National audienceWe present a probabilistic model allowing uncertainties induced by modeling errors and system-parameter uncertainties to be taken into account for a multi-layer composite sandwich panel. The sensitivity of the internal noise inside a bounded cavity coupled with the panel is analyzed with respect to uncertainties. Eight composite panels have been constructed by using the same manufacturing process. Experimental measurements of the vibration and acoustic responses have been performed in the low- and medium- frequency ranges. These measurements allow the probabilistic model of uncertainties to be identified.We present the probabilistic numerical model and its comparison with the experiments for validation

Chen, C.

Duhamel, Denis

Soize, Christian

Hal-Diderot

Identification et validation expérimentale d'un modèle stochastique des incertitudes en vibroacoustique d'un panneau composite.

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HAL-Ecole des Ponts ParisTech

Identification et validation expe´rimentale d’un mode`lestochastique des incertitudes en vibroacoustique d’unpanneau composite.C. Chen, Denis Duhamel, Christian SoizeTo cite this version:C. Chen, Denis Duhamel, Christian Soize. Identification et validation expe´rimentale d’unmode`le stochastique des incertitudes en vibroacoustique d’un panneau composite.. AssociationFranc¸aise de Me´canique. 17e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique 2005 pp. 1-5, Troyes, France,29 Aouˆt - 2 Septembre, 2005., Aug 2005, Troyes, France. pp.Pages : 1-5, 2005. <hal-00773337>HAL Id: hal-00773337https://hal-upec-upem.archives-ouvertes.fr/hal-00773337Submitted on 13 Jan 2013HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.17 e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Troyes, – septembre 2005Identification et validation expe´rimentale d’un mode`le stochastique desincertitudes en vibroacoustique d’un panneau compositeChaohui Chen (1), Denis Duhamel(2) & Christian Soize(1)(1) : Universite´ de Marne-la-Valle´eLaboratoire de Me´canique, Institut Navier5 Bd Descartes 77454 Marne-la-Valle´e Cedex 2chaoui.chen@univ-mlv.fr , soize@univ-mlv.fr(2) :Ecole Nationale des Ponts et Chausse´esLaboratoire d’Analyse des Mate´riaux et Identification, Institut Navier6-8 Avenue Blaise Pascal 77455 Marne-la-Valle´eduhamel@lami.enpc.frRe´sume´ :On pre´sente un mode`le probabiliste de prise en compte des incertitudes de mode`le et de donne´es pour un panneaumulti-couche composite et on e´tudie l’influence de ces incertitudes sur la pre´vision du comportement vibroacous-tique du panneau couple´ a` une cavite´ acoustique borne´e. Huit panneaux composites ont e´te´ re´alise´s avec le meˆmeproce´de´ de fabrication. Des mesures expe´rimentales des re´ponses vibratoires et acoustiques ont e´te´ faites dansle domaine des basses et des moyennes fre´quences. Ces mesures permettent d’itentifier le mode`le probabilistedes incertitudes. On pre´sente le mode`le nume´rique probabiliste et on compare les pre´visions avec les re´sultatsexpe´rimentaux pour validation.Abstract :We present a probabilistic model allowing uncertainties induced by model and data errors to be taken into accountfor a multi-layer composite sandwich panel. The sensitivity of the internal noise inside a bounded cavity coupledwith the panel is analyzed with respect to uncertainties. Eight composite panels have been constructed by usingthe same manufacturing process. Experimental measurements of the vibration and acoustic responses have beenperformed in the low- and medium- frequency ranges. These measurements allow the probabilistic model of uncer-tainties to be identified.We present the probabilistic numerical model and its comparison with the experiments forvalidation.Mots-clefs :Vibroacoustique, panneau multicouche composite, incertitudes, mode`le probabiliste1 IntroductionLa pre´vision nume´rique de la re´ponse vibroacoustique des panneaux composites multi-couches est relativement robuste aux incertitudes de mode`le et de donne´es dans le domainedes basses fre´quences mais est sensible, et donc non robuste, a` ces meˆmes incertitudes, dansle domaine des moyennes fre´quences. Dans ce papier, on pre´sente des re´sultats expe´rimentauxpermettant (1) d’analyser la robustesse du comportement vibroacoustique de tels panneaux vis-a`-vis du proce´de´ de fabrication (2) d’identifier les parame`tres du mode`le probabiliste des incer-titudes du panneau (proble`me inverse) et (3) de comparer les pre´visions nume´riques du syste`mevibroacoustique avec les mesures expe´rimentales. On s’inte´resse ici exclusivement a` l’influencedes incertitudes de mode´lisation du panneau composite sur le bruit interne qu’il ge´ne`re dans lacavite´. Le panneau composite constitue une des 6 parois d’un cavite´ acoustique, les 5 autresparois e´tant rigides. L’excitation est une force applique´e au panneau et les acce´le´rations du pan-neau et les pressions dans la cavite´ acoustique sont mesure´es. L’identification des fonctions de117 e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Troyes, – septembre 2005re´ponse en fre´quence (FRF) expe´rimentales est faite par les me´thodes usuelles et les modespropres de structure sont identifie´s [1,2,3]. Un mode`le me´canique moyen homoge´ne´ise´ du pan-neau a e´te´ de´veloppe´ [4-6] ainsi qu’un mode`le vibroacoustique moyen du syste`me constitue´ dela structure (panneau) couple´e avec le fluide acoustique (cavite´) [7,8]. Pour prendre en compteles incertitudes sur le panneau, on utilise un mode`le probabiliste non parame´trique [9,10]. Leproble`me inverse de l’identification des parame`tres du mode`le probabiliste non parame´triquedes incertitudes du panneau seul non couple´ avec la cavite´ acoustique est pre´sente´ dans [11,12].2 Description du syste`me couple´ fluide-structure et expe´rience vibroacoutiqueLe syste`me est constitue´ d’un panneau composite sandwich dans le plan Oxy, d’e´paisseurtotale 0.01068m, de 0.40m de longueur et de 0.30m de largeur, couple´ avec une cavite´ acous-tique de 0.39m de longueur, de 0.29m de largeur et de 0.20m de profondeur. Ce panneau estcelui de´crit dans [11,12] et est constitue´ de deux peaux minces de carbone-re´sine et d’un coeuren mousse relativement rigide. Chaque peau est constitue´e de deux couches minces en carbone-re´sine, chaque couche ayant 0.00017m d’e´paisseur, une masse volumique de 1600 kg/m3, desconstantes d’e´lasticite´ Ex = 101 GPa, Ey = 6.2 GPa, νxy = 0.32, Gxy = Gxz = Gyz = 2.4GPa. Les deux premie`res couches de carbone-re´sine sont unidirectionnelles et sont oriente´es[60/-60]. La troisie`me couche est la mousse d’e´paisseur 0.01m, de masse volumique 80 kg/m3,de constantes d’e´lasticite´ Ex = Ey = 60 MPa, νxy = 0, Gxy = Gxz = Gyz = 30 MPa.Les quatrie`me et cinquie`me couches de carbone-re´sine sont unidirectionnelles et sont oriente´es[60/-60]. Le montage expe´rimental du syste`me vibroacoustique est montre´ sur la Figure 1. Lepanneau est vertical dans le plan Oxy, l’origine O e´tant dans le coin bas gauche du panneau etl’axe y est vertical. La cavite´ acoustique est sur la gauche de la photo. On peut voir a` droite dela photo le poˆt e´lectrodynamique qui de´livre la force d’excitation suivant l’axe z perpendicu-laire au plan du panneau, au point de coordonne´es x = 0.187m, y = 0.103m. Dans ce papier,les re´sultats pre´sente´s seront limite´s (1) a` l’acce´le´ration normale (suivant z) en deux points dupanneau : point P1 de coordonne´es x = 0.187m, y = 0.159m et point P2 de coordonne´esx = 0.337m, y = 0.272m, et (2) a` la pression en deux points de la cavite´ acoustique : pointC1 de coordonne´es x = 0.310m, y = 0.104m, z = 0.119m et point C2 de coordonne´esx = 0.135m, y = 0.104m, z = 0.021m.FIG. 1 – Photo du montage expe´rimental du syste`me vibroacoustique217 e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Troyes, – septembre 20053 Mode`le matriciel moyen re´duit du panneau couple´ avec la cavite´ acoustiquePour toute pulsation ω fixe´e dans la bande d’analyse, le mode`le matriciel moyen re´duit dusyste`me vibroacoustique peut s’e´crire,[[AS(ω)] iω[C]iω[C]T −[AF (ω)]] [qS(ω)q˜F (ω)]=[F S(ω)0](1)ou` qS(ω) est le vecteur complexe des n cordonne´es ge´ne´ralise´es de structure, FS(ω) est le vec-teur complexe des n forces modales externes, q˜F (ω) est le vecteur complexe desm coordonne´esge´ne´ralise´es acoustiques. La matrice de raideur dynamique ge´ne´ralise´e [AR(ω)] avec (R=S ouR=F) s’e´crit [AR(ω)] = −ω2[MR] + iω[DR] + [KR], dans laquelle [MR], [DR], [KR] sont lesmatrices de masse, d’amortissement, de raideur ge´ne´ralise´es. La matrice [C ] est la matrice re´elle(n ×m) de couplage vibroacoustique ge´ne´ralise´. Les de´placements de la structure et les pres-sions acoustiques dans la cavite´ sont donne´s par US(ω) = [Ψ]qS(ω) et PF (ω) = iω[Φ]q˜F (ω),ou` [Ψ] est la matrice re´elle (nS × n) constitue´e (1) des 6 modes de corps rigides du pan-neau et des (n − 6) modes e´lastiques de la structure in vacuo associe´s aux (n − 6) premie`resfre´quences propres de structure, [Φ] est la matrice re´elle (nF × m) constitue´e (1) du mode a`pression constante associe´ a` la valeur propre nulle et (2) des modes acoustiques associe´es aux(m − 1) premie`res fre´quences propres acoustiques de la cavite´ a` parois rigides. Enfin nS etnF repre´sentent les DDLs de la structure et de la cavite´ acoustique. Le maillage du panneauest constitue´ de 64 × 48 e´le´ments finis de plaque homoge´ne´ise´e a` 4 noeuds et le maillage dela cavite´ acoustique est constitue´ de 62 × 46 × 30 e´le´ments finis volumiques acoustiques a` 8noeuds. Le maillage est compatible sur l’interface de couplage vibroacoustique.4 Mode`le probabiliste non parame´trique des incertitudes pour le panneauL’e´quation (1) est remplace´e par[[AS(ω)] iω[C]iω[C]T −[AF (ω)]][ QS(ω)Q˜F (ω)]=[F S(ω)0](2)ou` QS(ω) et Q˜F (ω) sont les vecteurs ale´atoires complexes des coordonne´es ge´ne´ralise´es. Lamatrice re´duite moyenne de raideur dynamique ge´ne´ralise´e de la structure incertaine [AS(ω)] estremplace´e par la matrice ale´atoire complexe [AS(ω)] = −ω2[MS]+iω[DS]+[KS]. La construc-tion des matrices ale´atoires pleines ge´ne´ralise´es [MS], [DS], [KS] est donne´e dans les re´fe´rences[9,10]. Les pressions acoustiques ale´atoires dans la cavite´ et les de´placements ale´atoires de lastructure sont donne´s par US(ω) = [Ψ]QS(ω) et PF (ω) = iω [Φ] Q˜F (ω).5 Estimation expe´rimentale des parame`tres de dispersion du mode`le probabiliste nonparame´trique des incertitudes du panneauLa me´thode d’identification par proble`me inverse de ces parame`tres est de´veloppe´e (et ap-plique´e au panneau non couple´) dans les re´fe´rences [11,12], que nous re´sumons ci-apre`s. Onassocie au ν premiers modes propres e´lastiques calcule´s avec le mode`le moyen, les ν modese´lastiques expe´rimentaux construits avec l’analyse modale expe´rimentale. Comme les modes317 e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Troyes, – septembre 2005calcule´s et mesure´s sont diffe´rents, on introduit le changement de baseq˜exp(θr) = [Sexpν (θr)] qexp(θr) (3)avec q˜exp(θr) le vecteur dans C m des coordonne´es ge´ne´ralise´es expe´rimentales pour le pan-neau θr, et ou` qexp(θr) est le vecteur correspondant dans C m du mode`le moyen. La transfor-mation de´finie par l’Eq. (??) permet de transformer les matrices ge´ne´ralise´es expe´rimentales[M˜expν (θr)], [D˜expν (θr)] et [K˜expν (θr)] de masse, d’amortissement et de raideur, en les matrices[Mexpν (θr)], [Dexpν (θr)] and [Kexpν (θr)] qui sont exprime´es dans le meˆme sous-espace que [MSν ],[DSν ] et [KSν ]. Soit A repre´sentant M , D ou K. Soit [Gexpν (θr)] la matrice re´elle n × n de´finiepositive telle que [Aexpν (θr)] = [LAν ]T [Gexpν (θr)] [LAν ] dans laquelle la matrice re´elle n × ntriangulaire supe´rieure [LAν ] est telle que [Aν ] = [LAν ]T [LAν ]. On a donc[Gexpν (θr)] = [LAν ]−T [Aexpν (θr)] [LAν ]−1 (4)Pour une valeur fixe´e de ν, le parame`tre de dispersion δA de la matrice ale´atoire [ASν ] est estime´parδA(ν) ={18ν8∑r=1‖ [Gexpν (θr)]− [Iν ] ‖2F}1/2, (5)avec ‖[B]‖2F = tr{[B]T [B]} et ou` [Iν ] est la matrice unite´ ν × ν. Le parame`tre δA de la matriceale´atoire [AS] est alors choisi tel queδA = minν≥2δA(ν) (6)Le calcul nume´rique des fonctions ν 7→ δM(ν), ν 7→ δD(ν) et ν 7→ δK(ν) sur l’interval[1, 11], montre que le minimum pour chaque fonction est obtenu pour ν = 5 et donne lesvaleurs δM = 0.23, δD = 0.43 et δK = 0.25 (avec la the´orie utilise´e, ces valeurs sont prisesinde´pendantes de la dimension n du mode`le matriciel re´duit de la structure).6 Comparaison simulation nume´rique avec les re´sultats expe´rimentauxLes re´sultats nume´riques pre´sente´s correspondent a` des solutions de´terministes et stochas-tiques converge´es vis-a`-vis des dimensions n et m des re´ductions du mode`le et du nombre νde re´alisations pour le solveur stochastique de Monte Carlo. Les valeurs a` convergence sontn = 117, m = 630 et ν = 1000.Les figures 2 sont relatives au log10du module de l’acce´le´ration normale au panneau enm/s2 aux points P1 (Fig. 2(a)) et P2 (Fig. 2(b)) en fonction de la fre´quence en Hertz. On peutvoir sur ces figures, les mesures expe´rimentales pour les 8 panneaux (8 courbes en trait continumince noir), la re´ponse du syste`me moyen (trait continu rouge(couleur) ou gris(noir et blanc)),la valeur moyenne de la re´ponse du syste`me stochastique (trait discontinu mince noir), ainsique le domaine de confiance pour une probabilite´ de 0.98 de la re´ponse structurale du syste`mecouple´ stochastique pour les incertitudes de structure (zone jaune(couleur) ou grise´e(noir etblanc)). Les figures 3 sont relatives au log10du module de la pression acoustique dans la cavite´acoustique en N/m2 aux points C1 (Fig. 3(a)) et C2 (Fig. 3(b)) en fonction de la fre´quence enHertz. Les conventions utilise´es pour les traits sont celles des figures 2.417 e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Troyes, – septembre 20057 Analyses des re´sultats et conclusionsL’analyse expe´rimentale des 8 syste`mes vibroacoustiques constitue´s des 8 panneaux construitsavec le meˆme proce´de´ et d’une meˆme cavite´ acoustique montre une robustesse du processus defabrication des panneaux dans le domaine des basses fre´quences BF = [0, 1000] Hertz et unemoindre robustesse dans le domaine des moyennes fre´quences MF = [1000, 4500] Hertz. Lacomparaison des mesures avec les pre´visons du mode`le vibroacoustique moyen est bonne (pourles vibrations et le niveau de bruit) dans la bande BF et se de´grade significativement dans labande MF , la de´gradation augmentant avec la fre´quence et la de´gradation e´tant plus importantepour l’acoustique interne que pour les niveaux vibratoires structuraux. Concernant la robustessedes pre´visions des re´ponses vibroacoustiques vis-a`-vis des incertitudes de structure, le mode`leest robuste dans la band BF et peu robuste dans la bande MF , c’est-a`-dire est sensible auxincertitudes de mode`le de la structure. Il faut aussi noter que la perte de robustesse croıˆt avecla fre´quence pour le bruit interne. Les parame`tres de dispersion du mode`le probabiliste nonparame´trique des incertitudes de structure ont e´te´ identifie´s expe´rimentalement en re´solvantun proble`me inverse. Globalement, avec ces valeurs identifie´es, les comparaisons des mesuresavec la pre´vison vibroacoustique (pre´visions des acce´le´rations de la structure et des pressionsacoustiques dans la cavite´) donne´e par le mode`le stochastique des incertitudes de structure sontbonnes.Re´fe´rences[1] K. McConnell. Vibration Testing. Theory and Practice. Wiley Interscience, New York, 1995.[2] D. Ewins. Modal Testing : Theory and Practice. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1984.[3] E. Balmes. Structural dynamics toolbox for use with Matlab. Scientific Software, 2000.[4] O.O. Ochoa, J.N. Reddy. Finite Element Analysis of Composite Laminates. Kluwer Acade-mic Publishers, 1992.[5] J.N. Reddy. Mechanics of Laminated Composite Plates. CRC Press, 1997.[6] R.M. Jones. Mechanics of Composite Materials. Taylor and Francis, 1999.[7] R. Ohayon , C.Soize. Structural Acoustics and Vibration. Academic press, San Diego,London, 1998.[8] C. Lesueur. Rayonnement acoustique des structure. Eyrolles, Paris, 1988.[9] C. Soize. A nonparametric model of random uncertainties on reduced matrix model in struc-tural dynamics. Probabilistic Engineering Mechanics, 15(3) :277-294, 2000.[10] C. Soize. Maximum entropy approach for modeling random uncertainties in transient elas-todynamics. J. Acoust. Soc. Amer., 109(5) :1979-1996, 2001.[11] C. Chen,D. Duhamel, C. Soize. Uncertainties in structural dynamics for composite sand-wich panels. Proceedings of ISMA 2004 en CD-ROM,ISBN 9073802-82-2 : 2995-3008,2004.[12] C. Chen,D. Duhamel, C. Soize. Uncertainties model and its experimental identification instructural dynamics for composite sandwich panels. Journal of sound and vibration, sub-mitted in october, 2004.5

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