The survey was conducted on the example of two-mass model of electric arc furnace. At synthesis of Takagi-Sugeno fuzzy controller 
arc voltage and the output voltage thyristor converter are fuzzified and other variables of the state vector are not. The main known 
methods of aggregation are considered. The obtained results testify that the impact of the choice of aggregation method and its pa-
rameters on the behavior of the system is missing, despite that the output of the regulator is different for each method

Демків, Л. І.

Library of National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

 Теоретические вопросы автоматизированного электропривода 120 
Демків Л.І. Україна 
Національний університет “Львівська політехніка” 
ДОСЛІДЖЕННЯ ВПЛИВУ МЕТОДУ АГРЕГАЦІЇ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ 
ДИНАМІЧНОЇ СИСТЕМИ 
На сьогоднішній день одним з найпоширеніших підходів до синтезу регуляторів електромеханічних систем 
є застосування апарату нечітких множин та нечіткої логіки. Однією з навагоміших властивостей такого підходу 
є надзвичайно велика кількість ступенів вільності, які дозволяють забезпечити належне адаптування системи до 
різних режимів та умов роботи. Такими ступенями свободи, зокрема, є вибір моделі вводу-виводу, методів 
фазифікації, агретації, акумуляції, дефазифікації, вибір бази правил тощо. 
Вплив методів фазифікації, дефазифікації, вибору бази правил досліджено, наприклад, в роботах [1, 3, 4, 6, 
7]. При дослідженні агрегації (див. напр. [5]) переважно, в порівнюють вихід регулятора, а не аналізують вплив 
досліджуваного ступеня вільності на характеристики системи. Дана робота присвячена дослідженню впливу 
методу агрегації на поведінку динамічної системи. Щодо способів агрегації, то автори пропонують скористати-
ся доволі вичерпним переліком методів агрегації котрий наведено в [9] та подано у табл. 1. Слід зазначити, що 
багато цих методів залежать від невідомого параметра, що забезпечує системі додатковий ступінь свободи. 
Таблиця 1 
Методи агрегації ( t -норми ( ),T a b ) 
№ t -норма Значення параметрів, при яких проводилось дослідження 
1 ( ),Min a b   
2 a b⋅   
3 ( )0, 1Max a b+ −   
4 ( ) ( )10, 1 , ,pp pMax a b p−− −+ − ∈ −∞ ∞ , 4.1 1 100p = − ; 4.2 2 2p = − ; 4.3 3 2p = ; 4.4 4 100p = . 
5 ( )( ) ( ), 0,1
ab
a b ab
γ
γ γ
∈ ∞
+ − + −
, 5.1 1 2γ = ; 5.2 2 100γ = . 
6 
( )( ) ( )1 1log 1 , 0,
1
a b
S
S S
S
S
 
− −
 + ∈ ∞
− 
 
, 6.1 1 2S = ; 6.2 2 100S = . 
7 ( ) ( )( ) ( )11 1, 1 1 , 0,ww wMin a b w − − + − ∈ ∞   , 7.1 1 2w = ; 7.2 2 100w = . 
8 ( ) ( ), 0,1, ,
ab
Max a b
α
α
∈ , 8.1 1 0.3α = ; 8.2 2 0.7α = . 
9 ( ) ( )
( )1
1 1
1
, 0,
1 1 1
a b
λλ λ
λ ∈ ∞
 + − + −
 
, 9.1 2λ = ; 9.2 100λ = . 
Легко пересвідчитись, що значення t -норм наведених в цій таблиці при конкрентих значеннях параментрів 
відрізняються, тобто вибір t -норми як одного з ступенів вільності є актуальним питанням. Зокрема для 
моделі Такагі-Сугено було розглянуто випадок модельної бази правил, що складається з восьми правил 
функції-висновки яких є константами, у випадку коли 
фазифікація проводиться за допомогою функцій 
належності ( )6.0,4.0;eS  та ( )6.0,4.0;eZ  (див. [8]), а зна-
чення відповідних трьох чітких змінних вибрано так, 
щоб активними були усі вісім правил одночасно. 
Дефазифікацію проводили спрощеним гравітаційним ме-
тодом. Значення вихідної чіткої змінної в залежності від 
методу агрегації наведено на рис. 1. Слід зазначити, що 
аналогічні результати було одержано для бази з чотирь-
ох, шести та дев’яти правил у випадку коли одночасно 
активними є не менше чотирьох правил для випадків 
двох та трьох вхідних змінних. У випадку ж коли актив-
ними одночасно є             Чіткий результат нечіткої 
моделі лише два правила, вибір методу агрегації не 
впливає на результат. 
 
Рис. 1. 
 Проблемы автоматизированного электропривода 121 
Легко пересвідчитись, що для випадків 4.1 та 4.2 для вибраної бази правил та вхідних значень змінних, усі 
значення правдоподібності умов кожного з правил дорівнють нулю, тобто вихідний результат нечіткого моде-
лювання неможливо визначити.  
Однак, у випадку прикладного застосування теорії нечітких множин для синтезу керуючих впливів цікавим 
є вплив агрегації не на вихідний сигнал синтезованого регулятора в окремій точці, а на характеристики системи 
загалом. Дослідження будемо проводити на прикладі двомасової моделі дугової сталеплавильної печі (ДСП). 
Детальний опис такої моделі наведено в [2]. При синтезі нечіткого регулятора (типу Такагі-Сугено) системи бу-
ло проведено фазифікацію за напругою дуги та напругою на виході тиристорного перетворювача, а інші змінні 
вектору станів не фазифікують. Кількість термів для кожної змінної рівна трьом, дефазифікацію проводили 
спрощеним гравітаційним методом.                                                                            
Для порівняння впливу досліджуваних ступенів свободи на характеристики динамічної системи застосуємо 
відомі інтегральні показники якості – ISE, ITSE, ITAE, IAE (1), відповідно, а також узагальнений інтегральний 
показник якості (2). 
( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 3 4
0 0 0 0
, , , ,
T T T T
I e t dt I te t dt I t e t dt I e t dt= = = =∫ ∫ ∫ ∫                                           (1) 
4
1
0.25 i
i
I I
=
= ∑                                                                                        (2) 
Результати обчислень значення відповідних інтегральних показників якості залежно від методу агрегації на-
ведено в табл. 2. Слід зазначити, що у всіх цих випадках перерегулювання у системі відсутнє. 
Таблиця 2 
Значення інтегральних показників якості (1)–(2) в залежності від методу агрегації 
Номер методу агрегації з табл. 1 Інт. 
пок. як. 1 2 3 4.3 4.4 5.1 5.2 6.1 6.2 7.1 7.1 8.1 8.2 9.1 9.2 
5
1 10I ⋅  2,192 2,190 2,178 2,192 2,192 2,190 2,188 2,190 2,188 2,189 2,192 2,192 2,190 2,192 2,192 
6
2 10I ⋅  2,692 2,687 2,656 2,691 2,692 2,686 2,682 2,686 2,681 2,684 2,692 2,691 2,687 2,691 2,692 
4
3 10I ⋅  5,240 5,241 5,203 5,240 5,240 5,240 5,239 5,241 5,236 5,241 5,240 5,241 5,241 5,240 5,240 
3
4 10I ⋅  2,949 2,948 2,935 2,949 2,949 2,948 2,946 2,948 2,946 2,947 2,949 2,949 2,948 2,949 2,949 
410I ⋅  8,745 8,743 8,700 8,745 8,745 8,742 8,738 8,742 8,736 8,741 8,745 8,745 8,743 8,745 8,745 
Наведені у табл. 2 результати свідчать, що для досліджуваної системи у процесі синтезу нечіткого регулятора 
можна знехтувати принаймні одним ступенем свободи, адже вплив вибору методу агрегації та його параметрів на 
поведінку системи практично відсутній.  
Одержаний результат суттєво спрощує процес подальших досліджень питання вибору степенів свободи 
нечіткого регулятора, втім ця проблема потребує інтегрованого рішення. Питання комплексного дослідження 
залежності впливу вибору значень ступенів свободи на синтезований нечіткий регулятор та поведінку керованої ним 
динамічної системи буде предметом подальшого вивчення авторів. 
 
1. Лозинський А.О. Дослідження впливу вигляду функції належності на динамічні показники системи при 
багатокритеріальній оптимізації зі змінними ваговими коефіцієнтами / А.О. Лозинський, Л.І. Демків // 
Електротехнічні та комп'ютерні системи. — 2012. —№ 5.— C. 137-144. 
2. Марущак Я.Ю. Динаміка двомасових систем стабілізації режиму в електродугових печах / Я.Ю. 
Марущак, А.О. Лозинський, А.П. Кушнір - Львів: Видавництво Львівської політехніки, 2011. - 224 c. 
3. Alejandro Aceves-Lopes A simplified version of Mamdani's fuzzy controller: the natural logic controller / 
Alejandro Aceves-Lopes, Joseph Aguilar-Martin // IEEE Transactions on fuzzy systems. -2006. - V. 14.No. 1. — P. 16-
30. 
4. Hu B.G. A systematic study of fuzzy PID controllers function based evaluation approach / Hu B.G., Mann 
G.K.I., Gosine R.G. // IEEE Trans. on fuzzy systems. — 2001. — V. 9.No. 5. — P. 699-712. 
5. Bova S. A logical analysis of Mamdani-type fuzzy inference, I theoretical bases / S. Bova, P. Codara, D. 
Maccari, V. Marra // IEEE Int. conf. on Fuzzy Systems. — 2010. — P. 1-8. 
6. Koprinkova P.  Membership function shape and its influence on the dynamical behavior of fuzzy logic 
controller / P. Koprinkova // Cybernetics and Systems: An International Journal. — 2000. — No. 31. — P. 161-173. 
7. Pham D.T. Action aggregation and defuzzification in Mamdani-type fuzzy system / D.T. Pham, M. Castellani 
// Proc. I.Mech.E. — 2002. — V. 216. — P. 747-759. 
8. Piegat A. Modelowanie i sterowanie rozmyte / A.  Piegat — Warszawa: “Akademicka Oficyna Wydawnicza 
EXIT”, 2003.  — 678 p. 
9. Yager R.R. Essentials of fuzzy modeling and control/R.R. Yager, D.P. Filev-New York: John Wiley & Sons, 
1994. 


Дослідження впливу методу агрегації на характеристики динамічної системи

eNTUKhPIIR Electronic National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"; Institutional Repository

 Теоретические вопросы автоматизированного электропривода 120 Демків Л.І. Україна Національний університет “Львівська політехніка” ДОСЛІДЖЕННЯ ВПЛИВУ МЕТОДУ АГРЕГАЦІЇ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМІЧНОЇ СИСТЕМИ На сьогоднішній день одним з найпоширеніших підходів до синтезу регуляторів електромеханічних систем є застосування апарату нечітких множин та нечіткої логіки. Однією з навагоміших властивостей такого підходу є надзвичайно велика кількість ступенів вільності, які дозволяють забезпечити належне адаптування системи до різних режимів та умов роботи. Такими ступенями свободи, зокрема, є вибір моделі вводу-виводу, методів фазифікації, агретації, акумуляції, дефазифікації, вибір бази правил тощо. Вплив методів фазифікації, дефазифікації, вибору бази правил досліджено, наприклад, в роботах [1, 3, 4, 6, 7]. При дослідженні агрегації (див. напр. [5]) переважно, в порівнюють вихід регулятора, а не аналізують вплив досліджуваного ступеня вільності на характеристики системи. Дана робота присвячена дослідженню впливу методу агрегації на поведінку динамічної системи. Щодо способів агрегації, то автори пропонують скористати-ся доволі вичерпним переліком методів агрегації котрий наведено в [9] та подано у табл. 1. Слід зазначити, що багато цих методів залежать від невідомого параметра, що забезпечує системі додатковий ступінь свободи. Таблиця 1 Методи агрегації ( t -норми ( ),T a b ) № t -норма Значення параметрів, при яких проводилось дослідження 1 ( ),Min a b   2 a b⋅   3 ( )0, 1Max a b+ −   4 ( ) ( )10, 1 , ,pp pMax a b p−− −+ − ∈ −∞ ∞ , 4.1 1 100p = − ; 4.2 2 2p = − ; 4.3 3 2p = ; 4.4 4 100p = . 5 ( )( ) ( ), 0,1aba b abγγ γ∈ ∞+ − + −, 5.1 1 2γ = ; 5.2 2 100γ = . 6 ( )( ) ( )1 1log 1 , 0,1a bSS SSS − − + ∈ ∞−  , 6.1 1 2S = ; 6.2 2 100S = . 7 ( ) ( )( ) ( )11 1, 1 1 , 0,ww wMin a b w − − + − ∈ ∞   , 7.1 1 2w = ; 7.2 2 100w = . 8 ( ) ( ), 0,1, ,abMax a bαα∈ , 8.1 1 0.3α = ; 8.2 2 0.7α = . 9 ( ) ( )( )11 11, 0,1 1 1a bλλ λλ ∈ ∞ + − + − , 9.1 2λ = ; 9.2 100λ = . Легко пересвідчитись, що значення t -норм наведених в цій таблиці при конкрентих значеннях параментрів відрізняються, тобто вибір t -норми як одного з ступенів вільності є актуальним питанням. Зокрема для моделі Такагі-Сугено було розглянуто випадок модельної бази правил, що складається з восьми правил функції-висновки яких є константами, у випадку коли фазифікація проводиться за допомогою функцій належності ( )6.0,4.0;eS  та ( )6.0,4.0;eZ  (див. [8]), а зна-чення відповідних трьох чітких змінних вибрано так, щоб активними були усі вісім правил одночасно. Дефазифікацію проводили спрощеним гравітаційним ме-тодом. Значення вихідної чіткої змінної в залежності від методу агрегації наведено на рис. 1. Слід зазначити, що аналогічні результати було одержано для бази з чотирь-ох, шести та дев’яти правил у випадку коли одночасно активними є не менше чотирьох правил для випадків двох та трьох вхідних змінних. У випадку ж коли актив-ними одночасно є             Чіткий результат нечіткої моделі лише два правила, вибір методу агрегації не впливає на результат.  Рис. 1.  Проблемы автоматизированного электропривода 121 Легко пересвідчитись, що для випадків 4.1 та 4.2 для вибраної бази правил та вхідних значень змінних, усі значення правдоподібності умов кожного з правил дорівнють нулю, тобто вихідний результат нечіткого моде-лювання неможливо визначити.  Однак, у випадку прикладного застосування теорії нечітких множин для синтезу керуючих впливів цікавим є вплив агрегації не на вихідний сигнал синтезованого регулятора в окремій точці, а на характеристики системи загалом. Дослідження будемо проводити на прикладі двомасової моделі дугової сталеплавильної печі (ДСП). Детальний опис такої моделі наведено в [2]. При синтезі нечіткого регулятора (типу Такагі-Сугено) системи бу-ло проведено фазифікацію за напругою дуги та напругою на виході тиристорного перетворювача, а інші змінні вектору станів не фазифікують. Кількість термів для кожної змінної рівна трьом, дефазифікацію проводили спрощеним гравітаційним методом.                                                                            Для порівняння впливу досліджуваних ступенів свободи на характеристики динамічної системи застосуємо відомі інтегральні показники якості – ISE, ITSE, ITAE, IAE (1), відповідно, а також узагальнений інтегральний показник якості (2). ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 3 40 0 0 0, , , ,T T T TI e t dt I te t dt I t e t dt I e t dt= = = =∫ ∫ ∫ ∫                                           (1) 410.25 iiI I== ∑                                                                                        (2) Результати обчислень значення відповідних інтегральних показників якості залежно від методу агрегації на-ведено в табл. 2. Слід зазначити, що у всіх цих випадках перерегулювання у системі відсутнє. Таблиця 2 Значення інтегральних показників якості (1)–(2) в залежності від методу агрегації Номер методу агрегації з табл. 1 Інт. пок. як. 1 2 3 4.3 4.4 5.1 5.2 6.1 6.2 7.1 7.1 8.1 8.2 9.1 9.2 51 10I ⋅  2,192 2,190 2,178 2,192 2,192 2,190 2,188 2,190 2,188 2,189 2,192 2,192 2,190 2,192 2,192 62 10I ⋅  2,692 2,687 2,656 2,691 2,692 2,686 2,682 2,686 2,681 2,684 2,692 2,691 2,687 2,691 2,692 43 10I ⋅  5,240 5,241 5,203 5,240 5,240 5,240 5,239 5,241 5,236 5,241 5,240 5,241 5,241 5,240 5,240 34 10I ⋅  2,949 2,948 2,935 2,949 2,949 2,948 2,946 2,948 2,946 2,947 2,949 2,949 2,948 2,949 2,949 410I ⋅  8,745 8,743 8,700 8,745 8,745 8,742 8,738 8,742 8,736 8,741 8,745 8,745 8,743 8,745 8,745 Наведені у табл. 2 результати свідчать, що для досліджуваної системи у процесі синтезу нечіткого регулятора можна знехтувати принаймні одним ступенем свободи, адже вплив вибору методу агрегації та його параметрів на поведінку системи практично відсутній.  Одержаний результат суттєво спрощує процес подальших досліджень питання вибору степенів свободи нечіткого регулятора, втім ця проблема потребує інтегрованого рішення. Питання комплексного дослідження залежності впливу вибору значень ступенів свободи на синтезований нечіткий регулятор та поведінку керованої ним динамічної системи буде предметом подальшого вивчення авторів.  1. Лозинський А.О. Дослідження впливу вигляду функції належності на динамічні показники системи при багатокритеріальній оптимізації зі змінними ваговими коефіцієнтами / А.О. Лозинський, Л.І. Демків // Електротехнічні та комп'ютерні системи. — 2012. —№ 5.— C. 137-144. 2. Марущак Я.Ю. Динаміка двомасових систем стабілізації режиму в електродугових печах / Я.Ю. Марущак, А.О. Лозинський, А.П. Кушнір - Львів: Видавництво Львівської політехніки, 2011. - 224 c. 3. Alejandro Aceves-Lopes A simplified version of Mamdani's fuzzy controller: the natural logic controller / Alejandro Aceves-Lopes, Joseph Aguilar-Martin // IEEE Transactions on fuzzy systems. -2006. - V. 14.No. 1. — P. 16-30. 4. Hu B.G. A systematic study of fuzzy PID controllers function based evaluation approach / Hu B.G., Mann G.K.I., Gosine R.G. // IEEE Trans. on fuzzy systems. — 2001. — V. 9.No. 5. — P. 699-712. 5. Bova S. A logical analysis of Mamdani-type fuzzy inference, I theoretical bases / S. Bova, P. Codara, D. Maccari, V. Marra // IEEE Int. conf. on Fuzzy Systems. — 2010. — P. 1-8. 6. Koprinkova P.  Membership function shape and its influence on the dynamical behavior of fuzzy logic controller / P. Koprinkova // Cybernetics and Systems: An International Journal. — 2000. — No. 31. — P. 161-173. 7. Pham D.T. Action aggregation and defuzzification in Mamdani-type fuzzy system / D.T. Pham, M. Castellani // Proc. I.Mech.E. — 2002. — V. 216. — P. 747-759. 8. Piegat A. Modelowanie i sterowanie rozmyte / A.  Piegat — Warszawa: “Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT”, 2003.  — 678 p. 9. Yager R.R. Essentials of fuzzy modeling and control/R.R. Yager, D.P. Filev-New York: John Wiley & Sons, 1994. 

http://repository.kpi.kharkov.ua/bitstream/KhPI-Press/4380/1/vestnik_HPI_2013_36_Demkiv_Doslidzhennia%20vplyvu.pdf

Дослідження впливу методу агрегації на характеристики динамічної системи

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Library of National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

eNTUKhPIIR Electronic National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"; Institutional Repository