International audienceL'Analyse en Composantes Principales (ACP) et l'Analyse Factorielle des Correspondances Multiples (AFCM) sont respectivement deux méthodes de description statistique multidimensionnelle de données quantitatives et qualitatives. Une rotation peut ensuite être appliquée à la matrice des scores des composantes principales. La définition d'un critère de rotation permet alors d'obtenir une structure simple, facilitant ainsi l'interprétation des résultats. Une solution analytique en deux dimensions a été proposée pour le critère varimax en ACP. Nous proposons ici une solution analytique en deux dimensions pour la rotation en AFCM utilisant un critère inspiré de varimax et basé sur la notion de rapport de corrélation

Chavent, Marie

Kuentz, Vanessa

Saracco, Jérôme

L'Analyse en Composantes Principales (ACP) et l'Analyse Factorielle des Correspondances Multiples (AFCM) sont respectivement deux méthodes de description statistique multidimensionnelle de données quantitatives et qualitatives. Une rotation peut ensuite être appliquée à la matrice des scores des composantes principales. La définition d'un critère de rotation permet alors d'obtenir une structure simple, facilitant ainsi l'interprétation des résultats. Une solution analytique en deux dimensions a été proposée pour le critère varimax en ACP. Nous proposons ici une solution analytique en deux dimensions pour la rotation en AFCM utilisant un critère inspiré de varimax et basé sur la notion de rapport de corrélation

CHAVENT, Marie

KUENTZ, Vanessa

SARACCO, Jérôme

Oskar Bordeaux

Une solution analytique pour la rotation planaire en Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

INRIA a CCSD electronic archive server

HAL Id: inria-00386742https://hal.inria.fr/inria-00386742Submitted on 22 May 2009HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.Une solution analytique pour la rotation planaire enAnalyse Factorielle des Correspondances MultiplesMarie Chavent, Vanessa Kuentz, Jérôme SaraccoTo cite this version:Marie Chavent, Vanessa Kuentz, Jérôme Saracco. Une solution analytique pour la rotation planaire enAnalyse Factorielle des Correspondances Multiples. 41èmes Journées de Statistique, SFdS, Bordeaux,2009, Bordeaux, France, France. ￿inria-00386742￿Une solution analytique pour la rotationplanaire en Analyse Factorielle desCorrespondances MultiplesMarie Chavent1,2 & Vanessa Kuentz1,2 & Jérôme Saracco1,2,31 Université de Bordeaux, IMB, CNRS, UMR 5251,351 Cours de la libération33405 Talence(e-mail : Marie.Chavent,Vanessa.Kuentz@math.u-bordeaux1.fr)2 INRIA Bordeaux Sud-Ouest, CQFD team3 Université Montesquieu - Bordeaux IV, GREThA, CNRS, UMR 5113,Avenue Léon Duguit33608 Pessac Cedex(e-mail : Jerome.Saracco@u-bordeaux4.fr)RésuméL’Analyse en Composantes Principales (ACP) et l’Analyse Factorielle des Corres-pondances Multiples (AFCM) sont respectivement deux méthodes de descriptionstatistique multidimensionnelle de données quantitatives et qualitatives. Une rota-tion peut ensuite être appliquée à la matrice des scores des composantes principales.La définition d’un critère de rotation permet alors d’obtenir une structure simple,facilitant ainsi l’interprétation des résultats. Une solution analytique en deux dimen-sions a été proposée pour le critère varimax en ACP. Nous proposons ici une solutionanalytique en deux dimensions pour la rotation en AFCM utilisant un critère inspiréde varimax et basé sur la notion de rapport de corrélation.Mots-clés : Analyse Factorielle des Correspondances Multiples, rotation, rap-port de corrélation.AbstractPrincipal Component Analysis (PCA) and Multiple Correspondence Analysis (MCA)are well-known multivariate methods for statistical description of respectively quan-titative and qualitative data. A rotation may then be applied to the principalcomponent scores matrix. The definition of a criterion enables to achieve simplestructure, thereby simplifying the interpretation of the results. A two-dimensionalanalytic solution has been proposed for varimax rotation in PCA. We propose herea two-dimensional analytic solution for rotation in MCA using a varimax-based cri-terion relying on correlation ratio.Keywords: Multiple Correspondence Analysis, rotation, correlation ratio.11 IntroductionL’Analyse en Composantes Principales (ACP) (voir par exemple Jolliffe, 2002) pourdes données quantitatives et l’Analyse Factorielle des Correspondances Multiples pourdes données qualitatives (AFCM) (voir par exemple Greenacre et Blasius, 2006) sontdeux méthodes usuelles de réduction de dimension. Elles utilisent une décomposition envaleurs singulières pour écrire la matrice des données comme le produit de deux matrices.Cependant cette approximation n’est pas unique, ainsi les composantes principales sontdéterminées à une rotation près. Nous traiterons ici le cas de rotations orthogonales.Concernant les variables quantitatives, l’ACP approxime la matrice standardisée desdonnées par le produit de la matrice des composantes principales et la matrice des sa-turations (“loadings”). Cette dernière joue un rôle fondamental dans l’interprétation desrésultats car elle contient les corrélations entre les variables et les composantes. Appliquerla matrice de rotation T à la matrice des saturations A et à la matrice des compo-santes principales garantit que la matrice des saturations après rotation B = AT contienttoujours les corrélations entre les variables et les composantes après rotation. L’idée estd’appliquer une rotation à la matrice des saturations et à celle des composantes afin queles corrélations contenues dans la matrice B soient fortes ou faibles. Différents critères ontété proposés dont le plus connu est varimax introduit par Kaiser (1958). Définir la matricede rotation optimale se résume donc à un problème d’optimisation sous contraintes ducritère varimax f(AT).Pour les variables qualitatives, l’AFCM est présentée ici comme une ACP appliquée àla matrice des profils lignes. La matrice des fréquences (divisée par les poids des lignes etdes colonnes) est approximée par le produit de deux matrices : la matrice des composantesprincipales des lignes (objets) et celle des composantes principales des colonnes (moda-lités). Notons A cette dernière matrice et B = AT sa version après rotation. CependantB ne relie pas directement les variables aux composantes principales après rotation et parconséquent ne joue pas le rôle précédent de la matrice des saturations. Pour cette raison, lecritère varimax f n’est pas appliqué directement à la matrice B (comme en ACP) mais àla matrice C = g(B) dont les valeurs sont les rapports de corrélation entre les variables etles composantes principales des objets après rotation. Notons que ce critère est celui uti-lisé par Kiers (1991) dans sa méthode PCAMIX pour la recherche d’une structure simplepour des données quantitatives et/ou qualitatives. L’objectif est d’obtenir dans chaquecolonne de C des valeurs élevées ou faibles. Définir la meilleure matrice de rotation serésume donc à un problème d’optimisation du critère f ◦ g(AT).Dans le cas quantitatif et qualitatif, lorsqu’on retient deux composantes principales,la rotation a lieu dans un plan. La matrice de rotation s’écrit en fonction d’un angle derotation et on obtient un problème d’optimisation réel non contraint. En ACP, l’expressionanalytique de l’angle θ optimisant le critère varimax f est donnée par Kaiser (1958). Nousproposons ici une solution analytique en deux dimensions pour le critère h = f ◦ g pourla rotation en AFCM.2Dans la Section 2, nous présentons la rotation en AFCM puis nous donnons dans laSection 3 l’écriture de la solution analytique en dimension deux.2 Rotation en AFCMNotations. Soit X une matrice de données qualitatives, où xij ∈ Mj avec Mj l’en-semble des modalités de xj. Soit O = (ois)n×q la matrice X = (xij)n×p convertie en unematrice indicatrice à n lignes et q colonnes, où q =p∑j=1qj avec qj le nombre de modalitésde xj. A chaque ligne i de O, un élément vaut 1 si l’objet possède la modalité s de lavariable qualitative correspondante ; sinon l’élément vaut 0. Ainsi la somme des élémentsd’une ligne vaut p. Comme la matrice O peut être considérée comme une sorte de tablede contingence, la matrice des fréquences F = (fis)n×q peut être construite où fis =oisnpcar∑i,s ois = np. Soit Gs = {ei ∈ E|ois = 1} et ns = card(Gs). Les sommes marginales dela matrice des correspondances F sont utilisées pour définir les poids des lignes et des co-lonnes : Dn = diag{fi., pour i = 1, ..., n} avec fi. = 1n , et Dq = diag{f.s, pour s = 1, ..., q}avec f.s =nsnp. Notons m le rang de F et F̃ = D1/2n FD−1/2q la matrice F dont les élémentsont été divisés par√fi.f.s.AFCM. L’AFCM est présentée ici comme une ACP sur la matrice des profils lignesR = D−1n F obtenue en divisant chaque ligne i de la matrice des fréquences F par lamarge fi.. D’un point de vue géométrique, l’AFCM de la matrice non centrée des profilslignes étudie les n lignes de R avec les métriques Dn sur Rn et D−1q sur Rq. Dans unepremière étape, l’AFCM cherche un axe de vecteur directeur w (de D−1q -norme égale à1) tel que le vecteur y ∈ Rn des D−1q -projections des n lignes de R sur cet axe, soit deDn-norme maximale. La première composante principale est y2 = RD−1/2q v2 où v2 estle vecteur propre associé à la première valeur propre non triviale λ2 de F̃tF̃. Les autrescomposantes principales sont définies de façon similaire par yα = RD−1/2q vα, α = 3 . . .m,où vα est le vecteur propre associé à la αème plus grande valeur propre de F̃tF̃.Formule de reconstruction en AFCM. Notons Y la matrice de dimension (n,m)dont les colonnes sont les m composantes principales (incluant celle associée à la premièrevaleur propre triviale) et Λ = diag(√λ1, . . . ,√λm) la matrice diagonale de leurs écarts-types. Cette matrice de correspondance divisée par les poids des lignes et des colonnesD−1n FD−1q peut s’écrire comme le produit de deux matrices :D−1n FD−1q = Y∗At , (1)où Y∗ = YΛ−1 est la matrice dont les colonnes sont les composantes principales standar-disées et A est la matrice dont le terme général asα vaut ȳ∗α,s la moyenne de la composante3principale standardisée y∗α calculée sur les objets possédant la modalité s. Des détailsconcernant cette formule sont disponibles dans Chavent, Kuentz, Saracco (2009).Structure simple. Soit T une matrice de rotation orthonormale de dimension (r, r)où r ≤ m est le nombre de composantes principales retenues. Les matrices Y∗ et A sontdésormais de dimension respective (n, r) et (q, r). Comme Y∗At = Y∗TTtAt, l’approxi-mation de la matrice D−1n FD−1q par le produit de deux matrices n’est pas unique. NotonsZ = Y∗T la matrice des composantes principales standardisées après rotation et B = ATla matrice A après rotation dont le terme général bsα vaut maintenant z̄α,s la moyenne dela composante principale standardisée après rotation zα calculée sur les objets apparte-nant à la modalité s. La matrice B ne donne pas directement une idée de la liaison entreles variables et les composantes principales après rotation. On transforme donc la matriceB = AT en C = g(AT) de dimension (p, r) dont le terme général :cjα = p||b(j)α ||2D(j)q , (2)où l’exposant (j) signifie qu’on considère seulement les éléments de Dq et bα correspondantaux modalités de la variable xj. Ainsi D(j)q (resp. b(j)α ) est une sous-matrice (resp. sous-vecteur) de Dq (resp. bα) de dimension (qj, qj) (resp. longueur qj). On montre alors quecjα = η2(xj, zα) =s2js2(zα), où s2j =1n∑s∈Mjns(z̄α,s−z̄α)2 est la variance inter-classe empiriquede zα dans la partition de E définie par les modalités de xj. Ainsi C est la matrice desrapports de corrélation empiriques entre les variables xj et les composantes principalesstandardisées après rotation zα. Elle va jouer le rôle de la matrice des saturations dans lecadre de la rotation varimax en ACP. L’idée est donc de choisir la matrice T pour queces rapports de corrélation soient les plus proches possibles de 0 ou de 1.Le critère de rotation. Le critère varimax f n’est pas appliqué directement à B = AT,comme en ACP, mais à la matrice des rapports de corrélation C = g(AT). Le critère hainsi obtenu est défini par :h(AT) = f ◦ g(AT) = f(C) =q∑α=1∑pj=1 c2jαp−(∑pj=1 c2jαp)2=q∑α=1∑pj=1(p∑s∈Mj f.sb2sα)2p−(∑pj=1(p∑s∈Mj f.sb2sα)p)2=q∑α=1pp∑j=1∑s∈Mjf.sb2sα2 − p∑j=1∑s∈Mjf.sb2sα2 (3)4Pour une matrice A donnée, le problème d’optimisation s’écrit donc :{maxTh(AT),s.c. TTt = Ir.(4)3 Une solution analytique pour la rotation en dimen-sion deuxEn dimension r = 2, la matrice de rotation orthogonale T s’écrit en fonction d’un anglede rotation θ :T =[cos θ −sin θsin θ cos θ]. (5)Le problème d’optimisation (4) s’écrit alors comme un problème non contraint :{maxθ∈Rh(θ). (6)L’expression de h(θ) et les détails du calcul dre la solution analytique sont disponiblesdans Chavent, Kuentz, Saracco (2009). On écrit la dérivée de h par rapport à θ :∂h∂θ= 2(a+ bcos(4θ) + csin(4θ)), (7)où :a = (p− 1)p∑j=1∑s∈Mj∑t∈Mjf.sf.tαstβst −p∑j=1p∑l 6=j∑s∈Mj∑t∈Mlf.sf.tαstβst,b = (p− 1)p∑j=1∑s∈Mj∑t∈Mjf.sf.tδstγst −p∑j=1p∑l 6=j∑s∈Mj∑t∈Mlf.sf.tδstγst,c = (p− 1)p∑j=1∑s∈Mj∑t∈Mjf.sf.t12(γ2st − δ2st)−p∑j=1p∑l 6=j∑s∈Mj∑t∈Mlf.sf.t12(γ2st − δ2st), (8)et αst = as1at1 + as2at2, βst = as2at1 − as1at2, γst = as2at1 + as1at2 et δst = as1at1 − as2at2.Pour résoudre a+bcos(4θ)+csin(4θ) = 0, on divise chaque terme par (b2 +c2)1/2 et onintroduit l’angle ϕ ∈]−π,+π]tel que cos(ϕ) = b(b2+c2)1/2et sin(ϕ) = c(b2+c2)1/2. On obtient :a(b2 + c2)1/2+ cos(ϕ)cos(4θ) + sin(ϕ)sin(4θ) =a(b2 + c2)1/2+ cos(4θ − ϕ) = 05Cette équation possède alors deux solutions :θ̂ =14(± arcos(− a√b2 + c2) + ϕ), (9)correspondant respectivement au minimum et maximum de h (sous la condition que |a| ≤(b2 + c2)1/2, ce qui est nécessairement vérifiée car h est périodique et dérivable).4 ConclusionNous avons proposé une solution analytique en deux dimensions pour la rotation enAFCM. Nous illustrerons sur des données simulées la validité de l’approche. Nous mon-trerons l’intérêt de la rotation pour l’interprétation des résultats d’une AFCM sur desdonnées réelles issues d’une enquête de satisfaction des plaisanciers sur le Canal des DeuxMers (commanditée par Voies Navigables de France en 2008). Des détails sur ces ap-plications sont disponibles dans Chavent, Kuentz, Saracco (2009). En outre ce résultatpourra être utilisé pour étendre une approche de type VARCLUS pour la classification devariables qualitatives.Bibliographie[1] Chavent, M., Kuentz, V., Saracco, J. (2009), A two-dimensional analytic solution forrotation in Multiple Correspondence Analysis, Submitted paper.[2] Greenacre, M.J. et Blasius, J. (2006), Multiple Correspondence Analysis and RelatedMethods, Chapman & Hall/CRC Press, London.[3] Jolliffe, I.T. (2002), Principal Component Analysis (Second Edition), Springer-Verlag,New York.[4] Kaiser, H.F. (1958), The varimax criterion for analytic rotation in factor analysis,Psychometrika, 23(3), 187–200.[5] Kiers, H.A.L. (1991), Simple structure in Component Analysis Techniques for mixturesof qualitative and quantitative variables, Psychometrika, 56, 197–212.6

Une solution analytique pour la rotation planaire en Analyse Factorielle des Correspondances Multiples

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Oskar Bordeaux

INRIA a CCSD electronic archive server