PPSM, Pusat Pengajian Sains Matematik

Repository@USM

    UNIVERSITI SAINS MALAYSIA  First Semester Examination 2016/2017 Academic Session  December 2016/January 2017   MAT 223 – Differential Equations I [Persamaan Pembezaan I]   Duration : 3 hours [Masa : 3 jam]         Please check that this examination paper consists of SEVEN pages of printed material before you begin the examination.  [Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi TUJUH muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.]   Instructions: Answer five (5) questions.  [Arahan: Jawab semua lima (5) soalan.]   In the event of any discrepancies, the English version shall be used.  [Sekiranya terdapat sebarang percanggahan pada soalan peperiksaan, versi Bahasa Inggeris hendaklah diguna pakai.]         …2/- [MAT223] - 2 -  Question 1  (a) What is the most suitable integrating factor that can be used to solve the differential equation  cos 𝑡𝑑𝑦𝑑𝑡+ sin 𝑡 𝑦 = 𝑡2?  (b) For what values of 𝐴 and 𝐵 will the following equation be exact?  (𝐴𝑡2 + 2𝑡 sin 𝑡)𝑦′ + 6𝑡𝑦 + 𝐵𝑦2 cos 𝑡 = 0.  (c) With the information obtained in (b), solve the given exact differential equation. [ 100 marks ]  Soalan 1  (a) Apakah faktor pengamir yang paling sesuai digunakan untuk menyelesaikan persamaan pembezaan  𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑑𝑦𝑑𝑡+ 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑦 = 𝑡2?  (b) Apakah nilai 𝐴 dan 𝐵 supaya persamaan berikut adalah tepat?  (𝐴𝑡2 + 2𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡)𝑦′ + 6𝑡𝑦 + 𝐵𝑦2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = 0.  (c) Dengan maklumat yang diperoleh di (b), selesaikan persamaan pembezaan tepat tersebut.  [ 100 markah ]                     …3/- [MAT223] - 3 -   Question 2  (a) Consider the second order, linear, and homogeneous ordinary differential equation  𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0.  If 𝑦1 and 𝑦2 are both solutions to the given differential equation, by using the Principle of Superposition, show that for any two constants 𝑐1 and 𝑐2,  𝑦 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2  is also the solution to the problem.  (b) Consider the differential equation  (1 − 𝑡)𝑦′′ + 𝑡𝑦′ − 𝑦 = 1 − 𝑡.  (i) Verify that 𝑦1 = 𝑒𝑡 and 𝑦2 = 𝑡 are solutions to the homogeneous part of the differential equation.  (ii) From the information verified in (i), use the method of variation of parameters to find the general solution to the non-homogeneous equation.   [ 100 marks ] Soalan 2  (a) Pertimbangkan persamaan pembezaan biasa peringkat kedua, linear, dan homogen   𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0.  Jika 𝑦1 dan 𝑦2 adalah penyelesaian kepada persamaan pembezaan biasa tersebut, dengan menggunakan Prinsip Superposisi, tunjukkan bahawa bagi setiap dua pemalar 𝑐1 and 𝑐2,  𝑦 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2  juga adalah penyelesaian kepada masalah tersebut.  (b) Pertimbangkan persamaan pembezaan  (1 − 𝑡)𝑦′′ + 𝑡𝑦′ − 𝑦 = 1 − 𝑡.  (i) Tentusahkan bahawa 𝑦1 = 𝑒𝑡 dan 𝑦2 = 𝑡 adalah penyelesaian kepada bahagian homogen persamaan pembezaan tersebut.  (ii) Dengan maklumat yang ditentusahkan di (i), gunakan kaedah perubahan parameter untuk mencari penyelesaian am bagi persamaan tak homogen tersebut.  [ 100 markah ]    …4/- [MAT223] - 4 -  Question 3  A scientist is using two tanks in an experiment. Initially, Tank A contains fifty gallons of water, and Tank B contains fifty gallons of water plus one pound of salt per gallon. When the experiment begins, water with salt concentration from Tank B is pumped once into Tank A at a rate of two gallons per minute (2gal/min). Then, fresh water is pumped into Tank B at a rate of two gallons per minute (2gal/min). In addition, water flows from Tank B into Tank A at a rate of one gallon per minute (1gal/min). There are also two drains; one for Tank A at a rate of three gallons per minute (3gal/min) and one for Tank B, at a rate of one gallon per minute (1gal/min). Figure 1 describes the experiment done by the scientist.               (a) Write an initial value problem (IVP) that models the amount of salt in each tank in the system.  (b) Solve the IVP modelled in part (a).  (c) After how long do the tanks contain the same amount of salt?  [ 100 marks ]               …5/- 2 gal/min 1 gal/min Water Water + salt concentration Fresh water 3 gal/min 1 gal/min A B Figure 1 [MAT223] - 5 -  Soalan 3  Seorang saintis menggunakan dua buah tangki di dalam sebuah eksperimen. Pada awalnya, Tangki A mengandungi lima puluh gelen air, dan Tangki B mengandungi lima puluh gelen air yang bercampur dengan satu paun garam per gelen. Apabila eksperimen bermula, air yang bercampur dengan garam dari Tangki B dipamkan sebanyak sekali ke dalam Tangki A dengan kadar dua gelen seminit (2 gelen/min). Kemudian, air bersih dipamkan ke dalam Tangki B pada kadar dua gelen seminit (2 gelen/min). Tambahan pula, air mengalir dari Tangki B ke Tangki A dengan kadar  satu gelen seminit (1 gelen/min). Terdapat juga dua aliran keluar; satu untuk Tangki A dengan kadar tiga gelen seminit (3 gelen/min), dan satu untuk Tangki B dengan kadar satu gelen seminit (1 gelen/min). Rajah 1 menggambarkan eksperimen yang dijalankan oleh saintis tersebut.           (a) Tulis satu masalah nilai awal yang memodelkan kandungan garam di dalam setiap tangki di dalam sistem tersebut.  (b) Selesaikan masalah nilai awal yang dimodelkan di bahagian (a).  (c) Berapa lamakah masa yang diambil untuk kedua-dua tangki mengandungi kandungan garam yang sama banyak?   [ 100 markah ] Question 4  Consider the first order equation with initial condition  𝑦′ = 𝑦𝑒𝑡 + 1,   𝑦(0) = 0.5.  (a) Use ∆𝑡 = 1.0 to find 𝑦(1) by the fourth-order Runge Kutta (RK) method, showing all equations and calculations.  (b) By how much would the truncation error in 𝑦(1) decrease if ∆𝑡 = 0.25? [Do not solve again for ∆𝑡 = 0.25]  (c) Briefly explain the significance of the parameters 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3 and 𝑘4 in the fourth order RK method. [ 100 marks ]  …6/- 2 gelen/min 1 gelen/min Air Air + garam Air bersih 3 gelen/min 1 gelen/min A B Rajah 1 [MAT223] - 6 -  Soalan 4  Pertimbangkan persamaan peringkat pertama dengan nilai awal  𝑦′ = 𝑦𝑒𝑡 + 1,   𝑦(0) = 0.5.  (a) Guna ∆𝑡 = 1.0 untuk mencari 𝑦(1) menggunakan kaedah Runge Kutta (RK) peringkat keempat, dengan menunjukkan semua persamaan dan pengiraan.  (b) Berapa banyakkah nilai ralat pangkasan akan berkurang sekiranya ∆𝑡 = 0.25? [Jangan selesaikan semula bagi ∆𝑡 = 0.25]  (c) Terangkan secara ringkas kepentingan parameter 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3 dan 𝑘4 di dalam kaedah RK peringkat keempat. [ 100 markah ]  Question 5  (a) Use Laplace Transform to solve the following initial value problems:  (i) 𝑦′ − 𝑦 = 2 cos 5𝑡 ,   𝑦(0) = 1.  (ii) 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 𝑡3𝑒2𝑡 ,   𝑦(0) = 0,   𝑦′(0) = 0.  (b) Find a recurrence formula for the power series solution of the differential equation  (1 + 𝑡2)𝑦′′ − 4𝑡𝑦′ + 6𝑦.  [ 100 marks ] Soalan 5  (a) Guna Penjelmaan Laplace untuk menyelesaikan masalah nilai awal berikut:   (i) 𝑦′ − 𝑦 = 2 cos 5𝑡 ,   𝑦(0) = 1.  (ii) 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 𝑡3𝑒2𝑡 ,   𝑦(0) = 0,   𝑦′(0) = 0.  (b) Cari rumus jadian semula bagi penyelesaian siri kuasa persamaan pembezaan  (1 + 𝑡2)𝑦′′ − 4𝑡𝑦′ + 6𝑦.  [ 100 markah ]         …7/- [MAT223] - 7 -  Table of Laplace Transform.    

MAT 223 - Differential Equations I

[Persamaan Pembezaan I] - Disember 2016 - Januari 2017

http://eprints.usm.my/39608/1/MAT223%2DAA.pdf

MAT 223 - Differential Equations I [Persamaan Pembezaan I] - Disember 2016 - Januari 2017

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository@USM