PPSM, Pusat Pengajian Sains Matematik

Repository@USM

       UNIVERSITI SAINS MALAYSIA  First Semester Examination 2016/2017 Academic Session   December 2016 / January 2017  MAT518 – Numerical Methods for Differential Equations [Kaedah Berangka Untuk Persamaan Pembezaan] Duration : 3 hours [Masa : 3 jam]     Please check that this examination paper consists of NINE pages of printed material before you begin the examination.  [Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi SEMBILAN muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.]   Instructions:  Answer FOUR (4) questions.  [Arahan: Jawab EMPAT (4) soalan].     In the event of any discrepancies, the English version shall be used.  [Sekiranya terdapat sebarang percanggahan pada soalan peperiksaan, versi Bahasa Inggeris hendaklah diguna pakai.]            …2/- [ MAT518] - 2 -  Question 1  (a) Consider 0. t xc c   (i) Write a finite difference scheme using forward difference for tc  and backward difference for .xc   (ii) This scheme has a name associated with it. What is the name?  (b) Consider 0  t x xxc c c   (i) Write a finite difference scheme using forward difference for tc  and central difference for , .x xxc c   (ii) Obtain the truncation error of the scheme.  (iii) Obtain the amplification factor associated with a Fourier stability analysis.  (c) Write notes (about 1-2 pages) on both numerical dispersion and numerical dissipation. Your notes should touch, amongst others, on physical dispersion/dissipation and methods of analysis (in general terms).  [ 100 marks ] Soalan 1  (a) Pertimbang 0. t xc c   (i) Tulis skema beza terhingga menggunakan beza ke depan untuk .tc  dan beza ke belakang untuk .xc   (ii) Skema ini mempunyai suatu nama yang bersekutu dengannya. Apakah nama skema ini?  (b) Pertimbang 0  t x xxc c c   (i) Tulis skema beza terhingga menggunakan beza ke depan untuk  .tc  dan beza pusat untuk , .x xxc c   (ii) Dapatkan ralat pangkasan untuk skema ini.  (iii) Dapatkan faktor amplifikasi yang bersekutu dengan suatu analisis kestabilan Fourier.  (c) Tulis nota-nota (1-2 muka surat) berkaitan penyebaran berangka dan pelesapan berangka. Nota-nota anda seharusnya, antara lain, menyentuh penyebaran dan pelesapan fizikal dan kaedah-kaedah analisis (secara am). [ 100 markah ] …3/- [ MAT518] - 3 -  Question 2  (a) Consider   " 'y 3y 2y 2x 3      y(0) 2, y(1) 1    0 x 1    By using N 2  i.e.  1h3 , write the system of equations that arises when central differences are used to discretize the BVP. There is no need to solve the system.  (b) Consider  " ' ty 2y y te t     y(0) y '(0) 0    0 t 1    (i) Write as a first order system.  (ii) Obtain the solution at t 0.1  using Eulers method i 1 i i iW W hf (t ,W )   with h t 0.1    (c) Write notes (about 1 – 2 pages) on stiff equations. Your notes should touch on, amongst others, the characteristics of the solution of stiff equations and numerical methods commonly used. [ 100 marks ]  Soalan 2   (a) Pertimbang   " 'y 3y 2y 2x 3           y(0) 2, y(1) 1         0 1     Dengan menggunakan N 2  i.i. 1h3 , tulis sistem persamaan yang timbul apabila beza ke pusat diguna untuk mendiskretkan MNS. Anda tidak perlu selesaikan sistem.  (b) Pertimbang    " ' ty 2y y te t     y(0) y '(0) 0     0 t 1    (i) Tulis sebagai sistem peringkat pertama.  (ii) Dapatkan penyelesaian di t 0.1  menggunakan kaedah Euler i 1 i i iW W hf (t ,W )    dengan h t 0.1    (c) Tulis nota-nota (sekitar 1 – 2 muka surat) berkaitan persamaan kaku. Nota-nota anda seharusnya menyentuh, antara lain, ciri-ciri penyelesaian persamaan kaku dan kaedah berangka yang lazimnya diguna. [ 100 markah ] …4/- [ MAT518] - 4 -  Question 3 (a) The linear  system of equations 11ax ba    , where a  is real, can be solved  by the iterative method under certain conditions   ( 1) ( )1 0 1.1 0 1k kax x ba                  (i)  For which values of a is the method convergent when 1?    (ii) For a =0.5, find the value of   which minimizes the  spectral radius  of the   matrix 11 0 1.1 0 1aa                       [ 20 marks ]  (b) The coefficient matrix of the linear equations Au br ris defined by      21 11 ,1cA c cc c      c is real and non-zero.    (i) Find the range of values for c , for which the Gauss-Seidel iteration   method converges.    (ii) Will the Jacobi iteration method converge  for 2?c             [ 20 marks ]  (c) For the equations  1 2 31 2 31 2 32 4 11384 7x x xx x xx x x        ,   prove that the Jacobi iteration method  is convergent but  Gauss-Seidel method is divergent.           [ 40 marks ]        …5/- [ MAT518] - 5 -  (d) Prove that the truncation error of the five-point finite difference formula approximating Laplace's equation at the point  ,i jx y , for a square mesh of side h, can be written as  4 424 41( , ) ( , ) ,12j ih U y U xx y           where , ,i i j jx h x h y h y h         and it is assumed that the first-, second-, third-  and fourth-order partial derivatives of  U  with respect to x and y are continuous throughout these intervals respectively.           [ 20 marks ]  Soalan 3 (a) Sistem persamaan linear 11ax ba    dimana a  adalah nyata, boleh diselesaikan dengan kaedah lelaran  di bawah syarat tertentu   ( 1) ( )1 0 1.1 0 1k kax x ba                 (i)  Bagi nilai a  yang manakah kaedah ini akan menumpu untuk 1?    (ii) Bagi a =0.5, dapatkan nilai   yang meminimumkan jejari spektrum matriks   11 0 1.1 0 1aa                      [ 20 markah ]  (b)  Matriks koefisien bagi persamaan linear Au br rdi definisikan sebagai    21 11 ,1cA c cc c      c  adalah nombor nyata  dan bukan sifar.   (i) Dapatkan julat nilai c di mana  lelaran  Gauss-Seidel menumpu.    (ii) Adakah lelaran Jacobi menumpu bagi nilai 2?c             [ 20markah ]         …6/- [ MAT518] - 6 -  (c) Bagi persamaan berikut  1 2 31 2 31 2 32 4 11384 7x x xx x xx x x        ,   buktikan  bahawa lelaran Jacobi menumpu manakala lelaran Gauss-Seidel mencapah            [ 40 markah ]  (d) Buktikan bahawa ralat pangkasan bagi rumus pembezaan lima-titik  untuk menganggarkan persamaan Laplace pada titik  ,i jx y  pada segi empat mesy bersisi h boleh ditulis sebagai  4 424 41( , ) ( , ) ,12j ih U y U xx y                   di mana , ,i i j jx h x h y h y h         dan diandaikan peringkat pertama, kedua, ketiga dan keempat persamaan pembezaan U  terhadap x  dan y  adalah masing-masing selanjar pada semua selang.           [ 20 markah ]   Question 4  (a) Given B as a m m  matrix with m distinct eigenvalues; 1 2, , , m  K  and corresponding  eigenvectors 1 2, , , .m  K Suppose A is a n n  block tridiagonal     matrix of the form B II B II B IAI B II B           O O O.    (i) Find the eigenvalues  of A and the corresponding eigenvectors.                    [ 20 marks ]       …7/- [ MAT518] - 7 -  (b) Consider the system buA   where                                     1119A   ,        11b .  Generate 2 iterations using preconditioned Conjugate Gradient method with preconditioner matrix   1009M .              [ 20 marks ]   (c) Consider the problem of torsion. The torsion function   satisfies the Poisson's equation2 2 0    with 0   on the boundary. Find   over the cross-section of a rectangular bar bounded by 0, 0, 3, 4.x y x y    Taking the mesh size of 1 unit in both the directions, solve the Poisson's equations, using Successive Over Relaxation method until 2 iterations.  (i) Find ( )bL  for this system  (ii) Calculate  the rate of the convergence ( )bR L   (iii) Estimate  the optimal relaxation factor  b  for S.O.R  and  (iv) Compare  the number of iterations between S.O.R method and Gauss Seidel method for this system.( 710  )          [ 40 marks ]  (d) In solving the system Ax br r using the second order Richardson's method, we use the formula  ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)( ) ( )k k k k kx x b Ax x x      r r r r r  where  and  are constants chosen  to provide maximum convergence to the solution. If i are the eigenvalues of A  and i are the eigenvalues of the matrix associated  with the iterative process, show that i  and i  are related  by the following equation:  2(1 ) (1 ) 42i ii                    [ 20 marks ]       …8/- [ MAT518] - 8 -  Soalan 4  (a)  Diberi B sebagai matriks  m m  dengan m nilai eigen yang berbeza; 1 2, , , m  K  dan vektor eigen yang sepadan 1 2, , , .m  K Andaikan A adalah    n n   matriks blok tiga pepenjuru dalam bentuk B II B II B IAI B II B           O O O.   (i) Dapatkan nilai eigen  A dan vektor eigen yang sepadan.           [ 20 markah ]  (b) Pertimbangkan sistem buA   di mana                                     1119A   ,        11b .  Janakan 2 lelaran dengan menggunakan kaedah Kecerunan Konjugat berprasyarat dengan matriks prasyarat    1009M .           [ 20 markah ]   (c) Pertimbangkan masalah kilasan berikut. Fungsi kilasan   memenuhi persamaan  Poisson iaitu 2 2 0    dimana 0   pada sempadan. Dapatkan    pada keratan rentas satu batang segiempat tepat disempadani oleh 0, 0, 3, 4.x y x y    Dengan mengambil saiz mesy  1 unit pada kedua-dua arah, selesaikan persamaan Poisson ini menggunakan  kaedah Pengenduran Berlebihan Berturut-turut (P.B.B) sehingga 2 lelaran.  (i) Dapatkan ( )bL  bagi sistem ini  (ii) Kira kadar penumpuan  ( )bR L  bagi kaedah ini  (iii) Anggarkan  faktor pengenduran optimal  b  untuk kaedah P.B.B  ini dan  (iv) Bandingkan bilangan lelaran antara kaedah P.B.B dan kaedah  Gauss Seidel bagi sistem ini dengan 710  .          [ 40 markah ]     …9/- [ MAT518] - 9 -  (d) Dalam menyelesaikan sistem Ax br r menggunakan kaedah  Richardson peringkat kedua, kita menggunakan formula berikut  ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)( ) ( )k k k k kx x b Ax x x      r r r r r       di mana dan  adalah pemalar yang dipilih untuk mendapatkan penumpuan maksimum kepada penyelesaian. Jika i adalah nilai-nilai eigen bagi  A  dan i adalah  nilai-nilai eigen  bagi matriks yang bersepadan dengan  proses lelaran, tunjukkan bahawa i  dan i  adalah dikaitkan melalui persamaan berikut: 2(1 ) (1 ) 42i ii                     [ 20 markah ]   - ooo O ooo - 

MAT518 - Numerical Methods For Differential Equations

[Kaedah Berangka Untuk Persamaan Pembezaan] - Disember 2016 - Januari 2017

http://eprints.usm.my/39615/1/MAT518%2DAIMI%26FAA.pdf

MAT518 - Numerical Methods For Differential Equations [Kaedah Berangka Untuk Persamaan Pembezaan] - Disember 2016 - Januari 2017

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository@USM