National audienceLes matériaux élastomères chargés en Noir de Carbone constituant la gomme des matériaux pneumatiques sont habituellement considérés comme homogènes à l'échelle de la structure. À une échelle plus fine, de l'ordre du micromètre ils présentent une structure hétérogène. Cette microstructure biphasée (matrice + inclusions) caractérise le mélange polymère-Noir de Carbone (NC). Les propriétés mécaniques macroscopiques du matériau élastomère chargé dépendent très fortement de ses caractéristiques microstructurales. On cherche à établir le lien existant entre les deux échelles d'étude (structure et microstructure). On identifie la microstructure par la morphologie des charges de Noir de Carbone dans la matrice polymère et par les propriétés mécaniques de chacun des constituants. On modélise ici la morphologie du matériau d'étude à l'échelle microscopique pour laquelle les deux phases sont mises en jeu (matrice polymère + NC). La modélisation choisie s'appuie sur des outils de la morphologie mathématique et a largement été étudiée dans de nombreux travaux. L'observation et la caractérisation de la microstructure à modéliser s'effectue à l'aide d'outils tels que la microscopie à transmission ou encore l'analyse d'images

Besson, Jacques

Chalons, Hervé

Forest, Samuel

Mazière, Matthieu

Tanguy, Benoit

Vogel, François

HAL-MINES ParisTech

Influence de la loi de comportement sur la pre´vision del’e´clatement d’un disque de turbomachineMatthieu Mazie`re, Jacques Besson, Samuel Forest, Benoit Tanguy, Franc¸oisVogel, Herve´ ChalonsTo cite this version:Matthieu Mazie`re, Jacques Besson, Samuel Forest, Benoit Tanguy, Franc¸ois Vogel, et al.. Influ-ence de la loi de comportement sur la pre´vision de l’e´clatement d’un disque de turbomachine.18e`me congre`s franc¸ais de me´canique, Aug 2007, Grenoble, France. 6 p., 2007. <hal-00192936>HAL Id: hal-00192936https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00192936Submitted on 14 Nov 2013HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007Influence de la loi de comportement sur la prévision de l’éclatement d’undisque de turbomachineM. Mazière, J. Besson, S. Forest, B. Tanguy, F. Vogel & H. ChalonsCentre des Matériaux, CNRS, Ecole des Mines de ParisUMR 7633, BP 87, 91003 EvryTéléphone : 33 1 60763045 / Télécopie : 33 1 60763150matthieu.maziere@mat.ensmp.frRésumé :L’éclatement de disques de turbomachines est étudié dans cette article. Des outils de contrôle des calculs et deprévision de perte de stabilité sont d’abord mis en place pour réaliser des simulations numériques. Le modèlede comportement initial du matériaux constituant les disques est ensuite reconsidéré en modifiant certains deses paramètres tels que le critère de plasticité, la loi d’écrouissage, ou la loi d’écoulement. L’influence de cesmodifications sur la vitesse limites des disques est enfin présenté.Abstract :Burst of turbo-engine turbine discs is studied in this article. Some tools such as computation control algorithms andstability indicators are developed to perform numerical simulations. The initial behavior model of the constituentmaterial of discs is then reconsidered changing some parameters such as the yield criterion, the hardening law, orthe flow rule. The influence of those changes on the limit spin rate is finally presented.Mots-clefs :Stabilité, Elastoviscoplasticité, Turbomachines1 IntroductionL’amélioration des turbomachines actuelles impose une prévision de plus en plus précise dela durée de vie des pièces les composant. La tenue en survitesse des pièces tournantes est égale-ment une vérification fondamentale à effectuer lors de la conception de nouveaux moteurs. Laréglementation impose ainsi au motoriste de démontrer lors d’essais sur banc que les pièces enquestion n’éclatent pas sous l’effet du chargement centrifuge, cela pour des vitesses supérieuresde 20% aux conditions normales de fonctionnement. Un des objectifs des recherches menéesactuellement sur le sujet est d’arriver à évaluer une vitesse d’éclatement des disques en rotation,afin de compléter les essais expérimentaux réalisés jusqu’ici. La réalisation de cet objectif passepar le développement et l’utilisation d’outils performants pour évaluer les risques d’instabilitésdans la structure, et par une connaissance précise du comportement du matériau utilisé.Cette étude présente dans un premier temps certains outils disponibles dans la littérature ou dé-veloppés par nos soins afin d’étudier les instabilités. Nous présenterons ainsi les algorithmes àlongueur d’arc proposés notamment par Riks (1979),Crisfield et al. (1997) ; les critères de sta-bilité globaux comme ceux de Hill (1958),Hill (1959),Nguyen (2000), et locaux comme dansDrucker (1950),Estrin and Kubin (1988),Neilsen and Schreyer (1993). Ces outils permettentpour une loi de comportement donnée de dégager une vitesse maximale globale ωGlo corres-pondant à l’état de charge ultime admissible par la structure, ainsi qu’une vitesse d’apparitiond’instabilités locales ωLoc.118 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007Cependant la loi de comportement du matériau comporte de nombreux paramètres susceptiblesd’influencer fortement la réponse de la structure. Les valeurs calculées des vitesses présentéesci-dessus sont tributaires de la précision prise lors de la description numérique du comporte-ment. Il est donc indispensable d’évaluer la sensibilité des vitesses calculées envers ces dif-férents paramètres, afin de nuancer les conclusions obtenues lors de la comparaison avec lesrésultats expérimentaux d’éclatement.Après avoir présenté les outils utilisés, nous étudierons ici l’influence de trois paramètres à sa-voir, le critère de plasticité retenu, la dispersion des propriétés du matériau dans la pièce, etla viscosité. Ce dernier paramètre sera lui même étudié de deux manières, d’une part avec unmodèle classique de type Norton, et d’autre part avec un modèle à sensibilité inverse en vitesseen tenant compte du vieillissement dynamique. Nous discuterons enfin de l’importance de telou tel paramètre sur les résultats obtenus.2 Outils2.1 Contrôle par longueur d’arcLe problème mécanique d’un disque en rotation a été rapporté pour cette étude à un pro-blème statique de chargement centrifuge. Le problème étant traité numériquement en grandesdéformations, il existe un maximum en vitesse, même pour un comportement non adoucissantdu matériau. Une méthode de pilotage du calcul uniquement en effort ne permet pas de dépasserce point limite et entraine une divergence du calcul lorsque l’on atteint cette valeur. Le contrôlepar longueur d’arc permet lui de poursuivre la simulation et ainsi de déterminer une vitesse derotation maximale théorique.2.2 Critères de stabilitéLa stabilité des disques en rotation a été étudiée ici à partir d’une formulation mécanique duproblème en grandes déformations et en vitesse. Les critères obtenus et présentés dans (1) ontété définis dans Hill (1958) ; nous les avons étendus au cadre de chargements centrifuges. Ilssont basés sur une grandeur appelé travail du second ordre, équivalent au produit contracté dutenseur des taux de contrainte de Piola-Kirchoff 1 ˙S∼ par la dérivée temporelle du gradient de ladéformation ˙F∼ . Ce travail du second ordre se trouve corrigé dans le cas d’un disque en rotationen raison de l’augmentation de l’effort avec la déformation du disque et l’augmentation durayon (effet spin-softening). On obtient la grandeur [SOWC] donnée en (1) ainsi que les critèresde stabilité locaux et globaux associés.[SOWC] = ˙S∼ : ˙F∼ −ρ0‖v ×ω ‖2Critère Global : ωGlo tqRΩ0[SOWC]dv0 < 0Critère Local : ωLoc tq [SOWC] < 0 en un point au moins(1)2.3 ApplicationUne première série de modélisations a été effectuée sur des disques réels afin de comparerles valeurs de vitesse limite avec l’expérience. Dans un premier temps le modèle de matériaua été pris le plus classique possible et constituera la référence. La loi matériau elasto-visco-plastique a ainsi les attributs suivant : le critère de plasticité est ainsi celui de von Mises ; les218 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007paramètres d’écrouissage, ceux de la peau du disque (cf section 3.2) ; et le modèle est pris sansviscosité. Les calcul sont effectuées sur un disque de turbine haute pression (HP) de moteurd’hélicoptère pouvant être modélisé par un maillage en 2D axisymètrique. Les résultats obtenussont présentés figure 1.xy z1.1e+03 1.4e+03 1.7e+03 2.e+03 (MPa) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 <0 >0(a) (b) (c) (d)FIG. 1 – (a) Disque de turbine haute pression (b) Contrainte de von Mises (b) Déformation plastiquecumulée (c) Signe du travail du second ordre [SOWC]3 Influence des paramètres de la loi de comportement3.1 Influence du critère de plasticitéLe premier paramètre pris en compte dans cet étude est le type de critère de plasticité retenu.Parmi les critères isotropes on peut comparer les résultats obtenus avec le critère de Tresca àceux de référence (obtenus avec le critère de von Mises). L’écart entre les deux critères estmaximal pour une sollicitation de cisaillement ou de déformations planes et vaut alors√3/2 soitune différence de 14% en contraintes. La différence en terme de vitesses de rotation peux alorsatteindre jusqu’à 7%. Or, comme l’ont montrés Timoshenko and Goodier (1934) et Roark andYoung (1982), le chargement auquel est soumis un disque en rotation est essentiellement biaxialavec une prépondérance pour la contrainte tangentielle. On peut donc s’attendre à trouver unedifférence entre les modélisations effectuées avec les deux critères. Les deux calculs ont étéeffectués sur le disque HP et les résultats sont donnés figure 2.3.2 Influence du gradient des propriétés de matériauLe deuxième paramètre étudié concerne le gradient des propriétés du matériau au sein d’undisque de turbine. Devy et al. (1990) ont montré que la vitesse de trempe entre la peau et lecoeur d’un disque lors des traitements thermiques pouvait varier aisément d’un rapport 10, cequi peut entraîner un variation de 10% sur la courbe d’écrouissage dans son ensemble. Il estdonc intéressant d’évaluer l’influence d’un décalage de la limite d’élasticité ou de la contraintemaximale sur la vitesse limite. Au premier ordre, une variation de 10% en contrainte entraineune variation de 5% en vitesse de rotation. Le calcul a été effectué sur le disque HP pour quatrelois de comportement à savoir celle de référence et trois autres affaiblies de 10% au niveau duR0, de 5% au niveau du Rm, ou des deux. Les résultats sont donnés figure 3.318 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007R0 = 1205MPa, Rm = 2324MPa, Tresca Y.CR0 = 1205MPa, Rm = 2324MPa, von Mises Y.CExternal radial displacement (mm)Spincelerity/Maximalcelerity(%)1086420100959085807570FIG. 2 – Influence du critère de plasticité3.3 Influence de la viscositéLe dernier paramètre étudié ici concerne la viscosité du matériau. Ce paramètre est introduitdans la loi de comportement à l’aide d’une relation d’écoulement entre le seuil de plasticité fet la vitesse de déformation plastique cumulée p˙.R(p, p˙) = R(p)+ f (p˙) avec f (p˙) = σ0asinh(p˙ε˙0)(2)Dans le cas plastique (pas de viscosité), la fonction f (p˙) est nulle. En viscosité classiquecette fonction est croissante monotone. En comparaison avec le cas plastique, la stabilité de lastructure se trouve alors augmentée en terme d’effort et diminuée en terme de déplacement.Comme pour le critère de plasticité et la limite élastique, la viscosité joue donc un rôle impor-tant dans l’évaluation des vitesses limites. Des calculs ont été effectués sur le disque HP pourdifférente fonctions f (p˙) croissantes, et les résultats sont donnés figure 4.Le dernier cas traité ici concerne un comportement du matériau présent dans certains alliagessensibles au vieillissement dynamique. Ce dernier présente alors une sensibilité inverse à lavitesse à savoir que la fonction f (p˙) est décroissante sur une plage de p˙. Ce comportementse traduit par l’apparition de bandes de Luders ou par l’effet Portevin-Le Chatelier que nousavons simulé à l’aide d’un modèle proposé par MacCormick (1989). La conséquence est unelocalisation de la vitesse de déformation dans une zone instable de la structure comme le montrel’exemple sur une plaque simple figure 5. Ce type de comportement sera testé ultérieurementsur des simulation de disques en rotation.4 ConclusionsLe calcul de référence présenté dans la partie 2.3 a permis de dégager une vitesse de ro-tation limite d’un disque de turbomachine. Les résultats de ce calcul ont été ensuite nuancésen jouant sur trois paramètres principaux de la loi de comportement. Le changement de critère418 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007R0 = 1085MPa, Rm = 2204MPa, von Mises Y.C.R0 = 1205MPa, Rm = 2204MPa, von Mises Y.C.R0 = 1085MPa, Rm = 2324MPa, von Mises Y.C.R0 = 1205MPa, Rm = 2324MPa, von Mises Y.C.External radial displacement (mm)Spincelerity/Maximalcelerity(%)1086420100959085807570FIG. 3 – Influence de la loi d’écrouissagede plasticité ou la diminution de la loi d’écrouissage ont affaibli le disque, la prise en compted’une viscosité classique l’a renforcé. La prise en compte d’une viscosité à sensibilité inverseen vitesse accélère elle les instabilités locales dues aux phénomènes de localisation. Il nousreste à établir un modèle matériau complet et fidèle tenant compte de tous ces paramètres afindéterminer une vitesse d’éclatement des disques.RéférencesCrisfield, M., Jelenic, G., Mi, Y., Zong, H., and Fan, Z. (1997). Some aspects of the non-linearfinite element method. Finite Element and Design, 27 :19–40.Devy, F., Benallal, A., Boucherit, A., Marquis, D., and Mosser, P. (1990). Modélisation de latrempe à l’huile de disques de turboréacteurs en superalliage base nickel. Revue Françaisede Mécanique, 2 :143–157.Drucker, D. (1950). Some implications of work hardening and ideal plasticity. Quaterly ofApplied Mathematics, 7 :411–418.Estrin, Y. and Kubin, L. (1988). Plastic instabilities : Classification and physical mechanisms.Res Mechanica, 23 :197–221.Hill, R. (1958). A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids. J. Mech.Phys. Solids, 6 :236–249.Hill, R. (1959). Some basic principles in the mechanics of solids without a natural time. J.Mech. Phys. Solids, 7 :209–225.MacCormick, P. (1989). Theory of flow localisation due to dynamic strain ageing. Acta Metall.,36 :3061–3067.Neilsen, M. and Schreyer, H. (1993). Bifurcations in elastic-plastic materials. Int. J. SolidsStructures, 30 :521–544.518 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007PlasticityViscosity (ε˙0 = 10−8s−1,σ0 = 1MPa)Viscosity (ε˙0 = 10−8s−1,σ0 = 3MPa)Viscosity (ε˙0 = 10−8s−1,σ0 = 10MPa)External radial displacement (mm)Spincelerity/Maximalcelerity(%)10864201051009590858075FIG. 4 – Influence de la viscosité(a)0 0.00063 0.00126 0.00189 0.00252 <0 >0(b)FIG. 5 – (a) Vitesse de déformation plastique cumulée (b) Travail du second ordre - Indicateur de stabilitéNguyen, Q. (2000). Stabilité et mécanique non linéaire. Hermes.Riks, E. (1979). An incremental approach to the solution of snapping and buckling problems.Int. J. Solids Structures, 15 :529–551.Roark, J. and Young, W. (1982). Formulas for stress and strain. McGraw-Hill Edition.Timoshenko, S. and Goodier, J. (1934). Theory of elasticity. McGraw-Hill Edition.6

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