National audienceRecently, it has been established that the best space-time trellis codes (STTCs) belong to a specific class of codes. These codes are called "balanced STTCs" because they use the points of the MIMO constellation with the same probability. Therefore, the search of the best codes can be reduced to this class. This paper presents a new and general method to design 2^n-PSK balanced STTCs for any number of transmit antennas. This method is simpler than the first method, which was described only for 4-PSK modulation and can be generalized for any configuration of the space-time trellis encoder. Simulation results of new 4-PSK and 8-PSK balanced codes prove the importance of this class

Hélard, Jean-François

Viland, Pierre

Zaharia, Gheorghe

HAL-Rennes 1

Nouvelle me´thode ge´ne´rale de construction des meilleurscodes temps-espace en treillis e´quilibre´sPierre Viland, Gheorghe Zaharia, Jean-Franc¸ois He´lardTo cite this version:Pierre Viland, Gheorghe Zaharia, Jean-Franc¸ois He´lard. Nouvelle me´thode ge´ne´rale de con-struction des meilleurs codes temps-espace en treillis e´quilibre´s. GRETSI 2009, Sep 2009,Dijon, France. pp.1-4, 2009. <hal-00430195>HAL Id: hal-00430195https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00430195Submitted on 6 Nov 2009HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Nouvelle me´thode ge´ne´rale de construction des meilleurs codestemps-espace en treillis e´quilibre´sPierre VILAND, Gheorghe ZAHARIA, Jean-Franc¸ois HE´LARDInstitut d’Electronique et de Te´le´communications de Rennes - UMR CNRS 616420 av. des buttes de Coe¨smes, 35043 RENNES, Francepierre.viland@insa-rennes.frRe´sume´ – Re´cemment, il y a e´te´ e´tabli que les meilleurs codes temps-espace en treillis (STTCs) appartiennent a` une classe spe´cifique de codes.Ces codes sont appele´s ” codes e´quilibre´s ” parce que les points de la constellation MIMO (multiple input multiple output) sont utilise´s demanie`re e´quiprobable. Ainsi, la recherche des meilleurs codes peut eˆtre re´duite a` cette classe. Ce papier pre´sente une nouvelle me´thode pourconstruire les codes e´quilibre´s utilisant une modulation 2n-PSK, quel que soit le nombre d’antennes d’e´mission. Cette me´thode est plus simpleque la premie`re me´thode qui est de´crite uniquement pour une modulation 4-PSK et peut eˆtre ge´ne´ralise´e pour n’importe quelle configuration decodeur temps-espace en treillis. Les re´sultats de simulation montrent que les nouveaux codes propose´s pour les modulations 4-PSK et 8-PSKsont le´ge`rement plus performants que les meilleurs codes pre´ce´demment publie´s.Abstract – Recently, it has been established that the best space-time trellis codes (STTCs) belong to a specific class of codes. These codesare called ”balanced STTCs” because they use the points of the MIMO constellation with the same probability. Therefore, the search of thebest codes can be reduced to this class. This paper presents a new and general method to design 2n-PSK balanced STTCs for any number oftransmit antennas. This method is simpler than the first method, which was described only for 4-PSK modulation and can be generalized for anyconfiguration of the space-time trellis encoder. Simulation results of new 4-PSK and 8-PSK balanced codes prove the importance of this class.1 IntroductionLe concept des codes temps-espace en trellis (STTCs) a e´te´propose´ pour la premie`re fois par Tarokh et al. en 1998 [1]. Ceconcept combine le codage convolutif avec l’utilisation de plu-sieurs antennes d’e´mission dans le but d’augmenter le de´bit etla fiabilite´ de la communication. Dans [1], pour un canal deRayleigh a` e´vanouissements lents, Tarokh et al. proposent lescrite`res du rang et du de´terminant pour optimiser les perfor-mances des STTCs. De plus, Chen et al. de´montrent [2] quelorsque le produit entre le nombre d’antennes de re´ception et lenombre d’antennes d’e´mission deviennent importants, les per-formances des STTCs dans un canal de Rayleigh sont de´termi-ne´es par le crite`re de la trace.Graˆce a` ces crite`res, apre`s une recherche syste´matique, descodes ont e´te´ propose´s pour 2, 3 et 4 antennes d’e´mission dansle but de baisser le taux d’erreurs [1, 2, 3, 4]. Malheureusement,la recherche de ces codes reste relativement longue, surtoutquand le nombre d’antennes d’e´mission augmente. Dans [5],il a e´te´ remarque´ que les meilleurs codes avaient une proprie´te´commune : les points de la constellation MIMO sont utilise´sde manie`re e´quiprobable. Cette classe de codes est appele´e laclasse des codes e´quilibre´s. La ge´ne´ration des meilleurs codespeut alors se restreindre a` cette classe de codes.Ce papier pre´sente une nouvelle me´thode simple et ge´ne´ralepour construire les codes e´quilibre´s utilisant une modulation2n-PSK et nT antennes d’e´mission dans le but de ge´ne´rer lescodes avec les meilleures performances. Dans la section 2, nousrappelons le principe des codes temps-espace en treillis, ainsique les crite`res de construction existants. La section 3 pre´senteles codes e´quilibre´s, ainsi que la me´thode de construction decette classe de codes. Dans la dernie`re section, de nouveauxcodes sont pre´sente´s. Leurs performances sont alors compare´esaux performances des meilleurs codes publie´s.2 Les codes temps-espace en treillis2.1 Repre´sentationOn conside`re un codeur 2n-PSK temps-espace en treillis avecnT antennes d’e´mission. Son sche´ma est pre´sente´ par la figure1 dans le cas d’une modulation 4-PSK (n = 2).Le codeur est constitue´ d’un bloc d’entre´e de n bits et de νblocs me´moire de n bits. A chaque instant, un nouveau blocde n bits entre dans le codeur. En meˆme temps, les n bits d’unbloc sont remplace´s par les n bits du bloc pre´ce´dent. Les e´tatssont de´termine´s par les valeurs binaires des ν blocs me´moire.Tous les bits xt−j+1i avec i = 1...n du bloc j sont associe´sa` nT coefficients multiplicatifs gki,j avec k = 1 · · ·nT proprea` l’antenne d’e´mission k. Ainsi, on peut de´finir une matricege´ne´ratriceG de nT lignes et ν + 1 blocs de n colonnes.xt1 xt2 xt−11 xt−12 xt−ν2xt−ν1Entre´e Me´moire⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗∑mod 4g11,1 g12,1 g11,2 g12,2 g11,ν+1 g12,ν+1Myt1 st1⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗∑mod 4gk1,1 gk2,1 gk1,2 gk2,2 gk1,ν+1 gk2,ν+1Mytk stk⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗∑mod 4gnT1,1 gnT2,1 gnT1,2 gnT2,2 gnT1,ν+1 gnT2,ν+1MytnT stnTFIG. 1: Codeur 4-PSK temps-espace en treillis avec nT an-tennes d’e´missionG =g11,1 . . . g1n,1 . . . g11,ν+1 . . . g1n,ν+1... . . ....gk1,1 . . . gkn,1 . . . gk1,ν+1 . . . gkn,ν+1... . . ....gnT1,1 . . . gnTn,1 . . . gnT1,ν+1 . . . gnTn,ν+1 (1)Les symboles MIMO yt = [yt1 · · · ytnT ]T ∈ ZnT2n sont donne´sparyt =Gxt (2)ou` xt = [xt1xt2 · · ·xtL=n(ν+1)]T ∈ ZL2 est l’e´tat e´tendu de´finipar les valeurs binaires du bloc d’entre´e et celles des ν blocsme´moire. Le signal 2n-PSK en bande de base e´mis par la ke`meantenne est de´fini par stk = exp(jpi2n−1 ytk). A chaque instant,les signaux transmis simultane´ment dans le canal MIMO sontdonne´s par le signal MIMO st = [st1st2...stnT ].2.2 Crite`re de constructionPlusieurs crite`res de construction ont e´te´ propose´s pour ex-ploiter au mieux la diversite´ spatiale et offrir le gain maximal[1, 2]. Dans ce papier, on conside`re le cas d’un canal de propa-gation a` e´vanouissements lents de Rayleigh.Nous conside´rons une trame transmise de longueur Lf S =[s0s1 ...sLf−1 ], ou` sq est le qe`me signal MIMO transmis. Uneerreur se produit si le de´codeur de´cide qu’une autre trameE =[e0e1 ...eLf−1 ] a e´te´ transmise. SoitB = E −S :B = e01 − s01 . . . eLf−11 − sLf−11.... . ....e0nT − s0nT . . . eLf−1nT − sLf−1nT (3)Nous de´finissons r = min(rank(A)) avec la matrice A =BB∗ calcule´e pour toutes les paires (E,S), avec E 6= S ,ainsi que nR le nombre d’antennes de re´ception. Les crite`resde construction des STTCs de´pendent de la valeur du produitrnR :Si rnR ≤ 3, alors pour avoir une probabilite´ d’erreur mi-nimale, il faut que A soit de rang plein pour toutes les paires(E,S). Il faut aussi maximiser le plus petit de´terminant desmatricesA calcule´es pour toutes les paires (E,S) par un choixapproprie´ de la matriceG.Si rnR ≥ 4, alors la probabilite´ d’erreur est gouverne´e parle crite`re de la trace [2]. Ce crite`re consiste a` maximiser la pluspetite valeur des traces des matricesA dans le but de minimiserla probabilite´ d’erreurs.3 Les codes e´quilibre´s3.1 De´finitionLe concept des codes e´quilibre´s a e´te´ propose´ dans [5, 6]. Ilest base´ sur l’observation que tous les meilleurs codes temps-espace en treillis pre´sentent une proprie´te´ identique : les sym-boles MIMO sont ge´ne´re´s de manie`re e´quiprobable. Ainsi, larecherche des meilleurs codes peut eˆtre re´duite a` cette classe decodes.3.2 Proprie´te´s des codes e´quilibre´sProprie´te´ 1 Un code est ”totalement e´quilibre´” si l’ensembledes symboles MIMO ge´ne´re´s est le groupe additif ZnT2n , i.e. :L∑j=1xjGj mod 2n/xj ∈ {0, 1} = ZnT2n (4)ou` L est le nombre de colonnes de sa matrice ge´ne´ratrice G etGj est la j e`me colonne deG.Proprie´te´ 2 Si un code temps-espace en treillis est totalemente´quilibre´, alors le nombre de colonnes L de sa matrice ge´ne´ra-trice G ve´rifie l’ine´galite´ L ≥ Lmin = nnT . Si L = Lmin, lecode est ”a` longueur minimale”.Proprie´te´ 3 Pour un code totalement e´quilibre´ a` longueur mi-nimale, toutes les colonnes de la matrice ge´ne´ratrice sont line´-airement inde´pendantes, i.e. : x1G1 + ... + xLminGLmin = 0avec xi ∈ {0, 1} si et seulement si xi = 0, ∀i = 1, ...Lmin.Proprie´te´ 4 C0 = 2n−1ZnT2 est un sous-groupe de ZnT2n telque v = −v, ∀v ∈ C0. Dans le cas d’une modulation 4-PSK,chaque e´le´ment v ∈ C0 peut eˆtre e´crit comme v = 2p avecp ∈ ZnT2 . Le coset Cp = p + C0 est appele´ ”coset relatif a` v”.Il est alors possible d’effectuer une partition du groupe quotientZnT4 /C0 sous la forme ZnT4 /C0 = E0⋃E1, ou` E0 = {C0}et E1 est l’ensemble des cosets Cp 6= C0, comme le montre letableau 1.Dans le cas d’une modulation 8-PSK, chaque e´le´ment v ∈C0 = 4ZnT2 peut eˆtre e´crit comme v = 2p, avec p ∈ 2ZnT2 . Onpeut alors noter pour une modulation 8-PSK, E1 =⋃(p+C0)avec p ∈ 2ZnT2 \{[0 · · · 0]T }. Donc, chaque coset Cp est relatifE0 : C0[00] [02] [20] [22]E1 :C[01] [01] [03] [21] [23]C[10] [10] [12] [30] [32]C[11] [11] [13] [31] [33]TAB. 1: Partition du groupe Z24a` v. De plus, chaque e´le´ment q ∈ E1 peut eˆtre e´crit commeq = 2r, avec r ∈ ZnT4 \2ZnT2 . Ainsi, un nouvel ensemble E2de cosets Cr = r + C0 peut eˆtre cre´e´. Chaque coset de E2est ”relatif a` un e´le´ment de E1”. On obtient ainsi la partitionZnT8 /C0 = E0⋃E1⋃E2, avec E0 = {C0}.3.3 Nouvelle me´thode de construction des codese´quilibre´sCette section pre´sente la me´thode de se´lection des colonnesde la matrice ge´ne´ratrice G d’un code totalement e´quilibre´ a`longueur minimale. Cette me´thode ge´ne´rale de constructionrespecte deux re`gles :– Re`gle 1 : La premie`re colonne G1 doit appartenir a` C0.Graˆce a` la proprie´te´ 4, commeG1 = −G1,H1 = {0, G1}est un sous-groupe de ZnT2n .– Re`gle 2 : Chaque nouvelle colonne Gi+1 doit cre´er unnouveau sous-groupe Hi+1 de ZnT2n avec Hi+1 ⊃ Hi etcard(Hi+1) = 2card(Hi). Pour cela, il suffit de choisirpour Gi+1 un vecteur non ge´ne´re´ soit dans C0, soit dansun coset relatif a` un e´le´ment ge´ne´re´.L’avantage de cette me´thode est de de´finir clairement et ra-pidement l’ensemble des vecteurs pouvant eˆtre choisis pourcre´er la matrice G. Apre`s le choix de i colonnes, dans le butde construire un code totalement e´quilibre´, un sous-groupe Hide ZnT2n est ge´ne´re´. Ainsi, chaque e´le´ment v ∈ Hi a son oppose´ge´ne´re´. Dans la me´thode pre´sente´e dans [5], contrairement a`la nouvelle me´thode, il y a des vecteurs choisis qui n’ont pasleur oppose´ automatiquement ge´ne´re´. D’apre`s la proprie´te´ 1, iln’est pas possible de choisir pour Gi+1 l’oppose´ d’un vecteurde`ja` ge´ne´re´. Il faut alors calculer tous les oppose´s des vecteurschoisis ainsi que toutes les combinaisons line´aires des vecteurschoisis et de leurs oppose´s et les bloquer. Un vecteur bloque´ nepourra pas eˆtre choisi par la suite.Pour un code e´quilibre´ (pas totalement e´quilibre´) ayant unematrice ge´ne´ratrice deL colonnes, les re`gles de se´lection pre´ce´-dantes doivent eˆtre re´specte´es jusqu’au choix de la colonneGi0 , avec i0 = L − 2 si L < Lmin ou avec i0 = Lmin − 2 siL ≥ Lmin. Les colonnes Gi, avec i0 + 1 ≤ i ≤ L − 1 sontse´le´ctionne´es dans Hi0 . Il n’y a ensuite aucune condition pourchoisir le dernier vecteur.3.4 Exemple de construction d’un code e´quilibre´4-PSK a` longeur minimale avec 2 antennesd’e´missionDans ce cas, les colonnes deG appartiennent au groupe Z24.Il faut commencer par effectuer un partition de Z24 en cosets :Cp = p + C0, avec C0 = 2Z22 et p ∈ Z22. D’apre`s les re`gles 1et 2, il faut proce´der de la manie`re suivante :– La 1e`re colonne G1 de G doit eˆtre diffe´rente de[00]etaussi appartenir a` C0 car pour tout vecteur de C0, v =−v. Ainsi, le 1er sous-groupe est ge´ne´re´ :H1 = {0, G1}.– Le 2e`me colonne G2 doit aussi ge´ne´rer un nouveau sous-groupe de Z24 : H2 = {0, G1, G2, G1 +G2}. Il y a deuxsolutions pour choisir ce vecteur :• G2 ∈ C0. Dans ce cas, on a −G2 = G2, −(G1 +G2) = G1 + G2. Le nouveau sous-groupe cre´e´est donc : H2 = {0, G1, G2, G1 + G2} = C0. Ilreste donc a` choisir deux cosets diffe´rents de C0.Dans chaque coset, il faudra ensuite choisir un ele-ment. En effet, comme G3 ∈ Z24\C0, un nouveausous-groupe H3 = C0⋃(C0 + G3) de Z24 est ob-tenu. Finallement, si G4 ∈ Z24\H3, alors, H4 =H3⋃(H3 +G4) = Z24.• G2 ∈ Cp avec 2p = G1. Alors G1 +G2 = −G2 etH2 = {0, G1, G2, G1 +G2} est un sous-groupe deZ24. Pour ne pas retrouver le cas pre´ce´dent, nous nechoisissons plus de vecteurs dans C0. Pour cre´er unnouveau sous-groupe H3 = H2⋃(H2 + G3) sansutiliser de nouveaux vecteurs dans C0, G3 doit eˆtrechoisi dans Cp parmi les 2 e´le´ments qui ne sontpas ge´ne´re´s par les combinaisons de G1 et de G2.On obtient donc le sous-groupe H3 = C0⋃Cp. Ledernier vecteur G4 est choisi dans l’un des 2 co-sets non ge´ne´re´s. Ainsi, les vecteurs se´lectionne´sge´ne`rent la totalite´ du groupe Z24, donc la matriceG = [G1G2G3G4] correspond a` un code totale-ment e´quilibre´.4 Performances des nouveaux codesDans les tableaux 2 et 3, de nouveaux codes e´quilibre´s res-pectivement pour une modulation 4-PSK et 8-PSK sont donne´s,avec une meilleure trace que les codes e´quivalents propose´s parChen et al. dans [2].Les performances de tous ces codes sont e´value´es par le tauxd’erreurs trame dans un canal de Rayleigh a` e´vanouissementslents. Les re´sultats sont pre´sente´s dans les figures 2 et 3 respec-tivement pour 4-PSK et 8-PSK. Les simulations ont e´te´ e´ffectu-e´es avec deux antennes de re´ception. Les coefficients d’atte´nu-ation du canal sont suppose´s parfaitement connus par le re´cep-teur. Chaque trame contient 130 symboles MIMO. Le de´codageest e´ffectue´ graˆce a` l’algorithme de Viterbi. On peut remar-nT 2nν Code G Trace3 64 Chen 1 2 2 0 1 2 2 02 2 1 2 3 0 2 02 0 0 2 2 3 1 1 28New 1 3 2 2 0 1 2 1 22 0 2 0 1 2 3 21 2 3 2 3 2 2 0 324 64 Chen0 2 3 2 3 0 3 22 2 1 2 3 0 2 02 0 0 2 2 3 1 11 2 2 0 2 1 3 2 38New 21 2 3 2 2 3 2 23 2 3 2 2 0 1 23 2 2 0 3 2 3 22 0 1 2 3 2 1 2 40TAB. 2: Nouveaux codes 4-PSK base´s sur le crite`re de la tracenT 2nν Code G Trace3 16 Chen 2 4 7 3 6 0 0 0 44 0 2 7 6 7 0 0 42 4 2 2 4 6 0 0 0 14New3 4 6 0 0 4 7 0 0 20 4 6 4 6 3 0 0 04 6 5 4 2 1 0 0 4 15.174 8 Chen2 4 0 3 2 41 6 4 4 0 03 2 4 0 4 27 2 4 5 4 0 16.58New 44 2 7 0 0 40 4 6 4 6 34 2 3 4 6 04 2 3 0 4 2 17.17TAB. 3: Nouveaux codes 8-PSK base´s sur le crite`re de la tracequer que les performances des nouveaux codes sont le´ge`rementmeilleures que celles des codes de Chen et al.5 ConclusionCe papier pre´sente une me´thode simple de constructiondes codes temps-espace en treillis e´quilibre´s. Il a e´te´ montre´que tous les meilleurs codes appartiennent a` cette classe. Lescodes e´quilibre´s ge´ne`rent les points de la constellation MIMOavec la meˆme probabilite´. La me´thode propose´e permet deconstruire efficacement les codes e´quilibre´s pour une modula-tion 2n-PSK et pour nT antennes d’e´mission. Par la suite, la re-cherche des meilleurs codes avec un grand nombre d’antennesd’e´mission et d’e´tats peut alors eˆtre restreinte a` la classe descodes e´quilibre´s. Le temps de recherche de ces codes est ainsiconside´rablement re´duit. De nouveaux codes 4-PSK et 8-PSKappartenant a` cette classe, plus performants que les meilleurscodes pre´ce´demment publie´s sont propose´s.Re´fe´rences[1] V. Tarokh, N. Seshadri et A.R. Calderbank, ”Space-timecodes for high data rate wireless communication: Perfor-mance criterion and code construction”, IEEE Trans. onInform. Theory, vol. 44, no. 2, pp. 744-765, mars 1998.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010-410-310-210-1100SNR (dB)FER  Chen (3 Tx 64 états)New 1 (3 Tx 64 états)Chen (4 Tx 64 états) New 2 (4 Tx 64 états)8 8.5 9 9.5 1010-310-2  FIG. 2: Performances des STTCs 4-PSK avec 3 et 4 antennesd’e´mission0 2 4 6 8 10 12 1410-310-210-1100SNR (dB)FER  Chen (4 Tx 8 états)New 4 (4 Tx 8 états)Chen (3 Tx 16 états)New 3 (3 Tx 16 états)12 12.5 13 13.5 1410-2  FIG. 3: Performances des STTCs 8-PSK avec 3 et 4 antennesd’e´mission[2] Z. Chen, J. Yuan et B. Vucetic, ”Improved space-time trel-lis coded modulation scheme on slow fading channels”,Electron. Lett., vol. 37, no. 7, pp. 440-441, mars 2001.[3] Z. Chen, B. Vucetic, J. Yuan et Ka Leong Lo, ”Space-timetrellis codes with two, three and four transmit antennas inquasi-static flat fading channels”, Proc. IEEE ICC 2002,vol. 3, pp. 1589-1595, mai 2002.[4] Y. Hong et A. Guillen i Fabregas, ”New Space-Time Trel-lis Codes for Slow Fading Channels”, Proc. IEEE VTC2006-Spring, vol. 3, pp. 1492-1496, mai 2006.[5] T.M.H. Ngo, G. Zaharia, S. Bougeard et J.F. He´lard, ”ANew Class of Balanced 4-PSK STTC for Two and ThreeTransmit Antennas”, Proc. IEEE SPAWC 2007, pp. 1-5,juin 2007.[6] T.M.H. Ngo, P. Viland, G. Zaharia et J.F. He´lard, ”Balan-ced QPSK space-time trellis codes”, Electron. Lett., vol.44, no. 16 pp. 983-985, juillet 2008.

Nouvelle méthode générale de construction des meilleurs codes temps-espace en treillis équilibrés

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