International audienceWe prove the existence of a hierarchy of elastic modes guided by the surface of a cylindrical cavity. Two of  these modes propagate whatever the wave number. All of the others exists only beyond a certain threshold.Nous montrons l'existence d'une suite de modes élastiques guidés par la surface d'une cavité cylindrique. Deux de ces modes se propagent pour toute valeur du nombre d'onde, les autres n'existent qu'au-delà d'un certain seuil

Bamberger, Alain

Joly, Patrick

Kern, Michel

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HAL Id: hal-01315578https://hal.inria.fr/hal-01315578Submitted on 13 May 2018HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.Propagation d’ondes élastiques guidées par la surfaced’une cavité cylindrique de section arbitraireAlain Bamberger, Patrick Joly, Michel KernTo cite this version:Alain Bamberger, Patrick Joly, Michel Kern. Propagation d’ondes élastiques guidées par la surfaced’une cavité cylindrique de section arbitraire. Comptes rendus de l’Académie des sciences. Série I,Mathématique, Elsevier, 1987, 304 (3), pp.4. ￿hal-01315578￿Source gallica.bnf.fr / Archives de l'Académie des sciencesComptes rendus del'Académie des sciences.Série 1, MathématiqueAcadémie des sciences (France). Auteur du texte. Comptesrendus de l'Académie des sciences. Série 1, Mathématique.21/01/1987.1/ Les contenus accessibles sur le site Gallica sont pour la plupartdes reproductions numériques d'oeuvres tombées dans ledomaine public provenant des collections de la BnF. Leurréutilisation s'inscrit dans le cadre de la loi n°78-753 du 17 juillet1978 : - La réutilisation non commerciale de ces contenus est libre etgratuite dans le respect de la législation en vigueur et notammentdu maintien de la mention de source. - La réutilisation commerciale de ces contenus est payante et faitl'objet d'une licence. 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Paris, t. 304, Série I, n° 3, 1987 59ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Propagation d'ondes élastiques guidées par lasurface d'une cavité cylindrique de section arbitraire. Note de Alain Bamberger, PatrickJoly et Michel Kern, présentée par Jacques-Louis Lions.Nous montrons l'existence d'une suite de modes élastiques guidés par la surface d'une cavité cylindrique.Deux de ces modes se propagent pour toute valeur du nombre d'onde, les autres n'existent qu'au-delà d'uncertain seuil.MATHEMATICALANALYSIS. — Propagation of elastic surface waves along a cylindrical cavity ofarbitrary cross section.We prove the existence of a hierarchy of elastic modes guided by the surface of a cylindrical cavity. Two ofthèse modespropagate whatever the wave number. AU ofthe others exists only beyond a certain threshold.Nous étudions la propagation d'ondes élastiques, guidées par la surface d'une cavitécylindrique dans un milieu infini. Ces ondes jouent le rôle, pour un problème extérieur,,des ondes de Rayleigh pour un demi-espace{cf. Achenbach [1]). Elles se propagent dansla direction des génératrices du cylindre, et leur énergie est localisée au voisinage de lacavité.Contrairement au cas des guides d'ondes optiques, où la propagation ne peut avoirlieu que s'il existe un contraste de vitesses, nous montrerons que ces ondes de surfaceexistent dans un milieu homogène. Comme pour l'onde de Rayleigh, la propagation estrendue possible par la conditionde surface libre.POSITION DU PROBLÈME. — Nous considérons un ouvert connexe fi <= R2, dont lecomplément fi0 est un domaine borné (fi0 est la section droite de la cavité). Nouscherchons des champs de déplacement de la forme :c'est-à-dire des champs harmoniques de pulsation co, se propageant dans la direction x3avec un nombre d'onde (3, à la vitesse c = oo/p.A un tel champ, nous associons le tenseur des déformations EP, et le tenseur descontraintes ap. Dans notre cas, ËP est défini par :et CTP est relié à ep par la loi de Hooke (loi de l'élasticité linéaire isotrope) :a&(u) = A.(treP(tt))8y + 2n6&(ii)> ij=l,2,3.Le milieu étant homogène, les coefficients de Lamé {X, u) ainsi que la densité p sontconstants.0249-6291/87/03040059 S 2.00 © Académie des Sciences60 C. R. Acad. Se. Paris, t. 304, Série I, n° 3, 1987Nous cherchons u solution des équations de l'élastodynamique linéaire, et vérifiant lacondition de surface libre sur le bord de fi :Nous dirons que u est un mode guidé si u est une solution non nulle de (3), de carrésommable dans Q. Il s'agit donc d'un problème de valeurs propres pour l'opérateurauto-adjoint positif A(p) qui n'a de solutions que si ra et p vérifient une certaine loiappelée « relation de dispersion».Notons que, puisque fi est un domaine non-borné, l'existence de valeurs propres n'estpas garantie a priori.Nous définissons, en posant V = H1 (fi) 3 :La formulationvariationnelle de (3) est alors :LE CAS DU GUIDE CIRCULAIRE. — Dans le cas où la section droite fi est un cercle, desrésultats précis ont été obtenus par Bostrôm et Burden [3]. Ils mettent en évidencel'existence d'une suite dénombrable de modes. Le premier de ceux-ci est double, et sepropage pour toute valeur de p. Tous les autres n'existent qu'au-delà d'un seuil decoupure P*.Les vitesses de phase, ainsi que les seuils, sont caractérisés comme solutions d'uneéquation transcendante. On peut montrer que les seuils tendent vers l'infini, proportion-nellement à m, et que les vitesses de propagation cm(P) tendent lorsque p tend versl'infini, vers cR, vitesse de l'onde de Rayleigh dans un demi-espace.Le but de cette Note est la généralisation de ces résultats au cas d'une section droitede forme quelconque. L'outil est l'analyse spectrale des opérateurs auto-adjoints.ANALYSESPECTRALEDE A (P). — Nous caractériserons les valeurs propres de A(P) parle principe de Min-Max(Reed-Simon [4]). Nous définissons, pour vu . .,,vn_leV"~1.[L'orthogonalité est définie par rapport au produit scalaire (.,.)]. La suite sm(P) estcroissante :C. R. Acad. Se. Paris, t. 304, Série I, n° 3, 1987 61Et, si sm(p)<a*, alors:sm(P) est la m-ième valeur propre de A(P), comptée avec sa multiplicité.Un point important de l'étude est la détermination du spectre essentiel de A(p). Ils'appuie sur une écriture particulière de la forme bilinéaire a(P) :LEMME 1. — On peut écrire, pour veV :où a (P) est la formepositive définiepar :L'intérêt de ce lemme est de faire apparaître a(P) —up2 comme somme de a(p), quiest positive, et d'une perturbation compacte dans H1 (fi).THÉORÈME 1. — (1) // existe une constantepositive Yoe]0, 1[ te^e 1ue:(3) A(p) n'a pas de valeurs propres plongées dans le spectre essentiel.Le théorème 1, joint au principe du Min-Max nous permet d'établir les principauxrésultats de cette étude :THÉORÈME 2. — (1) VPeR, s1(P) = oe2(p) et s2{P) = (ùl{$) sont valeurs propres deA(P).(2) Pour tout m>2, il existe P* {appelé m-ième seuil), tel que: Vp>P*, A(P) admet mvaleurs proprescomptées avec leurs multiplicités.THÉORÈME 3. — Pour chaque fi fixé, l'opérateur A(P) n'a qu'un nombre fini de valeurspropres. De façon équivalente:lim P*= +co.m -> GOEn ce qui concerne le comportement à haute fréquence des modes guidés, nous avonsle résultat suivant :THÉORÈME 4 :où cR désigne la vitesse de l'onde de Rayleigh dans un demi-espace.62 C. R. Acad. Se. Paris, t. 304, Série I, n° 3, 1987La démonstration des théorèmes 2 et 4 repose sur le choix de champs tests judicieux.Celle du théorème 3 utilise un résultatde comparaison. Ces démonstrationssont détailléesdans Bamberger, Joly, Kern [2].Nous essayons actuellement de préciser le comportement asymptotique. Notre conjec-ture est que, dans le cas d'un ouvert régulier, les vitesses admettent pour limite la vitessede Rayleigh cR, alors que dans le cas d'un coin, cette limite est strictement plus petite.Nous nous appuyons pour cela sur des calculs effectués par Wilson [5].Des prolongements possibles de cette étude consistent à étudier des guides topographi-ques, utilisés dans la fabrication des lignes à retard. Nous voulons également étudier desphénomènes piezo-électriques,où entre en jeu l'anisotropiedu milieu.Reçue le 8 décembre 1986.RÉFÉRENCESBIBLIOGRAPHIQUES[1] J. D. ACHENBACH,Wave Propagation in Elastic Solids, North Holland, 1975.[2] A. BAMBERGER, P. JOLY et M. KERN. Analyse mathématique de la propagationd'ondes guidées par lasurface d'une cavité cylindriquede section arbitraire, Rapport I.N.R.I.A. (à paraître).[3] A. BOSTRÔM et A. D. BURDEN, Propagation of elastic surface waves along a cylindrical cavity and theirexcitation by a point source, J. Acoust. Suc. Amer., 72, 1982, p. 998-1004.[4] M. REED et B. SIMON, Methods of Modem Mathematical Physics, IV, Académie Press, 1978.[5] L. WILSON et O. MORRISSON, Propagation of elastic surface waves along cylinders of gênerai crosssection, J. Math. Phys., 16, n° 9, 1975, p. 1795-1805.I.N.R.I.A., 78153 Le Chesnay Cedex.

Propagation d'ondes élastiques guidées par la surface d'une cavité cylindrique de section arbitraire

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Propagation d'ondes élastiques guidées par la surface d'une cavité cylindrique de section arbitraire

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