Barbosa, Fernando de Holanda

Portuguese

Research Papers in Economics

Ensaios Econ￿micos
Escola de
P￿s-Gradua￿ªo
em Economia
da Funda￿ªo
Getulio Vargas
N 206 ISSN 0104-8910
Hiperin￿a￿ªo e A Forma Funcional da
Equa￿ªo de Demanda de Moeda
Fernando de Holanda Barbosa
Janeiro de 1993
URL: http://hdl.handle.net/10438/834Os artigos publicados sªo de inteira responsabilidade de seus autores. As
opiniıes neles emitidas nªo exprimem, necessariamente, o ponto de vista da
Funda￿ªo Getulio Vargas.
ESCOLA DE P￿S-GRADUA˙ˆO EM ECONOMIA
Diretor Geral: Renato Fragelli Cardoso
Diretor de Ensino: Luis Henrique Bertolino Braido
Diretor de Pesquisa: Joªo Victor Issler
Diretor de Publica￿ıes Cient￿￿cas: Ricardo de Oliveira Cavalcanti
de Holanda Barbosa, Fernando
Hiperinfla￿ªo e A Forma Funcional da Equa￿ªo de Demanda
de Moeda/ Fernando de Holanda Barbosa ￿ Rio de Janeiro :
FGV,EPGE, 2010
(Ensaios Econ￿micos; 206)
Inclui bibliografia.
CDD-330VI.  HIPERINFLAÇÃO E A FORMA FUNCIONAL DA EQUAÇÃO DE
DEMANDA DE MOEDA
1. Introdução
Um modelo bastante conhecido na literatura que procura explicar processos
hiperinflacionários contém três ingredientes; i) uma equação de demanda de moeda em
que o encaixe real (m=M/P) depende da taxa de inflação esperada (π e); ii) o déficit
público é financiado através da emissão de moeda; e iii) um mecanismo de formação de
expectativas que relaciona a inflação esperada com a inflação observada. Isto é:
mL L
Pf
dM
dt
e
ee
=<
=
=− >









() , ( )
()
 () , ( )
, π
πθ π π θ
01
2
03
Na segunda equação P é o nível de preços  e f representa o déficit público real, que é
suposto constante. A equação (3) é o mecanismo de expectativa adaptativa. Quando
θ →∞ , tem-se expectativas racionais no sentido de previsão perfeita, pois neste caso
π π
e = .
Quando a equação de demanda de moeda tem a especificação adotada por Cagan,
ln ln , m
e =− > β α π α 0
e o déficit público f  é menor do que o valor máximo do imposto inflacionário que é
possível arrecadar de modo permanente, existem dois pontos de equilíbrio no modelo, um
de inflação alta e outro de inflação baixa.  Se as expectativas são racionais (π π
e = ), o
ponto de inflação alta é estável e o de inflação baixa é instável.  Conclui-se, então, que o
modelo é incapaz de gerar hiperinflação. No caso de expectativas adaptativas ocorre
justamente o contrário: o ponto de inflação baixa é estável e o ponto de inflação alta é
instável.  Existe, portanto, a possibilidade de ocorrência de hiperinflação.1
                                                
1Estas propriedades são bem conhecidas na literatura [veja-se, por exemplo, Barbosa (1991) e Bruno-Fischer
(1989)]. Todavia, a leitura de alguns autores pode induzir o leitor a pensar que esta proposição independe da
forma funcional da demanda de moeda. Por exemplo, Bruno e Fischer (1990, p. 353), no abstract do artigo
afirmam:"There may be both a high and a low inflation equilibrium when the government finances the
deficit through seigniorage. Under rational expectations the high inflation is stable, and the low inflation
equilibrium unstable; under adaptive expectations or lagged adjustment of money balances with rational
expectations, the low inflation equilibrium may be stable."82
Este trabalho tem como objetivo demonstrar que esta proposição depende da forma
funcional da equação de demanda de moeda, o que  será feito analisando-se o modelo para
as seguintes especificações da equação de demanda de moeda:2
ln ln m
e =− β α π (4)
m
e =− β α π (5)
ln ln ln m
e =− β α π (6)
m e =+ β
α
π
(7)
lnm e =+ β
α
π
(8)
Estas formas funcionais são casos particulares da transformação de Box-Cox:
m
e λ λ
λ
δφ
π
λ
12 11
12
−
=+
− ()
Tabela 1
λ 1 λ 2 Forma Funcional
0 1 Cagan - Eq. (4)
1 1 Linear - Eq. (5)
0 0 Logarítmica - Eq.(6)
1- 1 E q .  ( 7 )
0- 1 E q .  ( 8 )
A Tabela 1 mostra as combinações dos valores de λ λ 12 e  que geram cada uma das
formas funcionais.
A organização deste trabalho é a seguinte: a Seção 2 analisa o modelo quando as
expectativas são racionais e a Seção 3 trata do caso de expectativas adaptativas.  A Seção
4 contém um sumário das conclusões.
2. Expectativas Racionais
                                                
2As equações (7) e (8) poderiam ser generalizadas da seguinte forma:
m
a
e ae m e a =+
+
=+
+
β
γπ
β
α
γπ
() l n () 78
Quando =0, tem-se as equações (7) e (8) como casos particulares. Todavia, estas especificações não
pertencem à família da transformação de Box-Cox83
A equação (2) de financiamento do déficit público pode ser escrita como:
f
dM
dt P
mm == +
1
 π (9)
onde   m= dm/dt.  Nos pontos de equilíbrio   m=0, e o imposto inflacionário (mπ ) financia
integralmente o déficit público. Em situações em que não existe equilíbrio estacionário, a
seignorage que se obtém com a emissão de moeda não coincide com o imposto
inflacionário, pois   m ≠ 0
Suponha-se que as expectativas são racionais no sentido de previsão perfeita
() π π
e =  e que a economia esteja inicialmente num ponto de equilíbrio. Este ponto é
estável ou instável? A estabilidade depende da elasticidade (η ) da quantidade demandada
de moeda com relação à taxa de inflação.  Com efeito, suponha-se que um choque
qualquer tire a economia do ponto de equilíbrio e faça com que a taxa de inflação
aumente. De acordo com a equação de demanda de moeda, m=L(π ), a quantidade
demandada de moeda diminui.  A reação de m  depende da elasticidade de demanda com
relação à taxa de inflação.  Se a elasticidade for em valor absoluto menor do que 1, o
imposto inflacionário (mπ ) aumenta, e para financiar o déficit f, a taxa de variação do
encaixe real tem que ser negativa (  ) m< 0 . Logo, a taxa de inflação tem que aumentar
ainda mais.  Nestas circunstâncias, portanto, a economia não voltará à sua posição de
equilíbrio inicial, e o equilíbrio será instável.
Admita-se, agora, que a elasticidade da quantidade demandada de moeda com
relação à taxa de inflação, em valor absoluto, seja maior do que 1.  Quando a taxa de
inflação aumenta, o imposto inflacionário diminui, e a taxa de variação do encaixe real
tem que ser positiva (  ) m> 0 , para que seja possível financiar o déficit f.  Logo, a taxa de
inflação tem que diminuir, e a economia terá uma trajetória em direção ao antigo
equilíbrio, que é estável.
As Figuras 1, 2, 3a, 3b, 4 e 5, mostram os diagramas de fases do modelo, para cada
uma das equações de demanda de moeda.
A Figura 1 corresponde à equação de demanda de moeda (4), especificada por
Cagan.  Supondo-se que existam dois  pontos de equilíbrio, o ponto de inflação alta é
estável e o de inflação baixa é instável.  É fácil verificar-se que  η A > 1 e que  η B < 1. Na
Figura 2 a equação de demanda de moeda do modelo é a equação linear (5). Novamente,
quando existem dois equilíbrios, o ponto de inflação alta é estável e o de inflação baixa é
instável  η A > 1 e  η B < 1.84
Figura 1
Figura  285
Figura 3a
α >1
Figura 3b
As Figuras (3a) e (3b) apresentam o diagrama de fases do modelo quando a
equação de demanda de moeda é logarítmica em ambas as variáveis (equação (6)). Se86
α η =< 1, existe um único equilíbrio, e ele é instável.  Quando α η => 1, o equilíbrio é
estável.3
Figura 4
Na  equação de demanda de moeda (7), o valor absoluto da elasticidade da
quantidade demandada de moeda com relação à taxa de inflação é sempre menor do que 1,
e ela diminui quando a taxa de inflação aumenta.  A Figura 4 mostra o diagrama de fases
do modelo neste caso, em que o equilíbrio é instável.
A Figura 5 é o diagrama de fases do modelo para a equação de demanda (8). Nesta
especificação o valor absoluto da elasticidade é grande para pequenas inflações e pequeno
para grandes inflações, com uma curva de Laffer para o imposto inflacionário que ao invés
de um máximo tem um mínimo.  Quando existem dois pontos de equilíbrio, o ponto de
inflação alta é instável e o ponto de inflação baixa é estável, pois  η η AB e <> 11 .
                                                
3 Quando =1, m e π β = . Se f= a solução é indeterminada.  Por outro lado, se f não existe solução.87
Figura 5
3. Expectativas Adaptativas
Nesta seção analisaremos o modelo formado pelas equações (1), (2) e (3) para cada
uma das especificações da demanda de moeda da Tabela 1. Começaremos supondo que
L
e () π  é dada pela especificação de Cagan. O modelo pode ser sintetizado no seguinte par
de equações:
π
αθ
θ
β
=
−
+
1
1
(l n )
f
m
m
m
 m f m =− π
As figuras 6a e 6b contém o diagrama de fases deste modelo. Quando θ α < 1 /  o
ponto A de inflação alta é instável e o ponto B de inflação baixa é estável (Figura 6a). Por
outro lado, quando θ α > 1 / ,  a situação muda pois o ponto A de inflação alta é estável e o
ponto de inflação baixa é instável (Figura 6b).
Admita-se agora que a demanda de moeda é linear em ambas variáveis (eq.5). O
modelo pode ser resumido nas seguintes equações:
π
θ βθ
αθ
=
+−
−
m f
m
 m f m =− π88
Figura 6a
Figura 6b89
Cabe analisar três diferentes possibilidades.4  A primeira é de que o parâmetro θ ,
do mecanismo de expectativa adaptativa, esteja compreendido entre as duas taxas de
inflação de equilíbrio  ) ( A B π θ π < < . A Figura 7a mostra o diagrama de fases nestas
circunstâncias. Os pontos de inflação alta e de inflação baixa são ambos estáveis.5
Figura 7a
A segunda possibilidade é de que o parâmetro θ  seja maior do que a taxa de
inflação alta de equilíbrio () θ π > A . A Figura 7b contém o diagrama de fases do modelo
para esta hipótese. O ponto de inflação alta é estável e o de inflação baixa é instável.
A terceira possibilidade é de que o parâmetro θ  seja menor do que a taxa de
inflação baixa de equilíbrio () θ π < B . Nesta hipótese, o ponto de inflação alta é instável,
de acordo com o diagrama de fases da Figura 7c.
                                                
4A análise aqui é semelhante à feita por Bruno (1989), quando ele admite que o coeficiente do mecanismo
de expectativa adaptativa ao invés de  constante, depende da própria  taxa  de  inflação  esperada:
θθ π θ => () , , E 0.Todavia, ele usa a forma funcional da demanda de moeda de Cagan para analisar a
estabilidade do modelo
5No caso da Figura 7a, f <− θ α β θ ( ). Nas duas outras possibilidades (Figuras 7b e 7c) a seguinte restrição
deve ser satisfeita: f >− θ α β θ ( ). Nas três situações  α β θ −> 0 .90
Figura  7b
Figura 7c
Quando a equação de demanda de moeda é logarítmica em ambas variáveis, existe
apenas um ponto de equilíbrio, e o modelo pode ser analisado a partir do seguinte par de
equações:91
π
α θ
αθ
β
α
=
−
−
f m
m
/
() 1
1
 m f m =− π
Se a elasticidade da quantidade demandada de moeda com relação à taxa de
inflação esperada for menor do que 1 em valor absoluto (α < 1), o ponto de equilíbrio é
estável (Figura 8a). No caso contrário, quando a elasticidade é maior do que 1 em valor
absoluto (α > 1), o equilíbrio é instável (Figura 8b).
Figura 8a
Considere agora a hipótese de que a demanda de moeda é especificada de acordo
com a equação (7). Um pouco de álgebra mostra que:
π
α θ β
θβα
=
−−
−−
()
()
mf
mm
2
 m f m =− π92
Figura  8b
Quando existe equilíbrio (f >α ), ele é único, e o modelo é estável, de acordo com o
diagrama de fases da Figura 9, não havendo, portanto, possibilidade de ocorrência de
hiperinflação.
Suponha que a equação de demanda de moeda é especificada de acordo com a
equação (8). Neste caso, as duas equações do modelo são:
π
α θ β α
βθ
=
−−
−
(log )/
(log )
m f m
mm
2
 m f m =− π
A Figura 10 mostra o diagrama de fases que corresponde a estas equações,
admitindo-se que existam dois pontos de equilíbrio. O ponto de inflação alta é estável e o
ponto de inflação baixa é instável. Inexiste, portanto, a possibilidade de ocorrência de
hiperinflação.93
Figura 9
Figura 10
4. Conclusão94
Analisando-se o modelo em que o déficit público é financiado por moeda, para
diferentes formas funcionais da equação de demanda de moeda, conclui-se que a priori
nada se pode afirmar sobre a estabilidade do equilíbrio. Quando as expectativas são
racionais, o modelo é capaz de gerar hiperinflação, se o valor absoluto da elasticidade da
quantidade demandada de moeda com relação à taxa de inflação for menor do que 1.
Quando as expectativas são adaptativas, no modelo em que existem dois pontos de
equilíbrio, ambos podem ser estáveis, ou, então, um é estável e o outro instável; quando
existe um único ponto de equilíbrio, ele tanto pode ser estável como instável.
A estabilidade de equilíbrio depende em geral da forma funcional da equação de
demanda de moeda, e não do parâmetro (θ ) do mecanismo de expectativa.6 Portanto, do
ponto de vista econométrico, deve-se especificar formas funcionais que não eliminem a
priori possibilidades que são cruciais para o fenômeno em estudo.
                                                
6Quando θ→∞  tem-se o caso particular de expectativas racionais no sentido de previsão perfeita () ππ e = .

Hiperinflação e a forma funcional da equação de demanda de moeda

http://bibliotecadigital.fgv.br/dspace/bitstream/10438/834/2/1173.pdf

Hiperinflação e a forma funcional da equação de demanda de moeda

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