The article deals the mathematical model of elasticity ratio of demand and supply functions as well as a function of income. Demonstrated the practical application of the coefficient of elasticity to support the adoption of effective economic decision

Burmistrova, Natalya

Kireeva, Elena

Stelmakhov, Daniil

Munich Personal RePEc Archive

MPRA
Munich Personal RePEc Archive
Mathematical model of the coefficient of
elasticity in the analysis of pricing policy
Natalya Burmistrova and Elena Kireeva and Daniil
Stelmakhov
Financial University under the Government of the Russian
Federation
2. April 2015
Online at http://mpra.ub.uni-muenchen.de/64064/
MPRA Paper No. 64064, posted 1. May 2015 13:27 UTC
УДК 51.77 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЭФФИЦИЕНТА 
ЭЛАСТИЧНОСТИ В АНАЛИЗЕ ЦЕНОВОЙ ПОЛИТИКИ  
Бурмистрова Н.А, Киреева Е.В., Стельмахов Д.А. 
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации 
 
A MATHEMATICAL MODEL OF ELASTICITY RATIO IN THE ANALYSIS 
OF PRICING POLICY 
Burmistrova N.A., Kireeva E.V., Stelmakhov D.A. 
Financial University under the Government of the Russian Federation 
 
Аннотация: В настоящей статье рассмотрена математическая модель 
коэффициента эластичности функций спроса и предложения, а также функции 
дохода. Продемонстрировано применение на практике коэффициента 
эластичности для обоснования принятия эффективных экономических 
решений. 
Ключевые слова: Коэффициент эластичности, функция спроса, функция 
предложения, функция дохода, ценовая политика, брокерские компании, 
фондовая биржа, вывод формул, финансовые расчеты с использованием 
математических моделей. 
Abstract: The article deals the mathematical model of elasticity ratio of 
demand and supply functions as well as a function of income. Demonstrated the 
practical application of the coefficient of elasticity to support the adoption of 
effective economic decisions.  
Key words: The coefficient of elasticity, the demand function, the supply 
function, the income function, price policy, brokerage firms, stock exchange, 
derivation of the formulas, financial calculations using mathematical models. 
 
В условиях рыночной экономики успешная деятельность и, как 
следствие, прибыль экономических агентов зависит от осуществления 
разумной ценовой политики и выбора обоснованной ценовой стратегии. Однако 
практика свидетельствует, что ценовая политика не всегда бывает достаточно 
проработана. Для того, чтобы правильно сформулировать ценовую политику, 
любая компания должна предугадывать результаты, которые она достигнет 
посредством продажи конкретного товара. В связи с этим, анализ ценовой 
политики фирмы является крайне актуальной и важной проблемой.  
В данной статье представлен эффективный способ анализа и 
прогнозирования ценовой политики. Рассмотрена математическая модель 
коэффициента эластичности. Приведен конкретный пример применения 
коэффициента эластичности для принятия торговой стратегии брокерских 
компаний на фондовой бирже. Подтверждена практическая значимость 
коэффициента эластичности функции спроса [6].  
Понятие эластичности тесно связано с понятием производной функции 
[1]. Эластичность показывает относительное (процентное) изменение функции 
при изменении значения аргумента [6]. 
Эластичностью функции )(xfy   в точке х называют предел отношения 
относительного приращения функции к относительному приращению 
аргумента при стремлении последнего к нулю, т.е.: 

















 


x
xxx
х y
y
x
x
y
lim
y
x
x
x
y
y
lim
x
x
y
y
limyЕ
000
:)(  
xx y
y
x
yE )(  коэффициент эластичности y по х    (1) 
Если полагать, что 
 
x
x
y
y
yEx

 :)( , то
 
x
x
yE
y
y
x



)(
  
при ∆х→0       (2) 
Таким образом, эластичность функции есть коэффициент 
пропорциональности между относительными изменениями величин х и у, 
который показывает приближенно, на сколько процентов изменится у при 
изменении х на 1%. Положительное значение коэффициента эластичности 
показывает, что изменение переменных x и y происходит в одном направлении, 
отрицательное − в разных направлениях [5]. 
Коэффициенты эластичности основных рыночных категорий показывают 
на сколько процентов изменится спрос (предложение) при изменении цены на 
1% и определяются формулами: 
)(
)(
)( pD
pD
р
DE p   коэффициент эластичности спроса  (3) 
)(
)(
)( pS
pS
р
SE p   коэффициент эластичности предложения (4) 
Проанализируем влияние эластичности спроса на доход продавцов [3]. 
Поскольку доход от продажи товара равен произведению цены р на величину 
спроса q, то 
)()( pDрqрpR   функция суммарного дохода продавца. 
Найдем коэффициент эластичности функции дохода )( pR  




 )]()([
)(
])([
)(
)( pDрpDр
pDр
р
pDр
pDр
р
RЕ р  
 )(1)]()([
)(
1
DЕpDрpD
pD
р
 
)(1)( DERE pp           (5) 
 
Полученная формула определяет зависимость изменения дохода от цены 
товара и эластичности спроса. Проанализируем качественное влияние 
эластичности спроса на доход продавца: 
1. Эластичный спрос: .0)(1)(1)(  REDЕDЕ p    
(6) 
Увеличение цены ведет к снижению дохода. 
2. Неэластичный спрос: .0)(1)(1)(  REDЕDЕ p    
(7) 
Увеличение цены приводит к росту дохода. 
Таким образом, получили математическое обоснование теоретического 
утверждения экономической науки о том, что с ростом цены для товаров 
эластичного спроса доход от реализации продукции уменьшается, а для 
товаров неэластичного спроса – увеличивается. 
Покажем применение данного теоретического утверждения в ходе 
решения конкретной практической задачи с применением аппарата 
эластичности. 
Задача. На фондовый рынок Московской Биржи выпущены обычные 
акции ОАО «Газпром» в количестве 20 млрд. штук с рыночной стоимостью 140 
рублей. Две брокерские компании, участвующие в биржевых торгах, имеют 
различные торговые стратегии. Предполагая в ближайшее время подъем 
курсовой стоимости акций, брокер «Финам» предлагает сократить настоящее 
предложение до 15 млрд. штук, оставляя рыночную стоимость ценных бумаг 
неизменной. Компания «Брокеркредит» настаивает на быстрейшем снижении 
стоимости акций до 120 рублей ввиду нестабильности на Восточно-
Европейском рынке газа.  
В том случае, если графики спроса и предложения выглядят так, как на 
рисунке, кто прав и почему? Эластична ли функция спроса на акции? 
 
Рис. 1. Брокерские стратегии на рынке акций ОАО «Газпром» 
 
Решение: 
Сравнение альтернативных стратегий брокерских компаний необходимо 
провести по фактору денежной выручки. 
Выручка в случае выбора стратегии «Финам»: 
140 руб.*15млрд. шт. = 2100 млрд. руб. 
Выручка в случае выбора стратегии «Брокеркредит»: 
120 руб.*20млрд. шт.= 2400 млрд. руб.  
Таким образом, стратегия брокера «Финам» обеспечивает выручку в 
размере 2,1 трл.руб., компании «Брокеркредит»  2, 4 трл. руб. Позиция 
компании «Брокеркредит» является более предпочтительной, так как в случае 
принятия данной стратегии размер денежной выручки больше. 
Анализ торговых стратегий показывает, что при уменьшении стоимости 
акций выручка растет. А поскольку согласно теоретическим положениям 
экономической науки рост денежной выручки при уменьшении цены 
характерен для товаров эластичного спроса, то функция спроса на акции ОАО 
«Газпром» является эластичной. 
Используя математические модели уравнения прямой и коэффициента 
эластичности, подтвердим полученные результаты [5]. 
Уравнение функции спроса как уравнение прямой, проходящей через две 
точки (15; 140), (20; 120) имеет вид: 












120140
140
1520
15
12
1
12
1 yx
yy
yy
xx
xx
 
.
4
50)(4200
20
6
5
3 p
pDxy
yx





  
Вычислим коэффициент эластичности функции спроса: 






p
р
p
р
р
pD
pD
р
DE p
200
)25.050(
25.050
)(
)(
)(  
,1)(5,1
80 
120
120200
120
)(120 




 DEDE pp  
Полученное значение коэффициента эластичности функции спроса по 
модулю превосходящее единицу, свидетельствует об эластичности спроса. 
Таким образом, аналитическим способом, также было подтверждено 
теоретическое положение экономической науки о том, что при увеличении цены 
на товары эластичного спроса денежная выручка падает. 
Литература 
 
1. Алексенко Н.В. Математика: учебное пособие / Н.В. Алексенко, Р.И. Воробьева. – 
Омск: Омский гос. ин-т сервиса, 2004. – 131 с. 
2. Алексенко Н.В. Математическая компетентность как качество образования в 
экономическом вузе / Н.В. Алексенко, Н.А. Бурмистрова, Н.И. Ильина // В мире научных 
открытий. – 2013. – № 7. – С. 200–219. 
3. Аширбагина Н.Л. Организационная культура предприятий малого бизнеса // Омский 
экономический форум: Материалы международной  научно-практической конференции 25 
ноября 2011. - Омск, 2011. - С.116-119. 
4. Аширбагина Н.Л. Значение организационной культуры для формирования имиджа 
предприятия // Социально – экономические системы: Современное видение и подходы: 
Материалы Четвертой  Международной  научно-практической конференции 6 февраля 
2009г.- Омск: НОУ ВПО «СИБИТ», 2009. –С. 194 -198. 
5. Бурмистрова Н.А. Использование информационных технологий в обучении будущих 
специалистов финансовой сферы математическому моделированию экономических 
процессов // Информационные технологии в образовании. ХIХ Международная 
конференция-выставка: сборник трудов. – М.: Изд-во МИФИ, 2009. – Ч.2. – С. 55–57. 
6. Бурмистрова Н.А. Модель методической системы обучения математике будущих 
специалистов финансовой сферы в условиях компетентностного подхода / Н.А. Бурмистрова 
// Сибирский педагогический журнал. – 2011. – № 2. – C. 307–314. 
7. Корнеенкова Т.П. Отношения между странами в условиях глобализации // 
Двадцатые Апрельские экономические чтения: Материалы международной научно-
практической конференции. – Омск: РОФ «Фонд региональной стратегии развития», 2014. – 
С.336-339. 
8. Эджибия Т.Л. Экономическая элита и  модернизация экономики России // 
Социально-экономические и правовые системы: современное видение: материалы 
Международной научно-практической конференции. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2014. – С. 40-
43. 
9. Эджибия Т.Л. Экономическая культура и финансовая грамотность // Двадцатые 
Апрельские экономические чтения: Материалы международной научно-практической 
конференции. – Омск: РОФ «ФРСР», 2014. – С.440-442. 
10. Эджибия Т.Л. Несовершенство рыночного механизма и роль государства // Экономика: учеб. 
пособие для студентов, обучающихся по неэкономическим специальностям и направлениям / Под ред. 
Е.И. Лаврова, М.Ю. Маковецкого, Г.М. Чердынцева. Омск: Изд-во ОмГУ, 2005. – C. 266-290. 


Математическая модель коэффициента эластичности в анализе ценовой политики

Munich RePEc Personal Archive

Munich Personal RePEc ArchiveMathematical model of the coefficient ofelasticity in the analysis of pricing policyBurmistrova, Natalya and Kireeva, Elena and Stelmakhov,DaniilFinancial University under the Government of the RussianFederation2 April 2015Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/64064/MPRA Paper No. 64064, posted 01 May 2015 13:27 UTCУДК 51.77 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЭФФИЦИЕНТА ЭЛАСТИЧНОСТИ В АНАЛИЗЕ ЦЕНОВОЙ ПОЛИТИКИ  Бурмистрова Н.А, Киреева Е.В., Стельмахов Д.А. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации  A MATHEMATICAL MODEL OF ELASTICITY RATIO IN THE ANALYSIS OF PRICING POLICY Burmistrova N.A., Kireeva E.V., Stelmakhov D.A. Financial University under the Government of the Russian Federation  Аннотация: В настоящей статье рассмотрена математическая модель коэффициента эластичности функций спроса и предложения, а также функции дохода. Продемонстрировано применение на практике коэффициента эластичности для обоснования принятия эффективных экономических решений. Ключевые слова: Коэффициент эластичности, функция спроса, функция предложения, функция дохода, ценовая политика, брокерские компании, фондовая биржа, вывод формул, финансовые расчеты с использованием математических моделей. Abstract: The article deals the mathematical model of elasticity ratio of demand and supply functions as well as a function of income. Demonstrated the practical application of the coefficient of elasticity to support the adoption of effective economic decisions.  Key words: The coefficient of elasticity, the demand function, the supply function, the income function, price policy, brokerage firms, stock exchange, derivation of the formulas, financial calculations using mathematical models.  В условиях рыночной экономики успешная деятельность и, как следствие, прибыль экономических агентов зависит от осуществления разумной ценовой политики и выбора обоснованной ценовой стратегии. Однако практика свидетельствует, что ценовая политика не всегда бывает достаточно проработана. Для того, чтобы правильно сформулировать ценовую политику, любая компания должна предугадывать результаты, которые она достигнет посредством продажи конкретного товара. В связи с этим, анализ ценовой политики фирмы является крайне актуальной и важной проблемой.  В данной статье представлен эффективный способ анализа и прогнозирования ценовой политики. Рассмотрена математическая модель коэффициента эластичности. Приведен конкретный пример применения коэффициента эластичности для принятия торговой стратегии брокерских компаний на фондовой бирже. Подтверждена практическая значимость коэффициента эластичности функции спроса [6].  Понятие эластичности тесно связано с понятием производной функции [1]. Эластичность показывает относительное (процентное) изменение функции при изменении значения аргумента [6]. Эластичностью функции )(xfy   в точке х называют предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при стремлении последнего к нулю, т.е.:   xxxxхyyxxylimyxxxyylimxxyylimyЕ000:)(  xx yyxyE )(  коэффициент эластичности y по х    (1) Если полагать, что  xxyyyEx :)( , то xxyEyyx)(  при ∆х→0       (2) Таким образом, эластичность функции есть коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин х и у, который показывает приближенно, на сколько процентов изменится у при изменении х на 1%. Положительное значение коэффициента эластичности показывает, что изменение переменных x и y происходит в одном направлении, отрицательное − в разных направлениях [5]. Коэффициенты эластичности основных рыночных категорий показывают на сколько процентов изменится спрос (предложение) при изменении цены на 1% и определяются формулами: )()()( pDpDрDE p   коэффициент эластичности спроса  (3) )()()( pSpSрSE p   коэффициент эластичности предложения (4) Проанализируем влияние эластичности спроса на доход продавцов [3]. Поскольку доход от продажи товара равен произведению цены р на величину спроса q, то )()( pDрqрpR   функция суммарного дохода продавца. Найдем коэффициент эластичности функции дохода )( pR   )]()([)(])([)()( pDрpDрpDррpDрpDррRЕ р   )(1)]()([)(1DЕpDрpDpDр )(1)( DERE pp           (5)  Полученная формула определяет зависимость изменения дохода от цены товара и эластичности спроса. Проанализируем качественное влияние эластичности спроса на доход продавца: 1. Эластичный спрос: .0)(1)(1)(  REDЕDЕ p    (6) Увеличение цены ведет к снижению дохода. 2. Неэластичный спрос: .0)(1)(1)(  REDЕDЕ p    (7) Увеличение цены приводит к росту дохода. Таким образом, получили математическое обоснование теоретического утверждения экономической науки о том, что с ростом цены для товаров эластичного спроса доход от реализации продукции уменьшается, а для товаров неэластичного спроса – увеличивается. Покажем применение данного теоретического утверждения в ходе решения конкретной практической задачи с применением аппарата эластичности. Задача. На фондовый рынок Московской Биржи выпущены обычные акции ОАО «Газпром» в количестве 20 млрд. штук с рыночной стоимостью 140 рублей. Две брокерские компании, участвующие в биржевых торгах, имеют различные торговые стратегии. Предполагая в ближайшее время подъем курсовой стоимости акций, брокер «Финам» предлагает сократить настоящее предложение до 15 млрд. штук, оставляя рыночную стоимость ценных бумаг неизменной. Компания «Брокеркредит» настаивает на быстрейшем снижении стоимости акций до 120 рублей ввиду нестабильности на Восточно-Европейском рынке газа.  В том случае, если графики спроса и предложения выглядят так, как на рисунке, кто прав и почему? Эластична ли функция спроса на акции?  Рис. 1. Брокерские стратегии на рынке акций ОАО «Газпром»  Решение: Сравнение альтернативных стратегий брокерских компаний необходимо провести по фактору денежной выручки. Выручка в случае выбора стратегии «Финам»: 140 руб.*15млрд. шт. = 2100 млрд. руб. Выручка в случае выбора стратегии «Брокеркредит»: 120 руб.*20млрд. шт.= 2400 млрд. руб.  Таким образом, стратегия брокера «Финам» обеспечивает выручку в размере 2,1 трл.руб., компании «Брокеркредит»  2, 4 трл. руб. Позиция компании «Брокеркредит» является более предпочтительной, так как в случае принятия данной стратегии размер денежной выручки больше. Анализ торговых стратегий показывает, что при уменьшении стоимости акций выручка растет. А поскольку согласно теоретическим положениям экономической науки рост денежной выручки при уменьшении цены характерен для товаров эластичного спроса, то функция спроса на акции ОАО «Газпром» является эластичной. Используя математические модели уравнения прямой и коэффициента эластичности, подтвердим полученные результаты [5]. Уравнение функции спроса как уравнение прямой, проходящей через две точки (15; 140), (20; 120) имеет вид: 120140140152015121121 yxyyyyxxxx .450)(420020653 ppDxyyx  Вычислим коэффициент эластичности функции спроса: pрpррpDpDрDE p200)25.050(25.050)()()(  ,1)(5,180 120120200120)(120  DEDE pp  Полученное значение коэффициента эластичности функции спроса по модулю превосходящее единицу, свидетельствует об эластичности спроса. Таким образом, аналитическим способом, также было подтверждено теоретическое положение экономической науки о том, что при увеличении цены на товары эластичного спроса денежная выручка падает. Литература  1. Алексенко Н.В. Математика: учебное пособие / Н.В. Алексенко, Р.И. Воробьева. – Омск: Омский гос. ин-т сервиса, 2004. – 131 с. 2. Алексенко Н.В. Математическая компетентность как качество образования в экономическом вузе / Н.В. Алексенко, Н.А. Бурмистрова, Н.И. Ильина // В мире научных открытий. – 2013. – № 7. – С. 200–219. 3. Аширбагина Н.Л. Организационная культура предприятий малого бизнеса // Омский экономический форум: Материалы международной  научно-практической конференции 25 ноября 2011. - Омск, 2011. - С.116-119. 4. Аширбагина Н.Л. Значение организационной культуры для формирования имиджа предприятия // Социально – экономические системы: Современное видение и подходы: Материалы Четвертой  Международной  научно-практической конференции 6 февраля 2009г.- Омск: НОУ ВПО «СИБИТ», 2009. –С. 194 -198. 5. Бурмистрова Н.А. Использование информационных технологий в обучении будущих специалистов финансовой сферы математическому моделированию экономических процессов // Информационные технологии в образовании. ХIХ Международная конференция-выставка: сборник трудов. – М.: Изд-во МИФИ, 2009. – Ч.2. – С. 55–57. 6. Бурмистрова Н.А. Модель методической системы обучения математике будущих специалистов финансовой сферы в условиях компетентностного подхода / Н.А. Бурмистрова // Сибирский педагогический журнал. – 2011. – № 2. – C. 307–314. 7. Корнеенкова Т.П. Отношения между странами в условиях глобализации // Двадцатые Апрельские экономические чтения: Материалы международной научно-практической конференции. – Омск: РОФ «Фонд региональной стратегии развития», 2014. – С.336-339. 8. Эджибия Т.Л. Экономическая элита и  модернизация экономики России // Социально-экономические и правовые системы: современное видение: материалы Международной научно-практической конференции. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2014. – С. 40-43. 9. Эджибия Т.Л. Экономическая культура и финансовая грамотность // Двадцатые Апрельские экономические чтения: Материалы международной научно-практической конференции. – Омск: РОФ «ФРСР», 2014. – С.440-442. 10. Эджибия Т.Л. Несовершенство рыночного механизма и роль государства // Экономика: учеб. пособие для студентов, обучающихся по неэкономическим специальностям и направлениям / Под ред. Е.И. Лаврова, М.Ю. Маковецкого, Г.М. Чердынцева. Омск: Изд-во ОмГУ, 2005. – C. 266-290. 

https://mpra.ub.uni-muenchen.de/64064/1/MPRA_paper_64064.pdf

Математическая модель коэффициента эластичности в анализе ценовой политики

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Munich Personal RePEc Archive

Munich RePEc Personal Archive