with absorbing boundaries, J. Comput. Phys., V72, (1987), 501–503.[9] J.M. Sanz-Serna, M.P. Calvo, Numerical Hamiltonian problems, Chapman & Hall, London 1994.[10] J. Szeftel, Design of absorbing boundary conditions for Schro¨dinger equations in Rd, SIAM J. Numer.Anal., V42, N4, (2004), 1527-1551.5

Condiciones de frontera absorbentes para la ecuación de Schrödinger no lineal discretizada con elementos finitos

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