En este trabajo estudiamos el comportamiento asintótico en tiempo infinito y la estabilidad de soluciones de un sistema de Cristales Líquidos Nemáticos con condiciones de contorno Dirichlet, homogéneas para u (velocidad) y no homogéneas para d (vector director). La dificultad radica en que, a diferencia de [6], el dato de contorno para d es dependiente del tiempo. Suponiendo que d(t) sobre la frontera es igual a un dato estacionario más una perturbación evolutiva pequeña en normas adecuadas, conseguimos demostrar resultados de estabilidad y estabilidad asintótica cuando el tiempo va a infinito

Climent Ezquerra, María Blanca

Guillén González, Francisco Manuel

Rodríguez Bellido, María Ángeles

idUS. Depósito de Investigación Universidad de Sevilla

XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y AplicacionesXI Congreso de Matema´tica AplicadaCiudad Real, 21-25 septiembre 2009(pp. 1–8)Estabilidad asinto´tica para modelos de Cristales L´ıquidosNema´ticosB. Climent-Ezquerra1, F. Guille´n-Gonza´lez1,M.A. Rodr´ıguez-Bellido11 Dpto. E.D.A.N., Universidad de Sevilla, Aptdo. 1160, E-41080 Sevilla. E-mails: bcliment@us.es,guillen@us.es, angeles@us.es.Palabras clave: Cristales L´ıquidos Nema´ticos, estabilidad asinto´tica, estabilidadResumenEn este trabajo estudiamos el comportamiento asinto´tico en tiempo infinito y laestabilidad de soluciones de un sistema de Cristales L´ıquidos Nema´ticos con condicio-nes de contorno Dirichlet, homoge´neas para u (velocidad) y no homoge´neas para d(vector director). La dificultad radica en que, a diferencia de [6], el dato de contornopara d es dependiente del tiempo. Suponiendo que d(t) sobre la frontera es igual aun dato estacionario ma´s una perturbacio´n evolutiva pequen˜a en normas adecuadas,conseguimos demostrar resultados de estabilidad y estabilidad asinto´tica cuando eltiempo va a infinito.1. Introduccio´nLos Cristales L´ıquidos Nema´ticos (CLN) son fluidos incompresibles a nivel macrosco´pi-co, pero su estructura microsco´pica es anisotro´pica debido a la facilidad de alineacio´n desus mole´culas (propiedad de elasticidad). Un problema diferencial que modela este ti-po de CLN se obtiene acoplando las ecuaciones de Navier-Stokes en velocidad-presio´n(u(t,x), p(t,x)), con las ecuaciones para la dina´mica del vector director d(t,x) de lasmole´culas del cristal l´ıquido. El sistema que estudiamos se corresponde con una formu-lacio´n de tipo Ericksen-Leslie, penalizada con un funcional de tipo Ginznburg-Landau,introducida por F. H. Lin en [5] y analizada por F. H. Lin & C. Liu en [6]. En este modelopenalizado, la restriccio´n |d| ≤ 1 aparece como consecuencia de un principio del ma´ximopara el sistema con funcional de Ginzburg-Landau fδ(d) =1δ2(|d|2 − 1) d, siendo |d| lanorma eucl´ıdea en R3 y δ > 0 un para´metro de penalizacio´n. Si denotamos Q = (0, T )×Ω1B. Climent-Ezquerra, F. Guille´n-Gonza´lez, M.A. Rodr´ıguez-Bellidoy Σ = (0, T )×Γ (pudiendo ser T = +∞), Γ = ∂Ω, con Ω ⊂ R3 un dominio suficientementeregular de frontera Γ, el modelo se escribe:(CLN)∂tu+ u · ∇u− ν∆u+∇p = −λ(∇d)t∆d en Q,∇ · u = 0 en Q,∂td+ u · ∇d+ γ (−∆d+ fδ(d)) = 0 en Q,u = 0, d = h sobre Σ,u|t=0 = u0, d|t=0 = d0 en Ω,siendo ν > 0 una constante caracter´ıstica de la viscosidad del fluido, λ > 0 una constantede elasticidad y γ > 0 una constante de relajacio´n en tiempo.2. ObjetivosEl ana´lisis teo´rico del modelo (CLN) fue hecho en [6], obteniendo existencia de solucio´nde´bil global para todo T > 0 con regularidadu ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) ∩ L2(0, T ;H1(Ω)), d ∈ L∞(0, T ;H2(Ω)) ∩ L2(0, T ;H3(Ω)),y la existencia (y unicidad) de solucio´n fuerte local en tiempo, con regularidadu ∈ L∞(0, T∗;H1(Ω)) ∩ L2(0, T∗;H2(Ω)), d ∈ L∞(0, T∗;H2(Ω)) ∩ L2(0, T∗;H3(Ω)),donde T∗ ≤ T o bien es suficientemente pequen˜o o bien T∗ = T (para cada T > 0)si el coeficiente de viscosidad ν es suficientemente grande o para el caso de dominiosbidimensionales. Sin embargo, todos estos resultados fueron dados para condiciones decontorno de tipo Dirichlet independientes del tiempo:u = 0, d = h sobre Σ, (h 6= h(t)) (1)y para las condiciones iniciales:u|t=0 = u0, d|t=0 = d0 en Ω. (2)En el caso en que se consideran datos dependientes del tiempo de tipo Dirichlet para d(es decir, h = h(t) en (1)), la existencia de solucio´n de´bil perio´dica en tiempo, es decir lasolucio´n obtenida cambiando (2) por u(0) = u(T ), d(0) = d(T ), fue obtenida en [3]. Laregularidad fuerte hasta tiempo infinito considerando la viscosidad ν suficientemente gran-de junto con la regularidad fuerte para la solucio´n perio´dica en tiempo fueron obtenidasen [1].Los resultados correspondientes al problema de valores iniciales fueron extendidos en [7]a un modelo mucho ma´s completo respecto del tensor disipativo, y que consideraba adema´slos efectos de tipo stretching para el caso de mole´culas en forma de disco. Recientemente,un modelo de cristales l´ıquidos con un te´rmino de tipo stretching para el caso de mole´culascon forma de barra (rod-like particles) y condiciones de contorno perio´dicas en espacio parau y d ha sido estudiado en [9], obteniendo solucio´n global de´bil y solucio´n local fuerte (quees global en el caso de que la viscosidad sea suficientemente grande). Dichos resultadosfueron complementados en [2] con propiedades de estabilidad y estabilidad asinto´tica,respectivamente en el siguiente sentido:2Estabilidad asinto´tica para modelos de Cristales L´ıquidos Nema´ticos∃ l´ımt→+∞E(t) = E∞ ≥ 0, donde E(t) = Ec(t) + Ee(t), siendo Ec(t) =12‖u(t)‖2L2(Ω)la energ´ıa cine´tica, Ee(t) =λ2(‖∇d(t)‖2L2(Ω) + 2∫ΩFδ(d))la energ´ıa ela´stica yFδ(d) =14δ2(|d|2 − 1)2 (de manera que ∇dFδ(d) = fδ(d)).l´ımt→+∞F (t) = 0, donde F (t) = ν‖u(t)‖2H1(Ω) + γλ‖∆d(t)− f(d(t))‖2L2(Ω).Si en un tiempo t = t0 los datos iniciales son tales que E(t0) es suficientementepequen˜o, entonces existe solucio´n fuerte para el sistema ∀t ≥ t0, y satisface que E(t)y F (t) permanecen pequen˜as ∀t ≥ t0.Para cada sucesio´n tj → +∞, existe una subsucesio´n tjk tal que d(tjk) converge enH2(Ω)-de´bil cuando k → +∞ hacia un punto cr´ıtico, d¯, de la energ´ıa ela´stica Ee yEe(d¯) = E∞.En este trabajo pretendemos extender dichas propiedades de estabilidad al caso de unmodelo ma´s simple, (CLN), pero con condiciones de contorno de tipo Dirichlet y depen-dientes del tiempo (recordemos que este estudio para condiciones Dirichlet independientesdel tiempo fue hecho en [6]). Concretamente, consideraremos que h = hs + he, siendohs la parte estacionaria y del orden de la unidad (independiente del tiempo) del dato decontorno asociado a d, y he la parte evolutiva (dependiente del tiempo) y pequen˜a, dehecho impondremos la condicio´n de que ‖he(t)‖H3/2(Γ) → 0 cuando t→ +∞.3. Marco generalSupongamos que nos encontramos en la siguiente situacio´n. Para t ∈ (0,+∞):E(t), F (t) ≥ 0, E′(t) + F (t) ≤ a(t)E(t) + b(t), a, b ∈ L1(0,+∞). (3)Demostramos primero que existe el l´ımite para la funcio´n E(t) cuando t→ +∞.Lema 1 Se verifican:E(t) +∫ t0F (s) ds ≤ eA (E(0) +B) :=M, ∀ t > 0, (4)∃ l´ımt→+∞E(t) := E∞ ≥ 0, (5)donde A =∫ +∞0a(s) ds y B =∫ +∞0b(s) ds.Demostracio´n. De (3), aplicando el Lema de Gronwall, podemos deducir que:E(t) +∫ t0eA(t)−A(s) F (s) ds ≤ E(0) eA(t) +∫ t0eA(t)−A(s) b(s) ds.De modo que:0 ≤ E(t) +∫ t0F (s) ds ≤ eA(E(0) +∫ t0b(s) ds)≤ eA (E(0) +B) :=M, ∀t ≥ 0,3B. Climent-Ezquerra, F. Guille´n-Gonza´lez, M.A. Rodr´ıguez-Bellidode donde se tiene (4). En particular, podemos definir los l´ımites inferior, E− ≥ 0 y su-perior, E+ ≤M , para la funcio´n E(t). Sera´ suficiente probar que ambos l´ımites coinciden.Razonamos entonces por reduccio´n al absurdo: Supongamos que α = E+ − E− > 0 (esun nu´mero estrictamente positivo). Sea T > 0, T >> tal que∫ +∞Ta(s) ds ≤ δ1(α), dondeδ1(α) se elegira´ ma´s adelante. Entonces:Sea t0 ≥ T , t0 >> tal que |E(t0)− E−| < α/4.Sea t1 ≥ T , t1 > t0 tal que |E(t1)−E+| < α/4.En particular, E(t1) > E(t0).Estimamos E(t1)− E(t0): De (3), deducimos que:E(t1)−E(t0) ≤ E(t0)(eA(t1)−A(t0) − 1)+∫ t1t0eA(t1)−A(s) b(s) ds.Observemos que si consideramos T >> y t ≤ t0 < t1, de la integrabilidad de lasfunciones a(t) y b(t) para t ∈ (0,+∞) se puede deducir la existencia de δ1 > 0,δ2 > 0 suficientemente pequen˜os tales que:A(t1)−A(t0) =∫ t1t0a(s) ds ≤∫ +∞Ta(s) ds < δ1,∫ t1t0eA(t1)−A(s) b(s) ds ≤ eδ1∫ t1t0b(s) ds ≤ δ2 eδ1 .Y as´ı,E(t1)− E(t0) ≤ E(t0)(eδ1 − 1)+ eδ1 δ2 < α/4.Ahora bien:α = E+ − E− = E+ −E(t1) + E(t1)− E(t0) + E(t0)− E− < 34 α,con lo que llegamos a contradiccio´n, quedando probado (5).En segundo lugar, integrando (3) en (0, t) se tiene que F ∈ L1(0,+∞). En efecto,∫ t0F (t) dt ≤ E(0) +M∫ t0a(s) ds+∫ t0b(s) ds ≤ C < +∞,luego∫ +∞0F (t) dt < +∞. Usando esto u´ltimo, podemos deducir que para cualquier δ > 0,existe un tiempo t∗1 = t∗1(δ) ≥ 0 suficientemente grande tal que:∫ +∞t∗1F (t) dt ≤ δ. (6)En particular, podemos decir que para cada δ > 0 existe un tiempo t∗1(δ) ≥ 0 suficiente-mente grande tal que:1τ∫ t+τtF (t) dt ≤ δτ, ∀ τ > 0, ∀ t ≥ t∗1(δ). (7)La prueba de los dos pro´ximos lemas la podemos encontrar en [2].4Estabilidad asinto´tica para modelos de Cristales L´ıquidos Nema´ticosLema 2 Sea F ∈ L1(0,+∞), F ≥ 0 en (0,+∞), verificando (7). Entonces, ∀ δ > 0,∀ t ≥ t∗1(δ) y ∀ τ > 0 existe un tiempo t¯ ∈ [t, t+ τ ] tal que:F (t¯) ≤ 2δτ. (8)De hecho, el conjunto de puntos t¯ ∈ [t, t+ τ ] que verifican (8) tiene medida ≥ τ/2.Para el siguiente resultado, suponemos que F (t) verifica la desigualdad diferencial:F ′(t) ≤ C2(F (t)3 + 1). (9)Lema 3 Sea F ∈ L1(t0,+∞) una funcio´n verificando (9). Para cualquier ε < 1, siF (t0) ≤ ε/3, entonces F (t) ≤ ε ∀t ∈ [t0, t0 + T∗(ε)], siendo T∗(ε) = ε3C2 .3.1. Estabilidad asinto´tica.Teorema 4 (ver [2]) Sea ε < 1, y F ∈ L1(0,+∞), F ≥ 0, tal que se verifican lasdesigualdades (7) y (9) para δ =ε236C2, t∗1 = t∗1(δ) y τ =T∗(ε)2. Entonces,F (t) ≤ ε, ∀ t ≥ t∗2 = t∗1 +T∗(ε)2= t∗1(δ) +ε6C2.Nota. En particular, F ∈W 1,1(t∗2,+∞) ↪→ C[t∗2,+∞).Corolario 5 Sea F ∈ L1(t0,+∞) una funcio´n que satisface la desigualdad (9). Entonces,F (t) es una funcio´n asinto´ticamente estable hacia 0, es decir,l´ımt→+∞F (t) = 0.3.2. Estabilidad desde un tiempo t0.Sea t0 ≥ 0. Dado ε > 0 cualquiera, definimos δ(ε) = ε236C2. Si suponemos que:(H1) E(t0) +∫ +∞t0b(t) dt ≤ δ(ε)eA,entonces, de (4) obtenemos: ∀ t1 > t0E(t1) +∫ t1t0F (t) dt ≤ eA(E(t0) +∫ t1t0b(s) ds)≤ δ(ε).En efecto, tenemos (6) para t∗1 = t0. Entonces, aplicando el Teorema 4, obtenemos:F (t) ≤ ε ∀t ≥ t0 + ε6C2(= t0 +T∗(ε)2)Si, adema´s,(H2) F (t0) ≤ ε3 ,entonces aplicando el Lema 3, obtenemos: F (t) ≤ ε ∀t ∈ [t0, t0+ T∗(ε)]. En resumen, bajolas hipo´tesis (H1) y (H2), llegamos a que:E(t) ≤ δ(ε), F (t) ≤ ε, ∀t ≥ t0.5B. Climent-Ezquerra, F. Guille´n-Gonza´lez, M.A. Rodr´ıguez-Bellido4. El modelo de cristales l´ıquidos nema´ticos (CLN)Supongamos que hs ∈ H3/2(Γ). Para obtener las estimaciones para (CLN), hacemosun levantamiento de la parte evolutiva del dato de contorno para d. Para ello, utilizamoscomo problema auxiliar (ver [1]):∂td˜−∆d˜ = 0 en Q, d˜ = he sobre Σ,siendo he ∈ L∞(0,+∞;H3/2(Γ)) ∩ L2(0,+∞);W5/3,3(Γ)). Adema´s, supondremos que hetiene un comportamiento en tiempo infinito tal que:d˜(t)→ 0 en H2(Ω) cuando t→ +∞. (10)Deducimos entonces que d˜ es una funcio´n con la siguiente regularidad:∂td˜ ∈ L2(0,+∞;L3(Ω)), d˜ ∈ L∞(0,+∞;H1(Ω)) ∩ L2(0,+∞;W2,3(Ω)) (11)d˜ ∈ L∞(0,+∞;H2(Ω)). (12)De ese modo, para d̂ = d− d˜ el sistema (CLN) se transforma en:˜(CLN)∂tu+ u · ∇u− ν∆u+∇p = −λ(∇d)t∆d en Q,∇ · u = 0 en Q,∂td̂+ u · ∇d+ γ(fδ(d)−∆d̂)= 0 en Q,u = 0, d̂ = hs sobre Σ,u|t=0 = u0, d̂|t=0 = d̂0 := d0 − d˜(0) en Ω.4.1. Estimaciones de´bilesTomando u como funcio´n test en la ecuacio´n para la velocidad y λ(−∆d̂+ fδ(d)) comofuncio´n test en la ecuacio´n para d̂, obtenemos la igualdad de energ´ıa:12ddtE(t) + F (t) = −λ(u · ∇d,∆d˜) + λ(∂td˜, fδ(d)), (13)donde E(t) = ‖u‖2L2(Ω) + 2λ∫ΩFδ(d) + λ‖∇d̂‖2L2(Ω),F (t) = ν‖∇u‖2L2(Ω) + γλ‖ −∆d̂+ fδ(d)‖2L2(Ω).Acotando los dos te´rminos a la derecha de (13), y en las hipo´tesis de regularidad (11) parad˜, obtenemos la ecuacio´n diferencial general:E′(t) + F (t) ≤ a(t)E(t) + b(t) (14)para a, b ∈ L1(0,+∞) con:a(t) =Cελ2ν‖∆d˜‖2L3(Ω) + Cλ2‖∂td˜‖L3(Ω),b(t) =(Cελ2ν‖∆d˜‖2L3(Ω) + Cλ‖∂td˜‖L3(Ω))‖d˜‖2H1(Ω) + Cλ2‖∂td˜‖2L3(Ω)‖hs‖2H1/2(Γ).6Estabilidad asinto´tica para modelos de Cristales L´ıquidos Nema´ticos4.2. Estimaciones fuertesPara facilitar la notacio´n reescribimos w = −∆d̂ + fδ(d), de manera que la ecuacio´npara d̂ se escribe de la forma:∂td̂+ u · ∇d+w = 0 en Q, d̂|Σ = 0 (15)Como ∂td̂|Σ = 0 y u|Σ = 0, entonces w|Σ = 0. Tomando −∆w como funcio´n test en (15)e integrando por partes, obtenemos:12ddt‖w‖2L2(Ω) + γ‖∇w‖2L2(Ω) = −(∇(u · ∇d),∇w) + (f ′δ(d)∂td,w). (16)Tomando ahora Au como funcio´n test en la ecuacio´n de la velocidad (siendo A el operadorde Stokes), obtenemos:12ddt‖∇u‖2L2(Ω) + ‖Au‖2L2(Ω) = −(u · ∇u, Au)− λ((∇d)t(∆d̂+∆d˜), Au). (17)Acotando la parte derecha de (16) y (17), usando las acotaciones:‖fδ(d(t))‖L2(Ω), ‖f ′δ(d(t))‖L3(Ω) ≤ C‖d(t)‖H2(Ω), ‖d̂(t)‖H2(Ω) ≤ C(‖w(t)‖2L2(Ω) + 1)‖d(t)‖H3(Ω), ‖d̂(t)‖H3(Ω) ≤ C(‖∇w(t)‖2L2(Ω) + 1)llegamos a una desigualdad diferencial del tipo (9), ya que:F ′(t) +G(t) ≤ C (1 + F (t) + F (t)3) ≤ C (1 + F (t)3)para:  F (t) = ν‖∇u‖2L2(Ω) + γλ‖ −∆d̂+ fδ(d)‖2L2(Ω),G(t) = ‖Au‖2L2(Ω) + ‖∇(−∆d̂+ fδ(d))‖2L2(Ω).5. Aplicacio´n del marco general al modelo (CLN).5.1. Estabilidad asinto´tica.Sean (u0, d̂0) ∈ L2(Ω) ×H1(Ω) dos funciones dadas y (u(t), d̂(t)) una solucio´n de´bilen [0,+∞) del sistema ˜(CLN). Como (3) y (9) se verifican, aplicando los resultados de laSeccio´n 3, obtenemos que (u(t), d̂(t)) es de hecho una solucio´n fuerte en [t∗1,+∞) para t∗1suficientemente grande con (u, d̂) ∈ L∞(t∗1,+∞;H1(Ω)×H2(Ω)), y:E(t)→ E∞ (≥ 0), F (t)→ 0 en R cuando t ↑ +∞,luego u(t) → 0 en H10(Ω) y w(t) → 0 en L2(Ω) cuando t ↑ +∞. Adema´s, como d̂ ∈L∞(t∗1,+∞;H2(Ω)) para cada sucesio´n tj ↑ +∞, existe una subsucesio´n (tjk) ⊂ (tj) talque d̂(tjk) ⇀ d¯ en H2(Ω)-de´bil para k ↑ +∞. Usando (10), se tiene que d(tjk) ⇀ d¯ en7B. Climent-Ezquerra, F. Guille´n-Gonza´lez, M.A. Rodr´ıguez-BellidoH2(Ω)-de´bil y fδ(d(tjk)) → fδ(d¯) en L2(Ω) para k → +∞, luego podemos deducir que d¯es un punto cr´ıtico de la energ´ıa ela´stica Ee(d) sujeto a d|Γ = hs, es decir, una solucio´ndel problema estacionario:−∆d¯+ fδ(d¯) = 0 en Ω, d¯|Γ = hs. (18)Notemos que E∞ =λ2(‖∇d¯‖2L2(Ω) + 2∫ΩF (d¯))= Ee(d¯), es decir, cada posible l´ımitedel campo de direcciones, d¯, cuando t ↑ +∞ es un punto cr´ıtico de la energ´ıa ela´stica ytodos sus posibles l´ımites tiene la misma energ´ıa ela´stica E∞.Aunque el problema estacionario (18) no tiene unicidad, un problema abierto intere-sante es saber si la dina´mica del problema evolutivo converge hacia un u´nico punto cr´ıtico(un resultado afirmativo se puede ver en [8] para el problema con condiciones de contornoperio´dicas).5.2. Estabilidad desde un instante t0.Si (u(t0),d(t0)) son tales que se verifican las hipo´tesis (H1) y (H2) de la Subseccio´n3.2, entonces para cada t ≥ t0, aplicando los resultados de la Seccio´n 3 obtenemos que:E(t) :=12‖u(t)‖2L2(Ω) +λ2‖∇d̂(t)‖2L2(Ω) + λ∫ΩFδ(d(t)) ≤ δ(ε),F (t) := ν‖∇u(t)‖2L2(Ω) + γλ‖w(t)‖2L2(Ω) ≤ ε,lo que permite concluir el resultado de estabilidad de E(t) y F (t) desde el instante t = t0.AgradecimientosLos autores han sido parcialmente financiados por los proyectos MTM2006-07932 delMinisterio de Educacio´n y Ciencia Espan˜ol y P06-FQM-02373 de la Junta de Andaluc´ıa.Referencias[1] B. Climent-Ezquerra, F. Guille´n-Gonza´lez, M. J. Moreno-Iraberte. Regularity and Time-periodicityfor a Nematic Liquid Crystal model. Nonlinear Analysis 71 (2009), 539-549.http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2008.10.092[2] B. Climent-Ezquerra, F. Guille´n-Gonza´lez, M. A. Rodr´ıguez-Bellido. Stability for nematic liquidcrystals with stretching terms. Sometido.[3] B. Climent-Ezquerra, F. 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Estabilidad asintótica para modelos de cristales líquidos nemáticos

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