Gérard, C

Gérard, Céline

HAL-MINES ParisTech

Mesures de champs et identification de mode`les deplasticite´ cristallineCe´line Ge´rardTo cite this version:Ce´line Ge´rard. Mesures de champs et identification de mode`les de plasticite´ cristalline. Col-loque National MECAMAT, 2006, Aussois, France. 2006. <hal-00177914>HAL Id: hal-00177914https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00177914Submitted on 10 Oct 2007HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.MESURES DE CHAMPS ET IDENTIFICATION DE MODELES DE PLASTICITECRISTALLINEC. Gérard∗Fédération Francilienne de Mécanique des Matériaux Structures et Procédés (F2M-msp),FR2609 CNRS.Téléphone : 06 14 99 23 93, Télécopie : 01 60 76 31 50Adresse électronique : celine.gerard@mat.ensmp.frMots clés : plasticité cristalline, chargement non proportionnel, mesures de champs, règles de transi-tion d’échelle.1 INTRODUCTIONLes travaux et recherches menés en vue de la description du comportement plastique de matériauxpolycristallins connaissent un nouvel essort du fait de la convergence des moyens d’analyse expéri-mentaux, telle la microextensométrie, et des outils de simulation comme le calcul d’agrégat polycris-tallin et l’homogénéisation non linéaire. La confrontation de ces approches est un enjeu majeur dece travail. Des essais mécaniques avec trajets de chargement complexe sont effectués, analysés, puisconfrontés aux résultats de simulation.2 MATERIAU ET PROCEDURE EXPERIMENTALELe matériau étudié est un cuivre électrolytique laminé à chaud puis à froid, et recristallisé. Il comporteune texture cube marquée. La microstructure a été caractérisée par EBSD (Electron Back ScatteringDiffraction). La taille moyenne des grains est de l’ordre de 25µ.FIG. 1 – A gauche : Cartographie EBSD réalisée au centre de la zone utile de l’éprouvette sur une surfacede 500µ . Un pointé tous les 3µ ; à droite : figure de pôle associée montrant la texture cube du matériau.L’éprouvette était orientée à -45 degrés de la direction de laminage.Le trajet de chargement retenu fait intervenir un pré-cisaillement dans la direction de laminage, suivid’une traction simple dans l’axe du cisaillement, ou orienté à 45 degrés par rapport à cette direction.La déformation totale imposée lors du pré-cisaillement est de 1,5%, et de 4% lors de la traction.1Les laboratoires impliqués dans la thèse préparée par l’auteur sont :• Centre des Matériaux, avec G.Cailletaud, et S.Forest, (CNRS, ENSMP, BP87, 91003 Evry cedex),• LPMTM, avec B.Bacroix, O.Castelnau, et R.Brenner, (CNRS, Univ. Paris13, 93430 Villetaneuse),• LMS, avec M.Bornert, et J.Crépin, (CNRS, EP, 91128 Palaiseau cedex),• LIM, avec P.Gilormini, (CNRS, ENSAM, 151 Bd de l’Hôpital, 75013 Paris),• Division R&D, EDF Centre des Renardières, avec S.Leclercq (77818 Moret sur Loing).1FIG. 2 – Géométrie de l’éprouvette de pré-cisaillement, et de celle de traction prélevée dans l’éprouvette depré-cisaillement.La traction est effectuée sous microscope électronique à balayage. Des mesures de champs sont réa-lisées par corrélation d’images, avec un marquage par grille d’or déposée par microlithographie(Doumalin, 00). Le pas de la grille est de 4µm. Le schéma d’intégration retenu pour le calcul de ladéformation est défini par les 4 intersections de grilles les plus proches du point où la corrélation esteffectuée.3 RESULTATS OBTENUSLes cartographies de champs de déformation obtenues font apparaître des bandes de concentration dela déformation orientées à 45 degrés pour l’éprouvette prélevée dans la direction de laminage (et decisaillement). L’hétérogénité locale de déformation est comprise entre 0,5 et 6% de déformation.FIG. 3 – Déformation équivalente au sens de von Mises, obtenue par corrélation d’images, sur une zone de500µ de côté. La traction a été effectuée selon la direction 1. L’hétérogénéité de déformation locale est compriseentre 0,5% et 6%.4 MODELES UTILISES4.1 Modèles de monocristalLa simulation a été réalisée successivement avec deux lois de comportement : celle de Tabourot(Tabourot, 2001), et celle de Cailletaud (Cailletaud, 1987), lesquelles diffèrent par leur description del’écoulement et de l’écrouissage. Le modèle de Tabourot n’a pas de seuil et présente un écrouissagemultiplicatif, tandis que celui de Cailletaud présente un seuil et un écrouissage additif.On se situe dans le cadre d’un formalisme viscoplastique, en petites déformations, et on définit :– le tenseur d’orientation m∼s pour chaque système s :m∼s =12(ns ⊗ ls + ls ⊗ ns), (1)où ns est le vecteur normal au plan de glissement, et ls la direction de glissement dans ce plan,– la cission résolue τ s sur le système s :τ s = σ∼: m∼s, (2)– le tenseur vitesse de déformation plastique ε˙∼p connaissant les vitesses de glissement γ˙s :ε˙∼p =∑sm∼sγ˙s. (3)2La loi de comportement de Tabourot admet pour variable interne la densité de dislocations ρs sur lesystème s. La loi d’écoulement adoptée est une loi de type puissance :γ˙s = γ˙0 (τ sτ sc)|τsτ sµ|( 1m−1), (4)où γ˙s est la vitesse d’écoulement sur le système s, γ˙0 la valeur de référence de la vitesse d’écoule-ment, τ s la cission résolue sur le système s, τ sc la cission critique sur le système s, m un exposantcaractérisant la sensibilité à la vitesse. L’expression de la cission critique dépend des densités dedislocations :τµs = αµ b√dspρp, (5)où est utilisé la convention sur l’indice répété (la somme porte sur le nombre de systèmes du mono-cristal), et où α désigne un facteur de proportionnalité, µ le module de cisaillement, b la norme duvecteur de Burgers, et dsp la matrice d’écrouissage.La loi d’écrouissage repose sur la description des mécanismes physiques à une échelle microscopique,ici essentiellement les mouvements de dislocations. Trois types sont plus précisément pris en compte :la production, le blocage et l’annihilation. Cette loi d’écrouissage s’exprime ainsi :ρ˙s =1b(√aspρpK− 2ycρs)γ˙s, (6)avec les notations suivantes en plus de celles précédemment adoptées : a(sp) : intègre la géométrie del’interaction entre les dislocations s et les dislocations forêts p, ρs : densité de dislocations du systèmes considéré, ρ(p) : densité des dislocations forêts, K : facteur de proportionnalité entre le libre parcoursmoyen d’une dislocation, et une forêt, yc = Rβ, R : rayon de capture, β : facteur correctif : seule unepartie de la dislocation est annihilable, γ˙s : taux de déformation sur le système s considéré.Afin de donner à ce modèle une forme opérationnelle plus intéressante pour effectuer une intégrationnumérique, il peut être utile de travailler sur une variable adimensionnelle, donc traduisant mieux unedéformation, et dont les valeurs numériques ne seront jamais extrêmes. On utilisera donc dans la suitele changement de variable :rs = b2ρs. (7)Dans ces conditions, la loi d’écoulement reste inchangée, tandis que la cission critique et la loid’écrouissage peuvent se réexprimer :τc(s) = αµ√d(sp)r(p) (8)r˙(s) =(√ar(s)K− 2ycsr(s))γ˙(s) (9)où ycs = ycb .Le modèle de Cailletaud est un modèle phénoménologique qui transpose à l’échelle du système deglissement les modèles d’écrouissage isotrope et cinématique classiquement utilisés à l’échelle ma-croscopique. Néanmoins il prend en compte les spécificités de l’écrouissage sur les systèmes, en par-ticulier au travers d’une matrice d’écrouissage. Le taux de déformation est donné par une expressionde type viscoplastique à seuil :γ˙s =〈‖τ s − xs‖ − rsk〉nsign(τ s − xs) où 〈x〉 = Max(x, 0), (10)avec :xs = cαs et α˙s = γ˙s − dv˙sαs, (11)et,rs = r0 + Q∑hsr{1− e(−b∗vr)}. (12)La matrice d’interaction hsr relie les écrouissages isotropes dus aux différents systèmes de glisse-ment, et prend ainsi en compte les effets de l’écrouissage latent. Les notations ici employées sont :xs : écrouissage cinématique, rs : écrouissage isotrope, k : paramètre de viscosité, n : paramètrede viscosité, αs : variable d’état de l’écrouissage cinématique, vs : variable d’état de l’écrouissageisotrope, glissement plastique cumulé, r0 : seuil initial sur tous les systèmes, Q : capacité de durcisse-ment, hsr : matrice d’interaction, b∗ : coefficient caractérisant la vitesse de saturation de l’écrouissageisotrope.34.2 Règles de transition d’échelleOn utilisera successivement deux approches à champ moyen, le modèle affine (Brenner, 01 et Mas-son, 98), et la règle en β (Cailletaud, 1987, et Pilvin, 1990). On considère donc que contraintes,déformations totales et déformations plastiques sont constantes dans chaque «grain», ou phase cris-tallographique. L’élasticité est supposée isotrope et homogène dans chaque grain, ce qui permettrad’obtenir la déformation plastique macroscopique comme la moyenne des déformations dans chaque«grain», soit, en introduisant la fraction volumique fg de la phase g :ε∼p =∑gfg ε∼g. (13)La règle en β est une approche phénoménologique de la règle de transition. Elle est formulée ci-dessous dans le cas où les grains sont sphériques, et l’élasticité isotrope. On note respectivement parσ∼et ε∼p les tenseurs de contrainte et de déformation plastique macroscopiques, et par σ∼g et ε∼g lestenseurs de contrainte et de déformation plastique sur le grain g. La déformation macroscopique estdonc la moyenne des déformations plastiques des phases telle que :σ∼g = σ∼+ µ∑g(β∼− β∼g), (14)où est effectué l’approximation traditionnelle : 2(1 − β) = 2(7 − 5ν)/(1 − ν)/15 ≈ 1, et où lesvariables β∼remplacent les déformations plastiques. On introduit β∼g sur chaque grain, et leur moyennesur l’agrégat :β∼=∑gfgβ∼g (15)La variable β∼g permet de rendre compte d’une accommodation non linéaire en raison de sa loi d’évo-lution :β˙∼g= ε˙∼g −D (β∼g − δε∼g)‖ε˙∼g‖, (16)où D et δ sont deux paramètres qui dépendent de la loi de comportement locale et du type de micro-structure, et qui sont calés sur des calculs d’agrégats. La différence (β∼−β∼g) se sature en effet lorsquela déformation augmente.Les courbes de contrainte-déformation ainsi obtenues sont confrontées aux résultats expérimentaux.Un calcul d’agrégat par la méthode des éléments finis en cours, permettra ainsi de confronter leschamps obtenus aux résultats expérimentaux d’une part et de recaler le modèle en vue d’exploiterd’autres trajets de chargement.5 REMERCIEMENTSL’auteur voudrait exprimer tous ses sincères remerciements à MM. JL.Dourmaux et D.Caldemaisonpour leur investissement au niveau expérimental. Il exprime également sa gratitude à EDF pour sonsoutien.REFERENCESBrenner R., "Influence de la microstructure sur le comportement en fluage thermique d’alliages dezirconium : analyse expérimentale et mise en oeuvre de méthodes d’homogénéisation", PhD. thesis,2001, Université Paris Nord, Paris 13.Cailletaud G., "Une approche micromécanique phénoménologique du comportement inélastique desmétaux", Thèse de doctorat d’Etat, 1987, Université Pierre et Marie Curie, Paris 6.Doumalin P., "Microextensométrie locale par corrélation d’images numériques", PhD. thesis, 2000,Ecole Polytechnique.Masson R., "Estimations non linéaires du comportement global de matériaux hétérogènes en formu-lation affine", PhD. thesis, 1998, Ecole Polytechnique.Pilvin P., "Approches multiéchelles pour la prévision anélastique des métaux", PhD. thesis, 1990,Université Pierre et Marie Curie, Paris 6.Tabourot L., "Vers une vision unifiée de la plasticité cristalline", Habilitation à Diriger desRecherches, 2001, Université de Savoie.4

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