PPSM, Pusat Pengajian Sains Matematik

Repository@USM

        UNIVERSITI SAINS MALAYSIA  Second Semester Examination 2015/2016 Academic Session   June 2016  MSG388 – Mathematical Algorithms for Computer Graphics [Algoritma Matematik untuk Grafik Komputer] Duration : 3 hours [Masa : 3 jam]     Please check that this examination paper consists of SEVEN pages of printed material before you begin the examination.  [Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi TUJUH muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.]   Instructions:  Answer FIVE (5) questions.  [Arahan: Jawab LIMA (5) soalan].     In the event of any discrepancies, the English version shall be used.  [Sekiranya terdapat sebarang percanggahan pada soalan peperiksaan, versi Bahasa Inggeris hendaklah diguna pakai.]        …2/- [MSG388] - 2 -   1. (a)  Figure 1 shows the control polygon of a Bézier curve ( )tP , [0, 1]t . Use  the de Casteljau’s Algorithm to calculate the point on the curve P at  0.75t  .                (b)  Given a spline function  3 23 2 2 30 1 2 33 2 2 30 1 2 33 24 12 12 8, 2 1(1 ) 3 (1 ) 3 (1 ) , 1 0(1 ) 3 (1 ) 3 (1 ) , 0 16 9 8, 1 3x x x xb x b x x b x x b x xyc x c x x c x x c x xx x x x                             .  Determine all the coefficients ib  and ic , 0i  , 1 , 2 , 3 , such that the spline function is 2C  continuous on ( 2, 3) .  [ 100 marks ]     1. (a)  Rajah 1 menunjukkan poligon kawalan suatu lengkung Bézier ( )tP , [0, 1]t . Gunakan Algoritma de Casteljau untuk mengira titik lengkung P  pada 0.75t  .             …3/- (3, 2)  (1, 2)  Figure 1 (3, 1)  (1, 1)  (2, 1)  (3, 2)  (1, 2)  Rajah 1 (3, 1)  (1, 1)  (2, 1)  [MSG388] - 3 -    (b)  Diberi suatu fungsi splin  3 23 2 2 30 1 2 33 2 2 30 1 2 33 24 12 12 8, 2 1(1 ) 3 (1 ) 3 (1 ) , 1 0(1 ) 3 (1 ) 3 (1 ) , 0 16 9 8, 1 3x x x xb x b x x b x x b x xyc x c x x c x x c x xx x x x                             .  Tentukan semua pekali ib  dan ic , 0i  , 1 , 2 , 3 , supaya fungsi splin adalah berkeselanjaran 2C  pada ( 2, 3) .     [ 100 markah ]    2. Let 1 (0, 3)V , 2 ( 2, 0) V  and 3 (2, 0)V  be the vertices of a triangle T  in two dimension. For any point ( , )x yP  in T ,  1 2 3u v w  P V V V   where ( , , )u v w  are the barycentric coordinates of P  with respect to the vertices of T . A surface   2 2 2( , , ) 4 4 4S u v w u uv v vw w wu     l l l   is defined on T  where l ¡ .    (a)  If 2l , evaluate S  at ( , ) (1, 1)x y  .   (b)  Find the value of l  if the minimum value S  is 1.   [ 100 marks ]        …4/- [MSG388] - 4 -   2. Katakan 1 (0, 3)V , 2 ( 2, 0) V  dan 3 (2, 0)V  ialah bucu-bucu segi tiga T  dalam dua dimensi. Sebarang titik ( , )x yP  dalam T ,  1 2 3u v w  P V V V   di mana ( , , )u v w  adalah koordinat baripusat bagi P  terhadap bucu-bucu T . Permukaan   2 2 2( , , ) 4 4 4S u v w u uv v vw w wu     l l l   ditakrif pada T  di mana l ¡ .   (a)  Jika 2l , nilaikan S  pada ( , ) (1, 1)x y  .   (b)  Cari nilai l  jika nilai minimum S  ialah 1.   [ 100 markah ]    3. Let the Bernstein polynomials of degree n  be denoted by   !( ) 1! ( )!n in iinB t t ti n i , 0 1t  ,    for  0i  , 1, K , n .   (a)  Figure 2 shows a rational quadratic   2 2 20 0 1 1 2 22 2 20 1 2( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )B t B t B ttB t B t B t  C C CR ,     [0, 1]t   and its control polygon. M  be the midpoint of the line segment 0C  to 2C . Suppose the rational curve divides the line segment 1C  to M  with ratio 2 :3 , find the value of  .            …5/- 2C  0C  1C  Figure 2 R  M  [MSG388] - 5 -    (b)  Given a rational quadratic  221( )2 3 1tr tt t ,     [0, 1]t .  Find a rational cubic Bézier which is identical to r .     [ 100 marks ]    3. Katakan polinomial Bernstein berdarjah n  ditandakan sebagai   !( ) 1! ( )!n in iinB t t ti n i , 0 1t  ,    bagi  0i  , 1, K , n .   (a)  Rajah 2 menunjukkan satu kuadratik nisbah   2 2 20 0 1 1 2 22 2 20 1 2( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )B t B t B ttB t B t B t  C C CR ,     [0, 1]t   dan poligon kawalannya. M  ialah titik tengah segmen garis 0C  ke 2C . Andaikan lengkung nisbah membahagikan segmen garis 1C  ke M  dengan nisbah 2 :3 , cari nilai  .               (b)  Diberi satu kuadratik nisbah   221( )2 3 1tr tt t ,     [0, 1]t .  Cari satu Bézier kubik nisbah yang serupa dengan r .   [ 100 markah ] …6/- 2C  0C  1C  Rajah 2 R  M  [MSG388] - 6 -   4. The normalised basis spline of order k  on a non-decreasing knot vector 0(uu , 1u , …, )mu , m k , can be formulated recursively by  1 111 1( ) ( ) ( )k k ki i ki i ii k i i k iu u u uN u N u N uu u u u       ,  for   1k  ,  and   111,( )0, otherwise .i iiu u uN u    Given a cubic B-spline curve  4 4 4 40 1 2 34 1 1 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 1 4u N u N u N u N u                        P   with the knot vector ( 2 u , 1 , 0 , 0 , 1, 3 , 4 , 6) .   (a)  Use the de Boor Algorithm to calculate the point P  at 0.5u  .   (b)  Find a cubic Bézier curve which is identical to ( )uP .  [ 100 marks ]    4. Splin asas ternormal berperingkat k  pada suatu vektor simpulan tak menyusut 0(uu , 1u , …, )mu , m k , boleh dirumuskan secara rekursif oleh  1 111 1( ) ( ) ( )k k ki i ki i ii k i i k iu u u uN u N u N uu u u u       ,  bagi   1k  ,  dan   111,( )0, .i iiu u uN usebaliknya    Diberi satu lengkung splin-B  4 4 4 40 1 2 34 1 1 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 1 4u N u N u N u N u                        P   dengan vektor simpulan ( 2 u , 1 , 0 , 0 , 1, 3 , 4 , 6) .  (a) Gunakan Algoritma de Boor untuk mengira titik P  pada 0.5u  .  (b) Cari satu lengkung Bézier kubik yang serupa dengan ( )uP .   [100 markah] …7/- [MSG388] - 7 -   5. (a)  A uniform B-spline curve of order 3  is defined with the control polygon shown in Figure 3. Sketch the curve and specify the endpoints of each curve segment.   (b)  Use Chaikin Subdivision Algorithm to obtain a set of new vertices from the given control polygon in Figure 3. Sketch the polyline connecting the new vertices.            [ 100 marks ]    5. (a) Satu lengkung splin-B seragam berperingkat 3  ditakrif dengan poligon kawalan yang ditunjukkan dalam Rajah 3. Lakarkan lengkung itu dan nyatakan titik-titk hujung bagi setiap segmen lengkung.   (b)  Gunakan Algoritma Subdivisi Chaikin untuk mendapatkan satu set bucu-bucu baru dari poligon kawalan yang diberikan dalam Rajah 3. Lakarkan poligaris yang menghubungkan bucu-bucu baru.            [ 100 markah ]    - ooo 0 ooo - 3D  2D  Figure 3 4D  1D  0 5D D  3D  2D  Rajah 3 4D  1D  0 5D D  

MSG388 - Mathematical Algorithms For Computer Graphics

[Algoritma Matematik Untuk Grafik Komputer] - Jun 2016

http://eprints.usm.my/39647/1/MSG388.4.usm_Dr._Kong_Voon_Pang.pdf

MSG388 - Mathematical Algorithms For Computer Graphics [Algoritma Matematik Untuk Grafik Komputer] - Jun 2016

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository@USM