Second Semester Examination 

2016/2017 Academic Session 

June 2017 

Duration : 3 hour

PPSM, Pusat Pengajian Sains Matematik

Repository@USM

    UNIVERSITI SAINS MALAYSIA  Second Semester Examination 2016/2017 Academic Session    June 2017   MAT 101 - Calculus  [Kalkulus]   Duration : 3 hours [Masa : 3 jam]     Please check that this examination paper consists of NINE pages of printed material before you begin the examination.  [Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi SEMBILAN muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.]   Instructions: Answer all six [6] questions.  [Arahan:   Jawab semua enam [6] soalan.]   In the event of any discrepancies, the English version shall be used.  [Sekiranya terdapat sebarang percanggahan pada soalan peperiksaan, versi Bahasa Inggeris hendaklah diguna pakai].         …2/- [ MAT 101 ] - 2 -    QUESTION 1   (a) Suppose 2 , 24 , 2( ) 2 , 0 2, 0.x xxf x x xxxx               (i)  Find 2lim ( )xf x.  (ii)  Why is f  continuous at 2 ?   (iii)  Find 0lim ( )xf x.   [ 35 marks ]  (b)  Find the following limits.   (i)  2239lim2 7 3xxx x    (ii)  0tan 7limsin 2ttt  [ 40 marks ]  (c)  Suppose lim ( ) 0x af x . Show that 21lim [ ( )] sin 0x af xx    using the Squeeze Theorem.   [ 25 marks ]  SOALAN 1   (a)  Andaikan 2 , 24 , 2( ) 2 , 0 2, 0.x xxf x x xxxx              (i)  Dapatkan 2lim ( )xf x.  (ii)  Nyatakan sebab f  selanjar pada 2 .   (iii)  Dapatkan 0lim ( )xf x. [ 35 markah ]  …3/- [ MAT 101 ] - 3 -     (b)  Dapatkan had yang berikut. (i) 2239lim2 7 3xxx x    (ii) 0tan 7limsin 2ttt  [ 40 markah ]  (c)  Andaikan lim ( ) 0x af x . Tunjukkan bahawa 21lim [ ( )] sin 0x af xx   dengan  menggunakan Teorem Himpitan.   [ 25 markah ]  QUESTION 2 (a)  Suppose 1sin , 0( )0 , 0x xf x xx  . Determine whether (0)f   exists using the   definition of derivative.  [ 30  marks ]  (b) Find the derivative of the following functions. Do not simplify your answer. (i)  y x       (ii)  3sec xyx   (iii)  5( 3)xy e     (iv)  lnxy xe x     (v)   sin xy xe  [ 40  marks ]  (c)  Prove that 1lim(3 2) 1xx   using the   -  definition.  [ 30  marks ]         …4/- [ MAT 101 ] - 4 -    SOALAN 2  (a)  Andaikan 1sin , 0( )0 , 0x xf x xx  . Tentukan sama ada (0)f   wujud dengan menggunakan takrif untuk terbitan.            [ 30  markah ]  (b)  Dapatkan terbitan bagi fungsi berikut. Jangan ringkaskan jawapan anda.  (i) y x      (ii)  3sec xyx  (iii)  5( 3)xy e    (iv)  lnxy xe x    (v)   sin xy xe  [ 40  markah ]   (c)   Buktikan bahawa 1lim(3 2) 1xx   dengan menggunakan takrif  - .              [ 30  markah ]  QUESTION 3  (a)  Show that the equation 2 cos 0x x   has a (real) root between 2  and 2.  [ 30  marks ]  (b)  State the Mean Value Theorem.            [ 15 marks ]  (c)  Suppose ,a b ¡  with a b . Prove that sin sinb a b a   .  [ 40  marks ]  (d) Show that lim[ ( ) ( )]x af x g x  may exist although neither lim ( )x af x nor lim ( )x ag x exists. [ 15  marks ]   …5/- [ MAT 101 ] - 5 -    SOALAN 3  (a) Tunjukkan bahawa persamaan 2 cos 0x x   mempunyai punca nyata   antara 2  dan .2 [ 30  markah ]   (b)  Nyatakan Teorem Nilai Min.   [ 15  markah ]    (c)   Andaikan ,a b ¡  dengan a b . Buktikan bahawa sin sinb a b a   .               [ 40  markah ]  (d)  Tunjukkan bahawa lim[ ( ) ( )]x af x g x  boleh wujud walaupun kedua-dua  lim ( )x af x dan lim ( )x ag x tidak wujud. [ 15  markah ]  QUESTION 4  (a)   Suppose 71( ) 10f x dx  ,47( ) 1,f x dx   and 14( ) 4g x dx  . Compute   41( ) 3 ( ) .f x g x dx           [ 30 marks ] (b)  Find '( )F x ,, where 32sin( )xxF x t dt  .        [ 25 marks ]   (c)  Show that 32( )1xf xx is an odd function. Hence, deduce the value of 3 3231xx.                   [ 30 marks ] (d) Why does the definite integral 374 20 1x xdxx x  exist? [ 15 marks ]  …6/- [ MAT 101 ] - 6 -    SOALAN 4  (a)  Andaikan 71( ) 10f x dx  ,47( ) 1,f x dx   dan 14( ) 4g x dx  . Hitungkan  41( ) 3 ( ) .f x g x dx                             [ 30  markah ] (b)  Dapatkan '( )F x , diberi 32sin( )xxF x t dt  .        [ 25 markah ] (c)  Tunjukkan bahawa 32( )1xf xx ialah fungsi ganjil. Justeru itu, deduksikan nilai 3 3231xx.                 [ 30 markah ] (d)  Nyatakan sebab kamiran tentu 374 20 1x xdxx x  wujud.  [ 15 markah ] QUESTION 5  (a)  The region bounded by the graph of 2y x  and the line 4x   is rotated about the y -axis. Compute   the volume of the solid obtained using the washer method.  [ 50 marks ]  (b) Find the following integrals.  (i) 22cos( )1 sin( )x xdxx  (ii) 2 xx e dx            [ 50 marks ]           …7/-   [ MAT 101 ] - 7 -    SOALAN 5  (a)   Rantau yang dibatasi oleh graf bagi 2y x  dan garis 4x   dikisarkan sekitar paksi y . Hitungkan isipadu kisaran dengan menggunakan kaedah cakera.  [ 50 markah ]   (b)   Dapatkan kamiran yang berikut.  (i)  22cos( )1 sin( )x xdxx   (ii)  2 xx e dx             [ 50 markah ] QUESTION 6  (a)  Suppose 4 1( )2 3xf xx. Show that f  is one-to-one. [ 20  marks ]  (b)   Suppose 23( ) 1xf x x dx  . Assuming  f   is one-to-one, find 1( ) (0)f   . [ 30  marks ]  (c) Is the following statement true or false? Just write down the correct answer, that is, either “TRUE” or “FALSE”.  (i) Suppose :f R R . If ( 2) (2)f f  , then f   is an even function. (ii)  If lim ( )x af x  , then lim ( )x af x exists.  (iii)  If 0( ) ( )limhf a h f ah  exists, then f is differentiable at a.   (iv) Fermat’s Theorem says that if f  has a local maximum or local minimum at c , then f is  differentiable at c  and ( ) 0f c  .   (v) The following two statements are equivalent.  For every 0  , there exists 0   such that   .  There exists 0   such that for every 0  , we have   .  …8/- [ MAT 101 ] - 8 -    (vi)  01limsinx x does not exist.    (vii)  The function ( )f x x  is continuous but not differentiable at 0.  (viii)  The Riemann integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑏𝑎𝑑𝑥 is defined to be lim nnR, where nR  is the corresponding right Riemann sum.    (ix)  Suppose f  is continuous on an open interval ( , )a b . The Extreme Value Theorem tells us that the absolute maximum of f  exists.  (x)  If 5lim ( )xf x  , then the line 5x   is a vertical asymptote of the graph of f .             [ 50  marks ]  SOALAN 6   (a)  Andaikan 4 1( )2 3xf xx. Tunjukkan bahawa 𝑓 adalah satu-ke-satu. [ 20  markah ]  (b)  Andaikan 23( ) 1xf x x dx  . Dengan anggapan f  adalah satu-ke-satu,   dapatkan 1( ) (0)f   . [ 30  markah ]   (c)  Adakah kenyataan berikut benar atau palsu? Cuma tuliskan jawapan yang betul, iaitu sama ada “BENAR” atau “PALSU”.  (i) Andaikan :f R R . Jika ( 2) (2)f f  , maka f  ialah fungsi genap.   (ii) Jika lim ( )x af x  , maka lim ( )x af x  wujud.  (iii) Jika 0( ) ( )limhf a h f ah  wujud, maka f terbezakan pada 𝑎.  (iv) Teorem Fermat menyatakan bahawa jika f  mempunyai maksimum setempat atau minimum setempat pada c , maka 𝑓 terbezakan pada 𝑐 dan ( ) 0f c  .   (v) Dua kenyataan berikut adalah setara.  Bagi setiap 0  , wujud 0   sedemikian   .  Wujud 0   sedemikian bagi setiap 0  ,  . …9/- [ MAT 101 ] - 9 -    (vi)   01limsinx x tidak wujud.  (vii) Fungsi ( )f x x  adalah selanjar tetapi tak terbezakan pada 0.  (viii)  Kamiran Riemann  ∫ 𝑓(𝑥)𝑏𝑎𝑑𝑥 ditakrifkan sebagai lim nnR, sedemikian bahawa nR  ialah hasil tambah Riemann kanan yang sepadan.    (ix) Andaikan f  selanjar pada selang terbuka ( , )a b . Teorem Nilai Lampau menyatakan bahawa maksimum mutlak bagi f  wujud.  (x) Jika 5lim ( )xf x  , maka garis 5x   adalah asimptot tegak untuk graf f .     [ 50  markah ]    -ooo000ooo- 

MAT 101 - Calculus [KALKULUS] JUN 2017

http://eprints.usm.my/39689/1/MAT101%2DTWC.pdf

MAT 101 - Calculus [KALKULUS] JUN 2017

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository@USM