Projet MODULEFLe verrouillage numérique est un phénomène susceptible d'affecter toutes les méthodes d'éléments finis de coques minces et les arguments utilisés dans la littérature pour garantir que telle ou telle méthode n'en souffre pas sont rarement convaincants. On propose ici une méthodologie simple pour détecter numériquement le verrouillage et on l'utilise pour tester quelques éléments issus des codes CESAR-LCPC et MODULEF qui s'avèrent tous sujets à ce problème, quoiqu'à des degrés divers de gravité

Chapelle, Dominique

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HAL Id: inria-00073953https://hal.inria.fr/inria-00073953Submitted on 24 May 2006HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.Etude numérique du verrouillage de quelques méthodesd’éléments finis pour les coquesDominique ChapelleTo cite this version:Dominique Chapelle. Etude numérique du verrouillage de quelques méthodes d’éléments finis pour lescoques. [Rapport de recherche] RR-2740, INRIA. 1995. ￿inria-00073953￿ISSN 0249-6399ap por t  de  r ech er ch e INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUEEtude numérique du verrouillage de quelquesméthodes d’éléments finis pour les coquesDominique ChapelleN˚ 2740Décembre 1995PROGRAMME 6Etude numérique du verrouillage de quelquesméthodes d’éléments finis pour les coquesDominique ChapelleProgramme 6 — Calcul scientifique, modélisation et logiciel numériqueProjet Modulef and L.C.P.C., UMR 113 LCPC/CNRS - 2, allée Kepler,77420 Champs-sur-Marne, e.mail: chapelle@inrets.frRapport de recherche n˚ 2740 — Décembre 1995 — 13 pagesRésumé : Le verrouillage numérique est un phénomène susceptible d’affecter toutesles méthodes d’éléments finis de coques minces et les arguments utilisés dans lalittérature pour garantir que telle ou telle méthode n’en souffre pas sont rarementconvaincants. On propose ici une méthodologie simple pour détecter numériquementle verrouillage et on l’utilise pour tester quelques éléments issus des codes CESAR-LCPC et MODULEF qui s’avèrent tous sujets à ce problème, quoiqu’à des degrésdivers de gravité.(Abstract: pto)Unité de recherche INRIA RocquencourtDomaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)Téléphone : (33 1) 39 63 55 11 – Télécopie : (33 1) 39 63 53 30A numerical assesment of the locking phenomenonfor several shell finite element methodsAbstract: Judging from the computational engineering litterature, extensive effortsare directed towards designing and testing shell finite element methods intended toavoid numerical locking. From our point of view, however, the tests and argumentsinvolved to guarantee this locking-free behaviour are seldom convincing. We pro-pose a simple numerical procedure to detect locking, and we apply this procedureto test several elements in the CESAR-LCPC and MODULEF codes. All of themappear to be subject to locking, although some are much more seriously affectedthan others.31 IntroductionQuantité d’eléments finis de coques sont proposés sur le marché des codes decalcul scientifique, et ils sont naturellement plus nombreux encore dans la littératurespécialisée. Parmi ces éléments, beaucoup sont présentés comme échappant auphénomène du verrouillage numérique, qui constitue une difficulté sérieuse pourtoutes les formulations de structures minces [1, 6, 7]. Or les arguments avancés pourgarantir cette propriété, reposant généralement sur des tests numériques effectuéssur des cas-tests (“benchmarks”), semblent de façon générale peu convaincants, cepour différentes raisons que l’on peut classer en trois catégories.1. Cas-tests inappropriés. Pour parler de verrouillage il faut au préalable don-ner un sens à ce terme. La signification communément admise semble êtrel’incapacité des champs de déplacements discrétisés à représenter une classeparticulière de déplacements que la formulation tend à favoriser. Pour lescoques, cette classe se compose des déplacements pour lesquels la normaleà la surface moyenne reste normale (hypothèse de Kirchhoff-Love), et lamétrique de la surface moyenne elle-même reste inchangée (déplacementsinextensionnels). Or l’existence de déplacements inextensionnels, propriétépurement géométrique, n’a lieu que dans des conditions bien précises portantsur la géométrie de la surface moyenne et les conditions aux limites imposées,conditions très rarement remplies par les cas-tests utilisés dans la littérature.Si ces conditions ne sont pas satisfaites, il n’y a pas d’autre déplacementinextensionnel que le déplacement nul, et on ne peut pas alors véritablementparler de verrouillage.2. Absence de référence précise. Il existe une multitude de modèles de coquesdifférents, dont on peut raisonnablement penser qu’ils doivent fournir dessolutions différentes pour une sollicitation donnée. Pour chacun d’entre eux,on peut envisager une approximation de type Galerkin au moyen d’élémentsfinis. Or il n’est pas rare de ne voir décrire que l’élément fini utilisé, lemodèle sous-jacent étant passé sous silence (hormis les constantes d’elasticitédu matériau)! Plus sérieuse est la difficulté que représentent les méthodesnumériques pour lesquelles il n’y a pas de modèle continu explicite car lacoque est directement “modélisée” à partir d’un solide tridimensionnel parRR n˚ 27404 Dominique Chapelledes éléments finis. C’est notamment le cas de la famille des “general shellelements”, très utilisée dans la pratique (voir par exemple [2]).3. Problème de méthodologie. Le verrouillage se traduit en pratique par unedégradation de la qualité de l’approximation lorsque l’épaisseur de la structurediminue. C’est donc un phénomène relatif que l’on ne peut mettre en évidencequ’en comparant des comportements numériques pour différentes valeursde l’épaisseur. La totalité des études dont nous avons eu connaissance neconsidèrent jamais qu’une seule épaisseur pour un cas-test donné, mêmelorsque les cas-tests eux-même sont multipliés à l’envi [3].Partant de cette analyse, cette étude propose une méthodologie simple de détec-tion numérique du verrouillage qui ne présente aucune des déficiences identifiéesci-dessus. Ses caractéristiques sont les suivantes.1. On considère un cas où on peut effectivement donner un sens au verrouillage,et donc on s’assure que les mouvements inextensionnels sont bien possibles.On sait que c’est le cas pratiquement exclusif des surfaces cylindriques fixéesle long de génératrices uniquement et des surfaces hyperboliques fixées surune partie de leur frontière seulement [9].2. On souhaite pouvoir tester n’importe quelle méthode d’approximation, mêmes’il n’y a pas de modèle continu explicite qui lui correspond. Par ailleurs, dansle cas ou un modèle explicite existe, il n’est pas possible en général d’obte-nir une solution analytique. Par conséquent on ne pourra pas disposer d’uneréférence absolue pour déterminer l’erreur d’approximation. Notre procédureconsiste à employer sur un même cas-test plusieurs maillages de raffinementcroissant, et d’utiliser comme “référence” la solution numérique obtenue pourle maillage le plus fin. On se concentre ainsi sur le comportement de conver-gence de la méthode vers une limite donnée, et non sur la valeur de la limiteelle-même.3. Pour analyser l’influence de l’épaisseur sur le comportement de convergence,on effectuera les calculs sur le même cas-test pour plusieurs valeurs significa-tivement différentes de ce paramètre.INRIA5Paraboloide hyperbolique-0.500.5 -0.500.5-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25xyzFIG. 1 - Surface moyenne de la coque2 Tests numériques2.1 Méthodologie détailléeNotre cas-test est celui d’une coque dont la surface moyenne est une portion deparaboloı̈de hyperbolique d’équation  2  2  	  0  5 	 0  5  2et dont la géométrie est visualisée sur la figure 1.On impose des déplacements nuls sur le bord correspondant à    0  5  . Desdéplacements inextensionnels non-triviaux peuvent alors se développer (voir [9])RR n˚ 27406 Dominique Chapelle                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~      ~~                          		 			 			 			 	                      Déplacementsimposés nulsinextensionnelsDéplacementsinhibéspossibles-0.5-0.50.50.5FIG. 2 - Localisation des déplacements inextensionnelshors de la région définie par       , représentée sur la figure 2. La coque estsoumise à un chargement de type charge surfacique constante orientée selon l’axe    . Le coefficient de Poisson est pris égal à 0.3, et le module d’Young importepeu puisque seules les grandeurs relatives nous intéressent.Pour une méthode d’approximation donnée, on définit plusieurs maillages quidépendent des éléments finis utilisés et du mailleur disponible correspondant. Notonsque, pour des raisons de symétrie évidentes, on ne maillera que la moitié   0 du domaine. Pour chacun de ces maillages, on calcule la solution numérique pourles épaisseurs   0  05 	 0  01 	 0  002, voire plus fines encore dans les cas où cespremiers résultats s’avèrent insuffisamment concluants. Considérant alors la sériede résultats à épaisseur donnée, on utilise la solution du maillage le plus fin pourcalculer une erreur relative pour les maillages plus grossiers sur une grandeur jugéereprésentative, en l’occurrence le déplacement selon     du point    0  5 	   0  .On trace enfin les courbes donnant, pour les différentes épaisseurs, l’erreur relativeINRIA7Q8 10 20 40 60 80 1086 3966 15126 33486 59046DKT Argyris-Ganev 8 16 32 64 8 16 32 64 441 1581 5973 23205 1080 3876 14652 56940TAB. 1 - Correspondance entre pas du maillage et degrés de libertécalculée en fonction du pas caractéristique du maillage, et la comparaison de cescourbes permet en pratique la détection du verrouillage.2.2 Résultats numériques2.2.1 Elément Q8 de CESAR/LCPCCet élément appartient à la famille évoquée plus haut des “general shell ele-ments”. C’est un quadrilatère à 8 noeuds avec 6 degrés de liberté par noeuds (3déplacements, 3 rotations). Les maillages utilisés sont composés de carrés tousidentiques (en projection dans le plan      ), correspondant à un découpage d’uncôté du domaine en parties égales en nombre   10 	 20 	 40 	 60 	 80. Le tableau 1donne le nombre de degrés de liberté pour le demi-maillage en fonction de .Les courbes de convergence sont représentées en échelle logarithmique sur lafigure 3. Une dégradation de la convergence y apparaı̂t nettement lorsque l’épaisseurdiminue, et notamment entre les épaisseurs 0.01 et 0.002 où l’erreur relative estmultipliée par un facteur proche de 3 pour   10. Cette dégradation met clairementen évidence le phénomène du verrouillage.2.2.2 Elément DKT de MODULEFCet élément correspond à une approximation non-conforme du modèle de coquede Koiter [8]. La démonstration de la convergence de cette méthode est faite dans[5], mais la question de la sensibilité de cette convergence vis-à-vis de l’épaisseurRR n˚ 27408 Dominique Chapelle0.00010.0010.010.1110 100Erreur relativeNe=0.05e=0.01e=0.002FIG. 3 - Elément Q8. Courbes de convergenceINRIA9N=8FIG. 4 - Maillage-type employé pour les éléments MODULEFn’y est pas étudiée. Il s’agit d’un élément triangulaire avec 5 degrés de liberté auxsommets, et 2 aux milieux des côtés. Le maillage-type utilisé est représenté sur lafigure 4 et la correspondance avec le nombre total de degrés de liberté est réaliséedans le tableau 1.Sur les courbes de la figure 5, on observe une brutale dégradation de la conver-gence avec la diminution de l’épaisseur. Pour   8, l’erreur est multipliée par unfacteur proche de 5 lorsque l’épaisseur passe de 0.05 à 0.01, et aussi de 0.01 à 0.002.Le verrouillage numérique est donc particulièrement fort ici.2.2.3 Elément Argyris/Ganev de MODULEFIl s’agit cette fois d’une approximation conforme du modèle de Koiter où lesdéplacements tangentiels sont approximés par des polynômes de degré 4 (élémentde Ganev), alors que le déplacement transverse est approximé par des polynômesde degré 5 avec raccords   1 (élément d’Argyris) [4]. La convergence à épaisseurfixée ne fait donc ici aucun doute. Ces éléments sont triangulaires avec 12 degrésde liberté aux sommets et 5 aux milieux des côtés. Les maillages utilisés sont lesmêmes que pour les éléments DKT et le nombre total de degrés de liberté est donnépar le tableau 1.La figure 6 fait apparaı̂tre une dégradation de la convergence beaucoup pluslimitée qu’avec les autres éléments. Pour   8, l’erreur n’est multipliée que parRR n˚ 274010 Dominique Chapelle0.0010.010.111 10 100Erreur relativeNe=0.05e=0.01e=0.002FIG. 5 - Elément DKT. Courbes de convergenceINRIA110.0010.010.111 10 100Erreur relativeNe=0.05e=0.01e=0.002e=0.0004e=0.00008FIG. 6 - Elément Argyris/Ganev. Courbes de convergenceRR n˚ 274012 Dominique ChapelleQ8 DKT Argyris-Ganev      10  6      10  6      10  60.05 20 3966 128 14 1230 7 10 1617 300.01 26 6558 359 22 2898 42 12 2262 590.002 34 11022 1030 40  9225 446 16 3876 181*: valeur extrapoléeTAB. 2 - Effort nécessaire pour atteindre la précision de 1%2.5 lorsque l’on passe de 0.05 à 0.002 pour l’épaisseur. Le phénomène s’amplifiepour des épaisseurs moindres, ce qui montre bien que le verrouillage numériqueaffecte également cet élément. Cependant, il reste très limité pour des épaisseursvariant dans un intervalle physiquement raisonnable (jusqu’à 2 pour 1000).2.3 Comparaison entre les différents élémentsA partir des courbes de convergence données plus haut, on peut pour chaqueméthode déterminer par interpolation le pas de maillage requis pour atteindre uneprécision donnée, et en déduire le nombre de degrés de liberté correspondants. Onse fixera ici le seuil de 1% d’erreur relative. Dans le tableau 2, on fait figurer pourchacune des méthodes, et pour des valeurs de l’épaisseur de 0.05, 0.01 et 0.002, lepas de maillage , le nombre de degrés de liberté  , ainsi qu’un indicateur   dutemps de calcul nécessaire pour factoriser la matrice assemblée défini par    2  ,où  est la largeur de bande maximale pour la numérotation “naturelle”.Ces résultats appellent plusieurs remarques. Il apparaı̂t une grande différence decomportement entre les éléments de MODULEF. Le DKT, élément de relativementbas degré, s’avère extrêmement performant pour une coque plutôt épaisse, maisson comportement est très sévèrement altéré par une diminution de l’épaisseur.L’élément Argyris/Ganev est certes beaucoup plus lourd dans l’absolu, mais ilest beaucoup moins sensible au verrouillage et ses performances s’en trouventcomparables à celles du DKT pour une épaisseur moyenne, et bien meilleurespour une faible épaisseur. Ce résultat demanderait évidemment à être confirmépar d’autres tests, mais il semble indiquer que les éléments de haut degré peuventINRIA13constituer une solution de compromis pour pallier le problème du verrouillage descoques. Quant à l’élément Q8, le tableau 2 confirme que sa sensibilité au verrouillageest intermédiaire entre les deux autres éléments. Ses performances sont par contremoins bonnes que celles des deux autres dans toutes les configurations.Références[1] D.N. Arnold. Discretization by finite elements of a model parameter dependentproblem. Numer. Math., 37:405–421, 1981.[2] K.J. Bathe. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice-Hall,1982.[3] T. Belytschko, H. Stolarsky, W.K. Liu, N. Carpenter, and J.S.J. Ong. Stressprojection for membrane and shear locking in shell finite elements. Comput.Methods Appl. Mech. Engrg., 51:221–258, 1985.[4] M. Bernadou. Numerical analysis of thin shell problems: approximation andshape optimization. Technical Report 744, INRIA, 1987.[5] M. Bernadou, P. Mato Eiroa, and P. Trouvé. On the convergence of a discreteKirchhoff triangle method valid for shells of arbitrary shape. Comput. MethodsAppl. Mech. Engrg., 118:373–391, 1994.[6] D. Chapelle. Approximations numériques stables des formulations de structuresminces. In Journées des sciences de l’ingénieur, octobre 1994.[7] T. Kerber. Revue des éléments finis de coques au travers des phénomènesde verrouillage et de leurs remèdes. La Recherche Aérospatiale, (3):45–76,May-June 1990.[8] W.T. Koiter. On the nonlinear theory of thin elastic shells. Proc. Kon. Ned.Akad. Wetensch., B69:1–54, 1965.[9] E. Sanchez-Palencia. On the membrane approximation for thin elastic shellsin the hyperbolic case. Revista Matematica de la Universidad Complutense deMadrid, 6:311–331, 1993.RR n˚ 2740Unité de recherche INRIA Lorraine, Technopôle de Nancy-Brabois, Campus scientifique,615 rue du Jardin Botanique, BP 101, 54600 VILLERS LÈS NANCYUnité de recherche INRIA Rennes, Irisa, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 RENNES CedexUnité de recherche INRIA Rhône-Alpes, 46 avenue Félix Viallet, 38031 GRENOBLE Cedex 1Unité de recherche INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY CedexUnité de recherche INRIA Sophia-Antipolis, 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA-ANTIPOLIS CedexÉditeurINRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)ISSN 0249-6399

Etude numérique du verrouillage de quelques méthodes d'éléments finis pour les coques

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