International audienceDans ce papier, nous étudions l'estimation de la densité spectrale d'un champ aléatoire stationnaire continu à l'aide d'un échantillonnage poissonnien. Sous certaines conditions de régularité sur les cumulants d'un tel champ, nous construisons un estimateur de sa densité spectrale et nous établissons la consistance en moyenne quadratique et la normalité asymptotique de celui-ci

Dehay, Dominique

Kouakou, Kouadio Simplice

HAL-Rennes 1

Estimation de la densite´ spectrale d’un champ ale´atoirestationnaire continu par e´chantillonnage poissonnienKouadio Simplice Kouakou, Dominique DehayTo cite this version:Kouadio Simplice Kouakou, Dominique Dehay. Estimation de la densite´ spectrale d’un champale´atoire stationnaire continu par e´chantillonnage poissonnien. 41e`mes Journe´es de Statistique,SFdS, Bordeaux, May 2009, Bordeaux, France, France. 2009. <inria-00386743>HAL Id: inria-00386743https://hal.inria.fr/inria-00386743Submitted on 22 May 2009HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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Sous certaines conditions de re´gularite´ surles cumulants d’un tel champ, nous construisons un estimateur de sa densite´ spectrale et nous e´tablissonsla consistance en moyenne quadratique et la normalite´ asymptotique de celui-ci.Abstract: In this paper we study the estimation of the spectral density function of a continuous station-ary random field from Poisson sampling. Under regularity conditions on the cumulants of the field weestablish the quadratic consistency and the asymptotic normality of the spectral density estimator.Mots-cle´s: Estimation, densite´ spectrale, champ ale´atoire stationnaire, e´chantillonnage poissonnien, con-sistance en moyenne quadratique, biais, normalite´ asymptotique.1 IntroductionOn conside`re un champ ale´atoire stationnaire centre´ a` valeurs re´elles X = {X(s, t) : s, t ∈ R} , de momentsd’ordre 2 finis et de fonction de covariance continue CX : (u, v) 7→ E{X(s, t)X(s + u, t + v)} ∈ L1(R2).On se propose d’estimer sa densite´ spectrale fX(λ, α) = 1(2pi)2∫R2CX(u, v)e−iλue−iαvdudv, a` partird’observations discre`tes {X(τk, νj) : k ≥ 1, j ≥ 1}, ou` {τk} et {νj} sont des processus de Poisson. Ceproble`me a e´te´ e´tudie´ par Lii et Masry (1994) pour des processus stationnaires indexe´s par R. Nousadoptons leur me´thode au cas bi-dimensionnel.Notre papier se pre´sente comme suit. Dans la section 2, nous e´tudions le proble`me d’e´chantillonnage duchamp X. Ensuite, dans la section 3, nous de´finissons un estimateur de fX(λ, α), et dans la section 4,nous e´tablissons respectivement la consistance en moyenne quadratique et la normalite´ asymptotique decet estimateur.2 Pre´liminaires et Hypothe`sesSoient τ et ν deux processus de Poisson inde´pendants entre eux, et inde´pendants du champ X. Soit N1(resp. N2) le processus de comptage associe´ a` τ (resp. ν) et β1 = E{N1(]0; 1])} (resp. β2 = E{N2(]0; 1])})l’intensite´ moyenne du processus τ (resp. ν).Soit Z le processus e´chantillonne´ de´fini par : Z(s + ds, t + dt) = X(s, t)N1(s + ds)N2(t + dt) et µZ lamesure σ-finie de´finie par : µZ(du, dv)dsdt = Cov{Z(s+ds, t+dt), Z(s+u+du, t+v+dv)}, ou` N1(s+ds)est le nombre de τk dans ]s, s+ ds] et N2(t+ dt) le nombre de νj dans ]t, t+ dt].1La densite´ spectrale, note´e fZ(λ, α), du processus Z est de´finie par :fZ(λ, α) =1(2pi)2∫R2e−iλue−iαvµZ(du, dv).Nous de´duisons que, fX(λ, α) = 1β21β22fZ(λ, α)− 12piβ21β2 fZ1(λ)−12piβ1β22fZ2(α) +1(2pi)2β1β2CX(0, 0),ou` fZ1(λ) =β1CX(0,0)2pi + β21f(1)X (λ), fZ2(α) =β2CX(0,0)2pi + β22f(2)X (α),f(1)X (λ) =12pi∫RCX(u, 0)e−iλudu et f(2)X (α) =12pi∫RCX(0, v)e−iαvdv.Les hypothe`sesHypothe`se 2.1 Soit W une fonction re´elle continue, paire et positive, satisfaisant les conditionssuivantes : W ∈ L1 ∩ L∞,∫RW (λ)dλ = 1 et w(u) :=∫RW (λ)eiλudλ ∈ L1.Hypothe`se 2.2 Soit K ≥ 2. Pour tout k = 2, ...,K, et tout j = 1, ..., k − 1,∫R2k−2(1 + |uj |)(1 + |vj |)∣∣∣C(k)X ((u1; v1), (u2; v2), ..., (uk−1; vk−1))∣∣∣ du1...duk−1dv1...dvk−1 < +∞,ou` C(k)X est le cumulant d’ordre k de X.3 De´finition de l’estimateur de la densite´ spectraleUn estimateur de la densite´ spectrale fX(λ, α) est de´fini comme suit :f̂X(λ, α) =1β21β22f̂Z(λ, α)− 12piβ21β2f̂Z1(λ)−12piβ1β22f̂Z2(α) +1(2pi)2β1β2ĈX(0, 0),ou`ĈX(0, 0) =1β1β2T1T2∫ T10∫ T20X2(s, t)N1(s+ ds)N2(t+ dt),f̂Z(λ, α) =∫R2WT1(λ− u)WT2(α− v)IT1,T2(u, v)dudv,f̂Z1(λ) =∫RWT1(λ− u)I(1)T1,T2(u)du, f̂Z2(α) =∫RWT2(α− v)I(2)T1,T2(v)dv,I(1)T1,T2(λ) =12piβ2T1T2∫ T20|dZ,T1(λ, t)|2N2(t+ dt), I(2)T1,T2(α) =12piβ1T1T2∫ T10|dZ,T2(s, α)|2N1(s+ ds),IT1,T2(λ, α) =1(2pi)2T1T2∣∣∣∣∣∫ T10∫ T20X(s, t)e−iλse−itαN1(s+ ds)N2(t+ dt)∣∣∣∣∣2dZ,T1(λ, t) =∫ T10X(s, t)e−iλsN1(s+ ds), dZ,T2(s, α) =∫ T20X(s, t)e−iαtN2(t+ dt)WTj (u) =1bTjW(ubTj), avec bTj → 0 lorsque Tj →∞.A partir des observations {X(τk, νj)}1≤k≤N(T1),1≤j≤N(T2), l’estimateur de la densite´ spectrale s’e´crit sousla forme :f̂X(λ, α) =1(2pi)2T1T2β21β22N(T1)∑k=1,k 6=mN(T2)∑j=1,j 6=nN(T1)∑m=1N(T2)∑n=1X(τk, νj)X(τm, νn)e−iλ(τk−τm)e−iα(νj−νn)×w [bT1(τk − τm)]w [bT2(νj − νn)] .24 Proprie´te´s de l’estimateur4.1 Consistance en moyenne quadratiqueThe´ore`me 4.1 On suppose que X est un champ ale´atoire stationnaire centre´ a` valeurs re´elles dont lafonction d’autocovariance CX ∈ L1(R2) satisfait les conditions suivantes : uCX(u, 0), vCX(0, v) ∈ L1(R).Alors, l’estimateur f̂X(λ, α) de la densite´ spectrale est asymptotiquement sans biais.Corollaire 4.1 On suppose les hypothe`ses du the´ore`me 4.1 satisfaites.Soit N un entier naturel non nul tel que :(i) ukvNCX(u, v) ∈ L1(R2), uNvpCX(u, v) ∈ L1(R2), pour k, p = 0, 1, ..., N ,(ii) w(.) est N -fois diffe´rentiable, avec w(N)(.) borne´e et continue.Alors,E{f̂X(λ, α)}= fX(λ, α) +∑(k,p)∈Λ∗N(ibT1)k(ibT2)pw(k)(0)w(p)(0)k!p!∂k+p(∂x)k(∂y)pfX(λ, α)+o(bNT1)+ o(bNT2)+O(1T1)+O(1T2), ou` Λ∗N = [0, ..., N ]× [0, ..., N ] \ {(0, 0)}.Comme w(1)(0) = 0, le biais de f̂X(λ, α) s’e´crit :biais{f̂X(λ, α)}= −b2T1w(2)(0)2∂2∂x2fX(λ, α)−b2T2w(2)(0)2∂2∂y2fX(λ, α) +b2T1b2T2[w(2)(0)]24∂4(∂x)2(∂y)2fX(λ, α)+o(b2T1)+ o(b2T2)+O(1T1)+O(1T2).The´ore`me 4.2 On suppose les hypothe`ses 2.1 et 2.2 satisfaites avec K = 4, et bTj → 0 tel que TjbTj →∞(j = 1, 2). Alors, pour tous λ1, λ2, α1, α2, on a :Cov{f̂X(λ1, α1), f̂X(λ2, α2)}=(2pi)2T1T2bT1bT2β41β42f2Z(λ1, α1) [δλ1,λ2δα1,α2 + δλ1,−λ2δα1,−α2 ](∫RW 2(u)du)2+12piβ41β32T1T2bT1f2Z1(λ1)× (δλ1,λ2 + δλ1,−λ2)×∫RW 2(u)du+12piβ31β42T1T2bT2f2Z2(α1)× (δα1,α2 + δα1,−α2)×∫RW 2(u)du+O(1T1)+O(1T2)+ o(1T1T2bT1bT2)+O(1T1T2√bT1bT2).4.2 Normalite´ asymptotiqueOn pose Co (R+, ]0; 1[) = {g ∈ C(R+) : 0 < g < 1, limx→+∞ g(x) = 0}, ou` C(R+) est l’ensemble des fonc-tions re´elles continues et de´finies sur R+ = [0;+∞[.The´ore`me 4.3 On suppose que les hypothe`ses du the´ore`me 4.2 sont satisfaites et queT1 7→ bT1 , T2 7→ bT2 ∈ Co (R+, ]0; 1[) telles que c1T1 + c2T2 = o(1bT1bT2), pour tous re´els positifs c1, c2.Alors, pour tous λ1, λ2, α1, α2, on a :T1T2bT1bT2Cov{f̂X(λ1, α1), f̂X(λ2, α2)}=(2pi)2β41β42f2Z(λ1, α1) [δλ1,λ2δα1,α2 + δλ1,−λ2δα1,−α2 ]×(∫RW 2(u)du)2+ o(1) +O(√bT1bT2). (4.1)3The´ore`me 4.4 On suppose que les hypothe`ses du the´ore`me 4.3 sont satisfaites et que pour j = 1, 2,bTj = O(T−γjj), avec 12 < γj < 1. Alors, les variables{(T1T2bT1bT2)12{f̂X(λi, αi)− E{f̂X(λi, αi)}}ni=1}sont conjointement, asymptotiquement normales de moyenne nulle et de covariances donne´es par (4.1).Remarques :• Pour bTj = O(T−γjj), j = 1, 2, on a : c1T1+c2T2 = o(1bT1bT2)si et seulement si T1−γ1γ21 << T2 << Tγ11−γ21 .• Si w(2)(0) = 0, alors le the´ore`me 4.4 de normalite´ asymptotique est encore valable lorsque l’on remplaceE{f̂X(λi, αi)}par fX(λi, αi).5 Discussion et exemple(i) On suppose les hypothe`ses du corollaire 4.1 satisfaites pour N ≥ 2. Alors la vitesse de convergence del’estimateur de la densite´ spectrale est : T γ1−11 Tγ2−12 .(ii) Si f̂X,C(λ, α) est l’estimateur classique de fX(λ, α) pour les observations {X(s, t) : 0 ≤ s ≤ T1, 0 ≤ t ≤ T2},alors f̂X,C(λ, α) a le meˆme biais que f̂X(λ, α) et sa variance est (Parzen, 1967) :V ar{f̂X,C(λ, α)}=(2pi)2T1T2bT1bT2f2X(λ, α) (1 + δ0,λδ0,α)(∫RW 2(u)du)2+ o(1T1T2bT1bT2)+O(1T1T2√bT1bT2).En remarquant que VP (λ, α) := 1β41β42f2Z(λ, α) > f2X(λ, α), pour tout (λ, α), la comparaison en moyennequadratique de ces deux estimateurs peut eˆtre faite a` l’aide du coefficient d’approximation :K(λ, α) :=VP (λ, α)− f2X(λ, α)VP (λ, α).Il est clair que 0 < K(λ, α) < 1, pour tout (λ, α).Comme exemple, conside´rons le champ : X(s, t) = X1(s)X2(t), ou` X1 et X2 sont deux processus station-naires centre´s inde´pendants, de fonctions d’autocovariance respectives C1(u) = σ21e−ρ1|u| etC2(v) = σ22e−ρ2|v|, avec ρ1 > 0, ρ2 > 0. On ve´rifie que :fX(λ, α) =ρ1ρ2σ21σ22pi2(ρ21 + λ2)(ρ22 + α2),VP (λ, α) =(σ1σ2pi)4{ ρ1ρ2(ρ21 + λ2)(ρ22 + α2)+14β1β2+12[ρ1β2(ρ21 + λ2)+ρ2β1(ρ22 + α2)]}2,et que VP (λ, α) > f2X(λ, α).La figure 1 illustre l’e´cart relatif en moyenne quadratique des estimateurs f̂X,C(λ, α) et f̂X(λ, α) pourρ1 = ρ2 = pi, σ1 = σ2 = 1, (λ, α) ∈ [−10; 10]2 et 3 valeurs respectives (0.4, 0.5), (1, 5) et (7, 9) de (β1, β2).Elle montre aussi que l’on a une meilleure approximation de la densite´ spectrale fX(λ, α), lorsque lesintensite´s moyennes β1 et β2 ont de grandes valeurs.AnnexePreuve du the´ore`me 4.1Graˆce a` l’hypothe`se 2.2, nous montrons que :E (IT1,T2(λ, α)) =1(2pi)2T1T2[(2pi)2T1T2fZ(λ, α) +O(1)]= fZ(λ, α) +O(1T1T2).4Nous montrons aussi que :E{f̂Z1(λ)}=∫RW (u)fZ1(λ− bT1u)du+O(1T1), E{f̂Z2(α)}=∫RW (v)fZ2(α− bT2v)dv +O(1T2),E{ĈX(0, 0)}=1β1β2T1T2∫ T10∫ T20CX(0, 0)β1β2dsdt = CX(0, 0).Le re´sultat s’obtient en utilisant le the´ore`me de convergence domine´e.Preuve du corollaire 4.1En re´e´crivant E{f̂X(λ, α)}, on obtientE{f̂X(λ, α)}=1(2pi)2∫R2e−iλre−iαlw(bT1r)w(bT2 l)CX(r, l)drdl +O(1T1)+O(1T2).Le re´sultat s’obtient en de´veloppant w(t) en se´ries de Taylor avec reste inte´gral.Preuve du the´ore`me 4.2Cov{f̂X(λ1, α1), f̂X(λ2, α2)}=∑16i=1 Ji, ou`J1 =1β41β42Cov{f̂Z(λ1, α1), f̂Z(λ2, α2)}=(2pi)2T1T2bT1bT2β41β42f2Z(λ1, α1) [δλ1,λ2δα1,α2 + δλ1,−λ2δα1,−α2 ](∫RW 2(u)du)2+ o(1T1T2bT1bT2)+O(1T1T2),J6 =1(2pi)2β41β22Cov{f̂Z1(λ1), f̂Z1(λ2)}=12piβ41β32T1T2bT1f2Z1(λ1)× (δλ1,λ2 + δλ1,−λ2)×∫RW 2(u)du+ o(1T1T2bT1)+O(1T1T2)+O(1T2),J11 =1(2pi)2β21β42Cov{f̂Z2(α1), f̂Z2(α2)}=12piβ31β42T1T2bT2f2Z2(α1)× (δα1,α2 + δα1,−α2)×∫RW 2(u)du+ o(1T1T2bT2)+O(1T1T2)+O(1T1)J16 =1(2pi)4β21β22V ar(ĈX(0, 0))= O(1T1T2)et, graˆce a` l’ine´galite´ de Cauchy-Schwarz et le fait que WTj ∈ L1,J2 = O(1T1T2√bT1bT2), J3 = O(1T1T2√bT1bT2), J4 = O(1T1T2√bT1bT2), J5 = O(1T1T2√bT1bT2),J7 = O(1T1T2√bT1bT2), J8 = O(1T1T2√bT1), J9 = O(1T1T2√bT1bT2), J10 = O(1T1T2√bT1bT2),J12 = O(1T1T2√bT2), J13 = O(1T1T2√bT1bT2), J14 = O(1T1T2√bT1), J15 = O(1T1T2√bT2).Preuve du the´ore`me 4.3Pour prouver ce the´ore`me, il suffit de remarquer que12piβ41β32T1T2bT1f2Z1(λ1)× (δλ1,λ2 + δλ1,−λ2)×∫RW 2(u)du = o(1T1T2bT1bT2),512piβ31β42T1T2bT2f2Z2(α1)× (δα1,α2 + δα1,−α2)×∫RW 2(u)du = o(1T1T2bT1bT2),et que pour tous re´els positifs c1, c2, on a c1T1+c2T2T1T2 = o(1T1T2bT1bT2), car c1T1 + c2T2 = o(1bT1bT2).Preuve du the´ore`me 4.4On ve´rifie que : Cov{f̂Zj (λ), f̂Zj (α)}= O(1T1T2bTj), pour j = 1, 2. Donc pour montrer ce the´ore`me, ilsuffit de montrer que tous les cumulants croise´s d’ordre k ≥ 3 de{√T1T2bT1bT2 f̂Z(λj , αj)}j=1,...,ktendentvers ze´ro lorsque T1, T2 →∞.En utilisant les e´tapes de la preuve du the´ore`me 4.1 de Lii et Masry (1994) nous obtenons, pour k ≥ 3(T1T2bT1bT2)k2Cum{f̂Z(λ1, α1), ..., f̂Z(λk, αk)}= O((T1T2)1−k2)+O(bT1bT2T1T2) k2−1+O((1T1T2) k2−1(bT1bT2)k2−2 lnT1 lnT2)+ ...+O((lnT1 lnT2)k−2(T1T2bT1bT2)k2−1),qui tend vers ze´ro, car bTj = O(T−γjj)et 12 < γj < 1.Bibliographie[1] K.S. Lii, E. Masry (1994) Spectral estimation of continuous-time stationary processes from randomsampling. Stochastic Processes and their Applications 52, pp. 39− 64.[2] E. Parzen (1967) Time Series Analysis Papers. Holden-Day, San Fransisco.lambdaalphavlambdaalphaulambdaalphayFigure 1: Coefficient d’approximation K pour 3 valeurs de (β1, β2).6

Estimation de la densité spectrale d'un champ aléatoire stationnaire continu par échantillonnage poissonnien

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