PPSM, Pusat Pengajian Sains Matematik

Repository@USM

        UNIVERSITI SAINS MALAYSIA  First Semester Examination  Academic Session 2015/2016  December 2015/January 2016  MAT 100 – Foundation Mathematics [Asas Matematik]   Duration : 3 hours [Masa : 3 jam]      Please check that this examination paper consists of EIGHT pages of printed materials before you begin the examination.  [Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi LAPAN muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.]   Instructions: Answer TWELVE (12) questions.  [Arahan: Jawab DUA BELAS (12) soalan.]   In the event of any discrepancies, the English version shall be used.  [Sekiranya terdapat sebarang percanggahan pada soalan peperiksaan, versi Bahasa Inggeris hendaklah diguna pakai].         ...2/- [MAT 100] - 2 -  Answer ALL questions./ Jawab SEMUA soalan. (60 marks/marks).   1. An animal exhibition consists of seven brown dogs, two black dogs, six gray cats, ten black cats, five blue birds, six yellow birds and one black bird. Determine which of the following statements are true and which are false.                                                                                    (i) Every animal in the exhibition is gray or black. (ii) There is an animal in the exhibition that is neither a cat nor a dog. (iii) No animal in the exhibition is blue. (iv) In the exhibition, there are a dog, a cat, and a bird that have the same color.  [ 4 marks ]        1. Satu pameran haiwan merangkumi tujuh ekor anjing coklat, dua ekor anjing hitam, enam ekor kucing kelabu, sepuluh ekor kucing hitam, lima ekor burung biru, enam ekor burung kuning dan satu ekor burung hitam. Tentukan kebenaran setiap pernyataan berikut:   (i) Setiap haiwan dalam pameran itu berwarna kelabu atau hitam. (ii) Terdapat haiwan yang bukan kucing atau anjing dalam pameran itu. (iii) Tiada haiwan dalam pameran itu berwarna biru. (iv) Dalam pameran itu, terdapat anjing, kucing, dan burung yang berwarna sama.  [ 4 markah ]     2. You are about to leave for school in the morning and discover that you do not have your glasses. You know the following statements are true:  (i) If I was reading the newspaper in the kitchen, then my glasses are on the kitchen table. (ii) If my glasses are on the kitchen table, then I saw them at breakfast. (iii) I did not see my glasses at breakfast. (iv) I was reading the newspaper in the living room or I was reading the newspaper in the kitchen. (v) If I was reading the newspaper in the living room then my glasses are on the coffee table.  Where are the glasses? Justify your answer.                    [ 7 marks ]      …3/- [MAT 100] - 3 -  2. Sebelum berlepas ke sekolah pada waktu pagi, anda mendapati bahawa cermin mata tiada di sisi anda. Anda tahu setiap pernyataan berikut adalah benar:  (i) Jika saya membaca surat khabar di dapur, maka cermin mata saya berada di atas meja dapur. (ii) Jika cermin mata saya di atas meja dapur, maka saya akan menjumpainya ketika sarapan. (iii) Saya tidak menjumpainya cermin mata saya ketika sarapan. (iv) Saya membaca surat khabar di bilik tetamu atau saya membaca surat khabar di dapur. (v) Jika saya membaca surat khabar di bilik tetamu, maka cermin mata saya berada di atas meja kopi.  Dimanakah cermin mata saya? Jelaskan jawapan anda.  [ 7 markah ]    3. Below are two quantified statements P and Q:  P:  For all real numbers x, there exists a real number y such that the equation is true. Q:  There exists a real number x, such that for all real numbers y, the equation is true.  For each of the following equations, determine the truth value of P and Q. Justify your answer.  (a)   2 7x y    (b)   5 1 0x y         [ 8 marks ]    3. Dibawah adalah dua pernyataan kuantiti  P dan Q:  P:   Bagi setiap nombor nyata x, wujudnya suatu nombor nyata y sedemikian hingga persamaan adalah benar. Q:  Wujudnya suatu nombor nyata x sedemikian hingga bagi setiap nombor nyata y, persamaan adalah benar.  Tentukan nilai kebenaran P dan Q untuk setiap persamaan berikut. Jelaskan jawapan anda.  (a)   2 7x y    (b)   5 1 0x y                  [ 8 markah ]  …4/- [MAT 100] - 4 -  4. Each of the following proposed proofs contains a mistake. Evaluate the proofs by pointing out the mistakes.  (a) Result  Let  2: 14A x x    and  1,2,3B  . Then .A B   Proof      Since 21 1 14,   22 4 14   and 23 9 14,   it follows that .A B   (b) Result  For real numbers a and b, ab a b . Proof  Case 1: Suppose a and b are nonnegative. Then a a ,                b b , and 0ab  . Thus ab ab a b  .  Case 2: Suppose a and b are negative. Then                                        a a  , b b  , and 0ab  . Thus          ab ab a b a b     .   Therefore, in all cases ab a b .  (c) Result  The function :f   defined by   2 1f x x   is one-to-      one.  Proof  To show this, assume x z . Then 2 1 2 1x z   . Therefore,  f is one to one.  (d) Result  If x is prime, then 7x  is composite. Proof  Let 2x   an even prime, then 7 9x   which is composite. Let 3x   an odd prime, so 7 10x   is composite. Therefore, if x is prime, then 7x is composite.  [ 8 marks ]    4. Setiap satu daripada bukti-bukti yang dicadangkan berikut terkandung satu kesilapan. Nilaikan setiap bukti ini dengan menjelaskan kesilapan tersebut.                                                  (a) Keputusan Biar  2: 14A x x    dan  1,2,3B  . Maka, .A B   Bukti  Memandangkan 21 1 14,   22 4 14   dan 23 9 14,   didapati bahawa .A B   (b) Keputusan Bagi nombor nyata a dan b, ab a b . Bukti Kes 1: Andaikan a dan b adalah bukan negatif. Maka a a , b b , dan 0ab  . Oleh itu, ab ab a b  .           Kes 2: Andaikan a dan b adalah negatif. Maka a a  , b b  , dan 0ab  . Oleh itu,   ab ab a b a b     .            Dengan itu, secara keseluruhannya ab a b . …5/- [MAT 100] - 5 -   (c) Keputusan Fungsi :f   yang ditakrifkan oleh   2 1f x x                                adalah satu ke satu.  Bukti Untuk membuktikan ini, andaikan x z . Maka 2 1 2 1x z   . Oleh itu,  f adalah satu ke satu.  (d) Keputusan Jika x adalah nombor perdana, maka 7x  adalah nombor                    komposit. Bukti Biar 2x  , suatu nombor perdana genap, maka 7 9x   adalah nombor komposit. Biar 3x   suatu nombor perdana ganjil, maka 7 10x   adalah suatu nombor komposit. Oleh itu, Jika x adalah suatu nombor perdana, maka 7x adalah nombor komposit.  [ 8 markah ]    5. Write the statement of the result for each of the following proofs:                                    (a) Proof Assume that n is even. Then there exist an integer k such that 2 .n k  Then    3 8 3 2 8 6 8 2 3 4n k k k        for some integer 3 4.k   Hence 3 8n  is even.   (b) Proof          Let   1 2 1: 2 2 2 2 2n nP n      . Since 1 1 12 2 2  , we                      have  1P  is true.                            Suppose that  P k  is true for some k . Note that          1 2 1 1 2 11 11 1122 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 22 2k k k kk kk kkk                   Hence, by the Principle of Mathematical Induction, we have proven that  P n  is true for all positive integers.                                                                   (c) Proof           Suppose a divides b and a divides c. Then for some integer q,                     b aq  and .c aq  Then   ,2 2b c aq aq aq a q      so a                     divides .b c   [ 6 marks ]  …6/- [MAT 100] - 6 -  5. Tuliskan pernyataan keputusan bagi setiap bukti yang diberi berikut:                       (a) Bukti  Andaikan n adalah nombor genap. Maka wujudnya suatu           integer k sedemikian hingga 2 .n k  Dengan itu,    3 8 3 2 8 6 8 2 3 4n k k k        bagi suatu integer 3 4.k   Oleh itu, 3 8n  adalah genap.   (b) Bukti            Biar   1 2 1: 2 2 2 2 2n nP n      . Memandangkan                        1 1 12 2 2  , dengan itu  1P  adalah benar.  Andaikan  P k  adalah benar bagi suatu k . Perhatikan bahawa      1 2 1 1 2 11 11 1122 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 22 2 22 2k k k kk kk kkk                   Oleh itu, dengan Prinsip Aruhan Matematik, kita telah menunjukkan bahawa  P n  adalah benar bagi semua integer positif.                                                                   (c) Bukti Andaikan a membahagi b dan a membahagi c. Maka bagi suatu integer q, b aq  dan .c aq  Oleh itu,   ,2 2b c aq aq aq a q      bermaksud a membahagi .b c     [ 6 markah ]    6. Prove that for every odd integer n, 25 3 1n n   is odd.                                                     [ 4 marks ]    6. Buktikan bahawa bagi setiap integer ganjil n, 25 3 1n n   adalah ganjil.                        [ 4 markah ]     …7/- [MAT 100] - 7 -  7. Show that for every real number   greater than zero, there exist a   such that 2 .                  [ 3 marks ]    7. Tunjukkan bahawa bagi setiap nombor yang nyata lebih besar daripada sifar, wujud   sedemikian hingga 2 .     [ 3 markah ]    8. Prove by contrapositive the following result:           Let , ,n x y  with 0.n   If n  does not divide xy , then n does not divide x  .  [ 3 marks ]    8. Buktikan keputusan berikut secara  kontrapositif:  Biar , ,n x y  dengan 0.n   Jika n  tidak membahagikan xy , maka n tidak membahagikan x .  [ 3 markah ]    9. Use mathematical induction to prove that, for all natural numbers n,  1 1 10 1 0 1nn         .  [ 5 marks ]    9. Gunakan aruhan matematik untuk membuktikan bahawa bagi setiap nombor asli n,  1 1 10 1 0 1nn         .                                                  [ 5 markah ]    …8/- [MAT 100] - 8 -  10. Show by contradiction that the polynomial 3 25 2 1x x x    has no positive real root.  [ 3 marks ]    10. Tunjukkan melalui percanggahan bahawa polinomial 3 25 2 1x x x    tidak mempunyai punca nyata yang positif.  [ 3 markah ]    11. Show that for ,x y  , 2x yxy . Include your backward scratch work as part of your answer.                                                                            [ 5 marks ]    11. Tunjukkan bagi ,x y  , 2x yxy . Masukkan kerja-kerja awal ke belakang anda sebagai sebahagian daripada jawapan.   [ 5 markah ]    12. Let x . Show that x x x   . [ 4 marks ]    12. Biar x . Tunjukkan bahawa x x x   . [ 4 markah ]         - ooo 0 ooo - 

MAT 100 - Foundation Mathematics [Asas Matematik] - Januari 2016

http://eprints.usm.my/37527/1/MAT100.4_Faoundation_Mathematics_(Dr._Ang_Miin_Huey).pdf

MAT 100 - Foundation Mathematics [Asas Matematik] - Januari 2016

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository@USM