En esta comunicación abordamos una clase general de modelos con origen en biología. En particular los modelos describen el movimiento de bacterias, procesos invasivos tumorales y el proceso de angiogénesis asociado a los tumores

Litcanu, Gabriela

Morales Rodrigo, Cristian

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y AplicacionesX Congreso de Matema´tica AplicadaSevilla, 24-28 septiembre 2007(pp. 1–4)Convergencia al equilibrio en un modelo simplificado deangiogenesisG. Lit¸canu 1, C. Morales-Rodrigo21Institute of Mathematics, University of Witten/Herdecke, Stockumerstr. 10-12, 58453 Witten, Germany.Institute of Mathematics ”O. Mayer”, 700505 Ias¸i, Romania. E-mail: glitcanu@uni-wh.de.2Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Faculty of Informatics, Mathematics and Mechanics,Warsaw University, ul. Banacha 2, 02-097 Warsaw, Poland. E-mail: cristianmatematicas@yahoo.com.Palabras clave: reaccio´n-difusio´n, existencia global, comportamiento asinto´ticoResumenEn esta comunicacio´n abordamos una clase general de modelos con origen en bi-olog´ıa. En particular los modelos describen el movimiento de bacterias [7], procesosinvasivos tumorales [1], [12] y el proceso de angiogenesis asociado a los tumores [2].1. Introduccio´nDurante los u´ltimos an˜os hay un nu´mero significativo de art´ıculos cient´ıficos publicadosdescribiendo feno´menos biolo´gicos a traves de un sistema de reaccio´n-difusio´n. Uno de losmas conocidos modelos matema´ticos es el sistema de ecuaciones diferenciales parabo´licasde Keller-Segel [9] (para ma´s informacio´n sobre este modelo consultar, por ejemplo, [5], [6]).Dicho sistema se formulo´ para estudiar los procesos de quimiotaxis en sistemas biolo´gicos.La quimiotaxis es la habilidad que tienen las ce´lulas que forman un sistema biolo´gico paramoverse en la direccio´n del gradiente de alguna sustancia qu´ımica.El objetivo de esta comunicacio´n es describir algunos resultados sobre la existencia desoluciones globales y comportamiento asinto´tico para el sistema de ecuaciones en derivadasparciales dado por:ut = ∇ · (∇u− uχ(w)∇w) + δu(1− u) en Ω× (0, T ),wt = −uwβ en Ω× (0, T ),uν − uχ(w)wν = 0 sobre ∂Ω× (0, T ),u(x, 0) = u0(x), w(x, 0) = w0(x) en Ω.(1)1G. Lit¸canu, C. Morales-Rodrigodonde Ω ⊂ RN , N > 1 es un dominio acotado de frontera regular, δ > 0, β > 1 sonpara´metros, χ ∈ C1(R+) y el sub´ındice ν se usa para denotar la derivada normal exteriora ∂Ω. En la primera ecuacio´n aparece el te´rmino de crecimiento log´ıstico, aunque losresultados que vamos a presentar se pueden extender a otras funciones ma´s generales.El sistema (1) se usa como modelo matema´tico para describir diversos feno´menosbiolo´gicos. Por ejemplo, en el caso en el que δ = 0, Ω = R, el modelo (1) fue utilizado paradescribir el movimiento de bacterias [7], [8]. En este caso, u(x, t) representa la concentrationde las bacterias y w(x, t) representa la concentration de un sustancia qu´ımica. Las bacteriasse agregan siguiendo el gradiente de la sustancia qu´ımica. En este caso se supone que lasustancia qu´ımica carece de difusio´n, al ser la motilidad de la bacteria mucho mas grandeque la de la sustancia qu´ımica. En realidad, en el modelo propuesto en [7] se considera eltermino de la difusio´n de forma ma´s general, ∂∂x[µ(w)∂u∂x], y se investigan las condicionesnecesarias y suficientes para la existencia de ondas viajeras.Otro ejemplo es cuando el sistema (1) se usa para describir los procesos invasivos dece´lulas tumorales y la degradacio´n de la matriz extracelular. La matriz extracelular con-stituye un conjunto de macromole´culas distintos interconectados que en conjunto formanel medio donde las ce´lulas desempen˜an sus funciones. Las ce´lulas tumorales, desarollandouna insensibilidad a las sen˜ales de parada de la proliferacio´n, empiezan a invadir los teji-dos cercanos y degradar los distintos componentes de la matriz mediante la accio´n de lasmetaloproteinasas. Esta accio´n degradativa es capaz de alterar las uniones ce´lula-matrizy ce´lula-ce´lula. En [12] se estudia la existencia de soluciones de tipo ondas viajeras en elcaso cuando la variable u(x, t) carece de difusio´n y δ = 1, β = 2, donde u(x, t) representala concentration de las ce´lulas tumorales y w(x, t) representa la concentration de la ex-tracelular matriz. Tambie´n hay algunos resultados nume´ricos en esta direccio´n [1] en elcaso β = 1.Finalmente, tambie´n el sistema (1) se usa como modelo matema´tico para el proceso deangioge´nesis. Angioge´nesis es la formacio´n de nuevos vasos sanguineos a partir de los yaexistentes. Las ce´lulas cancer´ıgenas, ante la falta de nutrientes, segregan TAFs (tumourangiogenic factors) que inducen a las ce´lulas endoteliales que forman los vasos sanguineosa ir en la direccio´n del gradiente generado por el TAF [11]. En [2] se estudia el sistema (1)cuando δ = 0, β = 1, donde u(x, t) representa la concentration de las ce´lulas endotelialesy w(x, t) representa la concentration del TAF.Diversos autores han estudiado algunos casos del sistema (1). En [13] se prueba laexistencia de solucio´n global regular en una dimensio´n cuando χ(w) = 1/w, δ = 0 y β = 1.En [14] se prueba el mismo resultado pero con χ(w) = w−α, β > 1, 0 ≤ α < β, α 6= 1,(β + α)/2 6= 1 y en lugar del crecimiento log´ıstico un te´rmino general de crecimientosatisfaciendo alguna condicion de crecimiento sublineal en la variable u(x, t).Recientemente, en [3] y [4], los autores prueban, para δ = 0 y χ ∈ C1(R+) satisfaciendo12ı´nfw>0{wχ′(w)χ(w)+ β}> 0 (2)la existencia de solucio´n global de´bil en RN con N > 1. Cuando N > 3, requieren de unacondicio´n de pequen˜ez en el dato inicial u0(x).En la presente comunicacio´n nos centraremos en los resultados obtenidos para el sis-tema (1) en el caso de la dimension N = 2. En este caso se puede probar la existencia2Modelo de angiogenesisde solucio´n global regular, sin condiciones de pequen˜ez en los datos iniciales y la conver-gencia al equilibrio de las soluciones del parabo´lico. El estudio detallado del problema sepresentara´ en [10].A partir de ahora y con objeto de simplificar la exposicio´n supondremos χ ≡ 1, aunquelo expuesto aqu´ı se puede extender a funciones χ generales. Por ejemplo, bastar´ıa con lacondicio´n (2), χ ∈ C1(R+), χ and χ′ funciones lipchitzianas.2. Existencia y unicidadTeorema 2.1 Sea u0, w0 ∈ C l+2(Ω), u0(x) > 0, w0(x) > 0, entonces el problema (1) tieneuna u´nica solucio´n global positiva(u, v) ∈(C l+2,l/2+1(Ω× [0,+∞)))2(3)Idea de la prueba: La existencia local y la unicidad de la solucio´n del sistema (1) seprueba utilizandose un argumento de punto fijo y el principio del ma´ximo.La existencia global se prueba gracias al principio de prolongacio´n, si‖u‖Cl+2,l/2+1(Ω×[0,T ]) 6 C(T ), ‖w‖Cl+2,l/2+1(Ω×[0,T ]) 6 C(T ) (4)para todo T < Tmax ( Tmax tiempo ma´ximo de existencia ), entonces Tmax = +∞.Primero, empleamos argumentos matema´ticos rigurosos para obtener cotas globales deu(x, t) en L∞(0, T ;Lp(Ω)) y en L∞(Ω× (0, T )) y despue´s obtenemos tambie´n cotas de losgradientes ∫ T0∫Ω|∇u|5 6 C(T ), supt∈[0,T ]∫Ω|∇w|5(t) 6 C(T ) (5)La prueba de estas cotas es tediosa, pero gracias a ellas y a unos argumentos de inyeccio´ncontinua de los espacios utilizados podemos concluir con la existencia global de la solucio´n.3. Convergencia al equilibrioTeorema 3.1 Las soluciones positivas del problema estacionario asociado a (1) vienendadas por:1. (u∗, w∗) = (0, w˜), donde w˜ > 0 es una funcio´n cualquiera.2. (u∗, w∗) = (k, 0), donde k > 0 es una constante cualquiera si δ = 0 y k = 1 si δ > 0.Teorema 3.2 Supongamos β = 1 y u0(x) > k > 0 con p < ∞, entonces se tiene losiguiente:1. Si δ = 0, entonces∥∥∥∥u(·, t)− 1|Ω|∫Ωu0(x)dx∥∥∥∥Lp(Ω)6 Ce−α1t, ‖w‖L∞(Ω) 6 Ce−α2t. (6)3G. Lit¸canu, C. Morales-Rodrigo2. Si δ > 0, entonces‖u(·, t)− 1‖Lp(Ω) 6 Ce−α3t, ‖w‖L∞(Ω) 6 Ce−α4t, (7)donde las constantes αj, j = 1, ..., 4 pueden calcularse explicitamente.Idea de la prueba: Para probar estos resultados se utilizan las cotas obtenidas previa-mente para la variable u(x, t) y la propriedad que u(x, t) > k > 0 para todo t > 0. Paraacabar observese que puesto u(x, t) > k, entonces la segunda ecuacio´n de sistema (1) nosda el decaimiento exponencial en L∞(Ω) para w.AgradecimientosLos resultados presentados en esta comunicacio´n son producto de una colaboracio´ncient´ıfica dentro del proyecto europeo MRTN-CT-2004-503661, ”Modeling, MathematicalMethods and Computer Simulation of Tumour Growth and Therapy” los autores agrade-cen el apoyo recibido por dicho proyecto.Referencias[1] M. Chaplain, Mathematical modelling of tissue invasion, Cancer Modelling and Simulation, Chapter10, ed. L. Preziosi, Chapman Hall/CRC, (2003), 269–297.[2] L. Corrias, B. Perthame and H. Zaag, A chemotaxis model motivated by angiogenesis, C.R. Math.Acad. Sci. Paris, Ser. I, 336, (2003), 141–146.[3] L. Corrias, B. Perthame and H. Zaag, Global solutions in some chemotaxis and angiogenesis systemsin high space dimensions, Milan J. Math., 72, (2004), 1–28.[4] L. Corrias, B. Perthame and H. Zaag, Lp and L∞ a priori estimates for some chemotaxis models andaplications to the Cauchy problem, The mechanism of the spatio-temporal pattern arising in reactiondiffusion system, Kyoto, (2004).[5] D. Horstmann, From 1970 until present: the Keller-Segel model in chemotaxis and its consequencesI., Jahresber. Deutsch. Math.-Verein., 105, (2003), 103-165.[6] D. Horstmann, From 1970 until present: the Keller-Segel model in chemotaxis and its consequencesII., Jahresber. Deutsch. Math.-Verein., 106, (2004), 51-69.[7] E.F. Keller and G.M. Odell, Necessary and sufficient conditions for chemotactic bands, Math. Biosc.,27, (1975), 309–317.[8] E.F. Keller and G.M. Odell, Traveling bands of chemotactic bacteria revisited, J. Theor. Biol., 56,(1976), 243–247.[9] E.F. Keller and L.A. Segel, Initiation of slime mold agregation viewed as instability, J. Theor. Biology,26, (1970), 399–415.[10] G. Lit¸canu and C. Morales-Rodrigo, Global solutions and asymptotic behaviour for a parabolic de-generate coupled system, en preparacio´n.[11] N. V. Mantzaris, S. Webb and H. G. Othmer,Mathematical modelling of tumour induced angiogenesis,J. Math. Biol., 49, (2004), 111–187.[12] A. J. Perumpanani, J. A. Sherratt, J. Norbury and H. M. Byrne, A two parameter family of travellingwaves with a singular barrier arising from the modelling of matrix mediated malignant invasion. Phys.D., 126, (1999), 145–159.[13] M. Rascle, Sur une e´quation inte´gro-diffe´rentielle non line´aire issue de la biogie, J. Diff. Eq., 32,(1979), 420–453.[14] M. Rascle, On a system of non-linear strongly coupled partial differential equations arising in biology,Lecture Notes in Math., Vol. 846, Springer-Verlag, New York, (1980), 290–298.4

Convergencia al equilibrio en un modelo simplificado de angiogénesis

https://idus.us.es/xmlui/bitstream/handle/11441/35148/Convergencia%20al%20equilibrio%20en%20un%20modelo%20simplificado%20de%20angiog%c3%a9nesis.pdf?sequence=1&isAllowed=y

Convergencia al equilibrio en un modelo simplificado de angiogénesis

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla