En este trabajo consideramos procesos iterativos tipo Newton de dos puntos para aproximar una solución de una ecuación no lineal en espacios de Banach. A partir de una expresión general que caracteriza estos procesos iterativos, obtenemos resultados de convergencia semilocal, estableciendo una teoría unificada para el an´alisis de este tipo de procesos.Ministerio de Educación y Cienci

Hernández Verón, Miguel Ángel

Rubio Crespo, María Jesús

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y AplicacionesX Congreso de Matema´tica AplicadaSevilla, 24-28 septiembre 2007(pp. 1–8)Un estudio unificado de la convergencia semilocal deme´todos tipo Newton de dos puntos en espacios de BanachM. J. Rubio1, M. A. Herna´ndez11 Dpto. de Matema´ticas y Computacio´n, Universidad de La Rioja, C/ Luis de Ulloa s/n. 26004 Logron˜o.E-mails: mjesus.rubio@unirioja.es, mahernan@unirioja.es.Palabras clave: Me´todos tipo Newton, operadores no diferenciables, espacios de BanachResumenEn este trabajo consideramos procesos iterativos tipo Newton de dos puntos paraaproximar una solucio´n de una ecuacio´n no lineal en espacios de Banach. A partir deuna expresio´n general que caracteriza estos procesos iterativos, obtenemos resultadosde convergencia semilocal, estableciendo una teor´ıa unificada para el ana´lisis de estetipo de procesos.1. Introduccio´nUno de los procesos iterativos ma´s utilizados para la aproximacio´n de una solucio´n dela ecuacio´n no linealF (x) = 0, (1)es el me´todo de Newton. Si consideramos F un operador no lineal F : Ω ⊆ X → Y , siendoX e Y dos espacios de Banach y Ω un dominio abierto y convexo, el algoritmo que defineel citado me´todo viene dado porxn+1 = xn −(F ′(xn))−1F (xn), n ≥ 0, x0 ∈ Ω. (2)Pese a ser un proceso iterativo eficiente, tiene el inconveniente de necesitar la evaluacio´ndel operador F ′ en el punto xn. Un procedimiento para evitar este problema es aproximareste operador por una diferencia dividida. Recordemos que un operador lineal y acotado[x, y;F ] : Ω ⊆ X → Y se dice una diferencia dividida de primer orden para F en los puntosdistintos x e y si cumple[x, y;F ] (x− y) = F (x)− F (y). (3)1M. J. Rubio, M. A. Herna´ndezEntonces aproximamos F ′(xn) por [xn−1, xn;F ] y as´ı obtenemos el conocido me´todo de laSecante [4]:xn+1 = xn − [xn−1, xn;F ]−1F (xn), n ≥ 0, x−1, x0 ∈ Ω dados. (4)E´ste es un me´todo de dos puntos, ya que cada paso del algoritmo necesita de dos puntos,y es el ma´s conocido de los tipo Newton. Una generalizacio´n de este proceso iterativo laproporciona la familia uniparame´trica de procesos iterativos tipo Secante [2], dada porx−1, x0 ∈ Ωyn = λxn + (1− λ)xn−1, λ ∈ [0, 1),xn+1 = xn − [yn, xn;F ]−1F (xn), n ≥ 0.(5)que tambie´n es un me´todo de dos puntos tipo Newton. Otra situacio´n de este tipo sepresenta en el conocido me´todo de Steffensen [3] (g, F : Ω ⊆ X → X)xn+1 = xn − [xn, g(xn);F ]−1F (xn), x0 ∈ Ω, n ≥ 0, (6)Todos estos me´todos de dos puntos tipo Newton no necesitan evaluar F ′ pero pierdenvelocidad de convergencia respecto de la convergencia cuadra´tica del me´todo de Newton,aunque tienen convergencia superlineal. Al no necesitar de la existencia de F ′, pueden serutilizados para aproximar soluciones de operadores no diferenciables.Se han utilizado otros procesos iterativos de dos pasos tipo Newton, construidos apartir de la descomposicio´n del operador no diferenciable F comoF (x) = G(x) +H(x),siendo G,H : Ω ⊆ X →, Y , donde G es un operador diferenciable y H es continuo pero nodiferenciable. As´ı, por ejemplo E. Catinas [1] propone el siguiente algoritmoxn+1 = xn −(G′(xn) + [xn−1, xn;H])−1F (xn), n ≥ 0, x−1, x0 ∈ Ω. (7)Pues bien, en este trabajo tratamos de conseguir una teor´ıa unificada para el estudio detodos estos procesos iterativos considerando el algoritmoxn+1 = xn − (A(xn−1, xn))−1F (xn), n ≥ 0, x−1, x0 ∈ Ω (8)donde A(x, y) es un operador lineal y acotado de Ω ⊆ X en Y, es decir, A(x, y) ∈ L(X,Y )para x, y ∈ Ω. Es claro que estos procesos iterativos dados en (8) generalizan los algoritmos(2), (4), (5), (6 ) y (7).As´ı, en la seccio´n 2 estudiamos resultados de convergencia semilocal para (8) utili-zando relaciones de recurrencia. En la seccio´n 3, utilizando la descomposicio´n en partesdiferenciable y no diferenciable para el operador F , obtenemos otro resultado de conver-gencia semilocal, en esta ocasion aplicable al caso en que (1) represente una ecuacio´n nodiferenciable.2Me´todos de tipo Newton de dos puntos2. Relaciones de recurrencia. Convergencia semilocalEn esta seccio´n, haremos un estudio de la convergencia semilocal del algoritmo (8)considerando condiciones de tipo Lipschitz para los operadores involucrados. En primerlugar, suponemos que F diferenciable y se verifican las condiciones‖F ′(x)− F ′(y)‖ ≤ k1‖x− y‖,‖F ′(x)−A(u, v)‖ ≤ k2(‖x− u‖+ ‖x− v‖); x, y, u, v ∈ Ω(9)y consideramos k = max{k1, k2}A continuacio´n, estableceremos un conjunto de relaciones de recurrencia que nos per-mitira´n demostrar dicha convergencia. Sean x−1, x0 ∈ Ω y suponemos que existe el inversodel operador lineal A0 = A(x−1, x0) cumplie´ndose las condiciones iniciales:(I) ‖A(x−1, x0)−1‖ ≤ β, ‖x−1 − x0‖ = α, ‖A0−1F (x0)‖ ≤ η (10)Definimosa−1 =ηα+ η, a0 = βk(α+ η)y la sucesio´n real {an} dada poran = f(an−1)2 an−1 an−2, n ≥ 1, (11)donde f es la funcio´nf(x) =11− xque es creciente y f(x) > 1 para x ∈ (0, 1).Como x1 esta´ bien definido por existir A0−1, se sigue‖x1 − x0‖ = ‖A0−1F (x0)‖ ≤ η y ‖A0−1‖ k‖x1 − x0‖ ≤ βkη = a0a−1.Probaremos por induccio´n sobre n las siguientes relaciones para n ≥ 1:(in) Existe An−1 = A (xn−1, xn)−1 tal que ‖An−1‖ ≤ f(an−1) ‖An−1−1‖,(iin) ‖xn+1 − xn‖ ≤ f(an−1) an−1 ‖xn − xn−1‖,(iiin) ‖An−1‖k ‖xn − xn−1‖ ≤ f(an−1) an−1 an−2,‖An−1‖k ‖xn+1 − xn‖ ≤ an an−1.Suponiendo que a0 < 1, x1 ∈ Ω y (9), tenemos‖I −A0−1A1‖ ≤ ‖A0−1‖ ‖A0 −A1‖≤ ‖A0−1‖(‖A (x−1, x0)− F ′(x0)‖+ ‖F ′(x0)−A (x0, x1)‖)≤ βk(α+ η) = a0 < 1,3M. J. Rubio, M. A. Herna´ndezy por el lema de Banach existe A1−1 y‖A1−1‖ ≤ ‖A0−1‖1− ‖A0−1‖k(‖x−1 − x0‖+ ‖x0 − x1‖)≤ f(a0) ‖A0−1‖lo que prueba (i1).Utilizando la formula de Taylor, tenemosF (x1) = (F ′(x0)−A0)(x1 − x0) +∫ 10(F ′(x0 + t(x1 − x0))− F ′(x0)) (x1 − x0) dt.Por (9) se sigue‖F (x1)‖ ≤ k ‖x0 − x−1‖ ‖x1 − x0‖+ k‖x1 − x0‖2 ≤ k(α+ η) ‖x1 − x0‖.Como x2 esta´ bien definido por estarlo A1−1, se obtiene‖x2 − x1‖ ≤ f(a0)‖A0−1‖ ‖F (x1)‖ ≤ f(a0)a0‖x1 − x0‖,y se cumple (ii1).Notar que, por (i1) y (ii1), se sigue‖A1−1‖k‖x1 − x0‖ ≤ f(a0)βkη = f(a0)a0a−1.Por otro lado,‖A1−1‖ k ‖x2 − x1‖ ≤ f(a0)βkf(a0)a0‖x1 − x0‖ ≤ a1a0.Suponiendo an < 1 y xn ∈ Ω, para n ≥ 1, se prueban de forma ana´loga (in+1)-(iiin+1).Para establecer la convergencia de la sucesio´n {xn}, sera´ suficiente probar que {an} esdecreciente.Lema 2.1 Si (βkη)1/2 < η/(α+ η) < (3−√5)/2, entonces la sucesio´n {an} dadapor (11) es decreciente.Teorema 2.1 Supongamos que se satisfacen las condiciones (9), (10) y las hipo´tesisdel Lema 2.1. Si B(x0, r0) ⊆ Ω, donde r0 = η1−∆ y ∆ = a01−a0 < 1, entonces la sucesio´n{xn} dada por (8) esta´ bien definida y converge a x∗ solucio´n de (1). Adema´s la solucio´nx∗ y las iteraciones xn pertenecen a B(x0, r0).Ahora nos planteamos generalizar al caso cuando el operador F no sea diferenciable.Para ello hemos de sustituir las condiciones (9) dadas sobre F ′. Esta generalizacio´n lallevamos a cabo considerando que para cada par de puntos distintos x, y ∈ Ω, existe ladiferencia dividida de primer orden en ellos [x, y;F ] ∈ L(X,Y ) y que se verifica:‖[x, y;F ]−A(u, v)‖ ≤ k(‖x− u‖+ ‖x− v‖); x, y, u, v ∈ Ω, (12)Con esta nueva condicio´n siguen cumplie´ndose las relaciones de recurrencia planteadasal inicio de esta seccio´n, obtenie´ndose la misma sucesio´n {an}. En efecto, lo comprobamospara el primer paso, ya que el proceso inductivo no ofrece dificultad.4Me´todos de tipo Newton de dos puntosPara la existencia del inverso A1−1, procedemos como sigue:‖I −A0−1A1‖ ≤ ‖A0−1‖ ‖A0 −A1‖≤ ‖A0−1‖ (‖A (x−1, x0)− [x−1, x0;F ]‖+ ‖[x−1, x0;F ]−A (x0, x1)‖)≤ βk(α+ η) = a0 < 1,lo que demuestra (i1).Para comprobar (ii1), en lugar de utilizar la formula de Taylor, aplicamos (3) y (8)para expresar F (x1) de la siguiente forma:F (x1) = F (x0)− [x0, x1;F ](x0 − x1) = (A0 − [x0, x1;F ]) (x0 − x1).Entonces, por (12), se obtiene‖F (x1)‖ ≤ ‖[x0, x1;F ]−A0‖ ‖x1 − x0‖ ≤ k (‖x0 − x−1‖+ ‖x1 − x0‖) ‖x1 − x0‖≤ k (α+ η) ‖x1 − x0‖y trivialmente se cumple (iii1).Estamos ya en condiciones de poder dar un nuevo teorema de convergencia semilocal,va´lido ahora para operadores no diferenciablesTeorema 2.2 Supongamos que se satisfacen las condiciones (10), (12) y las hipo´te-sis del Lema 2.1. Si B(x0, r0) ⊆ Ω, donde r0 = η1−∆ y ∆ = βk(α+η)1−βk(α+η) , entonces lasucesio´n {xn} dada por (8) esta´ bien definida y converge a x∗ solucio´n de (1). Adema´s lasolucio´n x∗ y las iteraciones xn pertenecen a B(x0, r0).3. Operadores no diferenciablesDe nuevo, en esta seccio´n, analizaremos la convergencia semilocal de (8) en las condi-ciones iniciales consideradas en (10), dados x−1, x0 ∈ Ω:(I) ‖A(x−1, x0)−1‖ ≤ β, ‖x−1 − x0‖ = α, ‖A0−1F (x0)‖ ≤ ηy supondremos adema´s(II) ‖G′(x)−G′(y)‖ ≤ ω1(‖x− y‖); x, y ∈ Ω, siendoω1 : R+ → R+ continua y no decreciente,(III) Existe una funcio´n continua y no decreciente h : [0, 1]→ R+, tal que ω1(tz) ≤ h(t)ω1(z),con t ∈ [0, 1] y z ∈ [0,∞). Escribimos T =∫ 10h(t) dt.(IV) ‖H(x)−H(y)‖ ≤ c‖x− y‖; x, y ∈ Ω,(V) ‖G′(x) − A(y, z)‖ ≤ ω2(‖x− y‖, ‖x− z‖); x, y, z ∈ Ω, siendo ω2 : R+×R+ → R+continua y no decreciente en ambas componentes5M. J. Rubio, M. A. Herna´ndezNotar que la condicio´n (III) no supone ninguna restriccio´n porque siempre existe htal que h(t) = 1, como consecuencia de ser ω1 no decreciente.Teorema 3 En las condiciones (I)-(V), denotamos porm = max{β (ω2(α, 0) + Tω1 (η) + c) , β (ω2(η, 0) + Tω1 (η) + c)}y suponemos que la ecuacio´nr(1− m1− β (ω2(α, 0) + ω2(r, r)))− η = 0, (13)tiene al menos una solucio´n positiva. Sea R la solucio´n positiva ma´s pequen˜a. Denotandopor d = β (ω2(α, 0) + ω2(R,R)), si B(x0, R) ⊂ Ω y m+d < 1, entonces, la sucesio´n {xn}dada por (8) esta´ bien definida, pertenece a B(x0, R) y converge a una solucio´n x∗ de laecuacio´n F (x) = 0 en B(x0, R).Demostracio´n. Para simplificar la notacio´n, como hemos hecho antes, denotaremosA(xn−1, xn) = An. En primer lugar probaremos, por induccio´n, que la sucesio´n generadapor (8) esta´ bien definida, es decir, que en cada paso el operador An posee inverso y elpunto obtenido xn+1 esta´ en Ω.De las hipo´tesis iniciales se sigue que x1 esta´ bien definido y ‖x1 − x0‖ ≤ η < R. Portanto, x1 ∈ B(x0, R) ⊆ Ω.Utilizando (V) y que ω2 es no decrecientes, resulta‖I −A0−1A1‖ ≤ ‖A0−1‖ ‖A0 −A1‖≤ ‖A0−1‖(‖A(x−1, x0)− F ′(x0)‖+ ‖F ′(x0)−A(x0, x1)‖≤ β (ω2(α, 0) + ω2(R,R)) < 1,por el lema de Banach existe A1−1y adema´s‖A1−1‖ ≤ β1− β (ω2(α, 0) + ω2(R,R)) =β1− d.Como G es diferenciable, por la formula de Taylor, se tieneG(x1) = G(x0) +G′(x0)(x1 − x0) +∫ 10(G′(x0 + t(x1 − x0))−G′(x0))(x1 − x0) dt.Por otro lado, utilizando H(x1) = H(x0) +H(x1)−H(x0), podemos escribirF (x1) = G(x1) +H(x1) = F (x0) +G′(x0)(x1 − x0) +H(x1)−H(x0)+∫ 10(G′(x0 + t(x1 − x0))−G′(x0))(x1 − x0) dt.Entonces, por (8)F (x1) =(G′(x0)−A(x−1, x0))(x1−x0)+∫ 10(G′(x0 + t(x1 − x0))−G′(x0))(x1−x0) dt+H(x1)−H(x0).Tomando normas y aplicando (II)-(V), se sigue que‖F (x1)‖ ≤ (ω2 (α, 0) + Tω1 (η) + c) ‖x1 − x0‖,6Me´todos de tipo Newton de dos puntosentonces se obtiene que x2 ∈ Ω considerando:‖x2 − x1‖ ≤ ‖A1−1‖ ‖F (x1)‖ ≤ m1− d‖x1 − x0‖ =M‖x1 − x0‖ < η,donde M =m1− d . Por otro lado, teniendo en cuenta que R satisface (13), entonces‖x2 − x0‖ ≤ ‖x2 − x1‖+ ‖x1 − x0‖ ≤ (M + 1)‖x1 − x0‖ ≤ (M + 1)η < R.Es fa´cil probar por induccio´n sobre n las siguientes relaciones para n ≥ 2:(in) ∃An−1 = A(xn−1, xn)−1 tal que ‖An−1‖ ≤ β1− d ,(iin) ‖xn+1 − xn‖ ≤M‖xn − xn−1‖ ≤Mn‖x1 − x0‖ ≤ η y xn+1 ∈ B(x0, R) ⊆ Ω.En segundo lugar, probaremos que {xn} es sucesio´n de Cauchy. Para k ≥ 1 se tiene‖xn+k − xn‖ ≤ ‖xn+k − xn+k−1‖+ ‖xn+k−1 − xn+k−2‖+ · · ·+ ‖xn+1 − xn‖≤[Mk−1 +Mk−2 + · · ·+ 1]‖xn+1 − xn‖ ≤ 1−Mk1−M ‖xn+1 − xn‖ <11−MMn‖x1 − x0‖.en consecuencia, {xn} es una sucesio´n de Cauchy y converge a x∗ ∈ B(x0, R).Por u´ltimo, veamos que x∗ es una ra´ız de F . Como‖F (xn)‖ ≤ (ω2 (η, 0) + Tω1 (η) + c) ‖xn − xn−1‖y ‖xn − xn−1‖ → 0 cuando n→∞, se tiene F (x∗) = 0.4. Aplicacio´nSea el siguiente sistema x3/2 − y − 34+19|x− 1| = 0,y3/2 +29x− 38+19|y| = 0.(14)Por tanto, tenemos el operador F : R2 → R2 con F = (F1, F2). Para x = (x1, x2) ∈ R2tomamos F1(x1, x2) = x13/2 − x2 − 34 + 19 |x1 − 1|, F2(x1, x2) = x23/2 + 29x1 − 38 + 19 |x2|Aplicaremos el me´todo de la Secante para aproximar F (x) = 0. Dados u, v ∈ R2,tomamos [u, v;F ] ∈ L(R2,R2) como[u, v;F ]i1 =Fi(u1, v2)− Fi(v1, v2)u1 − v1 , [u, v;F ]i2 =Fi(u1, u2)− Fi(u1, v2)u2 − v2 , i = 1, 2.Luego[u, v;F ] =u3/21 −v3/21u1−v1 −129u3/22 −v3/22u2−v2 + 19( |u1−1|−|v1−1|u1−v1 00 |u2|−|v2|u2−v2)7M. J. Rubio, M. A. Herna´ndezEntonces, con la norma del ma´ximo, se sigue‖[x, y;F ]− [u, v;F ]‖ ≤ ‖x− u‖1/2 + ‖y − v‖1/2 + 29.Por tanto no se verifica la condicio´n Lipschitz (12) y estamos en la situacio´n descrita en laseccio´n 2. Establecemos la descomposicio´n de F en su parte diferenciable G = (G1, G2) yno diferenciableH = (H1,H2). Para x = (x1, x2) ∈ R2 tenemosG1(x1, x2) = x13/2−x2− 34 ,G2(x1, x2) = x23/2 + 29x1 − 38 , H1(x1, x2) = 19 |x1 − 1|, H2(x1, x2) = 19 |x2|.Por tanto, se tieneG′(x) =(32x1/21 −12932x1/22), ‖G′(x)−G′(y)‖ ≤ 32‖x− y‖1/2As´ı comoH(x) =19(|x1 − 1| 00 |x2|)y ‖H(x)−H(y)‖ ≤ 19‖x− y‖Ahora aplicamos el me´todo de la Secante para aproximar la solucio´n de (14). Elegimosz−1 = (5, 5) y z0 = (1, 0). Despue´s de tres iteraciones conseguimosz2 = (1,06157, 0,329438) y z3 = (1,00309, 0,253723) .Entonces, tomamos x−1 = z2 y x0 = z3. y resultaα = 0,0757149, β = 1,15189, η = 0,00371354, T =23Por tanto, la sucesio´n generada por el me´todo dicho converge a una solucio´n x∗ de laecuacio´n F (x) = 0 en B(x0, R). Obtenemos el vector x∗ = (1, 0,25) como solucio´n delsistema (14).AgradecimientosAyuda a la Investigacio´n del Ministerio de Educacio´n y Ciencia. Ref. MTM 2005-03091Referencias[1] E. Catinas. On some iterative methods for solving nonlinear equations. Rev. Anal. Nume´r. The´or.Approx., 23 (1994), 47–53.[2] M.A. Herna´ndez, M.J. Rubio y J.A. Hezquerro. Solving a special case of conservative problems bysecant-like methods. Appl. Math. Comput., 169, no. 2 (2005), 926–942.[3] L.W. Johnson y D.R. Scholz. On Steffensen’s Method. SIAM J. Numer. Anal., 5, no. 2 (1968), 296–302.[4] J.W. Schmidt. Untere Fehlerschranken fur Regula-Falsi Verhafren. Period. Math. Hungar., 9 (1978),241–247.8

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