Запропоновано метод побудови оператора s(f; x), що інтерполює функцію f(x) однієї змінної і збігається з нею на заданих відрізках області наближення. Він може бути використаний для відновлення поверхонь між системою перетинних смуг. Досліджено його властивостіThe method of the building an operator s(f; x), which interpolate f(x) in given points and equal given functions on given sub internals is proposed. This method can be used to restore surfaces between a systems of intersecting bands. Formulate and prove a theorem about the properties of this operato

Кулик, Станіслав Іванович

Литвин, О. О.

Матвєєва, С. Ю.

Ткаченко, О. В.

Черняк, О. О.

eNTUKhPIIR Electronic National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"; Institutional Repository

 130УДК 519.6  О.О. ЛИТВИН, канд. фіз.-мат. наук, доц., УІПА, Харків; С.І. КУЛИК, канд. фіз.-мат. наук, доц., НТУ «ХПІ»; О.В. ТКАЧЕНКО, нач. відділу, ДП «Івченко-Прогрес», Запоріжжя; С.Ю. МАТВЄЄВА, аспірант, УІПА, Харків; О.О. ЧЕРНЯК, аспірант, УІПА, Харків  ОПЕРАТОРИ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ  ЗМІННОЇ, ЩО ЗБІГАЮТЬСЯ З НЕЮ НА ЗАДАНИХ ВІДРІЗКАХ ОБЛАСТІ НАБЛИЖЕННЯ  Запропоновано метод побудови оператора ( ; )s f x , що інтерполює функцію ( )f x  однієї змінної і збігається з нею на заданих відрізках області наближення. Він може бути використаний для від-новлення поверхонь між системою перетинних смуг. Досліджено його властивості.  Предложен метод построения оператора ( ; )s f x , который интерполирует функцию ( )f x  одной переменной и совпадает с ней на заданных отрезках области приближения. Он может использо-ваться для восстановления поверхностей между системой пересекающихся полос. Сформулиро-вана и доказана теорема о свойствах этого оператора.  The method of the building an operator ( ; )s f x , which interpolate ( )f x  in given points and equal given functions on given sub internals is proposed. This method can be used to restore surfaces between a systems of intersecting bands. Formulate and prove a theorem about the properties of this operator.  Вступ. В працях [1] – [7] досліджувались оператори відновлення повер-хні між смугами, якщо інформація про наближувану функцію задається на системі смуг (взагалі кажучи перетинних смуг). Цей метод наближення фун-кцій двох змінних називається методом інтерстрипації (inter – між, stripe – смуга) і є частинним випадком методу інтерлокації [8] – [15]. У випадку, коли товщина смуг дорівнює нулю, тобто якщо k k  , то смуги перетво-рюються в лінії. Таким чином, отримувана інформація про наближувану фу-нкцію задається її слідами на системі ліній, а між лініями потрібно відновити саму функцію. На практиці часто виникають ситуації, коли деяка лінія задається дис-кретним набором точок  , , 1,k kx y k m , і крім того відомо, що наближуюча лінія на деякому відрізку повинна мати наперед задану форму (наприклад, бути частиною кола, параболи тощо), а також мати неперервні похідні до деякого порядку 0r  . Така ситуація виникає, наприклад, при описі ліній поверхні деяких деталей авіадвигунів (лопаток турбін тощо). Тому актуальною є задача побудови операторів наближення функцій  ;s f x , які на заданих відрізках мають задані аналітичні вирази, а між цими відрізками інтерполюють наближувану функцію у заданій системі точок.    131Постановка задачі. Вважаємо, що функція однієї змінної   ,y f x     0,1 ,rf x C  0,r   задається в точках ,ix x  ,ix x  1,2,...i n  0 10 ... 1nx x x     , а також припустимо, що функція ( )y f x  задана точно відповідними аналітичними виразами   , 1,p x p n    на деяких ін-тервалах, що не включають вказані вузли інтерполяції. Задача полягає у по-будові  оператора    ;s x s f x  з  наступними властивостями:     , 0,1,....,i is x f x i n  ,                                   (1) і, крім того,  s x  збігається з функціями   , 1,...,p x p m   на кожному з ін-тервалів  , 0,1 , 1,...,p p p n      , тобто:   ( ), , , 1,...,p p ps x x x p n       .                      (2) Для цього  узагальнено метод інтерстрипації функцій  [1–3].  Основні твердження роботи. Оператор, що розв’язує поставлену зада-чу, будемо шукати у вигляді                               0 11 1 11 1 21 11, 0, ,, , ,, , ,..., , ,, , ,, , ,..., , ,, ,1 ,k k kk k kk k kn n nn ns x xx xs x xs x xs xs x x xs x xs x x xs x x                                                          (3) де функції   , 0, ,ps x p n  – поліноми або сплайни, які визначаються з насту-пних умов. Якщо 00 1 10 ... ix x x       то  0s x  повинен бути інтерполяційним поліномом (або сплайном) з властивостями:           0 01 10 1, 0, ;, 0, .i ip ps x f x i is p r                                         (4) Якщо 0 0 11 1 2 2...i i ix x x        то  1s x  повинен бути інтерполя- 132ційним поліномом (або сплайном) з властивостями                  1 11 11 0 12 21 1, 0, ,, 1, ,, 0, .p pi ip ps p rs x f x i i is p r                                             (5) Аналогічним чином можна записати умови для побудови відповідних поліномів (або сплайнів) на інтервалах  2 3,  ,    3 4 1, ,..., ,n n    .  Якщо 1 11 1 2 ...k k k kk i i i ix x x         , поліном  kS x  1,k kx     буде визначатися з умов                  11 1, 1, ,, 0, ,, 0, .k i i k kp pk kk kp pk kk ks x f x i i is p rs p r                                          (6) На кінець запишемо відповідну формулу на інтервалі  ,1n . Якщо 1 ... 1n ni i mx x x    , то  ns x  повинен бути інтерполяційним поліномом (або сплайном) з властивостями            1 , 0, ;, , .ppn n nn i i ns p rs x f x i i m                                         (7)  Теорема. Для кожної    0,1rf x C  функція  s x , що визначена у ви-гляді формули (3), в якій      0 1, ,..., ns x s x s x  визначаються формулами (4) – (7), задовольняє властивостям (1), (2) і є r  раз диференційовною функцією:    0,1rs x C . Доведення. Згідно з означенням сплайну (3) доведення властивостей (1) та (2) витікає з алгоритму побудови функцій      0 1, ,..., ns x s x s x . Тому до-ведемо лише те, що    0,1rs x C . Для доведення цієї властивості слід дове-сти, що                       0 0 , 0, , 1, ,0 0 , 0, , 1, .p p pj j jp p pj j js s s p r j ns s s p r j n                          (8)  Якщо врахувати, що              ( ) ( ) ( ) ( )10 , 0 , 0, , 1, ,pp p p pj j j j jjs s s s f p r j n                         ( ) ( ) ( )10 , 0 , 0, , 1, ,p pp p pj j j j j jjs s f s s p r j n             133то рівності (8) стають очевидними.  Теорема доведена.  Перспективи подальших досліджень. У подальшому планується вико-нати узагальнення запропонованого методу на випадок наближення функцій багатьох змінних.   Висновки. Запропоновано метод побудови операторів  ;s f x , що ін-терполюють функції   [ , ]f x C a b  у заданій системі точок і збігаються з  f x  на заданій системі підінтервалів інтервалу [ , ]a b . Такі оператори мо-жуть бути використані для наближення поверхонь в методі інтерстрипації функцій, заданих на системі паралельних або перетинних смуг, при описі поверхонь деяких лопаток авіадвигунів тощо. Досліджено їх властивості.  Список літератури 1. Литвин О.М. Методи обчислень. Додаткові розділи. – Київ: Наук. думка, 2005. – 333 с. 2. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування. – Харків: Основа, 2002. – 544с. 3. Литвин О.М. Матвєєва С.Ю. Метод воcстановления поверхности между полоса-ми при помощи информации о поверхности на взаимно перпендикулярных полосах //Международный научный журнал Управляющие системы и машины информационные техноло-гии. № 1 – 2011 с. 33-40. 4. Литвин О.М., Матвєєва С.Ю. Інтерлінація та інтерфлетація функцій багатьох змінних та її застосування у картографії // Національне картографування: стан, пробле-ми та перспективи розвитку: 36. наук. пр. – К.: ДНВП «Картографія», 2005. – 2. – С. 22-24. 5. Литвин О.М., Матвєєва С.Ю., Межуєв В.І. Метамодель для математичного моделювання повер-хні тіла на основі даних радіолокації // УСиМ. – 2010. – №3 .  –  С .  33-47. 6. Матвєєва С.Ю. Метод побудови цифрових карт за допомогою інтерлінації та інтерфлетації функцій // Питання оптимізації обчислень, 2005. – 145 с. 7. Литвин О.М. Інтерлінація та інтерфлетація функцій і структурний метод В.Л. Рвачова // Математичні методи та фізико-механічні поля. – 2007. – № 4. – С. 61-82. 8. Рвачев В.Л., Толок А.В., Уваров Р.А., Шейко Т.И. Новые подходы к построению уравнений трехмерных локусов с помощью R-функций // Вісн. Запоріз. д. ун-ту. – Запроріжжя, 2000. – №2. – С. 119-130. 9. Рвачев В.Л., Уваров Р.А., Шейко Т.И. Построение уравнений локусов в 3D c помощью R-функций //Радиоэлектроника и информатика. – 2001. – №2. – С. 158-164. 10. Рвачев В.Л., Уваров Р.А., Шейко Т.И. Интерлокационные формулы при моделировании задач Плато и Софи Жермен // Радиоэлектроника и информатика. – 2002. – №3. – С. 126-128. 11. Рва-чев В.Л., Шейко Т.И., Шапиро В. Метод R-функций (RFM) в краевых задачах с геометрической и физической симметрий // Мат. методы и физ.-мех.поля. – 1988. – 41, №1. – С 146-159. 12. Рвачев В.Л., Шейко Т.Н., Шапиро В. Обобщенные интерполяционные формулы Лагранжа - Эрмита на произвольных локусах (интерлокационные операторы теории R-функций) // Пробл. машино-строения. – 1998. – т. 1, №3-4. – С. 150-166. 13. Рвачев В.Л., Шапиро В., Шейко Т.И. Применение метода R-функций к построению уравнений локусов, обладающих симметрией // Электромагни-ты, волны и электронные системы. – 1999. – т.4, № 4. – С. 4-20. 14. Рвачев В.Л., Шейко Т.И. Вве-дение в теорию R-функций // Пробл. машиностроения. – 2001. – т.4, №1-2. – С. 46-58. 15. Максименко-Шейко К.В. R-функции в математическом моделировании геометрических объ-ектов и физических полей .// монография. – Харьков, ИПМаш НАН Украины, 2009. – 306 с.   Надійшла до редколегії 27.03.2012 

Оператори інтерполяції функцій однієї змінної, що збігаються з нею на заданих відрізках області наближення

Library of National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

 130
УДК 519.6 
 
О.О. ЛИТВИН, канд. фіз.-мат. наук, доц., УІПА, Харків; 
С.І. КУЛИК, канд. фіз.-мат. наук, доц., НТУ «ХПІ»; 
О.В. ТКАЧЕНКО, нач. відділу, ДП «Івченко-Прогрес», Запоріжжя; 
С.Ю. МАТВЄЄВА, аспірант, УІПА, Харків; 
О.О. ЧЕРНЯК, аспірант, УІПА, Харків 
 
ОПЕРАТОРИ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ  
ЗМІННОЇ, ЩО ЗБІГАЮТЬСЯ З НЕЮ НА ЗАДАНИХ 
ВІДРІЗКАХ ОБЛАСТІ НАБЛИЖЕННЯ 
 
Запропоновано метод побудови оператора ( ; )s f x , що інтерполює функцію ( )f x  однієї змінної і 
збігається з нею на заданих відрізках області наближення. Він може бути використаний для від-
новлення поверхонь між системою перетинних смуг. Досліджено його властивості. 
 
Предложен метод построения оператора ( ; )s f x , который интерполирует функцию ( )f x  одной 
переменной и совпадает с ней на заданных отрезках области приближения. Он может использо-
ваться для восстановления поверхностей между системой пересекающихся полос. Сформулиро-
вана и доказана теорема о свойствах этого оператора. 
 
The method of the building an operator ( ; )s f x , which interpolate ( )f x  in given points and equal 
given functions on given sub internals is proposed. This method can be used to restore surfaces between 
a systems of intersecting bands. Formulate and prove a theorem about the properties of this operator. 
 
Вступ. В працях [1] – [7] досліджувались оператори відновлення повер-
хні між смугами, якщо інформація про наближувану функцію задається на 
системі смуг (взагалі кажучи перетинних смуг). Цей метод наближення фун-
кцій двох змінних називається методом інтерстрипації (inter – між, stripe – 
смуга) і є частинним випадком методу інтерлокації [8] – [15]. У випадку, 
коли товщина смуг дорівнює нулю, тобто якщо k k  , то смуги перетво-
рюються в лінії. Таким чином, отримувана інформація про наближувану фу-
нкцію задається її слідами на системі ліній, а між лініями потрібно відновити 
саму функцію. 
На практиці часто виникають ситуації, коли деяка лінія задається дис-
кретним набором точок  , , 1,k kx y k m , і крім того відомо, що наближуюча 
лінія на деякому відрізку повинна мати наперед задану форму (наприклад, 
бути частиною кола, параболи тощо), а також мати неперервні похідні до 
деякого порядку 0r  . Така ситуація виникає, наприклад, при описі ліній 
поверхні деяких деталей авіадвигунів (лопаток турбін тощо). 
Тому актуальною є задача побудови операторів наближення функцій 
 ;s f x , які на заданих відрізках мають задані аналітичні вирази, а між цими 
відрізками інтерполюють наближувану функцію у заданій системі точок. 
  
 131
Постановка задачі. Вважаємо, що функція однієї змінної   ,y f x  
   0,1 ,rf x C  0,r   задається в точках ,ix x  ,ix x  1,2,...i n  
0 10 ... 1nx x x     , а також припустимо, що функція ( )y f x  задана 
точно відповідними аналітичними виразами   , 1,p x p n    на деяких ін-
тервалах, що не включають вказані вузли інтерполяції. Задача полягає у по-
будові  оператора    ;s x s f x  з  наступними властивостями: 
    , 0,1,....,i is x f x i n  ,                                   (1) 
і, крім того,  s x  збігається з функціями   , 1,...,p x p m   на кожному з ін-
тервалів  , 0,1 , 1,...,p p p n      , тобто: 
  ( ), , , 1,...,p p ps x x x p n       .                      (2) 
Для цього  узагальнено метод інтерстрипації функцій  [1–3]. 
 
Основні твердження роботи. Оператор, що розв’язує поставлену зада-
чу, будемо шукати у вигляді  
 
   
   
   
   
     
   
     
   
0 1
1 1 1
1 1 2
1 1
1
, 0, ,
, , ,
, , ,
...
, , ,
, , ,
, , ,
...
, , ,
, ,1 ,
k k k
k k k
k k k
n n n
n n
s x x
x x
s x x
s x x
s x
s x x x
s x x
s x x x
s x x

  
 
 
  
 
  

 

           
                                     (3) 
де функції   , 0, ,ps x p n  – поліноми або сплайни, які визначаються з насту-
пних умов. 
Якщо 
00 1 10 ... ix x x       то  0s x  повинен бути інтерполяційним 
поліномом (або сплайном) з властивостями: 
   
       
0 0
1 10 1
, 0, ;
, 0, .
i i
p p
s x f x i i
s p r  
 
 
                                     (4) 
Якщо 
0 0 11 1 2 2...i i ix x x        то  1s x  повинен бути інтерполя-
 132
ційним поліномом (або сплайном) з властивостями 
       
   
       
1 11 1
1 0 1
2 21 1
, 0, ,
, 1, ,
, 0, .
p p
i i
p p
s p r
s x f x i i i
s p r
  
  
 
  
 
                                     (5) 
Аналогічним чином можна записати умови для побудови відповідних 
поліномів (або сплайнів) на інтервалах  2 3,  ,    3 4 1, ,..., ,n n    .  
Якщо 
1 11 1 2 ...k k k kk i i i ix x x         , поліном  kS x  1,k kx     
буде визначатися з умов 
   
       
       
1
1 1
, 1, ,
, 0, ,
, 0, .
k i i k k
p p
k kk k
p p
k kk k
s x f x i i i
s p r
s p r
  
  

 
  
 
 
                                 (6) 
На кінець запишемо відповідну формулу на інтервалі  ,1n . 
Якщо 1 ... 1n ni i mx x x    , то  ns x  повинен бути інтерполяційним 
поліномом (або сплайном) з властивостями 
 
       
   
1 , 0, ;
, , .
pp
n n n
n i i n
s p r
s x f x i i m
   
 
                                     (7) 
 
Теорема. Для кожної    0,1rf x C  функція  s x , що визначена у ви-
гляді формули (3), в якій      0 1, ,..., ns x s x s x  визначаються формулами (4) –
 (7), задовольняє властивостям (1), (2) і є r  раз диференційовною функцією: 
   0,1rs x C . 
Доведення. Згідно з означенням сплайну (3) доведення властивостей (1) 
та (2) витікає з алгоритму побудови функцій      0 1, ,..., ns x s x s x . Тому до-
ведемо лише те, що    0,1rs x C . Для доведення цієї властивості слід дове-
сти, що 
           
           
0 0 , 0, , 1, ,
0 0 , 0, , 1, .
p p p
j j j
p p p
j j j
s s s p r j n
s s s p r j n
  
  
     
     
            (8) 
 Якщо врахувати, що  
            ( ) ( ) ( ) ( )10 , 0 , 0, , 1, ,pp p p pj j j j jjs s s s f p r j n            
             ( ) ( ) ( )10 , 0 , 0, , 1, ,p pp p pj j j j j jjs s f s s p r j n            
 133
то рівності (8) стають очевидними.  
Теорема доведена. 
 
Перспективи подальших досліджень. У подальшому планується вико-
нати узагальнення запропонованого методу на випадок наближення функцій 
багатьох змінних.  
 
Висновки. Запропоновано метод побудови операторів  ;s f x , що ін-
терполюють функції   [ , ]f x C a b  у заданій системі точок і збігаються з 
 f x  на заданій системі підінтервалів інтервалу [ , ]a b . Такі оператори мо-
жуть бути використані для наближення поверхонь в методі інтерстрипації 
функцій, заданих на системі паралельних або перетинних смуг, при описі 
поверхонь деяких лопаток авіадвигунів тощо. Досліджено їх властивості. 
 
Список літератури 1. Литвин О.М. Методи обчислень. Додаткові розділи. – Київ: Наук. думка, 
2005. – 333 с. 2. Литвин О.М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування. – Харків: Основа, 
2002. – 544с. 3. Литвин О.М. Матвєєва С.Ю. Метод воcстановления поверхности между полоса-
ми при помощи информации о поверхности на взаимно перпендикулярных полосах 
//Международный научный журнал Управляющие системы и машины информационные техноло-
гии. № 1 – 2011 с. 33-40. 4. Литвин О.М., Матвєєва С.Ю. Інтерлінація та інтерфлетація функцій 
багатьох змінних та її застосування у картографії // Національне картографування: стан, пробле-
ми та перспективи розвитку: 36. наук. пр. – К.: ДНВП «Картографія», 2005. – 2. – С. 22-24. 5. 
Литвин О.М., Матвєєва С.Ю., Межуєв В.І. Метамодель для математичного моделювання повер-
хні тіла на основі даних радіолокації // УСиМ. – 2010. – №3 .  –  С .  33-47. 6. Матвєєва С.Ю. 
Метод побудови цифрових карт за допомогою інтерлінації та інтерфлетації функцій // Питання 
оптимізації обчислень, 2005. – 145 с. 7. Литвин О.М. Інтерлінація та інтерфлетація функцій і 
структурний метод В.Л. Рвачова // Математичні методи та фізико-механічні поля. – 2007. – № 4. 
– С. 61-82. 8. Рвачев В.Л., Толок А.В., Уваров Р.А., Шейко Т.И. Новые подходы к построению 
уравнений трехмерных локусов с помощью R-функций // Вісн. Запоріз. д. ун-ту. – Запроріжжя, 
2000. – №2. – С. 119-130. 9. Рвачев В.Л., Уваров Р.А., Шейко Т.И. Построение уравнений локусов 
в 3D c помощью R-функций //Радиоэлектроника и информатика. – 2001. – №2. – С. 158-164. 10. 
Рвачев В.Л., Уваров Р.А., Шейко Т.И. Интерлокационные формулы при моделировании задач 
Плато и Софи Жермен // Радиоэлектроника и информатика. – 2002. – №3. – С. 126-128. 11. Рва-
чев В.Л., Шейко Т.И., Шапиро В. Метод R-функций (RFM) в краевых задачах с геометрической и 
физической симметрий // Мат. методы и физ.-мех.поля. – 1988. – 41, №1. – С 146-159. 12. Рвачев 
В.Л., Шейко Т.Н., Шапиро В. Обобщенные интерполяционные формулы Лагранжа - Эрмита на 
произвольных локусах (интерлокационные операторы теории R-функций) // Пробл. машино-
строения. – 1998. – т. 1, №3-4. – С. 150-166. 13. Рвачев В.Л., Шапиро В., Шейко Т.И. Применение 
метода R-функций к построению уравнений локусов, обладающих симметрией // Электромагни-
ты, волны и электронные системы. – 1999. – т.4, № 4. – С. 4-20. 14. Рвачев В.Л., Шейко Т.И. Вве-
дение в теорию R-функций // Пробл. машиностроения. – 2001. – т.4, №1-2. – С. 46-58. 
15. Максименко-Шейко К.В. R-функции в математическом моделировании геометрических объ-
ектов и физических полей .// монография. – Харьков, ИПМаш НАН Украины, 2009. – 306 с.  
 
Надійшла до редколегії 27.03.2012 


http://repository.kpi.kharkov.ua/bitstream/KhPI-Press/9967/1/vestnik_HPI_2012_27_Lytvyn_Operatory.pdf

Оператори інтерполяції функцій однієї змінної, що збігаються з нею на заданих відрізках області наближення

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

eNTUKhPIIR Electronic National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"; Institutional Repository

Library of National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"