National audienceL'objectif de ce travail est de modéliser le flambement de nappes fibrées lorsque les câbles sont soumis à une compression axiale. Nous réalisons une analyse de stabilité multi- échelles basée sur le résultat de [1], qui permet de réduire le problème à une cellule élémentaire 2D et de modéliser les modes propres sous forme d'ondes de Bloch. Nous avons choisi de nous placer dans le cas particulier d'une flexion circulaire, mais la méthode proposée est valable pour des chargement plus généraux

Le Tallec, Patrick

Lignon, Eric

Triantafyllidis, Nicolas

National audienceL'objectif de ce travail est de modéliser le flambement de nappes fibrées lorsque les câbles sont soumis à une compression axiale. Nous réalisons une analyse de stabilité multi- échelles basée sur le résultat de [1], qui permet de réduire le problème à une cellule élémentaire 2D et de modéliser les modes propres sous forme d'ondes de Bloch. Nous avons choisi de nous placer dans le cas particulier d'une flexion circulaire, mais la méthode proposée est valable pour des chargement plus généraux

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Analyse de stabilite´ d’une nappe fibre´e en compressionEric Lignon, Patrick Le Tallec, Nicolas TriantafyllidisTo cite this version:Eric Lignon, Patrick Le Tallec, Nicolas Triantafyllidis. Analyse de stabilite´ d’une nappe fibre´een compression. 10e colloque national en calcul des structures, May 2011, Giens, France. 8 p.; Cle´ USB, 2011. <hal-00592879>HAL Id: hal-00592879https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00592879Submitted on 3 May 2011HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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Nous réalisons une analyse de stabilité multi-échelles basée sur le résultat de [1], qui permet de réduire le problème à une cellule élémentaire2D et de modéliser les modes propres sous forme d’ondes de Bloch. Nous avons choisi de nousplacer dans le cas particulier d’une flexion circulaire, mais la méthode proposée est valable pourdes chargement plus généraux.Mots clés — Analyse de stabilité, modélisation multi-échelles, flambement sous compression,ondes de Bloch.1 Problème mécanique et motivationGéométrieOn se place dans l’espace E = R3, dans lequel on choisit un repère orthonormé (e1,e2,e3).On considère une éprouvette initialement plane, dont le volume est noté Ω. On note L1 et L2ses dimensions dans le plan (e1,e2), alors que son épaisseur selon e3 est notée h. Ce solide estcomposé de trois matériaux :– Une fine lame métallique, appelée clinquant, sur la partie supérieure. Cette lame est sup-posée avoir une rigidité en extension très élevée, de telle sorte qu’elle sera supposée inex-tensible dans la suite ;– Des câbles de renforts à section circulaire, de rayon r, situés dans la partie inférieure de lanappe. Au repos, ces câbles sont supposés rectilignes et parallèles à e1 ;– Une gomme hyperélastique pouvant subir de très grandes déformations.On suppose par ailleurs que l’écartement entre les câbles est constant, noté e, Cette hypothèsepermet de considérer une géométrie périodique, de telle sorte que le volume 3D de l’éprouvette,noté Ω, peut être décomposé en cellules élémentaires 2D identiques, notées Ωe.e1e2e2e3e3ΩeΩeΩGommeLame métalliqueCâbleL1L2ehFig. 1 – Géométrie de l’éprouvette1Par ailleurs, on va supposer dans la suite que la relation suivante est respectée :e,h << L1,L2Cette hypothèse permet de supposer que le solide est de dimension infinie dans les directionse1 et e2, ce qui permet de négliger les effets de bords. Ainsi, on pourra considérer que toutes lescellules élémentaire Ωe se déforment de la même manière pour un chargement uniforme.ChargementL’idée globale est de soumettre la nappe à une flexion circulaire sur sa face supérieure, demanière à créer un compression axiale des câbles dans la partie inférieure. Plus précisément,on souhaite créer une courbure ρ dans l’ensemble de la structure, en supposant que la lamemétallique supérieure ne subit pas d’extension.e1e3Flexion circulaire sans extensionCompression axiale des câblesρ∗L1R = 1ρx0Fig. 2 – Chargement sur l’éprouvette.Il est bien connu que les structures fines résistent mal à de fortes compressions. La modé-lisation du flambement des nappes fibrées sous compression a d’ailleurs déjà été étudiée parexemple par [2] en l’assimilant à un milieu stratifié 2D. Si la compression des câbles devienttrop forte, on s’attend à ce que l’équilibre devienne instable et qu’ils mettent la structure enflambement comme illustré sur le schéma 3. L’objectif de ce travail est alors d’étudier la stabilitéde la structure en fonction du paramètre de courbure ρ, et de détecter les points de bifurcationsde la solution principale.e1e3Fig. 3 – Flambement de l’éprouvette en forte flexion circulaire.22 Modélisation micro-mécanique par ondes de Bloch2.1 Calcul de la solution principalePar hypothèses de périodicité par rapport à X2 et d’indépendance en X1, la solution fonda-mentale xb ∈ Hρ(Ω) du problème est cherchée sous la forme :∀X1 ∈ [0;L1],∀X2 ∈ [0;L2],∀X3 ∈ [0;h] , xb(X1,X2,X3) = x0 +R(ρX1) · p(X2,X3)+X2e2 (1)où R(ρX1) est le tenseur de rotation d’angle θ = ρX1 défini parR(ρX1) = eθ(ρX1)⊗ e1 + e2⊗ e2 + er(ρX1)⊗ e3et p est une fonction vecteur exprimée dans le repère local à chaque cellule, indépendante de X1et périodique par rapport à X2, vérifiant la condition aux limites :∀X2 ∈ [−e2;e2] , p(X2,h) =1ρe3 (2)On peut remarquer que pour toute configuration déformée x∈H(Ω) de la forme 1, le gradientde déformation F =∂x∂X est égal à :∇x =∂R∂X1· p(X2,X3)⊗ e1 +R(ρX1) · (e2 +∂p∂X2(X2,X3))⊗ e2 +R(ρX1) ·∂p∂X3(X2,X3)⊗ e3 ,ce qui peut être simplifié sous la forme∇x(X1,X2,X3) = R(ρX1) ·[A(ρ) · p(X2,X3)⊗ e1 +(e2 +∂p∂X2(X2,X3))⊗ e2 +∂p∂X3(X2,X3)⊗ e3](3)où le tenseur A est défini parA(ρ) = ρ(e3⊗ e1− e1⊗ e3) (4)Problème 2D associéOn cherche donc la solution principale xb sous la forme 1, satisfaisant l’équation d’Euler-Lagrange locale par cellule∀xˆ ∈ H0(Ω) ,Z Z ZΩP(∇xb) : ∇xˆdX1dX2dX3 = 0Elle doit en particulier satisfaire l’équation :∀pˆ ∈ K per0 (Ωe) ,Z Z ZΩ∂w∂F(A · p(X2,X3)⊗ e1 +(e2 +∂p∂X2(X2,X3))⊗ e2 +∂p∂X3(X2,X3)⊗ e3):[A · pˆ(X2,X3)⊗ e1 +∂ pˆ∂X2(X2,X3)⊗ e2 +∂ pˆ∂X3(X2,X3)⊗ e3]dX = 0Dans cette équation, le terme de rotation n’intervient pas, car les équations d’équilibre sontinvariantes par changement de référentiel.En utilisant la périodicité par rapport à X2 et l’indépendance en X1, ceci est équivalent auproblème suivant sur une cellule élémentaire 2D :Trouver p ∈ K perρ (Ωe) tel que ∀pˆ ∈ K per0 (Ωe) ,Z ZΩe∂w∂F(A · p(X2,X3)⊗ e1 +(e2 +∂p∂X2(X2,X3))⊗ e2 +∂p∂X3(X2,X3)⊗ e3):[A · pˆ(X2,X3)⊗ e1 +∂ pˆ∂X2(X2,X3)⊗ e2 +∂ pˆ∂X3(X2,X3)⊗ e3]dX2dX3 = 0(5)32.2 Analyse de stabilité de l’équilibreEtant donnée une courbure ρ, on suppose avoir résolu le problème d’équilibre précédent eton note xb la solution principale périodique. On connait alors le tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff P ainsi que le tenseur tangent du 4e ordre noté L,tous deux exprimés dans le repère(e1,e2,e3)⊗ (e1,e2,e3). Les caractéristiques de notre problème nous assurent qu’ils sont tous lesdeux indépendants de X1 et périodiques en X2 :P(ρ,X2 +n∗ e,X3) = P(ρ,X2,X3)L(ρ,X2 +n∗ e,X3) = L(ρ,X2,X3)La solution principale xb est stable si elle correspond à un minimum local de l’énergie de lastructure :∀δx 6= 0,W (xb +δx) > W (xb)Plus précisément, si on introduit la fonctionnelle quadratiqueFΩ : R+×H(Ω) → R(ρ,δx) 7→Z Z ZΩ∇δx : ∂2w∂F2 (ρ,X2,X3) : ∇δxdΩ , (6)alors la définie-positivité de FΩ suffit pour assurer la stabilité de l’équilibre (critère de secondevariation).Par conséquent, l’équilibre principal est stable si sa plus petite valeur propre β(ρ)définie ci-dessous est strictement positive : (l est linéairement instable si β(ρ) < 0)β(ρ) = minδx∈H0(Ω){1‖δx‖2HFΩ(ρ,δx)}(7)où la semi-norme ‖.‖H est définie par :‖δx‖2H=Z Z ZΩ∇δx : ∇δxdΩ (8)Remarque : Dans le cas de matériaux elasto-plastiques, le critère de seconde variation estremplacé par une condition analogue, appelée "critère de bifurcation de Hill" (cf [3]). La dé-marche décrite ici pourra donc facilement être généralisée à cette classe de matériaux, commecela est fait dans [4].2.2.1 Modes propresNotre structure étant supposée parfaitement périodique, on utilise le résultat de [1], selonlequel la plus petite valeur propre β(ρ) de FΩ peut être calculée en se limitant dans l’expression7 aux perturbations exprimées sous la forme d’ondes de Bloch (cf [5]) :δx[ω1,ω2,δp](X1,X2,X3) = exp(iω1X1 + iω2X2) R(ρX1) ·δp(X2,X3) (9)où (ω1,ω2)∈R+×[0; 2pie]sont les nombres d’ondes du mode propre dans les directions des coor-données X1 et X2 respectivement, alors que δp appartient à l’espace K0(Ωe) et est X2-périodique :∀n ∈ Z,∀X2 ∈ [−e2;e2],∀X3 ∈ [0;h], δp(X2 +n∗ e,X3) = δp(X2,X3)Introduisons la nouvelle variable δq ∈K0(Ωe) définie par :∀X2 ∈ [−e2;e2],∀X3 ∈ [0;h], δq(X2,X3) = exp(iω2X2)δp(X2,X3)4et vérifiant donc les conditions aux limites :∀X2 ∈ [−e2;e2],∀X3 ∈ [0;h], δq(X2 + e,X3) = exp(−iω2e)δq(X2,X3) (10)L’expression des modes propres 9 peut alors être réécrite sous la forme :δx[ω1,δq(ω2)](X1,X2,X3) = R(ρX1) ·δq(X2,X3)exp(iω1X1) (11)avec (ω1,ω2) ∈[0; 2pie]∗R+ et δq ∈K0(Ωe) vérifiant la condition 10. Leur gradient de déforma-tions 3D s’écrit :∇δx = exp(iω1X1)R(ρX1)·[(A ·δq(X2,X3)+ iω1δq(X2,X3))⊗ e1 +∂δq∂X2(X2,X3)⊗ e2 +∂δq∂X3(X2,X3)⊗ e3](12)où le tenseur A est toujours défini par l’expression 4.Par conséquent, pour trouver la plus petite valeur propre β(ρ), il est suffisant de parcourirtous les nombres d’onde (ω1,ω2) dans R+×[0; 2pie]et toutes les fonctions δq ∈K0(Ωe) vérifiantla condition 10 pour construire :β(ρ) = minω1,ω2,δq{1∥∥δx[ω1,δq(ω2)]∥∥2Ω FΩ(ρ,δx[ω1,δq(ω2)])}Son calcul peut être décomposé en introduisant la quantité suivante, correspondant à la pluspetite valeur propre pour un nombre d’onde (ω1,ω2) fixé :γ(ρ,ω1,ω2) = minδq(ω2){1∥∥δx[ω1,δq(ω2)]∥∥2Ω FΩ(ρ,δx[ω1,δq(ω2)])}(13)de telle sorte que β(ρ) est égal àβ(ρ) = infω1,ω2{γ(ρ,ω1,ω2)}(14)Par la suite, nous noterons ρm la plus petite courbure pour laquelle la valeur propre 13 estnulle :ρm(ω1,ω2) = infρ{ρ > 0 tels que γ(ρ,ω1,ω2) = 0}En notant δq = δu + iδv et en insérant l’expression 12 dans les écritures 6 et 8, on montrealors que la plus petite valeur propre γ(ρ,ω1,ω2) peut être calculée à partir d’un seul calcul surun volume élémentaire 2D Ωe :γ(ρ,ω1,ω2) = minδu(ω2),δv(ω2){1‖ω1,δu(ω2),δv(ω2)‖2ΩeFΩe(ρ,ω1,δu(ω2),δv(ω2))}(15)avecFΩe(ρ,ω1,δu(ω2),δv(ω2)) =Z ZΩe[(A ·δu(X2,X3)−ω1δv(X2,X3))⊗ e1+∂δu∂X2(X2,X3)⊗ e2 +∂δu∂X3(X2,X3)⊗ e3]: L(ρ,X2,X3) : [(A ·δu(X2,X3)−ω1δv(X2,X3))⊗ e1+∂δu∂X2(X2,X3)⊗ e2 +∂δu∂X3(X2,X3)⊗ e3]+[(A ·δv(X2,X3)+ω1δu(X2,X3))⊗ e1+∂δv∂X2(X2,X3)⊗ e2 +∂δv∂X3(X2,X3)⊗ e3]: L(ρ,X2,X3) : [(A ·δv(X2,X3)+ω1δu(X2,X3))⊗ e1+∂δv∂X2(X2,X3)⊗ e2 +∂δv∂X3(X2,X3)⊗ e3]dX2dX3(16)5et‖ω1,δu(ω2),δv(ω2)‖2Ωe =Z ZΩe(A ·δu(X2,X3)−ω1δv(X2,X3))·(A ·δu(X2,X3)−ω1δv(X2,X3))+Z ZΩe(A ·δv(X2,X3)+ω1δu(X2,X3))·(A ·δv(X2,X3)+ω1δu(X2,X3))+∂δu∂X2(X2,X3) ·∂δu∂X2(X2,X3)+∂δv∂X2(X2,X3) ·∂δu∂X2(X2,X3)+∂δu∂X3(X2,X3) ·∂δu∂X3(X2,X3)+∂δv∂X3(X2,X3) ·∂δv∂X3(X2,X3)dX2dX3(17)Les conditions aux limites 10 se traduisent quant à elles par un couplage entre δu et δv :∀X3 ∈ [0;h] ,{δu( e2 ,X3) = cos(ω2e)δu(− e2 ,X3)+ sin(ω2e)δv(− e2 ,X3)δv( e2 ,X3) = cos(ω2e)δv(− e2 ,X3)− sin(ω2e)δu(− e2 ,X3)(18)2.2.2 Courbure critiqueOn suppose que le solide considéré est en équilibre stable dans sa configuration non déforméesans chargement (c’est le cas pour un problème mécanique bien posé). La plus petite valeurpropre β est alors strictement positive pour une courbure nulle :β(0) > 0Lorsqu’on augmente la courbure ρ, cette plus petite valeur propre va diminuer. Tant qu’ellereste strictement positive, la solution fondamentale périodique calculée précédement sera le seuléquilibre du système, et cet équilibre sera stable. Par contre, lorsque β(ρ) < 0, alors la courbed’équilibre rencontre un point singulier. La solution perd son unicité et devient linéairement in-stable. La première instabilité est donc détectée par la plus petite racine de β(ρ), qui est appelé"courbure critique microscopique" et sera noté ρc.Autrement dit, on peut définir la courbure critique ρc comme la valeur infimum des courburesρm pour lesquelles il existe des nombres d’ondes (ωc1,ωc2) ∈[0; 2pie]∗R+ satisfaisant :ρc = in f (ρm) tels que γ(ρm,ωc1,ωc2) < 0 (19)3 Applications numériques3.1 Description du modèle utiliséOn considère une structure possédant les dimensions géométriques suivantes :– Epaisseur du clinquant : Hcli = 1.1mm ;– Epaisseur de gomme : Hgom = 12.5mm ;→ Epaisseur totale : H = 13.6mm ;– Hauteur de la ligne moyenne des câbles : h = 1.425mm ;– Rayon d’un câble cylindrique : r = 0.42mm ;– Ecartement entre deux câbles : e = 2.25mm.Le clinquant et les câbles sont très rigides et ne subissent que de petites déformations. Dansnos calculs, nous les modélisons donc par des matériaux de Saint-Venant Kirchhoff, de densitévolumique d’énergiew =ν E(1+ν)(1−2ν)[Tr(e)]2+E2 (1+ν)Tr(e2)avec {Ecli = 200 GPaνcli = 0.33et{Ecab = 100 GPaνcab = 0.306La gomme pouvant subir de grandes déformations, nous utilisons un modèle de Mooney-Rivlin quasi-incompressible :w = C1 (I1−3− ln(I3))+C2 (I2−3−2 ln(I3))+κ2(J−1)2avec C1 = 0.539 MPaC2 = 1.062 MPaκ = 1000 MPa3.2 Résultats numériquesNous représentons sur la figure 4 les déplacements locaux dans une cellule élémentaire corres-pondant à la solution principale pour une courbure ρ = 10−4rad.mm−1. Nous pouvons voir sur lafigure 4(b) que la surface inférieure descend, le déplacement vertical moyen valant 0.010435mm.Ce phénomène est logique, puisque la gomme quasi-incompressible a tendance a gonfler trans-versalement lorsqu’elle est soumise a une compression axiale, ce qui place pousse les câbles àsubir encore plus de compression.(a) Déplacements latéraux (b) Déplacements trans-versesFig. 4 – Solution principale calculée pour ρ = 10−4rad.mm−1.La surface ρm décrivant les plus petite courbure pour lesquelles un flambement de longueurd’onde donnée peut apparaître est représentée sur la figure 7. Si nous reprenons la formule19, nous pouvons lire sur cette figure que la courbure critique correspondant à l’infimum de lasurface ρm vautρc = 1.95∗10−4 rad.mm−1ρc(ωc1,ωc2)Fig. 5 – Courbe ρm(ω1,ω2) calculée d’après l’analyse de stabilité locale.7Le nombre d’ondes du flambement correspondant à cette courbure critique peut égalementêtre lu sur cette figure : {ωc1 = 0.135 rad.mm−1ωc2 = 0 rad.mm−1Le fait que ωc2 = 0 signifie que le système reste périodique par rapport à X2, et que le flambe-ment, de longueur d’onde Lc1 =2piωc1ne se produit que dans la direction des fibres, ce qui est logique.Pour valider ces résultats, nous les comparons à des calculs réalisés sur la géométrie 3Dcomplète. Nous pouvons voir sur la figure 6 que ces calculs complets 3D permettent de reproduireun flambement le long des fibres. Nous vérifions sur la figure 7 que les seuils d’apparition duflambement obtenus par les deux approches sont très proches.Fig. 6 – Calculs post-flambement réalisés sur la géométrie 3D.Fig. 7 – Comparaison des seuils de flambement obtenus par les deux approches.4 ConclusionsL’analyse de stabilité multi-échelles présentée dans ce travail permet de prédire avec une trèsbonne précision le seuil d’apparition du flambement sur des structures fibrées. Cette approcheréduit les calculs à une cellule élémentaire 2D, ce qui la rend remarquablement efficace.Références[1] Geymonat, G., Muller, S., Triantafyllidis, N., Homogenization of nonlinearly elastic-materials, micro-scopic bifurcation and macroscopic loss of rank-one convexity, Arch. for rat. Mech. and Ana., 1993.[2] Grandidier, J., Résistance en compression des composites à fibres longues, Dossier d’habilitation àdiriger les recherches, 1998.[3] Hill, R., A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids, JOURNAL OF THEMECHANICS AND PHYSICS OF SOLIDS, 1958.[4] N. Triantafyllidis, M. Nestorovic, M. Schraad, Failure surfaces for finitely strained two-phase periodicsolids under general in-plane loading, Journal of appl. mech.-transactions of the ASME, 2006.[5] Bloch, F. Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgitter, Zeitschrift für Physik A Hadronsand Nuclei, 555-600, 1928.8

Analyse de stabilité d'une nappe fibrée en compression

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