National audienceMotivés par un problème d'allocation de fréquences, nous étudions la coloration impropre des graphes pondérés et plus particulièrement des graphes hexagonaux pondérés. Nous donnons des algorithmes d'approximation pour trouver de telles colorations

Bermond, Jean-Claude

Havet, Frédéric

Huc, Florian

Linhares-Sales, Claudia

HAL-UNICE

Allocation de fre´quences et coloration impropre des
graphes hexagonaux ponde´re´s
Jean-Claude Bermond, Fre´de´ric Havet, Florian Huc, Claudia Linhares-Sales
To cite this version:
Jean-Claude Bermond, Fre´de´ric Havet, Florian Huc, Claudia Linhares-Sales. Allocation de
fre´quences et coloration impropre des graphes hexagonaux ponde´re´s. 9e`me Rencontres Fran-
cophones sur les Aspects Algorithmiques des Te´le´communications, May 2007, Ile d’Ole´ron,
France. pp.53-56, 2007. <inria-00176955>
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Allocation de fre´quences et coloration
impropre des graphes hexagonaux ponde´re´s
J.-C. Bermond1†and F. Havet1† and F. Huc1† and C. Linhares-Sales1,2 ‡
1 projet Mascotte (I3S (CNRS & UNSA) & INRIA),
2004 route des lucioles, BP 93, 06902 Sophia-Antipolis Cedex, France
2 Universidade Federal do Ceara´, Departamento de Computac¸ao,
Bloco 910, Campus do Pici, Fortaleza, Ceara´, CEP 60455-760, Bre´sil
Motive´s par un proble`me d’allocation de fre´quences, nous e´tudions la coloration impropre des graphes ponde´re´s et plus
particulie`rement des graphes hexagonaux ponde´re´s. Nous donnons des algorithmes d’approximation pour trouver de
telles colorations.
Keywords: allocation de fre´quences, coloration impropre, coloration ponde´re´e
1 Introduction
Ce papier est motive´ par un proble`me pose´ par Alcatel Space Technologies (voir [1]). Un satellite envoie
des informations vers des re´cepteurs terrestres qui captent chacun plusieurs fre´quences. Techniquement, il
est impossible de concentrer un signal envoye´ par le satellite sur le re´cepteur auquel il est destine´. Ainsi un
signal est e´mis sur une zone autour du re´cepteur, cre´ant ainsi du bruit pour les autres re´cepteurs situe´s dans
cette zone. Chaque re´cepteur est capable de distinguer un signal qui lui est envoye´ des bruits exte´rieurs
qu’il rec¸oit si la somme de ces bruits n’est pas trop grande, c’est-a`-dire si elle ne de´passe pas une certaine
limite T . Le proble`me est d’allouer des fre´quences aux re´cepteurs de manie`re a` ce que chaque re´cepteur
puisse capter ses signaux et les distinguer des bruits, tout en utilisant le moins de fre´quences possibles.
Ge´ne´ralement, la ” relation de bruit ” est syme´trique (si un re´cepteur u rec¸oit du bruit du re´cepteur v
alors v rec¸oit du bruit de u). Ainsi les interfe´rences peuvent eˆtre mode´lise´es par un graphe de bruit dont
les sommets sont les re´cepteurs et pour lequel deux sommets sont relie´s si et seulement si les re´cepteurs
correspondant interfe`rent. De plus, le graphe est muni d’une fonction de poids p :V → IN, ou` le poids p(v)
du sommet v est e´gal au nombre de signaux que le re´cepteur correspondant doit recevoir. Nous disposons
ainsi d’un graphe ponde´re´, c’est-a`-dire d’une paire (G, p) ou` G est un graphe et p une fonction de poids sur
les sommets de G.
Dans une version simplifie´e, l’intensite´ I du bruit cre´e´ est inde´pendante de la fre´quence et du re´cepteur.
Ainsi pour pouvoir distinguer son signal des bruits, un re´cepteur doit eˆtre dans la zone de bruit d’au plus
k = ⌊T/I⌋ re´cepteurs e´coutant sur la meˆme fre´quence. Le proble`me revient donc a` trouver une coloration
du graphe (ponde´re´) de bruit qui soit k-impropre. Une coloration du graphe ponde´re´ (G, p) est une fonction
C : V → P (S) telle que |C(v)| ≥ p(v), l’ensemble S e´tant l’ensemble de couleurs et P (S) l’ensemble des
parties de S. Comme seule la cardinalite´ de S nous inte´resse, on prend S = {1,2, . . . , l} pour un certain entier
l. Une coloration de (G, p) avec un ensemble de couleurs de taille l est appele´e l-coloration. Une coloration
C de (G, p) est k-impropre si pour toute couleur i, l’ensemble des sommets ayant la couleur i induit un
graphe de degre´ au plus k. En d’autres termes, tout sommet recevant une couleur i est adjacent a` au plus k
sommets recevant cette meˆme couleur i. Le nombre chromatique k-impropre de (G, p), note´ χk(G, p), est le
†Recherche soutenue par le projet europe´en FET AEOLUS
‡Recherche soutenue par le CNPq (Bre´sil)
J.-C. Bermond and F. Havet and F. Huc and C. Linhares-Sales
plus petit entier l tel que (G, p) ait une l-coloration k-impropre. Puisqu’on cherche a` minimiser le mombre
de fre´quences, on cherche a` trouver une coloration k-impropre de (G, p) ayant un nombre de couleurs aussi
proche que possible de l’optimum χk(G, p).
Dans le proble`me pose´ par Alcatel, on de´coupe la zone en cellules hexagonales, une cellule e´tant adja-
cente aux 6 cellules voisines. Ainsi les re´cepteurs sont re´partis comme les sommets du re´seau triangulaire
R qui peut eˆtre de´crit comme suit. Les sommets sont les combinaisons line´aires ae1 + be2 des vecteurs
e1 = (1,0) et e2 = (
1
2
,
√
3
2
): ainsi on peut identifier les sommets avec les paires (a,b) d’entiers. Deux som-
mets sont adjacents si la distance euclidienne entre eux est au plus 1. Ainsi chaque sommet x = (a,b) a
six voisins : (a−1,b), (a +1,b), (a−1,b +1), (a,b +1), (a,b−1) et (a +1,b−1). Les graphes de bruit
que nous conside´rons sont des sous-graphes induits du re´seau triangulaire, appele´s graphes hexagonaux.
La Figure 1 donne une 5-coloration 1-impropre de R avec p(v) = 2 pour tout v ∈V (R).
Pour k ≥ 6, le nombre chromatique k-impropre d’un graphe hexagonal est son poids maximum pmax =
max{p(v) | v ∈ V (G)} car son degre´ maximum est au plus 6. Ainsi nous e´tudions uniquement des im-
proprete´s infe´rieures a` 6. Ge´ne´ralisant un re´sultat de McDiarmid et Reed [6] pour la coloration propre,
Havet, Kang et Sereni [3, 7] ont montre´ que pour tout 0 ≤ k ≤ 5, il est N P -complet de de´cider si le nom-
bre chromatique k-impropre d’un graphe hexagonal ponde´re´ est 3 ou 4. Ainsi il n’existe pas d’algorithme
polynomial pour trouver le nombre chromatique k-impropre d’un graphe hexagonal ponde´re´ (a` moins que
P = N P ). On cherche donc des algorithmes αk-approche´s i.e. qui trouvent une coloration k-impropre
de tout graphe hexagonal ponde´re´ (G, p) avec au plus αk ×χk(G, p)+ βk couleurs, ou` αk et βk sont deux
constantes.
McDiarmid and Reed [6] ont donne´ un agorithme 4/3-approche´ pour la coloration propre des graphes
hexagonauxponde´re´s. Un algorithme distribue´ garantissant ce meˆme rapport de 4/3 est donne´ par Narayanan
et Schende [5]. Dans ce papier, pour 1 ≤ k ≤ 5, nous proposons un algorithme line´aire αk-approche´ pour
la coloration k-impropre des graphes hexagonaux ponde´re´s pour tout 1 ≤ k ≤ 5, avec α1 = 2513 , α2 =
12
7
,
α3 =
18
13
, α4 =
80
63
et α5 =
49
43
. La me´thode propose´e pouvant eˆtre applique´e a` tous les graphes ponde´re´s,
nous la pre´sentons dans un contexte ge´ne´ral.
2 Les algorithmes
Soit q un entier. On note q la fonction de poids constante e´gale a` q. Une me´thode naturelle pour trouver une
coloration k-impropre de (G, p) consiste a` trouver une coloration k-impropre de (G,q). Suposons que cette
coloration utilise r couleurs, ide´alement r = χk(G,q). On de´coupe ensuite les demandes en
⌈
pmax
q
⌉
paquets
de telle sorte que dans aucun des paquets un sommets ait plus de q demandes; en utilisant r couleurs par
paquets, on obtient une coloration en r×
⌈
pmax
q
⌉
couleurs. Comme χk(G, p) ≥ pmax, ceci nous donne un
algorithme (r/q) approche´.
Nous de´terminons maintenant le nombre chromatique k-impropre (1≤ k≤ 5) du re´seau triangulaire avec
poids constant qui est une borne supe´rieure du nombre chromatique k-impropre de tout graphe hexagonal.
The´ore`me 1 Pour le re´seau triangulaire R, nous avons:
(i) χ1(R,q) =
⌈
5q
2
⌉
, (ii) χ2(R,q) = 2q, (iii) χ3(R,q) =
⌈
3q
2
⌉
, (iv) χ4(R,q) =
⌈
4q
3
⌉
et (v) χ5(R,q) =
⌈
7q
6
⌉
.
Preuve. Nous donnons seulement des colorations avec le nombre de couleurs requis qui sont utiles pour
obtenir des algorithmes approche´s. Pour la preuve des e´galite´s, voir [2].
(i) Pour 1 ≤ j ≤ 5, soit A j l’ensemble des sommets obtenus a` partir du sommet ( j,0) en utilisant les
combinaisons line´aires des vecteurs 2e1 + e2 et 5e1. Pour 1 ≤ j ≤ 5, attribuons les couleurs
⌈
( j−1)q
2
⌉
+
1, . . . ,
⌈
jq
2
⌉
aux sommets de A j ∪A j+1 (avec A6 = A1). Voir Figure 1 pour q = 2.
(ii) Colorons un sommet (a,b) avec 1, . . . ,q si a est pair et avec q +1, . . . ,2q sinon.
(iii) Pour 1≤ j≤ 3, soit S j l’ensemble des sommets obtenus a` partir de (0, j) en utilisant les combinaisons
line´aires des vecteurs e1 + e2 et 3e1. Attribuons les couleurs
⌈
( j−1)q
2
⌉
+ 1, . . . ,
⌈
jq
2
⌉
aux sommets qui ne
sont pas dans S j.
Coloration impropre des graphes hexagonaux ponde´re´s
e
e2
1
1,25,14,53,41,25,1 2,3
1,25,14,53,41,25,1 2,3
1,2 4,52,33,4 3,45,14,5
1,2 4,52,33,4 3,45,14,5
1,25,14,53,41,25,1 2,3
(a+1,b)
(a−1,b+1) (a,b+1)
(a−1,b)
(a+1,b−1)(a,b−1)
Fig. 1: Une coloration 1-impropre de (R,2)
(iv) Pour 0 ≤ j1 ≤ 1 et 1 ≤ j2 ≤ 2, T2 j1+ j2 = {(a,b) | a ≡ j1 mod 2 et b ≡ j2 mod 2}. Attribuons les
couleurs
⌈
( j−1)q
3
⌉
+1, . . . ,
⌈
jq
3
⌉
aux sommets qui ne sont pas dans Tj.
(v) Pour 1 ≤ j ≤ 7, soit U j l’ensemble des sommets obtenus a` partir du sommet ( j,0) en utilisant les
combinaisons line´aires des vecteurs 2e1 + e2 et 7e1. Attribuons les couleurs
⌈
( j−1)q
6
⌉
+ 1, . . . ,
⌈
jq
6
⌉
aux
sommets qui ne sont pas dans U j. ✷
Ces colorations donnent donc des algorithmes 5/2- , 2-, 3/2-, 4/3- et 7/6-approche´s pour la coloration
1-, 2-, 3-, 4- et 5-impropre respectivement des graphes hexagonaux ponde´re´s. Nous pouvons cependant
faire mieux : utilisant une coloration de (G,q) en r couleurs, nous donnons un algorithme de coloration
de (G, p) avec un rapport d’approximation meilleur que r/q. Pour cela, au lieu de ne conside´rer que pmax,
nous conside´rons e´galement le nombre de couleurs impose´ par un sommet et k +1 de ses voisins. Comme
le montre la proposition suivante (voir la preuve dans [2]), celui-ci peut eˆtre supe´rieur a` pmax. Le graphe
ayant un sommet u, appele´ centre, adjacent a` k +1 autres sommets, appele´s pointes, est note´ K1,k+1.
Proposition 2 Pour toute fonction de poids p, χk(K1,k+1, p)≥ 1k +1 ∑
v∈V (K1,k+1)
p(v).
On appelle (k+1)-e´toile, ou simplement e´toile, un sous-graphe de G isomorphe a` K1,k+1. Le poids d’une
e´toile H est p(H) = ∑v∈V (H) p(v). On note θk(G, p) = max{p(H)/(k + 1) | H e´toile de G} et ωk(G, p) =
max{pmax,θk(G, p)}. D’apre`s la proposition 2, ωk(G, p)≤ χk(G, p).
The´ore`me 3 Soient αk(r,q) = (k+1)r
2
(k+2)rq−q2 et βk(r,q) = max{(k +2)r2− rq,(k +1)r2+ krq}.
Etant donne´ une coloration C de (G,q) avec r couleurs, il existe un algorithme polynomial qui colore
(G, p) avec au plus αk(r,q)×ωk(G, p)+ βk(r,q) couleurs.
Preuve. Conside´rons l’algorithme suivant :
Algorithme 1 0. Initialisation: (G0, p0) := (G, p), (S,s) est le graphe vide et i = 0.
1. On ajoute les sommets de petit poids au graphe S qui sera traite´ a` la fin (Etape 3):
Si := {v ∈V (G) | pi(v)≤ γk(r,q) = max{(k +2)rq−q2,(k +1)rq+ kq2}, V (S) := V (S)+Si et pour
tout v ∈ Si, s(v) := pi(v). Gi+1 := Gi−Si.
2. Si Gi+1 n’est pas le graphe vide:
2.1. On donne a` chaque sommet v de Gi+1 un certain nombre ni(v) de couleurs parmi un ensemble de
couleurs de taille (k+1)r2 de manie`re a` ce que ωk(Gi+1, pi−ni)≤ ωk(Gi, pi)− (k+2)rq+q2.
2.2. On pose pi+1 := pi−ni et i := i+1 et on retourne a` l’e´tape 1.
3. On colore (S,s) avec βk couleurs. On peut le faire en utilisant rγk/q fois la colorationC car smax ≤ γk.
A chaque e´tape 2, (k+1)r2 couleurs sont utilise´es et ωk diminue d’au moins (k+2)rq−q2. Par conse´quent
l’Algorithme 1 donne une coloration k-impropre de (G, p) avec au plus (k+1)r
2
(k+2)rq−q2ωk(G, p) +max{(k +
2)r2− rq,(k +1)r2+ krq} couleurs.
J.-C. Bermond and F. Havet and F. Huc and C. Linhares-Sales
De´crivons maintenant pre´cisement l’e´tape 2.1. Posons ωk = ωk(Gi, pi). Une grosse e´toile est une e´toile
H de Gi+1 telle que pi(H) ≥ (k + 1)ωk− q2 et gros sommet un sommet tel que pi(v) > ωk − rq. Un petit
sommet est un sommet qui n’est pas gros. Il est contraint s’il est adjacent a` un gros sommet et libre sinon.
Posons a = (k +1)r−q. A chaque e´tape 2.1, on utilise d’abord a fois la colorationC : avec ar couleurs,
chaque sommet en rec¸oit aq. Ensuite on utilise rq couleurs supple´mentaires de fac¸on a` ce que les gros
sommets rec¸oivent rq couleurs et les sommets libres q2 (utilisant q fois C sur les sommets libres). Ainsi
ni(v) = (k+2)rq−q2 si v est gros, ni(v) = (k+1)rq si v est libre et ni(v) = (k+1)rq−q2 si v est contraint.
Ve´rifons maintenant que ωk(Gi+1, pi+1) ≤ ωk − (k + 2)rq + q2. On a pi+1max ≤ ωk − (k + 2)rq + q2 : en
effet, pour un sommet v, pi+1(v) ≤ pi(v)− ni(v). Si v est gros ni(v) = (k + 2)rq− q2 et si v est petit
ni(v)≥ (k +1)rq−q2 et pi(v)≤ ωk− rq. Dans les deux cas, pi+1(v)≤ ωk− (k +2)rq + q2.
Conside´rons une e´toile H de Gi+1. Chaque sommet rec¸oit au moins qa couleurs. Donc si H n’est pas
grosse, pi+1(H)≤ pi(H)− (k +2)qa≤ (k +1)ωk−q2− (k +2)qa = (k +1)(ωk− (k +2)rq + q2).
Supposons maintenant que H soit grosse. On peut montrer qu’un des sommets de H n’est pas contraint. Ce
sommet rec¸oit donc au moins qa + q2 couleurs. Ainsi
pi+1(H)≤ pi(H)− (k +2)qa−q2≤ (k +1)ωk− (k +2)qa−q2≤ (k +1)(ωk− (k +2)rq + q2).
Donc θk(Gi+1, pi+1)≤ ωk− (k +2)rq + q2. D’ou` ωk(Gi+1, pi+1)≤ ωk− (k +2)rq + q2.
L’algorithme 1 ne´cessite de calculer la valeur de ωk(G, p). Comme il y a au plus n
( ∆
k+1
)
e´toiles a` k + 1
branches dans un graphe a` n sommets de degre´ maximal ∆, ceci peut eˆtre fait en O(n
( ∆
k+1
)
) ope´rations.
De plus, lorsque l’on passe d’une ite´ration i a` l’ite´ration i + 1 de l’algorithme, les gros sommets restent
inchange´s. Il n’est donc pas ne´cessaire de les recalculer et on peut assigner les couleurs de toutes les
ite´rations simultane´ment. La complexite´ de l’algorithme est donc O
(
n
( ∆
k+1
))
. Pour une classe de graphes
de degre´ maximal borne´, comme les graphes hexagonaux, l’algorithme est line´aire. ✷
Les the´ore`mes 3 et 1 nous donnent un algorithme line´aire αk-approche´ pour calculer la coloration k-
impropre (1 ≤ k ≤ 5) d’un graphe hexagonal ponde´re´. Pour k = 1 ou k = 5 il est possible d’ame´liorer
le facteur d’approximation en analysant plus pre´cisement la re´partition des gros sommets et des sommets
contraints. Nous avons obtenus des algorithmes 20
11
- et 49
48
-approche´s pour la coloration 1- et 5-impropre re-
spectivement des graphes hexagonaux ponde´re´s. Nous avons e´galement des versions distribue´es de chacun
de ces algorithmes. Parmi les proble`mes a` conside´rer, on peut examiner d’autres topologies (nous avons
des re´sultats similaires pour les sous-graphes de la grille infinie) et surtout d’autres mode`les de bruit pour
lesquels l’intensite´ de´pend de la distance et/ou de la fre´quence utilise´e.
References
[1] S. Alouf, E. Altman, J. Galtier, J.-F. Lalande, et C. Touati, Quasi-optimal bandwidth allocation for
multi-spot MFTDMA satellites, in Proc. IEEE INFOCOM 2005, Miami, FL, 2005.
[2] J-C Bermond, F. Havet, F. Huc, et C. Linhares, Improper Coloring of weighted graphs, 2007,
http://www-sop.inria.fr/sloop/personnel/Florian.Huc/Publications.html
[3] F. Havet, R. J. Kang et J.-S. Sereni, Improper colourings of unit disk graphs, Electronic Notes in Dis-
crete Mathematics 22 (2005), 123–128.
[4] F. Havet et J. Zerovnik. Finding a five bicolouring of a triangle-free subgraph of the triangular lattice.
Discrete Mathematics, 244:103–108, 2002.
[5] L. Narayanan et S. Schende, Static Frequency Assignment in Cellular Networks, In Sirocco 97, D.
Krizanc et P. Wildmayer (eds.), Carleton Scientific 1997, pp. 215–227.
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July 2006


Allocation de fréquences et coloration impropre des graphes hexagonaux pondérés

INRIA a CCSD electronic archive server

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Allocation de fréquenceset coloration impropre des graphes hexagonaux pondérés. 9ème Rencontres Francophones sur lesAspects Algorithmiques des Télécommunications, May 2007, Ile d’Oléron, France. pp.53-56. ￿inria-00176955￿Allocation de fréquences et colorationimpropre des graphes hexagonaux pondérésJ.-C. Bermond1†and F. Havet1†and F. Huc1†and C. Linhares-Sales1,2 ‡1 projet Mascotte (I3S (CNRS & UNSA) & INRIA),2004 route des lucioles, BP 93, 06902 Sophia-Antipolis Cedex, France2 Universidade Federal do Ceará, Departamento de Computaçao,Bloco 910, Campus do Pici, Fortaleza, Ceará, CEP 60455-760,BrésilMotivés par un problème d’allocation de fréquences, nous étudions la coloration impropre des graphes pondérés et plusparticulièrement des graphes hexagonaux pondérés. Nous donnons des algorithmes d’approximation pour trouver detelles colorations.Keywords: allocation de fréquences, coloration impropre, coloration pondérée1 IntroductionCe papier est motivé par un problème posé par Alcatel Space Technologies (voir [1]). Un satellite envoiedes informations vers des récepteurs terrestres qui captent chacun plusieurs fréquences. Techniquement, ilest impossible de concentrer un signal envoyé par le satellite sur le récepteur auquel il est destiné. Ainsi unsignal est émis sur une zone autour du récepteur, créant ainsi du bruit pour les autres récepteurs situés danscette zone. Chaque récepteur est capable de distinguer un signal qui lui est envoyé des bruits extérieursqu’il reçoit si la somme de ces bruits n’est pas trop grande, c’est-à-dire si elle ne dépasse pas une certainelimite T . Le problème est d’allouer des fréquences aux récepteurs de manière à ce que chaque récepteurpuisse capter ses signaux et les distinguer des bruits, tout en utilisant le moins de fréquences possibles.Généralement, la ” relation de bruit ” est symétrique (si un récepteur u reçoit du bruit du récepteur valors v reçoit du bruit de u). Ainsi les interférences peuvent être modélisées par un graphe de bruitdontles sommets sont les récepteurs et pour lequel deux sommets sont reliés si et seulement si les récepteurscorrespondant interfèrent. De plus, le graphe est muni d’une fonction de poids p:V → IN, où le poids p(v)du sommet v est égal au nombre de signaux que le récepteur correspondant doit recevoir. Nous disposonsainsi d’un graphe pond́eré, c’est-à-dire d’une paire (G, p) oùG est un graphe et p une fonction de poids surles sommets de G.Dans une version simplifiée, l’intensité I du bruit créé est indépendante de la fréquence et du récepteur.Ainsi pour pouvoir distinguer son signal des bruits, un récepteur doit être dans la zone de bruit d’au plusk = ⌊T/I⌋ récepteurs écoutant sur la même fréquence. Le problème revient donc à trouver une colorationdu graphe (pondéré) de bruit qui soit k-impropre. Une colorationdu graphe pondéré (G, p) est une fonctionC : V → P (S) telle que |C(v)| ≥ p(v), l’ensemble S étant l’ensemble de couleurset P (S) l’ensemble desparties de S. Comme seule la cardinalité deSnous intéresse, on prendS= {1,2, . . . , l} pour un certain entierl . Une coloration de (G, p) avec un ensemble de couleurs de taille l est appelée l-coloration. Une colorationC de (G, p) est k-impropresi pour toute couleur i, l’ensemble des sommets ayant la couleur i induit ungraphe de degré au plus k. En d’autres termes, tout sommet recevant une couleur i est adjacent à au plus ksommets recevant cette même couleur i. Le nombre chromatique k-improprede (G, p), noté χk(G, p), est le†Recherche soutenue par le projet européen FET AEOLUS‡Recherche soutenue par le CNPq (Brésil)J.-C. Bermond and F. Havet and F. Huc and C. Linhares-Salesplus petit entier l tel que (G, p) ait une l -coloration k-impropre. Puisqu’on cherche à minimiser le mombrede fréquences, on cherche à trouver une coloration k-impropre de (G, p) ayant un nombre de couleurs aussiproche que possible de l’optimum χk(G, p).Dans le problème posé par Alcatel, on découpe la zone en cellules hexagonales, une cellule étant adja-cente aux 6 cellules voisines. Ainsi les récepteurs sont répartis comme les sommets du réseau triangulaireR qui peut être décrit comme suit. Les sommets sont les combinaisons linéaires ae1 + be2 des vecteurse1 = (1,0) et e2 = ( 12 ,√32): ainsi on peut identifier les sommets avec les paires (a,b) d’entiers. Deux som-mets sont adjacents si la distance euclidienne entre eux est au plus 1. Ainsi chaque sommet x = (a,b) asix voisins : (a−1,b), (a+1,b), (a−1,b+1), (a,b+1), (a,b−1) et (a+1,b−1). Les graphes de bruitque nous considérons sont des sous-graphes induits du réseau triangulaire, appelés graphes hexagonaux.La Figure 1 donne une 5-coloration 1-impropre de R avec p(v) = 2 pour tout v∈V(R).Pour k ≥ 6, le nombre chromatique k-impropre d’un graphe hexagonal est son poids maximum pmax =max{p(v) | v ∈ V(G)} car son degré maximum est au plus 6. Ainsi nous étudions uniquement des im-propretés inférieures à 6. Généralisant un résultat de McDiarmid et Reed [6] pour la coloration propre,Havet, Kang et Sereni [3, 7] ont montré que pour tout 0 ≤ k ≤ 5, il est N P -complet de décider si le nom-bre chromatique k-impropre d’un graphe hexagonal pondéré est 3 ou 4. Ainsi il n’existe pas d’algorithmepolynomial pour trouver le nombre chromatique k-impropre d’un graphe hexagonal pondéré (à moins queP = N P ). On cherche donc des algorithmes αk-approch́es i.e. qui trouvent une coloration k-improprede tout graphe hexagonal pondéré (G, p) avec au plus αk ×χk(G, p)+ βk couleurs, où αk et βk sont deuxconstantes.McDiarmid and Reed [6] ont donné un agorithme 4/3-approché pour la coloration propre des grapheshexagonauxpondérés. Un algorithme distribué garantissant ce même rapport de 4/3 est donné par Narayananet Schende [5]. Dans ce papier, pour 1 ≤ k ≤ 5, nous proposons un algorithme linéaire αk-approché pourla coloration k-impropre des graphes hexagonaux pondérés pour tout 1 ≤ k ≤ 5, avec α1 = 2513 , α2 =127,α3 = 1813 , α4 =8063et α5 = 4943 . La méthode proposée pouvant être appliquée à tous les graphes pondérés,nous la présentons dans un contexte général.2 Les algorithmesSoit q un entier. On note q la fonction de poids constante égale à q. Une méthode naturelle pour trouver unecoloration k-impropre de (G, p) consiste à trouver une coloration k-impropre de (G,q). Suposons que cettecoloration utilise r couleurs, idéalement r = χk(G,q). On découpe ensuite les demandes en⌈pmaxq⌉paquetsde telle sorte que dans aucun des paquets un sommets ait plus de q demandes; en utilisant r couleurs parpaquets, on obtient une coloration en r ×⌈pmaxq⌉couleurs. Comme χk(G, p) ≥ pmax, ceci nous donne unalgorithme (r/q) approché.Nous déterminons maintenant le nombre chromatique k-impropre (1≤ k≤ 5) du réseau triangulaire avecpoids constant qui est une borne supérieure du nombre chromatique k-impropre de tout graphe hexagonal.Théorème 1 Pour le ŕeseau triangulaire R, nous avons:(i) χ1(R,q) =⌈5q2⌉, (ii) χ2(R,q) = 2q, (iii) χ3(R,q) =⌈3q2⌉, (iv) χ4(R,q) =⌈4q3⌉et (v)χ5(R,q) =⌈7q6⌉.Preuve. Nous donnons seulement des colorations avec le nombre de couleurs requis qui sont utiles pourobtenir des algorithmes approchés. Pour la preuve des égalités, voir [2].(i) Pour 1 ≤ j ≤ 5, soit A j l’ensemble des sommets obtenus à partir du sommet ( j,0) en utilisant lescombinaisons linéaires des vecteurs 2e1 + e2 et 5e1. Pour 1 ≤ j ≤ 5, attribuons les couleurs⌈( j−1)q2⌉+1, . . . ,⌈jq2⌉aux sommets de A j ∪A j+1 (avec A6 = A1). Voir Figure 1 pour q = 2.(ii) Colorons un sommet (a,b) avec 1, . . . ,q si a est pair et avec q+1, . . . ,2q sinon.(iii) Pour 1≤ j ≤ 3, soit Sj l’ensemble des sommets obtenus à partir de (0, j) en utilisant les combinaisonslinéaires des vecteurs e1 + e2 et 3e1. Attribuons les couleurs⌈( j−1)q2⌉+ 1, . . . ,⌈jq2⌉aux sommets qui nesont pas dans Sj .Coloration impropre des graphes hexagonaux pondérésee211,25,14,53,41,25,1 2,31,25,14,53,41,25,1 2,31,2 4,52,33,4 3,45,14,51,2 4,52,33,4 3,45,14,51,25,14,53,41,25,1 2,3(a+1,b)(a−1,b+1) (a,b+1)(a−1,b)(a+1,b−1)(a,b−1)Fig. 1: Une coloration 1-impropre de (R,2)(iv) Pour 0 ≤ j1 ≤ 1 et 1 ≤ j2 ≤ 2, T2 j1+ j2 = {(a,b) | a≡ j1 mod 2 et b≡ j2 mod 2}. Attribuons lescouleurs⌈( j−1)q3⌉+1, . . . ,⌈jq3⌉aux sommets qui ne sont pas dans Tj .(v) Pour 1 ≤ j ≤ 7, soit U j l’ensemble des sommets obtenus à partir du sommet ( j,0) en utilisant lescombinaisons linéaires des vecteurs 2e1 + e2 et 7e1. Attribuons les couleurs⌈( j−1)q6⌉+ 1, . . . ,⌈jq6⌉auxsommets qui ne sont pas dansU j . ✷Ces colorations donnent donc des algorithmes 5/2- , 2-, 3/2-, 4/3- et 7/6-approchés pour la coloration1-, 2-, 3-, 4- et 5-impropre respectivement des graphes hexagonaux pondérés. Nous pouvons cependantfaire mieux : utilisant une coloration de (G,q) en r couleurs, nous donnons un algorithme de colorationde (G, p) avec un rapport d’approximation meilleur que r/q. Pour cela, au lieu de ne considérer que pmax,nous considérons également le nombre de couleurs imposé par un sommet et k+1 de ses voisins. Commele montre la proposition suivante (voir la preuve dans [2]), celui-ci peut être supérieur à pmax. Le grapheayant un sommet u, appelé centre, adjacent à k+1 autres sommets, appelés pointes, est noté K1,k+1.Proposition 2 Pour toute fonction de poids p,χk(K1,k+1, p) ≥1k+1 ∑v∈V(K1,k+1)p(v).On appelle (k+1)-étoile, ou simplement étoile, un sous-graphe deG isomorphe à K1,k+1. Le poids d’uneétoile H est p(H) = ∑v∈V(H) p(v). On note θk(G, p) = max{p(H)/(k+ 1) | H étoile de G} et ωk(G, p) =max{pmax,θk(G, p)}. D’après la proposition 2, ωk(G, p) ≤ χk(G, p).Théorème 3 Soientαk(r,q) = (k+1)r2(k+2)rq−q2et βk(r,q) =max{(k+2)r2− rq,(k+1)r2+krq}.Etant donńe une coloration C de(G,q) avec r couleurs, il existe un algorithme polynomial qui colore(G, p) avec au plusαk(r,q)×ωk(G, p)+ βk(r,q) couleurs.Preuve. Considérons l’algorithme suivant :Algorithme 1 0. Initialisation: (G0, p0) := (G, p), (S,s) est le graphe vide et i = 0.1. On ajoute les sommets de petit poids au graphe Squi sera traité à la fin (Etape 3):Si := {v∈V(G) | pi(v) ≤ γk(r,q) =max{(k+2)rq−q2,(k+1)rq+kq2},V(S) := V(S)+Si et pourtout v∈ Si , s(v) := pi(v). Gi+1 := Gi −Si.2. Si Gi+1 n’est pas le graphe vide:2.1. On donne à chaque sommet vdeGi+1 un certain nombre ni(v) de couleurs parmi un ensemble decouleurs de taille (k+1)r2 de manière à ce que ωk(Gi+1, pi −ni) ≤ ωk(Gi , pi)− (k+2)rq+q2.2.2. On pose pi+1 := pi −ni et i := i +1 et on retourne à l’étape 1.3. On colore (S,s) avec βk couleurs. On peut le faire en utilisant rγk/q fois la colorationC car smax ≤ γk.A chaque étape 2, (k+1)r2 couleurs sont utilisées et ωk diminue d’au moins (k+2)rq−q2. Par conséquentl’Algorithme 1 donne une coloration k-impropre de (G, p) avec au plus (k+1)r2(k+2)rq−q2ωk(G, p) +max{(k+2)r2− rq,(k+1)r2+krq} couleurs.J.-C. Bermond and F. Havet and F. Huc and C. Linhares-SalesDécrivons maintenant précisement l’étape 2.1. Posons ωk = ωk(Gi , pi). Une grosseétoileest une étoileH de Gi+1 telle que pi(H) ≥ (k+ 1)ωk−q2 et gros sommetun sommet tel que pi(v) > ωk− rq. Un petitsommetest un sommet qui n’est pas gros. Il est contraints’il est adjacent à un gros sommet et libre sinon.Posons a = (k+1)r −q. A chaque étape 2.1, on utilise d’abord a fois la colorationC : avec ar couleurs,chaque sommet en reçoit aq. Ensuite on utilise rq couleurs supplémentaires de façon à ce que les grossommets reçoivent rq couleurs et les sommets libres q2 (utilisant q fois C sur les sommets libres). Ainsini(v) = (k+2)rq−q2 si v est gros, ni(v) = (k+1)rq si v est libre et ni(v) = (k+1)rq−q2 si v est contraint.Vérifons maintenant que ωk(Gi+1, pi+1) ≤ ωk − (k+ 2)rq + q2. On a pi+1max ≤ ωk − (k+ 2)rq + q2 : eneffet, pour un sommet v, pi+1(v) ≤ pi(v)− ni(v). Si v est gros ni(v) = (k+ 2)rq− q2 et si v est petitni(v) ≥ (k+1)rq−q2 et pi(v) ≤ ωk− rq. Dans les deux cas, pi+1(v) ≤ ωk− (k+2)rq+q2.Considérons une étoile H de Gi+1. Chaque sommet reçoit au moins qa couleurs. Donc si H n’est pasgrosse, pi+1(H) ≤ pi(H)− (k+2)qa≤ (k+1)ωk−q2− (k+2)qa= (k+1)(ωk− (k+2)rq+q2).Supposons maintenant que H soit grosse. On peut montrer qu’un des sommets de H n’est pas contraint. Cesommet reçoit donc au moins qa+q2 couleurs. Ainsipi+1(H) ≤ pi(H)− (k+2)qa−q2≤ (k+1)ωk− (k+2)qa−q2≤ (k+1)(ωk− (k+2)rq+q2).Donc θk(Gi+1, pi+1) ≤ ωk− (k+2)rq+q2. D’où ωk(Gi+1, pi+1) ≤ ωk− (k+2)rq+q2.L’algorithme 1 nécessite de calculer la valeur de ωk(G, p). Comme il y a au plus n( ∆k+1)étoiles à k+ 1branches dans un graphe à n sommets de degré maximal ∆, ceci peut être fait en O(n( ∆k+1)) opérations.De plus, lorsque l’on passe d’une itération i à l’itération i + 1 de l’algorithme, les gros sommets restentinchangés. Il n’est donc pas nécessaire de les recalculer et on peut assigner les couleurs de toutes lesitérations simultanément. La complexité de l’algorithme est donc O(n( ∆k+1)). Pour une classe de graphesde degré maximal borné, comme les graphes hexagonaux, l’algorithme est linéaire. ✷Les théorèmes 3 et 1 nous donnent un algorithme linéaire αk-approché pour calculer la coloration k-impropre (1 ≤ k ≤ 5) d’un graphe hexagonal pondéré. Pour k = 1 ou k = 5 il est possible d’améliorerle facteur d’approximation en analysant plus précisement la répartition des gros sommets et des sommetscontraints. Nous avons obtenus des algorithmes 2011- et 4948-approchés pour la coloration 1- et 5-impropre re-spectivement des graphes hexagonaux pondérés. Nous avons également des versions distribuées de chacunde ces algorithmes. Parmi les problèmes à considérer, on peut examiner d’autres topologies (nous avonsdes résultats similaires pour les sous-graphes de la grille infinie) et surtout d’autres modèles de bruit pourlesquels l’intensité dépend de la distance et/ou de la fréquence utilisée.References[1] S. Alouf, E. Altman, J. Galtier, J.-F. Lalande, et C. Touati, Quasi-optimal bandwidth allocation formulti-spot MFTDMA satellites, in Proc. IEEE INFOCOM2005, Miami, FL, 2005.[2] J-C Bermond, F. Havet, F. Huc, et C. Linhares, Improper Coloring of weighted graphs, 2007,http://www-sop.inria.fr/sloop/personnel/Florian.Huc/Publications.html[3] F. Havet, R. J. Kang et J.-S. Sereni, Improper colourings of unit disk graphs, Electronic Notes in Dis-crete Mathematics22 (2005), 123–128.[4] F. Havet et J. Zerovnik. Finding a five bicolouring of a triangle-free subgraph of the triangular lattice.Discrete Mathematics, 244:103–108, 2002.[5] L. Narayanan et S. Schende, Static Frequency Assignment in Cellular Networks, In Sirocco 97, D.Krizanc et P. Wildmayer (eds.), Carleton Scientific 1997, pp. 215–227.[6] C. McDiarmid et B. Reed, Channel assignment and weighted coloring, Networks36 (2000), 114–117.[7] J.-S. Sereni, Coloration de graphes et applications, PhD thesis, University of Nice-Sophia-Antipolis,July 2006

Allocation de fréquences et coloration impropre des graphes hexagonaux pondérés

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