National audienceLe contrôle externe de qualité permet aux laboratoires chargés de l'analyse de l'environnement de vérifier, d'améliorer, et de maintenir en permanence un niveau optimal de leurs analyses. La méthode principalement utilisée pour la mise en oeuvre du contrôle externe de qualité est la comparaison interlaboratoires. En microbiologie, les mesures portent sur des dénombrements bactériens. Le caratère discret des données nécessite une méthode d'analyse de la variance spécifique. Nous proposons ici une méthode d'analyse de variance à deux facteurs fixes imbriqués sur données poissoniennes

Guarini, Philippe

Jacques, Julien

Loingeville, Florence

Molinier, Olivier

Preda, Cristian

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HAL Id: hal-00986457https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00986457Submitted on 5 May 2014HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.Analyse de variance à 2 facteurs imbriqués sur donnéesde comptage - Application au contrôle de qualitéFlorence Loingeville, Julien Jacques, Cristian Preda, Philippe Guarini, OlivierMolinierTo cite this version:Florence Loingeville, Julien Jacques, Cristian Preda, Philippe Guarini, Olivier Molinier. Analyse devariance à 2 facteurs imbriqués sur données de comptage - Application au contrôle de qualité. 46eJournées de Statistique, Jun 2014, Rennes, France. 6 p. ￿hal-00986457￿Analyse de variance à 2 facteurs imbriqués surdonnées de comptage - Application au contrôle dequalitéFlorence Loingeville 1,2,3 , Julien Jacques 1,2 , Cristian Preda 1,2 , Philippe Guarini 3 &Olivier Molinier 31 Inria Lille - Nord Europe - florence.loingeville@inria.fr2 Laboratoire Paul Painlevé / Université de Lille 1 - julien.jacques@inria.fr,cristian.preda@inria.fr3 AGLAE Hallennes-lez-Haubourdin - philippe.guarini@association-aglae.fr,olivier.molinier@association-aglae.frRésumé. Le contrôle externe de qualité permet aux laboratoires chargés de l’analysede l’environnement de vérifier, d’améliorer, et de maintenir en permanence un niveauoptimal de leurs analyses. La méthode principalement utilisée pour la mise en œuvredu contrôle externe de qualité est la comparaison interlaboratoires. En microbiologie,les mesures portent sur des dénombrements bactériens. Le caractère discret des donnéesnécessite une méthode d’analyse de la variance spécifique. Nous proposons ici une méthoded’analyse de variance à deux facteurs fixes imbriqués sur données poissoniennes.Mots-clés. Analyse de variance, données discrètes, analyse de dévianceAbstract. External quality control enables laboratories which analyse the environ-ment always to check, improve and maintain an optimal level of their analysis. Proficiencytest is the mostly used method to carry out quality control. In microbiology, measures arebacterial counts. The discrete nature of the data requires a specific analysis of variancemethod. In this context, we propose a two-fixed-nested-factor analysis of variance methodfor Poisson data.Keywords. Analysis of variance, discrete data, analysis of deviance1 IntroductionLe domaine de l’analyse microbiologique de l’eau et de l’environnement est un secteurdans lequel les besoins en termes de mâıtrise du résultat d’analyse sont croissants. Lacomparaison interlaboratoires, exercice qui consiste à soumettre un même essai à plusieursétablissements, est l’outil utilisé pour la mise en œuvre du contrôle externe de qualité.L’organisation des essais interlaboratoires peut être résumée par le plan d’expériencesuivant : un matériau à analyser est envoyé à chaque laboratoire participant à l’essai, sousla forme de deux échantillons A et B. Chaque échantillon est séparé en deux réplications1(A1, A2 et B1, B2) par le laboratoire, qui réalise ensuite dans des conditions de répétabilitéles mesures demandées sur les quatre réplications dont il dispose. En microbiologie, lamesure sera un dénombrement de particules (germes). À partir des mesures reçues de lapart de l’ensemble des laboratoires, trois critères de qualité sont évalués:• La capacité d’un laboratoire à répéter ses analyses (écarts entre A1 et A2, B1 etB2).• L’hétérogénéité des préparations envoyées aux laboratoires (écarts entre A et B).• La justesse des mesures des laboratoires : on détermine si les mesures de chaquelaboratoire sont ou non cohérentes avec celles de l’ensemble des laboratoires.L’outil statistique de base pour évaluer ces trois critères de contrôle qualité est l’analysede variance, qui consiste à décomposer la variance totale des résultats de mesures en unevariance inter-laboratoires et une variance intra-laboratoire, laquelle pouvant elle mêmeêtre décomposée en une variance inter-échantillons (écart entre A et B) et intra-échantillon(écart entre A1 et A2 puis entre B1 et B2). L’objectif est alors d’évaluer la significativitédes différences entre les mesures sur la base de cette décomposition.La méthodologie actuellement utilisée en microbiologie suppose que, dans la plupartdes cas, les dénombrements suivent une distribution log-normale (Norme ISO/TS 22117,2010): les données sont transformées en valeurs logarithme décimal et une analyse devariance classique pour données gaussiennes est appliquée. Il est connu qu’appliquerune transformation aux données n’est pas toujours pertinent (R.B. O’Hara, D.J Kotze,2010). Nous proposons une méthode alternative d’analyse de la variance à deux facteursimbriqués, sous l’hypothèse que les données sont distribuées suivant une loi de Poisson.En section 2, nous modélisons le problème. Les différentes configurations possibles etles tests associés sont ensuite exposés (section 3). Nous décrivons en section 4 l’un destests, puis nous comparons sa puissance à celle du test utilisé en microbiologie (section5). Les perspectives de ce travail sont présentées dans la section 6.2 Modélisation du problèmeLe plan d’expérience des essais interlaboratoires peut être décrit par un modèle d’analysede la variance à deux facteurs imbriqués. Le facteur “Laboratoire” a a niveaux, et lefacteur “Flacon” a b niveaux imbriqués dans chaque niveau du facteur “Laboratoire”.Nous considérons n réplications par flacon.Notons yijk le résultat de la mesure réalisée sur la kième réplication du flacon j par lelaboratoire i. Les résultats de mesure peuvent être décrits par le modèle linéaire suivant:yijk = µ+ τi + βj(i) + ǫ(ij)ki = 1, ..., aj = 1, ..., bk = 1, ..., n(1)2où µ est la moyenne globale, τi l’effet du laboratoire i, βj(i) l’effet du flacon j imbriqué dansle laboratoire i, et ǫ(ij)k l’erreur de mesure entre les réplications d’un flacon pour un lab-oratoire. Nous considérons un plan équilibré comportant le même nombre de niveaux de“Flacon” (b = 2) sous chaque niveau de “Laboratoire”, et un même nombre de réplications(n = 2). Nous considérons dans la suite de ce document que les deux facteurs sont fixes.3 Tests des effets fixes Laboratoire et FlaconPour un modèle à facteurs fixes, les tests d’hypothèses s’écrivent de la façon suivante :• Effet Laboratoire: H0 : ∀ i/ 1 ≤ i ≤ a , τi = 0 contre H1: ∃ i / τi 6= 0• Effet Flacon: H0 : ∀(i, j) /1 ≤ i ≤ a, 1 ≤ j ≤ b, βj(i) = 0 contre H1: ∃(i, j) /βj(i) 6= 0Lorsque l’on travaille sur données gaussiennes, on considère les erreurs ǫ(ij)k identiquementdistribuées suivant une loi normale N(0, σ2). Cette hypothèse permet de réaliser lestests des effets Laboratoire et Flacon indépendemment l’un de l’autre, en effectuant uneanalyse de variance à deux facteurs imbriqués (D.C. Montgomery, 2005). Nous cherchonsici à définir des méthodes de test applicables sur données de comptage. L’hypothèse dedistribution normale des erreurs n’est alors pas vérifiée. Nous considérerons dans la suitede ce document que la variable yijk suit une loi de Poisson P (λ).Notons L et F les propositions “Il y a un effet Laboratoire”, et “Il y a un effet Flacon”.Pour chaque configuration, L̄ F̄ , L F̄ , L̄ F , et LF , le paramètre λ s’exprime en fonctionde i (λi), de j (λj), de i et de j (λij), ou indépendemment de i et de j (λ).Test H0/H1 Loi de yijk sous H0 Loi de yijk sous H10Test d’existence d’uneffet quelconqueL̄ F̄ /L||F ||LFyijk ∼ P (λ) yijk ∼ P (λij)1Test modèle à effet “Labo”contre modèle sans effetL̄F̄/LF̄ yijk ∼ P (λ) yijk ∼ P (λi)2Test modèle à effet “Flacon”contre modèle sans effetL̄F̄/L̄F yijk ∼ P (λ) yijk ∼12P (λ1) +12P (λ2)3Test modèle à deux effetscontre modèle effet “Labo”LF̄/LF yijk ∼ P (λi) yijk ∼ P (λij)4Test modèle à deux effetscontre modèle effet“Flacon”L̄F /LF yijk ∼12P (λ1) +12P (λ2) yijk ∼ P (λij)Table 1: Tests des effets Laboratoire et Flacon3Il est donc nécessaire de distinguer les cinq tests de la Table 1.Pour effectuer ces tests, il nous faut estimer les paramètres λ, λi, λij, λ1, et λ2 .Le paramètre λ correspond au cas L̄ F̄ (H0 des tests 0, 1 et 2). Nous considérons alorsles mesures yijk effectuées par l’ensemble des laboratoires indépendantes et identiquementdistribuées suivant une loi de Poisson P (λ). Nous estimons λ par:λ̂ = ȳ... =∑ai=1∑2j=1∑2k=1 yijk4a(2)Les estimateurs λ̂i de λi (configuration L F̄ , hypothèses H1 du test 1 et H0 du test 3) etλ̂ij de λij (configuration LF , hypothèses H1 des tests 0 et 3, H1 du test 4) sont:λ̂i = ȳi.. =∑2j=1∑2k=1 yijk4(3) λ̂ij = ȳij. =∑2k=1 yijk2(4)Dans le cas L̄ F (H1 du test 2 et H0 du test 4), les flacons 1 et 2 n’étant pas identifiés,la variable yijk suit une loi mélange de deux lois de poisson de paramètres λ1 et λ2,dont nous connaissons les proportions. En effet, 50% des variables yijk suivent une loi dePoisson P (λ1) et les 50 % restants une loi de Poisson P (λ2). Les paramètres λ1 et λ2 sontalors estimés par un algorithme EM (A.P. Dempster, N.M. Laird, D.B. Rubin, 1977).Pour effectuer l’un des tests de la Table 1, nous formons son rapport de vraisem-blance, Λ = LH0LH1, où LH0 et LH1 correspondent aux vraisemblances du modèle (1) sousles hypothèses H0 et H1. Nous calculons ainsi la déviance associée à un test, D=-2 log(Λ).En fonction du problème, nous pourrons utiliser un ou plusieurs des tests de la Table1. Dans le cadre de la problématique introduite en section 1, le test 0 permet d’identifierun éventuel effet. Si l’on détecte un effet (rejet de H0), le test 3 permet alors d’identifiersi cet effet est uniquement dû au laboratoire. Lorsque l’on rejette l’hypothèse H0 du test3, nous ne pouvons cependant pas identifier si nous sommes en présence d’un effet Flaconseul (modèle L̄F ) ou d’un effet Flacon et d’un effet Laboratoire (modèle LF ). Il nousfaudra travailler sur un modèle à facteurs aléatoires pour le déterminer.Les tests 2 et 4 peuvent quant à eux être utilisés lorsque les laboratoires qui participent àl’essai reçoivent deux flacons présentant des niveaux de concentration différents, ou issusde deux cuves différentes.4 Test d’existence d’un effetNous allons expliciter ici le test 0 de la Table 1. Les hypothèses de ce test sont:H0 : L̄F̄ : yijk ∼ P (λ) H1 : LF̄ ||L̄F ||LF : yijk ∼ P (λij)Le rapport de vraisemblance nous permet de comparer le modèle LF (H1), et le modèleL̄F̄ (H0). Les estimateurs de λ sont λ̂ (expression (2)) sous H0, et λ̂ij (expression (4))4sous H1. Nous pouvons alors former le rapport de vraisemblance du test 0, puis obtenirl’expression de sa déviance D0:D0 = −4a∑i=12∑j=1ȳij. log(ȳ...ȳij.)(5)Dans le cadre de notre étude, il peut arriver que les mesures rapportées par un laboratoiresur l’un des flacons pour un essai soient nulles (typiquement lorsque λ est faible). Dansce cas, ȳij. = 0, et la déviance D0 du jeu de données est indéfinie. En observant quelimȳij.→0(ȳij. log(ȳ...ȳij.))= 0, l’expression (5) devient:D0 = −2 log(Λ0) = −4a∑i=12∑j=1∀ j / ȳij. 6=0ȳij. log (ȳ...ȳij.) (6)D’après un théorème asymptotique (Lehmann, 1986), sous H0, la distribution de ladéviance tend vers une loi du χ2 à 2a−1 degrés de liberté lorsque le nombre de réplicationsn tend vers l’infini. Etant donné le petit nombre de réplications considérées ici (n = 2),le théorème de Lehmann ne peut être appliqué. Cependant, pour de grandes valeurs deλ (typiquement λ > 10), la loi de Poisson peut être approchée par une loi normale. Or,puisque dans le cas de données gaussiennes la déviance suit une loi du χ2 quelque que soitn (J.J Droesbeke, M. Lejeune, G. Saporta, 2005), la loi de notre déviance D0 pourra êtreapprochée par une loi du χ2 à 2a− 1 degrés de liberté. Pour des valeurs de λ plus faibles,nous proposons d’approcher la loi de la déviance (sous H0) par simulation.5 Puissance des testsPour évaluer les tests proposés, nous comparons leurs puissances à celle de la méthodeutilisée en microbiologie. Nous présentons ici les courbes de puissance du test 0 pourλ = 1 et λ = 15. Pour nous placer sous H1, nous introduisons un effet Laboratoire. Pourcela, nous simulons les résultats des mesures de 14 laboratoires suivant P(λ), et celles d’unlaboratoire suivant P(λ + δ). Nous effectuons 1000 tests sur 1000 jeux de données ainsisimulés, pour différentes valeurs de δ. Pour λ = 1, nous comparons la puissance du testbasé sur des simulations de la loi de la déviance sous H0 (courbe bleue, 104 simulationspar p-valeur), avec celle du test d’ANOVA (courbe rouge). Pour λ = 15, nous étudionsles puissances des trois tests suivants : le test où la loi de la déviance est assimilée à unedistribution du χ2 à 2a−1 degrés de liberté (courbe verte), le test où la loi de la dévianceest approchée par simulation (courbe bleue), et le test d’ANOVA (courbe rouge). Surla Figure 1, nous constatons que, pour les deux valeurs de λ considérées, la méthode detest proposée ici est beaucoup plus puissante que la méthode utilisée en microbiologie(ANOVA sur données ayant subi une transformation log-normale). Pour λ = 15, le testbasé sur la loi du χ2 donne des résultats très proches de ceux obtenus avec le test parsimulation. Cela s’explique par le fait que, à λ = 15, la loi de Poisson peut être approchéepar une loi normale. On note qu’ici la méthode d’ANOVA détecte mal les effets.5Figure 1: Comparaison des puissances des trois méthodes6 ConclusionNous proposons ici une méthode d’analyse de variance à deux facteurs fixes imbriquéssur données de poisson. Les tests de puissance montrent que cette méthode est pluspertinente que celle qui est utilisée en microbiologie. En pratique, il s’avère parfois quela dispersion des résultats de dénombrements de germes soit supérieure à celle attendued’après le modèle de poisson (BCR Information, 1993). Il pourrait alors être nécessairede définir des méthodes de test similaires à partir d’une loi de probabilité adaptée à lasurdispersion, telle que la loi binomiale négative.Bibliographie[1] BCR Information (1993), Statistical Analysis of Certification Trials for MicrobiologicalReference Materials, Report EUR 15008 EN.[2] P. McCullagh, J.A. Nelder (1989), Generalized Linear Models, pp. 21-43.[3] C.E. McCulloch, S.R. Searle (2001), Generalized, Linear, and Mixed Models (WileySeries in Probability and Statistics), pp. 28-68.[4] A.P. Dempster, N.M. Laird, D B. Rubin (1977), Maximum likelihood from incompletedata via the EM algorithm, Journal of the Royal Statistical Society, Vol. 39, n.1, pp. 1-38.[5] J.J. Droesbeke, M. Lejeune, G. Saporta (2005), Modèles statistiques pour donnéesqualitatives, pp. 83-90.[6] R.B. O’Hara, D.J Kotze (2010), Do not log-transform count data, British EcologicalSociety, Methods in Ecology and Evolution, vol. 1, pp. 118-122.[7] ISO/TS 22117 (2010), Microbiologie des aliments - Exigences spécifiques et lignesdirectrices pour les essais d’aptitude par comparaison interlaboratoires.[8] E.L. Lehmann, J.P. Romano (2005), Testing Statistical Hypotheses, pp. 504-517.[9] D.C. Montgomery (2005), Design and Analysis of Experiments, pp. 60-118, pp. 525-536.6

Analyse de variance à 2 facteurs imbriqués sur données de comptage - Application au contrôle de qualité

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