Titre du résumé joint : Modélisation de l'endommagement par l'évolution d'une fonction de niveau le modèle TLS (Thick Level Set)National audienceEn endommagement brutal, la rupture se fait le long d'une frontière mobile accompagnée de discontinuités fortes du gradient du déplacement. On propose un modèle d'endommagement plus régulier fondé sur le mouvement d'une couche de largeur finie lc au sein de laquelle l'endommagement varie de façon continue. Cette approche permet dans un même cadre d'initier et de propager des défauts.See http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/59/27/32/ANNEX/r_E3IGVTN6.pd

Bernard, Paul-Émile

Chevaugeon, Nicolas

Moës, Nicolas

Stolz, Claude

Titre du résumé joint : Modélisation de l'endommagement par l'évolution d'une fonction de niveau le modèle TLS (Thick Level Set)National audienceEn endommagement brutal, la rupture se fait le long d'une frontière mobile accompagnée de discontinuités fortes du gradient du déplacement. On propose un modèle d'endommagement plus régulier fondé sur le mouvement d'une couche de largeur finie lc au sein de laquelle l'endommagement varie de façon continue. Cette approche permet dans un même cadre d'initier et de propager des défauts.See http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/59/27/32/ANNEX/r_E3IGVTN6.pd

Moes, Nicolas

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Mode`les d’endommagement par level-set epaisse :solutions analytiques et simulationsClaude Stolz, Nicolas Moe¨s, Paul-E´mile Bernard, Nicolas ChevaugeonTo cite this version:Claude Stolz, Nicolas Moe¨s, Paul-E´mile Bernard, Nicolas Chevaugeon. Mode`lesd’endommagement par level-set epaisse : solutions analytiques et simulations. 10e colloquenational en calcul des structures, May 2011, Giens, France. 8 p. ; Cle´ USB, 2011. <hal-00592732>HAL Id: hal-00592732https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00592732Submitted on 3 May 2011HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.CSMA 201110e Colloque National en Calcul des Structures9-13 Mai 2011, Presqu’île de Giens (Var)Modèles d’endommagement par level-set épaisse. Solutions analy-tiques et simulationsC. Stolz1, N. Moës2, P. E. Bernard2, N. Chevaugeon21 LMS,CNRS UMR7649, École Polytechnique & LaMSID, EdF-CEA- CNRS UMR2832, France, stolz@lms.polytechnique.fr,2 GEM, CNRS UMR6183, École Centrale Nantes, France, nicolas.moes@ec-nantes.frRésumé — En endommagement brutal, la rupture se fait le long d’une frontière mobile accompagnéede discontinuités fortes du gradient du déplacement. On propose un modèle d’endommagement plusrégulier fondé sur le mouvement d’une couche de largeur finie lc au sein de laquelle l’endommagementvarie de façon continue. Cette approche permet dans un même cadre d’initier et de propager des défauts.Mots clés — endommagement, level-set, frontière mobile.1 IntroductionDans le cas de l’endommagement brutal, la zone endommagée est décrite comme une zone ne pou-vant supporter des efforts de traction à partir d’une valeur critique de contrainte, d’énergie ou de défor-mation. À partir de cette seule propriété, la dissipation est obtenue sous la forme d’une intégrale sur lefront [8]Dm =ZΓg(s)a(s) dsoù g(s) désigne le taux de restitution d’énergie locale et a(s) la vitesse de propagation normale du frontd’endommagement. Plusieurs formulations variationnelles ont été données pour étudier la stabilité et lanon bifurcation du front d’endommagement Γ. Les problèmes en vitesse étudiés montrent que, dans lecas fragile, l’évolution n’est pas toujours unique, il y a souvent multiplicité de solutions pour des critèresde type Griffitha(s)≥ 0, g(s)≤ gc, (g(s)−gc)a(s) = 0.Ce modèle ne contient pas de longueur caractéristique. Par ailleurs, il a été montré que la prise en compted’une énergie de surface β rend le front plus stable [7] car le nouveau taux de restitution d’énergie devientgβ(s) = g(s)−Γ(s)β≤ Gc,où apparait la courbure du front. Cette approche étudie de fait la propagation d’un front existant et nepermet pas de décrire la phase d’initiation d’un défaut, même si des critères d’initiation de défauts ontété formulé à partir d’analyse de bifurcation d’un défaut infinitésimal [10]. Il est par ailleurs facile demontrer que la présence d’une énergie de surface induit une charge critique infinie quand le front seréduit à un défaut sphèrique de rayon infinitésimal.Pour pallier ces difficultés, on propose une nouvelle formulation de l’endommagement fondée sur lapropagation d’une zone de transition continue entre le milieu sain et le milieu rompu dans une couched’épaisseur finie.2 Le modèle d’endommagementOn considère un corps Ω soumis à des efforts de surface T d sur ∂ΩT et des déplacements ud sur lapartie complémentaire de la frontière ∂Ωu. Sous l’influence de ce chargement le corps se déforme, onnote u le champ de déplacement sur Ω.Le corps est constitué d’un matériau élastique endommageable dont l’énergie libre w(ε,d) est fonc-tion de la déformation ε = 12(∇uT + ∇u) et d’une variable d’endommagement d,0 ≤ d ≤ 1. On note de1façon classique les forces thermodynamiques associés aux paramètresσ =∂w∂ε,Y =−∂w∂d.Pour un tel milieu la dissipation mécanique intrinsèque s’écritDm =ZΩY d˙ dΩ≥ 0.Sur les surfaces, séparant d’une part le milieu sain du milieu endommagé Γo et d’autre part le milieuendommagé et le milieu rompu Γc, on montre que l’énergie est continue et que le tenseur des contraintesest continu. Il n’existe pas de surface de discontinuités fortes du gradient du déplacement le long de ceslignes.La level-set φ = 0 sépare la zone saine de la zone endommagée. On propose de décrire l’endomma-gement d comme une fonction continue explicite d(φ) de la level-set choisie ici comme une fonctiondistance à la surface φ = 0, [6]. Dans le domaine où le gradient de la level-set est continu, nous avons lacaractérisationd = 0, φ≤ 0 ; d′(φ)≥ 0, 0≤ φ < lc ; d(φ) = 1, φ≥ lc.Cette représentation est illustrée Figure 1. La distance minimale pour laquelle l’endommagement entreen point à l’état d = 0 et un point d = 1 est lc.FIG. 1 – Le repère localUtilisant cette définition, la dissipation devientDm =ZΓZ loYd′(φ) (1−Γφ) φ˙ dφ ds.L’évolution de la level-set est donnée par une équation de transport convectifφ˙−a(s)∇φ.ν = 0,où la vitesse a est la vitesse normale aux iso-φ et ν = ∇φ/||∇φ|| est la normale à la level-set φ = l. Onen déduit alors que la force thermodynamique locale associée au mouvement de la zone de transitionparamétrée par l’abscisse s et la cote z = φ est définie parDm =ZΓg(s)a(s) ds,où g(s) =Z loY∇d.ν (1−Γφ)dφ.Dans cette expression apparaît l’infuence de la courbure. La vitesse de propagation a(s) est à déterminerpar une loi d’évolution. Plusieurs lois peuvent être proposées :– On propose la loi particulière analogue au critère de Griffith (l(s)≤ lc)a(s)≥ 0, g(s)≤ g¯(s) =Z loYc∇d.ν (1−Γφ)dφ, (g(s)− g¯(s))a(s)≤ 0,qui correspond à un critère moyen critique sur la bande– ou bien un critère plus classique (l(s)≤ lc)a(s)≥ 0, g(s)≤ Ycl(s), (g(s)−Ycl(s))a(s)≤ 0.Ces lois, de part leur d’efinition, vérifient naturellement la positivité de la production intérieure d’entro-pie.23 Un exemple élémentaire.On considère une barre de longueur L composée d’un matériau endommageable. La barre est fixée enx= 0, on impose le déplacement u(L) =U en x= L. Dans la barre l’état de contrainte est uniforme σ = Σ.Le milieu sain 1 se transforme en un milieu 2 sur une bande de largeur maximale 2e= lc. Initialement labarre est constituée du matériau sain. À partir d’un certain seuil une zone de matériau transformé apparaîtpuis quand cette zone atteint la largeur lc, elle se déplace à une vitesse déterminée par le chargement.État initial et conditions d’équilibre. La barre initialement de module délasticié E1 possède une éner-gie à l’équilibre donnée par :W =12Σ2LE1Pour une valeur critique σc locale la zone de transition se développe à partir de x = 0 d’épaisseur 2eo.On suppose alors que le module d’Young E varie dans cette bande comme une fonction E = E(z) de lacoordonnée z relative à la fibre moyenne xm. E passe de la valeur E1 à la valeur E2 sur une épaisseur 2e.Par exemple, on peut prendre2E=1+ zeE1+1− zeE2, ou bien 2E(z) = (1+ze)E1 +(1−ze)E2La dissipation locale. Le module d’Young dépend de la position, cette valeur est conservée dans lemouvement d’avancée de la bande en translation à la vitesse a. La dissipation en un point de la bandes’écrit donc sous cette hypothèse de stationnarité locale, qui préserve la forme de E(z) :dm =−12Σ2E ′E2a.La dissipation totale Dm est l’intégrale de dm sur l’épaisseur de la bande.L’énergie du système à l’équilibre. L’énergie de la barre s’écrit suivant les phases d’endommagementde la barre– Phase 1, pas d’endommagementW =12Σ2LE1.– Phase 2, initiation et formation de la bande eo ≤ e :W =12Σ2L−2eoE1+12Σ2Z 2eo0dxE(z),où z(x) = x+ e−2eo en effet au point x = 2eo la valeur de z est e.– Phase 3, propagation de la bande d’épaisseur 2eW =12Σ2L− xm− eE1+12Σ2Z xm+exm−edxE(z)+12Σ2xm− eE2.où z(x) = x− xm + e.Analyse de la dissipation globale. Par définition, la dissipation est donnée par Dm = ΣE˙−dWdt, avecE =U/L. Pendant la phase 1, la dissipation est nulle. Pendant la phase 2, la vitesse d’avancée de la fibremoyenne de la bande est a = e˙o :dWdt= E2 : Σ˙+∂W∂eoe˙o , E2 = Σ(L−2eoE1+Z 2eo0dxE(z)).Au cours de la phase 3, la vitesse d’avancée est a = x˙m :dWdt= E3 : Σ˙+∂W∂xmx˙m , E3 = ΣL− xm− eE1+ΣZ xm+exm−edxE(z)+Σxm− eE2.3Analyse de la dissipation lors de la phase 2. La vitesse de déformation de la barre estE˙2 = Σ˙(L−2eoE1+Z 2eo01E(z)dx)+Σ(−2e˙oE1+2e˙oE(e))−Σ(Z 2eo0E ′E2∂z∂eodx)2e˙oLa variation d’énergie s’écrit :∂W∂eo.e˙o =12Σ2(−2e˙oE1+2e˙oE1)−12Σ2Z 2eo0E ′E2∂z∂eodx 2e˙o.En définitive, la dissipation s’écritDm =12Σ2Z 2eo0E ′E2∂z∂eodx e˙o =−12Σ2( 1E1−1E(e−2eo))2e˙oAnalyse de la dissipation lors de la phase 3. Pour la phase trois, on trouve de façon analogueDm =−12Σ (1E1−1E2) x˙mla forme de la dissipation est indépendante de la distribution particulière des modules dans la bande. Onretrouve ici la dissipation d’une ligne de discontinuité entre un matériau 1 et un matériau 2 se déplaçantà la vitesse x˙m et de taux de restitution d’énergie g = 12Σ2(1E2−1E1) comme décrit en [8].Cas particulier de loi d’endommagement. Prenons une énergie libre de la forme classiquew =12κ(d)Eoε2, E1 = Eo = κ(0), E2 = κ(1)Eo = κ1 .Le paramètre d’endommagement est une fonction de d(φ) qui varie entre d(0) = 0 et d(1), on posed(φ) = φ/lc, lc = 2e, et on prend φ = (1−ze)/2.) . Exprimons, les forces thermodynamiques locales etglobales, ainsi que la forme du critère.Y =−κ′12Eoε2 =12κ′Σ2Eoκ2, g(s) =Σ22Eoκ(d(l))(1−κ(d(l))), gc(s) = Ycd(l)Quand l→ 0, le critère donne la valeur critique de contrainte pour laquelle il y a initiation du défautYc =Σ22Eoκ′(0)À partir de cette valeur, la longueur caractéristique, varie de façon continue de 0 à lc.4 Dissipation dans une bande en mouvementPour étudier l’évolution d’une bande de transition continue, on introduit des dérivées particulièresqui expriment l’évolution des quantités mécaniques et géométriques liées au mouvement d’une ligne (ousurface) en mouvement [9]. On se place ici dans le cas plan. Sous l’hypothèse locale de stationnarité, ladissipation s’exprime en fonction du tenseur d’Eshelby. Par passage à la limite (lc → 0) on montre quela dissipation est celle associée à une ligne de discontinuités fortes.SoitMt un point géométrique de Σt , d’abscisse curviligne s à l’instant t et m le point de l’arc déplacépar la vitesse φ(s) pendant le temps dt.m = Mt+dt = Mt +φ(s)dt.L’équation d’une ligne donnant la position d’un point Mt à chaque instant est une équi-potentielle duplan : S(Mt, t) = 0. La normale à l’équipotentielle est ν =∂S∂M/||∂S∂M||. En comparant deux positionssuccessives au cours du temps, nous avonsS(Mt+dt, t+dt) = S(Mt, t)+(∂S∂M.φ+∂S∂t)dt+o(dt2) = 0.4On en déduit alors que∂S∂M.φ+∂S∂t= 0.L’évolution de la surface à chaque instant est déterminée au point courant par la vitesse normale a(s) =φ.ν.Géométries actuelle et transportée. Soit τ le vecteur tangent enM à Σt et les propriétés classiques durepère de Fresnet :dMds= τ ,dτds= Γ ν ,dνds=−Γ τ ,où Γ désigne la courbure de l’arc au point d’abscisse s. Entre deux instants, la position d’un point de lasurface a évolué : m = M+ φ(s) dt, on en déduit le repère de Fresnet transporté. On introduit ainsi ladérivée, directionnelle des quantités géométriques G exprimées à l’instant t et t+dt, suivant le champ φparDφG = limdt→0Gt+dt−Gtdt.Ainsi, on obtient pour les principales quantités géométriquesDφτ =dφds.ν ν, Dφν =−dφds.ν τ, DφΓ = ν.d2φds2−2dφds.τ .Quand la vitesse d’avancée de la ligne est portée par sa normale φ = a(s)ν, la dérivée DφG est notéeDaG. Dans la suite on suppose que φ = a(s)n. Soit un point X de la zone de transition et soit f (X , t) unequantité mécanique, sa variation temporelle estd fdt= f˙ =∂ f∂t.Le point X est défini par ses coordonnées locales (s,z) telles que X = Mt(s)+ z ν(s). À l’instant t+ dt,la position géométrique du point X restant à la distance z de la surface actuelle est x = m+ z ν+ . On endéduit alors, d’après ce qui précéde,DaX = limdt→0(x−X)dt= a(s)ν− zdadsτLa variation de la quantité mécanique f en suivant le mouvement est alorsDa f = limη→0f (X +ηDaX , t+η)− f (X , t)η=∂ f∂t+∂ f∂X.DaXPour la fonction distance φ par rapport à la ligne Σt φ(X , t) = z, nous avons ∇φ = ν, ∆φ = −Γ1− zΓetDa ds =−Γa ds.Variations de quantité moyenne. On doit aussi étudier l’évolution des quantités mécaniques moyennesZBf dΩ =ZSZ lof (1− zΓ)dz ds ,pour définir en particulier les variations d’énergie et la dissipation. Prenons f = w(ε,α), A = −∂w∂αetsupposons que la dissipation n’ait lieu que dans la bande, alorsDm =ZBAdαdtdΩ =ZBA(Daα−∇α.DaX) dΩ .Introduisons le tenseur d’Eshelby P = wI−σ.∇u, ce tenseur satisfait l’équation de conservationdivPT =−A.∇α .5Ainsi la dissipation s’écritDm =ZBA.Daα dΩ+ZBdivPT .DaX dΩ .Si la transformation est localement stationnaire Daα = 0, la dissipation peut alors être évaluée parDm =−ZBP : ∇DaX dΩ+Z∂Bn.P.DaX ds,où DaX = DaM pour la surface φ = 0 et DaX = DaM +Dal ν + l Daν pour la surface φ = l. Danscette approche fondée sur les propriétés de la zone de transition apparaît deux termes l’un provenant dumouvement de la bande, l’autre de sa variation d’épaisseur.Pour les lois d’endommagement α = d, l’énergie est w = 12ε : E(d) : ε, la dissipation se met sous laforme :Dm =ZB12(σ : ε˙− σ˙ : ε) dΩ,qui devient dans le repère de la zone de transition en mouvementDm =ZB12(σ : ∇ε−∇σ : ε).DaX dΩ.Par intégration par parties on obtient :Dm =−Z∂B12(n.σ : ∇u−n.∇σ.u).DaX ds+ZB12(σ : ∇u−∇σ : u).∇DaX dΩ.Pour un mouvement de vitesse normale DaX = DaM+ zDaν, lorsque l’épaisseur l de la bande tend vers0, la valeur de la dissipation devientDm =12ZΓ[σ]Γ : ε−σ : [ε]Γ ds alaquelle est celle due aux discontinuités pour une ligne de discontinuités mobiles.5 Algorithme et simulationPour déterminer le champ de propagation a, on propose de le décomposer suivant des fonctions deforme ad hoc [6]a(s) = ∑IaIFI(s).Introduisant cette décomposition dans les expressions de la dissipation et du critère, on introduit lesdécompositionsg(s) = ∑IGIFI(s), g¯ = ∑iGcIFI(s)FIG. 2 – Description de la géométrie et du chargement et courbe effort déflexionLa loi de propagation étant formulée, on est conduit à résoudre par un principe d’extrêmum quidétermine les valeurs aI . Après mise en oeuvre de l’algorithme [6], on étudie l’initiation et la propagationde zones endommagées. On donne ici l’exemple d’une propagation dans un bimatériau, voir Figure 2.6FIG. 3 – Avancée de l’endommagement et champ de contraintes, champ de déplacement76 ConclusionOn a montré la faisabilité d’une approche unifiée de l’initiation de défauts et de la propagation dezones endommagées. Il reste cependant à mener de nombreuses études notamment pour déterminer enfonction du comportement et du critère les domaines de stabilité et de bifurcation des solutions. Lacomparaison avec d’autres méthodes comme celles des champs de phase ou des théories de gradient su-périeures reste un champ ouvert à diverses investigations. L’avantage de la nouvelle approche est qu’ellepeut s’appliquer à tout comportement, elle propose un suivi des zones endommagées depuis l’initiationjusqu’à la rupture ; la taille de la zone endommagée ne dépend pas du maillage..Références[1] G. Allaire, N. Van Goethem, F. Jouve. A level set method for the numerical simulation of damage evolution,Rapport 626, Centre de mathématiques appliquées, Ecole polytechnique, 2007.[2] B. Bourdin, G. Francfort, J.J. Marigo. The variational approach to fracture, Journal of elasticity, Springer,91 :5-148, 2008.[3] A. Karma, D. Kessler, H. Levine. Phase-field model of mode III dynamic fracture, Phys Review letters, 8704(4) 2001.[4] D. Leguillon. A damage model based on singular elastic fields. Comptes Rendus Mécanique, Elsevier,336 :283-288, 2008.[5] C. Miehe, F. Welschinger, M. Hofacker. Thermodynamically consistent phase field models of fracture : Va-riational principles and multifield FE implementations. Int. J. for Numer. Methods in Engineering, Wiley, 83(10) : 1273-1311, 2010.[6] N. Moës, C. Stolz, P-E Bernard, N. Chevaugeon. A level set based model for damage growth : the thick levelset approach, Int. J. Numer. Meth. Engng, John Wiley & Sons, Ltd, on line, 2010.[7] Q.S. Nguyen, R.M. Pradeilles, C. Stolz. Sur une loi régularisante en rupture et endommagement fragile,Comptes Rendus Acadèmie des Sciences de Paris, Série II, 309 :1515-1520, 1989.[8] R.M. Pradeilles Duval, C. Stolz. Mechanical transformations and discontinuities along a moving surface, J.Mech. Phys. Solids, Elsevier, 43 :91-121, 1995.[9] C. Stolz. Thermodynamical description of running discontinuities, Entropy, Mdpi, 12 :1418-1439, 2010.[10] C. Stolz. Bifurcation of equilibrium solutions and defects nucleation, International Journal of Fracture, Sprin-ger, 147 :103-107, 2007.8

Modèles d'endommagement par level-set épaisse : solutions analytiques et simulations

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