PPSM, Pusat Pengajian Sains Matematik

Repository@USM

     UNIVERSITI SAINS MALAYSIA  First Semester Examination 2015/2016 Academic Session  December 2015/January2016   MAT 223 – DIFFERENTIAL EQUATIONS I [Persamaan Pembezaan I]   Duration : 3 hours [Masa : 3 jam]      Please check that this examination paper consists of FIVE pages of printed material before you begin the examination.  [Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi LIMA muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.]    Instructions: Answer FIVE (5) questions.  [Arahan: Jawab semua lima (5) soalan.]   In the event of any discrepancies, the English version shall be used.  [Sekiranya terdapat sebarang percanggahan pada soalan peperiksaan, versi Bahasa Inggeris hendaklah digunapakai.]          …2/-  [MAT 223] - 2 -      1.  (a) For each of the following differential equations, decide whether it is linear             or nonlinear. If the equation is linear, determine whether it is homogeneous      or nonhomogeneous.  (i) 𝑦′ =𝑦+𝑥𝑥  (ii) 𝑦′ = 𝑥 sin 𝑦 + 𝑒𝑥  (iii) 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 𝑒𝑥𝑦      (b) State and prove the necessary condition for the exactness of the differential equation  𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0  and then solve   (𝑥 + sin 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 cos 𝑦 − 2𝑦)𝑑𝑦 = 0.   [100 marks]  1. (a) Bagi setiap persamaan pembezaan berikut, putuskan samada persamaan   tersebut adalah linear atau tidak linear. Jika persamaan tersebut adalah   linear, tentukan samada ia adalah persamaan homogen atau tak homogen.  (i) 𝑦′ =𝑦+𝑥𝑥  (ii) 𝑦′ = 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑒𝑥  (iii) 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 𝑒𝑥𝑦       (b) Nyatakan dan buktikan syarat yang perlu untuk menunjukkan bahawa persamaan pembezaan berikut adalah tepat  𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0  dan seterusnya selesaikan  (𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 2𝑦)𝑑𝑦 = 0.   [100 markah]       …3/- [MAT 223] - 3 -      2. (a) Find the general solution of the differential equation and solve the   following initial value problem  𝑑𝑦𝑑𝑥− 𝑥𝑦 = −𝑥;    𝑦(0) = −4.  (b) A father places RM50000 into his son’s savings account that pays 5.5% interest every year compounded continuously. By constructing a differential equation model, find   (i) the amount in the account after five years.   (ii) the time required for the amount to be twice the original value, assuming that there are no withdrawals and no additional deposits.    [100 marks]  2. (a) Dapatkan persamaan am bagi persamaan pembezaan dan selesaikan   masalah nilai awal yang berikut  𝑑𝑦𝑑𝑥− 𝑥𝑦 = −𝑥;    𝑦(0) = −4.  (b) Seorang bapa menyimpan RM50000 ke dalam akaun simpanan anak lelakinya yang membayar faedah sebanyak 5.5% setiap tahun secara berterusan. Dengan membentuk satu model persamaan pembezaan, cari   (i) jumlah wang di dalam akaun tersebut selepas lima tahun.  (ii) masa yang diperlukan untuk wang simpanan tersebut menjadi dua kali ganda daripada nilai asalnya, dengan menganggap tiada pengeluaran dan penambahan nilai.   [100 markah]  3. (a) Solve the following differential equations:  (i) 2𝑦′′ − 6𝑦′ + 8𝑦 = 0  (ii) 100𝑦′′ − 20𝑦′ + 𝑦 = 0  (iii) 𝑦′′ − 0.09𝑦 = 0  (b) Find the general solution to  𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 =2𝑒𝑡𝑡3. [100 marks]  …4/- [MAT 223] - 4 -      3. (a) Selesaikan semua persamaan pembezaan berikut:  (i) 2𝑦′′ − 6𝑦′ + 8𝑦 = 0  (ii) 100𝑦′′ − 20𝑦′ + 𝑦 = 0  (iii) 𝑦′′ − 0.09𝑦 = 0  (b) Cari persamaan am bagi  𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 =2𝑒𝑡𝑡3. [100 markah]  4. (a) Apply Euler’s method to approximate the solution of the following initial     value problem 𝑦′ = 𝑦2 + 1,     𝑦(0) = 0,  by using ℎ = 0.1 on the interval [0,12].  (b) Apply modified Euler’s method to approximate the solution of the problem in (a) by using ℎ = 0.1 on the interval [0,12].  (c) Compare your solutions in (a) and (b). [100 marks]   4. (a) Gunakan kaedah Euler untuk menganggarkan penyelesaian bagi masalah   nilai awal berikut  𝑦′ = 𝑦2 + 1,     𝑦(0) = 0,  dengan menggunakan ℎ = 0.1 ke atas selang [0,12].  (b) Gunakan kaedah Euler diperbaiki untuk menganggarkan penyelesaian bagi masalah di dalam soalan (a) dengan menggunakan ℎ = 0.1 ke atas selang [0,12].  (c) Bandingkan penyelesaian anda bagi soalan (a) dan (b).  [100 markah]       …5/- [MAT 223] - 5 -      5. (a) Determine whether 𝑥 = 0 is an ordinary point of the differential equation  𝑦′′ − 𝑥𝑦′ = −2𝑦.  (b) Find a recurrence formula for the power series solution around 𝑥 = 0 for the differential equation given in (a).  (c) Find the general solution near 𝑥 = 0 of the differential equation in (a).  [100 marks]  5. (a) Tentukan samada 𝑥 = 0 adalah titik biasa bagi persamaan pembezaan  𝑦′′ − 𝑥𝑦′ = −2𝑦.  (b) Cari rumus jadian semula bagi penyelesaian siri kuasa di sekitar 𝑥 = 0 bagi persamaan pembezaan di (a).  (c) Cari penyelesaian am berhampiran x=0 bagi persamaan pembezaan di (a).  [100 markah]  - ooo O ooo - 

MAT 223 - Differential Equations I [Persamaan Pembezaan I] - Januari 2016]

http://eprints.usm.my/37533/1/MAT223%2DAA.pdf

MAT 223 - Differential Equations I [Persamaan Pembezaan I] - Januari 2016]

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository@USM