National audienceDans un corps fini, toute série formelle algébrique en une indéterminée est la diagonale d'une fraction rationnelle en deux indéterminées (Furstenberg 67). Dans cet article, nous donnons une nouvelle preuve de ce résultat, par des méthodes purement combinatoires

Fagnot, Isabelle

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Langage de Lukasiewicz et diagonales de séries formelles

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Langage de Lukasiewicz et diagonales de se´ries formellesIsabelle FagnotTo cite this version:Isabelle Fagnot. Langage de Lukasiewicz et diagonales de se´ries formelles. Journal de The´oriedes Nombres de Bordeaux, Socie´te´ Arithme´tique de Bordeaux, 1996, 8 (1), pp.31-45. <hal-00619598>HAL Id: hal-00619598https://hal-upec-upem.archives-ouvertes.fr/hal-00619598Submitted on 6 Oct 2011HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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In this paper, a new proof of this result is given bycombinatorial methods.IntroductionFurstenberg [Fu] a demontre que,a) dans un corps K de caracteristique non nulle, toute diagonale d'uneserie formelle rationnelle en n indeterminees est algebrique sur K(X) ;b) reciproquement, dans un corps ni, une serie algebrique, en une seulevariable, est la diagonale d'une fraction rationnelle en deux variables.Ce theoreme a ete etendu, par des methodes algebriques, au cas decertains corps innis [De], [DL], [Ha], [SW], (cf. [All2] pour un panoramadetaille). En particulier, Deligne [De], puis Sharif et Woodcock [SW] mon-trent que la premiere partie du theoreme de Furstenberg reste vraie si onsuppose la serie algebrique.Christol, Kamae, Mendes France et Rauzy (voir [CKMR] et [All1]) ontmis en evidence le lien entre l'algebricite des series formelles en une indeter-minee dans un corps ni et les q-automates. A savoir :Soit q premier. La serie formellePaiXidans Fq[[X ]] est algebrique si etseulement si la suite (ai)i2Nest q-automatique.Salon [Sa1] , [Sa2] generalise ce theoreme au cas des series a plusieursindeterminees et du me^me coup, redemontre de maniere elementaire leresultat de Deligne dans le cas d'un corps ni. Par ailleurs, Fliess [Fl] autilise les series formelles en variables non commutatives pour demontrerManuscrit recu le 4 octobre 1993.32 Isabelle Fagnotune variante du cas a) a savoir que dans un corps quelconque, une fractionrationnelle en deux indeterminees a une diagonale algebrique.Le but de cet article est de donner une preuve combinatoire de la deuxiemepartie du theoreme de Furstenberg :Theoreme.Soit K un corps ni et soit ' une serie formelle algebrique surK(X). Alors, il existe une fraction rationnelle H en deux variables telle que' = diag(H).Pour ce faire, nous utilisons, comme Fliess, les series non commutatives.Plus precisement, nous commencons par etablir quelques relations entre deslangages algebriques lies au langage de  Lukasiewicz. Puis, dans la deuxiemepartie, nous montrons comment les appliquer aux series algebriques commu-tatives, et nous en deduisons le resultat enonce.Premiere partie : Langage de  Lukasiewicz generalise.1. Denitions et notations : Nous utilisons la terminologie de Lothaire[Lo].Soit A un ensemble ni que l'on appellera alphabet. On appellera mot surA tout n-uplet w = (x1; : : : ; xn); xi2 A: On ecrira aussi x1  xnpour(x1; : : : ; xn), le 0-uplet () etant note 1: On notera Al'ensemble des motssur A, muni de la loi interne de concatenation ` ` denie par :(x1  xn)  (y1  ym) = x1  xny1  ym:1 est l'element neutre pour cette loi :1  w = w  1 = w 8w 2 A:On notera egalement A+= A  f1g.On appellera langage un sous-ensemble deA: Le produit de concatenationde deux langages M et N sera alors deni par :M N = fu  vju 2M et v 2 Ng:Il sera aussi note MN:Soit K un corps. Une serie formelle F sur K est une applicationA! Kw 7! (F;w):On ecrira aussi F =Pw2A(F;w)  w: On notera KhhAii l'ensemble de cesseries formelles.Langage de  Lukasiewicz et diagonales de series formelles 33Dans le souci d'alleger les notations, on ne distinguera pas un langageM , de sa serie caracteristique 1IM=Pw2Mw, toutes les egalites donneesici respectant les multiplicites.Par ailleurs, soient deux langages M et N: On notera M  N; si les imagescommutatives des series caracteristiques des deux langages sont egales. Lelangage miroir~M d'un langage M est~M = fw 2 Aj w = x1: : :xntel que xn: : :x12Mg:Soient deux series formelles de KhhAii, F et G: On denit le produit deHadamard de F et G par :F  G =Xw2A(F;w)(G;w) w:Soit l'alphabet A = fa 1; a1; : : : ; ang.Sur cet alphabet, on denit le langage dit de  Lukasiewicz (voir par exemple[Sch]) par l'equation :L = a 1+ a1L2+   + anLn+1:C'est un langage algebrique. Ce langage peut aussi se denir de manierecombinatoire. Pour cela, on introduit un morphisme h de Adans le groupeadditif Z, deni par h(ai) = i:On a alors pour L, la denition equivalente :L = fw 2 Aj h(w) =  1 et (w = w1w2; w26= 1) h(w1)  0)g:On peut generaliser cette derniere egalite : quel que soit p > 0 on aLp= fw 2 Aj h(w) =  p et (w = w1w2; w26= 1) h(w1) >  p)g:(1)(Voir [Sch] pour une demonstration et la gure 1 pour une representation).Pour les dessins, on representera chaque aipar le \vecteur" 1i:34 Isabelle Fagnotw wa1 2igure 1En nous inspirant de [La], nous denissons egalement des langages Dp,pour p  0, par :Dp= h 1( p) = fw 2 Aj h(w) =  pg:On notera egalement D = D0:Le langage C suivant joue un ro^le central dans la suite :C = fw 2 A+j h(w) = 0 et(w = w1w2et h(w1) = 0)) (w1= 1 ou w2= 1)g:Les mots de C correspondent en quelque sorte aux \facteurs premiers"de ceux de D.2. Premieres relations : On se convaincra aisement de la validite desrelations suivantes :Dp= LpD (p  0) ;(2)D = 1 +D C =11  C:(3)La relation suivante est fondamentale pour la suite :Proposition 1. On a :C =nXi=1Xj+k=i~LjaiLkDemonstration. Soit w un mot de C. Soit w1le plus grand prexe, dierentde w, tel que h(w1)  0: Comme w 6= w1, on peut decomposer w de laLangage de  Lukasiewicz et diagonales de series formelles 35facon suivante : w = w1aiw2, avec w22 A.1Posons j =  h(w1) et k =  h(w2). Par maximalite de w1, i  j (i = jcorrespond au cas ou w2= 1). D'ou, k = i  j  0.On a donc w12 Djet w22 Dk. En fait, w12fLj=~Ljet w22 Lk.Demontrons le pour w2(le cas de w1etant symetrique) :D'apres (2), il existe w0et w00tels que : w2= w0w00avec w02 Lket w002 DCe qui donne : w = w1aiw0 w00avec h(w00) = 0. Par denition de C, ceciimplique que w00= 1 et par la me^me que w2appartient a Lk.On a donc :C nXi=1Xj+k=i~LjaiLk:Demontrons l'inclusion reciproque : soit w = w1aiw2, avec w12~Lj, w22 Lket j + k = i > 0. Alors, bien su^r, w appartient a h 1(0).En outre, si w = w0w00avec h(w0) = 0 alors w0= 1 ou w00= 1.En eet, si par exemple, w0= w1aiw02alors w2= w02w00avec h(w02) =  k.Si k > 0, par (1) w00= 1. Si k = 0, L0= 1 donc w00= 1.Le cas w00= w001aiw2est symetrique du cas precedent.Les deux points ci-dessus demontrent que w appartient a C.En consequence,C =nXi=1Xj+k=i~LjaiLkc. q. f. d.36 Isabelle FagnotDans la deuxieme partie nous allons avoir besoin du resultat suivant :Corollaire 2. L'egalite suivante est veriee :L  D1"(1 nXi=1(i+ 1)ai)A#et plus generalement, pour tout j  0Lj Dj"(1 nXi=1(i+ 1)ai)A#:Demonstration. Par les equations (2) et (3), on aDj= LjD = Lj(1 +DC):Il en decouleLj= Dj  LjDC:On remplace C par l'expression fournie dans la proposition 1 :Lj= Dj  LjDnXi=1Xj+k=i~LjaiLk:On passe maintenant en variables commutativesLj Dj  LjD(nXi=1(i+ 1)aiLi)  Dj nXi=1(i+ 1)aiLi+jDLj Dj nXi=1(i+ 1)aiDi+j:Par ailleurs, en variables non commutatives, on a :aiDi+j= aiXh(w)= (i+j)w =Xh(aiw)= jaiw = Dj (aiA):D'ou :Dj nXi=1(i+ 1)aiDi+j= Dj"(1 nXi=1(i+ 1)ai)A#En remplacant dans (4), on obtient :Lj Dj"(1 nXi=1(i+ 1)ai)A#c. q. f. d.Langage de  Lukasiewicz et diagonales de series formelles 37Deuxieme partie : Application aux diagonales de series rationnelles.Dans cette partie, nous allons demontrer que dans un corps ni touteserie algebrique en une variable est la diagonale d'une serie rationnelle endeux variables.Notations. Soit K un corps, on notera : KhhX1; : : : ; Xnii l'anneau desseries formelles en variables non commutatives, K[[X1; : : : ; Xn]] l'anneaudes series formelles en variables commutatives, K(X1; : : : ; Xn) le corps desfractions rationnelles en variables commutatives.Soit ' une serie formelle sur K[[X1; : : :Xn]] ,' =Xai1;::: ;inXi11  Xinn:On denit la diagonale de ' par :diag(') =Xai;::: ;iXi:Le lemme technique qui suit a pour fonction de montrer que l'on peut seramener a de bonnes conditions initiales.Lemme 3 ([Fu]). Soit K un corps ni, de cardinal q. Soit ' une serieformelle algebrique de K[[X; Y ]]. Alors il existe un entier m, des polyno^mesA0; A1; : : : ; Am, avec A0(0) 6= 0, et deux autres polyno^mes B et C, tels qu'enposant  = C + ', on a  (0) = 0 et  verie l'equation :A0 = A1 q+   + Am qm+B:Preuve. Nous reproduisons, pour la commodite du lecteur, la preuve de[Fu].{ On denit sur K[[X ]] les operateurs Sr; pour 0  r  q   1 :K[[X ]] ! K[[X ]]f =XauXu7! Sr(f) =Xaqu+rXu:(les Srsont appeles operateurs de sections mahleriennes dans [Du]).On a les relations suivantes :f =q 1Xr=0XrSr(f)(Xq) ;(4)Sr(f  gq) = Sr(f)  g:(5)38 Isabelle Fagnot{ Comme ' est algebrique, il existe des polyno^mes A0; A1; : : :Am, nontous nuls, tels quemXi=0Ai'qi= 0:On peut supposer A06= 0. En eet, soit l le plus petit entier tel que' verie une equation du type :mXi=lAi'qi= 0 avec Al6= 0:Si l > 0, on applique (5)8r Sr(mXi=lAi'qi) =mXi=lSr(Ai)'qi 1= 0:Or, par (4), Al6= 0 implique qu'il existe un r tel que Sr(Al) 6= 0.L'equationmXi=lSr(Ai)'qi 1= 0contredit donc la minimalite de l.{ ' verie donc une equation de la forme :A0' = A1'q+   +Am'qm+B;avec A06= 0.On peut supposer A0(0) 6= 0, en eet :Supposons A0= XrA00, r > 0 avec A00(0) 6= 0. Soit s tel que sq > ret  tel que ' = Xs +C ou C est un polyno^me. L'equation devientalors :XrA00Xs = A1Xsq q+   + AmXsqm sqm+ B0;ou B0est un polyno^me. On peut diviser cette equation par Xr, etremplacer A0par A00et ' par  pour obtenir le resultat souhaite.{ Si  (0) 6= 0, alors on peut remplacer  par     (0) sans changerla forme de l'equation.c.q.f.d.Definition. On denit la valuation v de l'anneau des series formellesK[[X; Y ]] sur N[ f+1g par :v(') =(minu;vfs = u+ v j au;v6= 0g si ' 6= 0;+1 sinon:Langage de  Lukasiewicz et diagonales de series formelles 39ou ' =Pau;vXuYv.Ce lemme justie la construction a venir.Lemme 4. Soient B = fb1; : : : ; bng un alphabet, B1; : : : ; Bndes seriesformelles de K[[X; Y ]], telles que v(Bi) > 0.Soit le morphisme  deni par : : B! K[[X; Y ]]bi7! bi = Bi:Alors, on peut etendre ce morphisme en un morphisme de KhhBii dansK[[X; Y ]].Preuve. On rappelle qu'une famille de series formelles (Fi)i2I; Fi(X; Y ) =Paiu;vXuYv; est dite localement nie si :8u; v Cardfi j aiu;v6= 0g< +1:Il en decoule que, si (Fi)i2Iest localement nie, cette famille est sommable.Soit w 2 B, j w j= l, w = bi1; : : : ; bil.v(w) =lXj=1v(bij)  l:De cette inegalite, il ressort que pour toute serie formelle, F =P(F;w)wde KhhBii, la famille ((F;w)  w)w2Best localement nie, et par la me^mesommable.On peut donc prolonger le morphisme  parF =Xw2B(F;w)  w:D'ou le resultat.c. q. f. d.Nous aurons encore besoin d'un lemme technique :Lemme 5. Soit le morphisme  deni par : : A! K[[X; Y ]]ai7! Bi(XY )Yi;40 Isabelle Fagnotou les Bisont des series rationnelles de K(X) telles que v(Bi)  0 etB 1(0) = 0. Soit F =Pw2A(F;w) w une serie formelle de KhhAii. Alorspour tout j  0,Yj(Dj F ) = diag(Yj F)Preuve. Soit w = aj0: : : ajpun mot de A. AlorsDj w =(w si h(w) =  j;0 sinon:(6)Donc,Yj(Dj w) =(Yj w si h(w) =  j;0 sinon.Yj(Dj w) =(Yj Yj0Bj0  YjpBjp= Bj0  Bjpsi h(w) =  j;0 sinon:Par ailleurs :diag(Yj w) = diag Yj Yj0Bj0  YjpBjp= diag Yj+j0++jpBj0  BjpDonc,diag(Yj w) =(Bj0  Bjpsi j0+   + jp= h(w) =  j;0 sinon:D'ou :Yj(Dj w) = diag(Yj w) 8w 2 AAlors d'apres le lemme 4, on peut conclure par lineariteYj(Dj F ) =Xw2A(F;w)  Yj(Dj w)=Xw2A(F;w)  diag(Yjw)= diag Yj F:c. q. f. d.Le resultat enonce en introduction decoule immediatement de la proposi-tion ci-dessous. La formule donnee ici est exactement la me^me que celledonnee par Furstenberg [Fu], mais ici elle decoule de la "traduction" enLangage de  Lukasiewicz et diagonales de series formelles 41variables commutatives de la formule donnee dans le corollaire 2, c'est ceciqui rend la preuve combinatoire.Proposition 6. Soient K un corps quelconque, et ' une serie formellealgebrique appartenant a K[[X ]].Soit P un polyno^me, appartenant a K[X; Y ], tel que P (X;'(X)) = 0.On suppose de plus que :'(0) = 0@P@Y(0; 0) 6= 0:Alors' = diag Y2@P@Y(XY; Y )P (XY; Y )!:Et, plus generalement, pour tout j  0 :'j= diag Yj+1@P@Y(XY; Y )P (XY; Y )!:Demonstration.{ On peut ecrire P sous la forme :P (X; Y ) =  P0(X) + P1(X)Y   P2(X)Y2    Pn+1(X)Yn+1:Les hypotheses de l'enonce impliquent alors :P0(0) = 0 (car '(0) = 0)P1(0) 6= 0:Et ' verie alors l'equation :P1' = P0+ P2'2+   + Pn+1'n+1:Ce qui peut se transformer en :' = R 1+R1'2+   + Rn'n+1;(7)avec Ri=Pi+1P1(Ceci ne pose pas de probleme dans la mesure ou P1est inversible.)42 Isabelle Fagnot{ Soit le morphisme  deni par : : A! K[[X; Y ]]ai7! Ri(XY )Yi:(On peut remarquer que le \decit" ou \l'excedent" de ai en Yest egal a la hauteur, h(ai); de ai).{ Alors, d'une part :' = Y  L:(8)En eet, remarquons tout d'abord que les conditions imposees surP et sur ' garantissent l'existence et l'unicite de la solution deP (X;'(X)) = 0: (Si '(X) =PcnXn, on va pouvoir trouver desrelations de recurrence de la forme cn= fn(c0; : : : ; cn 1)).Or,L =R 1(XY )Y+ Y R1(XY )(L)2+   + YnRn(XY )(L)n+1:Il en resulteY L = R 1(XY ) + R1(XY )(Y L)2+   + Rn(XY )(Y L)n+1:Ce qui correspond bien a l'equation veriee par '.{ D'autre part, dans le corollaire 2, on avait demontre:Lj Dj"(1 nXi=1(i+ 1)ai)A# Dj(1 Pni=1(i+ 1)ai)1  a 1  a1       anon applique  et on multiplie par Yj:Yj Lj  YjDj(1 Pni=1(i+ 1)ai)1  a 1  a1       anen utilisant la formule (8) et le lemme 5, on obtient :'j= diag Yj1 Pni=1(i+ 1)YiRi(XY )1 R 1(XY )Y  R1(XY )Y       Rn(XY )Yn!= diag0@Yj1 Pni=1(i+ 1)YiPi+1(XY )P1(XY )1 1YP0(XY )P1(XY )  YP2(XY )P1(XY )       YnPn+1(XY )P1(XY )1ALangage de  Lukasiewicz et diagonales de series formelles 43en multipliant nominateur et denominateur par Y P1(XY ), on obtient :'j= diag Yj+1@P@Y(XY; Y )P (XY; Y )!:c. q. f. d.Corollaire 7. Pour toute fraction rationnelle H 2 K(X; Y ), telle quev(H)  0, on a :H(X;'(X)) = diag Y H(XY; Y )@P@Y(XY; Y )P (XY; Y )!:Et, en particulier :11  '= diag Y1  Y@P@Y(XY; Y )P (XY; Y )!:Demonstration. On peut ecrire H sous la forme :H(X; Y ) =Xi0Hi(X)Yi:Alors :H(X;'(X)) =Xi0Hi(X)'i(X)=Xi0Hi(X)diag Yi+1@P@Y(XY; Y )P (XY; Y )!= diag Pi0Hi(XY )Yi+1@P@Y(XY; Y )P (XY; Y )!= diag Y H(XY )@P@Y(XY; Y )P (XY; Y )!:c. q. f. d.Nous pouvons maintenant enoncer le resultat donne en introduction :Theoreme 8. Soit K un corps ni, ' une serie formelle algebrique surK(X). Alors, il existe une fraction rationnelle H en deux variables telleque ' = diag(H), de plus cette fonction est calculable.44 Isabelle FagnotDemonstration. En eet, par le lemme 3, on peut calculer C et  tel que' = C +  ;  veriant les conditions de la proposition 6. D'ou = diag Y2@P@Y(XY; Y )P (XY; Y )!pour un certain polyno^me P: Et donc, = diag C(XY ) +Y2@P@Y(XY; Y )P (XY; Y )!:H = C(XY ) +Y2@P@Y(XY;Y )P (XY;Y )convient donc.c. q. f. d.Exemple. La suite de Thue-Morse, (un)n2N; peut e^tre denie de diversesfacons (cf. [Lo]).Par exemple, un d2(n) (mod 2), avec d2(n) representant le nombre de 1dans l'ecriture binaire de nSi on pose F (X) =PunXn; alors F verie l'equation(1 +X)3F2+ (1 +X)2F +X = 0:De la proposition 5, on deduit :F = diag Y1 + Y (1 +XY ) +X(1+XY )2!:(cf. [All1]).Nota : On peut verier que l'on a egalementF = diagX1 +X + Y +X3Y:Je tiens a remercier J. Berstel pour ses precieux conseils.Bibliographie[All1] J.-P. Allouche, Automates nis en theorie des nombres, ExpositionesMathematicae, 5 (1987), 239{266.[All2] J.-P. Allouche, Note sur un article de Sharif et Woodcock, Seminaire deTheorie des Nombres de Bordeaux, 1 (1989) 163{187.[Du] P. Dumas,Recurrences mahleriennes, suites automatiques, etudes asymptotiques,These Bordeaux I (1983).[CKMR] G. Christol, T. Kamae, M. Mendes France et G. Rauzy, Suitesalgebriques, automates et substitutions, Bulletin de la Societe mathematiquede France, 108 (1980), 401{419.Langage de  Lukasiewicz et diagonales de series formelles 45[De] P. Deligne, Integration sur un cycle evanescent, Inventiones Mathemeticae,76 (1984), 129{143.[DL] J. Denef et L. Lipshitz,Algebraic power series and diagonals, Journal ofNumber Theory, 26 (1987), 46{67.[Ei] S. Eilenberg, Automata, Languages and Machines, vol. A London, New York,Academic Press (1974).[Fl] M. Fliess, Sur certaines familles de series formelles, These, Paris VII (1972).[Fu] H. Furstenberg, Algebraic functions over nite elds, Journal of Algebra, 7(1967) 271{277.[Ha] T. Harase, Algebraic elements in formal power series rings, Israel Journal ofMathematics, 63 3 (1988), 281{288.[La] J. Labelle, Langages de Dyck generalises, Prepublication.[Lo] Lothaire, Combinatorics on words, Addison-Wesley Publishing Company(1983).[Sa1] O. Salon, Suites automatiques a multi-indices, Seminaire de Theoriedes Nombres de Bordeaux, expose no4 (1986{1987), 4.01{4.36. (Avec unappendice de J. Shallit).[Sa2] O. Salon, Suites automatiques a multi-indices et algebricite, Comptes-Rendus de l'Academie des Sciences de Paris, t. 305, serie I, p. 501{504, 1987.[Sch] M. P. Schutzenberger, Le theoreme de Lagrange selon G. N. Raney,Seminaires IRIA, Rocquencourt (1971) 199{205.[SW] H. Sharif et C. F. Woodcock, Algebraic functions over a eld of positivecharacteristic and Hadamard products, Journal of the London MathematicalSociety, (2) 37 (1988), 395{403.Isabelle FagnotLITP Universite Paris 62, place Jussieu75252 Paris Cedex 05.e-mail : fagnot@litp.ibp.fr46 Isabelle FagnotIsabelle FagnotLITP Universite Paris 62, place Jussieu75252 Paris Cedex 05e-mail: fagnotlitp.ibp.fr

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