International audienceDans cette note, on étudie la frontière de Martin d'une marche aléatoire sur un certain type de di-graphe. Les techniques usuelles basées sur des actions de groupe transitives laissant invariant l'opérateur de Markov ne peuvent être appliquées car de tels groupes n'existent pas dans le cadre de di-graphes non triviaux. Ainsi, l'étude de la frontière de Martin repose sur des techniques \emph{ad hoc} consistant à obtenir des estimées précises de la fonction de Green

De Loynes, Basile

Comptes Rendus Mathematique

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Marche aléatoire sur un di-graph et frontière de Martin

Basile de Loynes

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Marche aléatoire sur un di-graphe et frontière de Martin

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Marche ale´atoire sur un di-graph et frontie`re de MartinBasile De LoynesTo cite this version:Basile De Loynes. Marche ale´atoire sur un di-graph et frontie`re de Martin. Comptes ren-dus de l’Acade´mie des sciences. Se´rie I, Mathe´matique, Elsevier, 2012, 350 (1-2), pp.87-90.<10.1016/j.crma.2011.12.005>. <hal-00677764>HAL Id: hal-00677764https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00677764Submitted on 24 Mar 2012HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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P (u, v) = 12 if v = u± e2 and u2 = 0.For this random walk, the following can be shown.Theorem 2.1 The Martin boundary of the simple random walk (Mn)n≥0 is trivial : all positiveharmonic functions are constant.In our case, the triviality of the Martin boundary comes from precise estimates of the Greenfunction. Two kinds of behavior can be observed ; let z ∈ Z × {0}, then there exist positiveconstants c and s(λ) such that1. G(z, y) ∼ s(λ)|y2|−1 if y1y−22 converges to λ ∈ R ;2. G(z, y) ∼ c|y1 − z|− 12 if y1y−22 goes to ±∞.The fact that we give estimates of the Green function only for z ∈ Z× {0} comes from technicaldifficulties which can be removed by the formula (2) of section 4.The triviality of the Martin boundary implies the triviality of the Poisson boundary, thus allbounded harmonic functions are constant (see [4] and references therein for a modern approach).Actually, ideas in [2] or in [7] can be suited to the Markov operator we are considering in this noteand allows a direct proof of the triviality of the Poisson boundary. We do not follow this approachhere because we obtain the stronger result of triviality of the Martin boundary.1 IntroductionUn di-graphe G est la donne´e d’un couple (V,E) d’un ensemble de´nombrable V de points et d’unsous-ensemble E ⊂ V × V d’areˆtes oriente´es. Si e ∈ E est une areˆte, on note s(e) (resp. t(e))le point source (resp. le point terminal). Plus pre´cise´ment, s(e) = u et t(e) = v si e = (u, v).Pour chaque point u ∈ V, on de´finit le degre´ sortant de u, et on le note d−u le nombre d’e´le´mentsde l’ensemble {e ∈ E : s(e) = u}. Un di-graphe est dit transitif si pour tout point u, v ∈ V ilexiste une suite finie de points {w0, · · · , wk} ve´rifiant w0 = u, wk = v et (wi, wi+1) ∈ E pour touti ∈ {0, · · · , k − 1}.De´finition 1.1. Soit G = (V,E) un di-graphe. La marche ale´atoire simple sur G est la chaˆınede Markov a` valeurs dans V, note´e ((Mn)n≥0, P, µ) ou` µ est une probabilite´ sur V, et P le noyaude Markov de´fini par P (u, v) = 1d−usi (u, v) ∈ E et 0 sinon.12 Re´sultat principal 2Dans cette note, on conside`re les treillis bi-dimensionnels, i.e. on supposera que V = Z2 et queE est un sous-ensemble de l’ensemble des proches voisins dans Z2. On de´compose V = V1 ×V2en les directions horizontales et verticales, c’est a` dire, si v ∈ V, on e´crit v = (v1, v2) avec v1 ∈ V1et v2 ∈ V2.De´finition 1.2. Soient V = V1 ×V2 et (y)y∈V2 a` valeurs dans {−1, 0, 1}. On appelle treillis-oriente´, et on le note G = (G, ), le graphe oriente´ dont l’ensemble V de points est donne´ par Z2et (u, v) ∈ E est une areˆte oriente´e si et seulement si l’une des conditions suivantes est ve´rifie´es :• soit v1 = u1 et v2 = u2 ± 1 ;• soit v2 = u2 et v1 = u1 + u2 si u2 6= 0.Dans cette note, on e´tudiera le graphe H = (G, ) ou` l’orientation  est de´finie par 0 = 0 ety = sgn(y) ou` sgn est la fonction signe. Il est clair que H est transitif, ainsi la marche ale´atoiresimple sur H est irre´ductible.Les marches ale´atoires sur ce type de graphe sont e´troitement lie´es aux diffusions en milieuporeux. On pourra lire avec inte´reˆt [5] ou` ce point de vue est de´veloppe´.2 Re´sultat principalSoit (Mn)n≥0 la marche ale´atoire simple sur H. On notera Pµ la probabilite´, sur l’espace destrajectoires, associe´e au noyau P et plus simplement Px si µ est la masse de Dirac en x ∈ V2.On de´finit par re´currence la suite de temps d’arreˆt (τn)n≥0 par τ0 = 0 et τn+1 = inf{t ≥ τn + 1 :M(2)t = 0} ou` Mt = (M (1)t ,M (2)t ). Il est facile de voir que τn < ∞ Px-p.s. pour tout n ≥ 0. Lasuite de variables ale´atoires (Mτn)n≥0 est alors elle-meˆme une chaˆıne de Markov que l’on appellerachaˆıne de Markov induite. Par de´finition, M(2)τn = 0, ainsi, si µ est a` support dans V1 × {0}, note´par la suite V0, la chaˆıne de Markov induite est confine´e dans ce sous-ensemble V0. La chaˆıne deMarkov induite sera alors, selon le contexte, conside´re´e comme une chaˆıne de Markov a` valeursdans Z2 ou Z.Dans [1], il est montre´ que la chaˆıne de Markov originale est transiente, et cela est uneconse´quence de la transience de la chaˆıne de Markov induite qui peut-eˆtre vue comme une marcheale´atoire sur Z a` sauts non borne´s. Ainsi, l’e´tude de la frontie`re de Martin de ces chaˆınes deMarkov est pertinente.The´ore`me 2.1. Les frontie`res de Martin des chaˆınes de Markov induites et originales sont triv-iales, i.e. les seules fonctions harmoniques positives sont les fonctions constantes.3 Frontie`re de Martin de la chaˆıne de Markov induiteLa compactification de Martin est longuement pre´sente´e dans [8]. Essentiellement, la compactifi-cation de Martin fait intervenir le noyau de Martin : si o est un point-base du graphe H, le noyaude Martin est de´fini pour x, y ∈ H par K(x, y) = G(x,y)G(o,y) ou` G est la fonction de Green associe´e a`la chaˆıne de Markov. Ainsi, des estime´es pre´cises de G permettent de donner une description dela frontie`re de Martin.De´finition 3.1. Soient (ψ)n≥0 une suite de variables ale´atoires inde´pendantes et identiquementdistribue´es a` valeurs dans {−1, 1} de loi de Bernouilli de parame`tre 12 et (Yn)n≥0 une suite devariables ale´atoires de´finies par Y0 = M(2)0 et Yn = Y0 +∑n−1k=0 ψk. On note ηn(y) le temps localde (Yn)n≥0 en y ∈ Z, i.e. ηn(y) =∑nk=0 1Yk=y.De´finition 3.2. Soit (σn)n≥0 une suite de temps d’arreˆt de´finie par σ0 = 0 et σn+1 = inf{t ≥σn + 1 : Yt = 0}.4 Frontie`re de Martin de la chaˆıne de Markov originale 3De´finition 3.3. Soit (ξ(y)n )n≥1,y∈V2 une suite de variables ale´atoires inde´pendantes et identique-ment distribue´es a` valeurs dans N de loi ge´ome´trique de parame`tre p = 13 = 1 − q et pourn ≥ 0 posons Xn =∑y∈V2 y∑ησ1−1(y)i=1 ξ(y)i . Enfin, on note par Tn le temps de´fini par Tn =n+∑y∈V2∑ησ1−1(y)i=1 ξ(y)i , avec la convention usuelle∑∅ = 0.Dans [1], il est montre´ que MTnloi= (Xn, Yn) et τnloi= Tσn . Ceci permet de calculer la loi de Mτn .Proposition 3.4. La loi de Mτn est de´termine´e par sa fonction caracte´ristique E0(ei〈t,Mτn 〉) =E0(eit1Xσ1 )n. De plus, la fonction caracte´ristique de Xσ1 est donne´e par φ(t) = Re r(t)−1g(r(t))ou` r(t) = [3− 2eit]−1 et g(x) = 1−√1−x2x .En particulier, la fonction de Green associe´e a` la chaˆıne de Markov (Mτn)n≥0 est donne´e,pour u, v ∈ V0, par G0(u, v) = G0(0, v − u) = (2pi)−1∫ pi−pi e−it(v−u)[1 − φ(t)]−1dt. La fonction[1− φ(·)]−1 posse`de, en 0, une singularite´ en 1√|t| . Une de´composition en se´ries permet de traitercette singularite´ a` part et de trouver l’e´quivalent suivant.Proposition 3.5. Il existe une constante c > 0 telle que G0(u, v) = G0(0, v − u) ∼ c|v − u|− 12lorsque |v| tend vers l’infini.Ainsi le noyau de Martin K0(u, v) =G0(u,v)G0(0,v)posse`de une unique valeur d’adhe´rence lorsque |v|tend vers l’infini ce qui implique la trivialite´ de la frontie`re de Martin.4 Frontie`re de Martin de la chaˆıne de Markov originaleDans ce paragraphe on s’inte´resse a` la frontie`re de Martin de la chaˆıne originale. On notera G(resp. K) la fonction de Green (resp. le noyau de Martin) associe´e a` la marche originale.On note ηs,t(y), pour s, t ≥ 0 et y ∈ H, le temps local de (Mn)n≥0 en y, i.e. ηs,t(y) =∑t−1k=s 1Mn=y toujours avec la convention∑∅ = 0. On peut alors exprimer le noyau de Martin dela chaˆıne originale en fonction de celui de la chaˆıne induite.K(x, y) ={K0(x, y) si (x, y) ∈ V0, (1)Ex(η0,τ1 (y))G(0,y) +∑z∈Z νx(z)K(z, y) sinon. (2)ou` νx(z) = Px(Mτ1 = (z, 0)) = Px(Xσ1 = z).En utilisant les syme´tries de H, en particulier que ce graphe est invariant par les translationshorizontales et par les syme´tries centrales de centre situe´ sur V0, on peut montrer la propositionsuivante.Proposition 4.1. Soient z ∈ V0 et y ∈ H, alors la fonction de Green G est donne´e parG(z, y) = (2pi)−1∫ pi−pieit(y1−z1)g(r(t))|y2|1− φ(t) dt,ou` r, g et φ sont de´finies dans le paragraphe 3.Il est alors possible d’obtenir les estime´es suivantes de la fonction de Green.Proposition 4.2. Soient z ∈ V0, y ∈ H et supposons que y1y−22 converge vers λ ∈ R ∪ {±∞},alors il existe pour tout λ une constante s(λ) > 0 telle que1. G(z, y) ∼ s(±∞)|y1 − z1|− 12 lorsque y1y−22 tend vers ±∞ ;2. G(z, y) ∼ s(λ)|y2|−1 lorsque y1y−22 converge vers λ.Par un calcul direct, on peut montrer qu’il est possible de passer a` la limite dans la somme∑z∈Z νx(z)K(z, y), d’ou` la proposition suivante.4 Frontie`re de Martin de la chaˆıne de Markov originale 4Proposition 4.3. Soit x ∈ H, alors ∑z∈Z νx(z)K(z, y) posse`de une unique valeur d’adhe´rencelorsque |y| tend vers l’infini.Proposition 4.4. La quantite´ E0(η0,τ1(y)) de´croˆıt vers 0 en o(|y1|−12 ) lorsque y1y−22 tend vers±∞ et en o(|y2|−1) lorsque y1y−22 converge.Par les propositions 4.2 et 4.4, le premier terme dans l’e´quation (2) converge vers 0 lorsque|y| tend vers l’infini ; et par la proposition 4.3, le deuxie`me terme de l’e´quation (2) converge vers1 lorsque |y| tend vers l’infini. Enfin, le terme de l’e´quation (1) tend vers 1 lorsque |y| tend versl’infini par la proposition 3.5. Ainsi, le noyau de Martin K posse`de une unique valeur d’adhe´rencea` l’infini ce qui montre la trivialite´ de la frontie`re de Martin de la chaˆıne originale.Dans le cas ou`  est une suite de variables ale´atoires inde´pendantes et identiquement distribue´es,il est montre´ dans [1], que la marche ale´atoire simple est encore transiente (pour presque touteorientation). Ce re´sultat a e´te´ ge´ne´ralise´ dans [3] ou` est conside´re´ le cas ou` (fy) est une suitestationnaire a` valeurs dans [0, 1] et ou` y est pris e´gal a` 1 avec probabilite´ fy et -1 avec probabilite´1 − fy. Sous la condition E(f0(1 − f0))−1/2 < ∞, la marche simple est transiente. Enfin, dans[6], est conside´re´ le cas ou` l’orientation  est une suite stationnaire ve´rifiant certaines conditionsde de´corre´lations. En moyenne, une orientation ale´atoire est moins de´ge´ne´re´e que l’orientationchoisie dans cette note, on peut donc s’attendre, dans ce cadre, a` la trivialite´ des frontie`res deMartin pour presque toute orientation.References[1] M. Campanino, D. Petritis, Random walks on randomly oriented lattices, Markov Process.Related Fields, 9, 2003, 394-412.[2] G. Choquet, J. Deny, Sur l’e´quation de convolution µ = µ ? σ, C.R. Acad. Sci. Paris, 250,1960, 799-801.[3] N. Guillotin-Plantard, A. Le Ny, Transient random walks on 2D-oriented lattices, Teor. Veroy-atn. Primen., 52, 2007, 815-826.[4] V. Kaimanovich, Measure-theoretic boundaries of Markov chains, 0-2 laws and entropy, Pro-ceedings of the Conference on Harmonic Analysis and Discrete Potential Theory (M.A. Pi-cardello, ed.), 1992, 145-180.[5] G.Matheron, G. de Marsily, Is transport in porous media always diffusive ? a counter-example,Water Resour. Res., 16, 1980, 901-917.[6] F. 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