International audienceUne prévision correcte de la consommation d'électricité est fondamentale pour le bon fonctionnement du réseau électrique français, dont Réseau de Transport d'Electricité a la charge. Les prévisions utilisées quotidiennement par RTE sont issues d'un modèle alliant une régression paramétrique non linéaire et un modèle SARIMA. Dans l'idée d'obtenir un modèle de prévision adaptatif, des méthodes de prévision non-paramétriques ont déjà été testées sans succès véritable. On sait notamment que la qualité d'un prédicteur non-paramétrique résiste mal à un grand nombre de variables explicatives, ce qu'on appelle communément le fléau de la dimension. Nous utilisons une méthode de correction itérative du biais, en lissant les résidus obtenus à chaque étape. Nous appliquons cette méthode à la consommation d'électricité française sur laquelle les performances sont bonnes

Cornillon, Pierre-André

Hengartner, Nicolas

Lefieux, Vincent

Matzner-Løber, Eric

National audienceRéseau de Transport d’Electricité (RTE), in charge of operating the French electric transportation grid, needs an accurate forecast of the electricity consumption in order to operate it correctly. The forecasts used everyday result from a model combining a nonlinear parametric regression and a SARIMA model. In order to obtain an adaptive forecasting model, nonparametric forecasting methods have already been tested without real success. In particular, it is known that a nonparametric predictor behaves badly with a great number of explanatory variables, what is commonly called the curse of dimensionality. We use a method which iteratively corrects the bias initial estimator by an estimate of the latter obtained by smoothing the residuals. We apply the method to the french electricity consumption and show that the method compares favourably with existing procedures.Une prévision correcte de la consommation d’électricité est fondamentale pour le bon fonctionnement du réseau électrique français, dont Réseau de Transport d’Electricité à la charge. Les prévisions utilisées quotidiennement par RTE sont issues d’un modèle alliant une régression paramétrique non linéaire et un modèle SARIMA. Dans l’idée d’obtenir un modèle de prévision adaptatif, des méthodes de prévision non-paramétriques ont déjà été testées sans succès véritable. On sait notamment que la qualité d’un prédicteur non-paramétrique résiste mal à un grand nombre de variables explicatives, ce qu’on appelle communément le fléau de la dimension. Nous utilisons ici une méthode de correction itérative du biais, en lissant les résidus obtenus à chaque étape. Nous présentons dans cette communication un exemple d’application sur la consommation d’électricité française pour lequel cette méthode se révèle performante

Matzner-Lober, Eric

HAL-Rennes 1

Prévision de la consommation d'électricité par correction itérative du biais

HAL Descartes

Pre´vision de la consommation d’e´lectricite´ parcorrection ite´rative du biaisPierre-Andre´ Cornillon, Nicolas Hengartner, Vincent Lefieux, EricMatzner-LøberTo cite this version:Pierre-Andre´ Cornillon, Nicolas Hengartner, Vincent Lefieux, Eric Matzner-Løber. Pre´vision dela consommation d’e´lectricite´ par correction ite´rative du biais. 41e`mes Journe´es de Statistique,SFdS, Bordeaux, 2009, Bordeaux, France, France. 2009. <inria-00386629>HAL Id: inria-00386629https://hal.inria.fr/inria-00386629Submitted on 22 May 2009HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Prévision de la consommation délectricité par correctionitérative du biaisPierre-André Cornillon1, Nicolas Hengartner2, Vincent Leeux3 & Eric Matzner-Løber4(1) UMR ASB - Montpellier SupAgro, pierre-andre.cornillon@supagro.inra.fr(2) Los Alamos National Laboratory - NW - USA, nickh@lanl.gov(3) RTE - Département Méthodes et Appui, vincent.leeux@rte-france.com(4) IRMAR UMR 6625 - Université Rennes 2, eml@uhb.frRésuméUne prévision correcte de la consommation délectricité est fondamentale pour le bonfonctionnement du réseau électrique français, dont Réseau de Transport dElectricité a lacharge. Les prévisions utilisées quotidiennement par RTE sont issues dun modèle alliantune régression paramétrique non linéaire et un modèle SARIMA. Dans lidée dobtenirun modèle de prévision adaptatif, des méthodes de prévision non-paramétriques ont déjàété testées sans succès véritable. On sait notamment que la qualité dun prédicteur non-paramétrique résiste mal à un grand nombre de variables explicatives, ce quon appellecommunément le éau de la dimension. Nous utilisons ici une méthode de correctionitérative du biais, en lissant les résidus obtenus à chaque étape. Nous présentons danscette communication un exemple dapplication sur la consommation délectricité françaisepour lequel cette méthode se révèle performante.AbstractRéseau de Transport dElectricité (RTE), in charge of operating the French electrictransportation grid, needs an accurate forecast of the electricity consumption in orderto operate it correctly. The forecasts used everyday result from a model combining anonlinear parametric regression and a SARIMA model. In order to obtain an adaptiveforecasting model, nonparametric forecasting methods have already been tested withoutreal success. In particular, it is known that a nonparametric predictor behaves badlywith a great number of explanatory variables, what is commonly called the curse ofdimensionality. We use a method which iteratively corrects the bias initial estimator byan estimate of the latter obtained by smoothing the residuals. We apply the method tothe french electricity consumption and show that the method compares favourably withexisting procedures.Mots clésRégression non paramétrique, Méthode itérative, LissageKeywordsNonparametric regression, Iterative procedure, Smoother11 ProblématiqueLélectricité ne se stockant pas, la production globale sur le réseau électrique français doit,à tout moment, être strictement égale à la consommation. Toute modication de la de-mande ou de la production délectricité en un point du réseau se répercute instantanémentsur tout le système électrique. Celui-ci doit donc sadapter en permanence pour satisfaireléquilibre o¤re-demande.La prévision à court terme est un facteur essentiel pour assurer léquilibre entre laproduction et la consommation durant la journée. La prévision faite par RTE permetde garantir léquilibre physique global entre lo¤re et la demande à léchelle du pays. Desa qualité dépendent le niveau des marges dexploitation nécessaires et plus largement lasûreté du système.La solution actuellement en place sexplique historiquement. Les séries temporellesont connu un fort essor, notamment grâce à Box et Jenkins qui ont développé leursmodèles SARIMA. Leur ouvrage a constitué une référence théorique, mais égalementun guide pratique assez riche, et ce particulièrement dans le domaine électrique. ChoisirSARIMA pour e¤ectuer les prévisions était donc a priori un choix techniquement pertinentet quasiment naturel. Malheureusement, ces modèles nintègrent pas de variables exogèneset il a donc fallu trouver un biais en leur adjoignant un modèle de régression (liant lapuissance consommée avec les variables climatiques et les signaux de prix).Au nal, la prévision journalière se¤ectue en trois étapes : On corrige la courbe de charge de limpact du climat et des prix, an de se ramenerà une série temporelle ne dépendant plus des variables explicatives. On utilise àcet e¤et un modèle de régression, quon surnomme communément dans notre casmodèle de correction. On utilise un modèle SARIMA sur la série ainsi corrigée; la seule dynamique dela série permet de la prévoir. On réutilise le modèle de correction an dajouter à la courbe corrigée prévuelimpact futur du climat et des prix.Même si les résultats opérationnels sont satisfaisants la plupart du temps, cette méthodolo-gie présente un certain nombre dinconvénients.Le modèle actuellement en place est complexe et il est très di¢ cile de modier sastructure. Si on veut tester par exemple lincorporation dune nouvelle variable explicative,il est peu probable dy parvenir facilement, la juxtaposition du modèle de régression etdu modèle SARIMA ne permettant pas disoler les causes de lerreur nale de prévision.De plus, une prévision même en temps quoutil daide à la décision, devrait fournir unintervalle de conance sur la prévision, ce qui est impossible pour linstant ; les méthodes2de bootstrap pourraient être envisagées mais les dépendances temporelles complexes etles multiples variables exogènes rendent la tâche complexe.Le non-paramétrique constitue une alternative intéressante, en ce sens quil ne spéciepas la fonction de lien. On peut a priori incorporer de nouvelles variables explicativeset simplement réestimer une fonction de lien de dimension plus élevée. Il est égalementpossible délaborer des intervalles de conance en se basant sur lhistorique des erreursde modélisation. Linconvénient majeur de ces techniques réside dans le éau de la di-mension ; on sait en e¤et que des problèmes de convergence se posent si la dimension dumodèle saccroît (en pratique, ce problème de convergence va se traduire par des estima-teurs de piètre qualité). Citons les travaux de Poggi [3] sur la prévision de la consommationdélectricité corrigées des aléas climatiques et tarifaires.Des alternatives semi-paramétriques existent, que ce soit lapproximation fonctionnelleou la réduction de dimension. La méthode employée ici reste non-paramétrique, et utiliseen fait le éau de la dimension. En e¤et une autre façon dinterpréter le éau de ladimension consiste à voir que les estimateurs non paramétriques en dimension élevée sonttous biaisés ; nous appliquons donc une méthode itérative de réduction du biais à laprévision non-paramétrique de séries temporelles.2 Présentation de la méthodeOn se place dans un contexte de régression et on désigne par f(Xi; Yi)gni=1 n observations.Supposons que les données (Xi; Yi) 2 Rd  R sont liées via le modèle de régressionYi = m(Xi) + "i; i = 1; : : : ; n;où m() est la fonction inconnue et les erreurs sont indépendantes, de moyenne nulle etde variance 2. Ce modèle peut sécrire sous forme matricielleY = m+ ":Un lisseur linéaire sécrit simplement sous la formebm1 = SY;où S est matrice de lissage de taille n  n et bm = bY = (bY1; : : : ; bYn)t, sont les valeursajustées. En général, un lisseur est paramétré par un paramètre de lissage  (la fenêtrepour un lisseur à noyau, la pénalité pour les splines de lissage...). Nous écrirons le lisseurde façon à quune valeur élevée de  corresponde à un estimateur très lisse. Classiquement,il faut ensuite sélectionner le paramètre .3Nous partons dun estimateur lisse ( grand), et calculons les résidus à cette premièreétape et nous corrigeons lestimateur initial ou pilote en enlevant les résidus lissés (parsimplicité nous conserverons le même lisseur à chaque étape), cela donneR1 = Y   bm1 = (I   S1)Ybm2 = bm1 + S1R1= (S1 + S1(I   S1))Y:Nous itérons cette procédure et lestimateur à létape k peut sécrirebmk = S1Y + S1(I   S1)Y +   + S1(I   S1)k 1Y= S1[Y + (I   S1)Y +   + (I   S1)k 1Y ]= S1^k:Cette formulation permet une évaluation de la fonction en tout point x viabmk(x) = S1(x)^k:On peut montrer que le comportement de lestimateur dépend des valeurs singulières deI   S1. Cependant cet estimateur na un intérêt que si nous pouvons choisir le nombreditération k. Ce choix est obtenu en utilisant le critère de validation croisée généraliséek^GCV = argmink2Klog b2   2 log1  trace(Sk)nLes résultats théoriques concernant cet estimateur se trouvent dans [1].3 Mise en uvre pratiqueLes premières données sur lesquelles nous avons mis en uvre cette méthode, sont lesconsommations horaires délectricité corrigées des aléas climatique et tarifaire. Lobjectifconsiste à prévoir une journée entière de charge à partir des 2 semaines précédentes, cequi constitue un historique relativement faible, propice à introduire un biais importantsur le prédicteur non-paramétrique.Dans notre problème nous souhaitons prévoir une série chronologique fZtgnt=1. Pourprévoir le futur de cette série sans autre information, nous avons décidé destimer unmodèle autorégressif non-linéaire de mémoire 24, le modèle général sécrit doncZH = f(ZH 1; ZH 2; : : : ; ZH 24) + "Hoù f : R24 7! R est une fonction inconnue. Pour estimer cette fonction, nous utilisons14 jours dhistorique. Nous considérons un estimateur de cette fonction, sans préjuger de4lexistence déventuelles interactions entre les heures. Pour cela, nous allons utiliser unestimateur non-paramétrique par la méthode des noyaux.Appelons Y le vecteur à n = 336 mesures contenant les charges de 14 jours. Constru-isons les vecteurs à n = 336 mesures X1; X2; : : : ; X24 contenant les consommations de ces14 jours (et plus) décalées dune heure, de deux heures, etc. La matrice regroupant ces 24vecteurs est appelée X et contient sur la ligne i les charges horaires décalées dune heure àchaque fois. Sur les données dont nous disposons, le modèle sécrit sous forme vectoriellecomme suit :Y = f(X1; : : : ; X24) + "Nous utilisons le noyau produit gaussien. Pour x 2 R24, nous avons :Kh(x Xi:) =24Yj=11p2exp(xj  Xij)2hoù Xi: représente la i-ème ligne de la matrice X et h 2 R+ est la largeur de fenêtre (àdéterminer).Lajustement du vecteur des observations Y par la méthode des noyaux est alors :Y^ = KYoù K est la matrice n n suivante :K =264 Kh(0)=w1 Kh(X1:  X2:)=w1 Kh(X1:  X3:)=w1   Kh(X1:  X2:)=w2 Kh(0)=w2 Kh(X2:  X3:)=w2   .... . .   375avec wi =Pnj=1Kh(x Xi:).Pour appliquer la méthode itérative de réduction du biais, nous partons dun estima-teur biaisé obtenu à partir des largeurs de fenêtre fhjg24j=1 trop larges. Dans la secondeétape, les résidus Y   Y^ sont alors réajustés par la même méthode. Comme les largeurs defenêtre sont trop élevées, les résidus de cette seconde étape contiennent encore du signalet nous pouvons lors dune troisième étape les réajuster par la même méthode. Nousitérons donc ce procédé et nous nous arrêtons à létape K, choisie par validation croiséegénéralisée.Le choix du nombre détapes k est conduit grâce au critère de validation croisée général-isée. Ce modèle permet donc en fonction des charges de 0 à 23h dune journée j de prévoirla charge à 0h de la journée j + 1. Cette prévision notée Z^0 est simplement :Z^0 = f^(Z23; Z22; : : : ; Z0)5Pour prévoir la charge du jour j + 1 de 1h à 23h, il su¢ t dutiliser lestimation f^ def inconnue et de calculerZ^1 = f^(Z^0; Z23; : : : ; Z1)jusquà :Z^23 = f^(Z^22; Z^21; : : : ; Z^0; Z23)Nous pouvons alors calculer pour chaque jour des critères de qualité de prévisioncomme le MAPE ou le RMSE. Nous donnerons les résultats numériques obtenus et lacomparaison avec les méthodes SARIMA, du noyau classique et MARS. Nous montreronsainsi les apports de la méthode sur notre problématique.Enn, nous présenterons les premiers résultats sur la consommation délectricité glob-ale (non corrigée des aléas climatique et tarifaire) qui nécessite la prise en compte devariables exogènes, la température entre autre.Bibliographie[1] Cornillon P. A., Hengartner N., Matzner-Løber E. (2009) Recursive Bias Estimationfor high dimensional regression smoothers, soumis.[2] Friedman, J. (1991) Multivariate adaptive regression splines, The Annals of Statistics,Vol. 19 337407.[3] Poggi J. M. (1994) Prévision non-paramétrique de la consommation électrique, Revuede Statistique Appliquée, Vol. 42 N4 83-98.6

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