National audienceUne méthode simple pour identifier la courbe d'écoulement d'un fluide en cisaillement dans une géométrie Couette est développée. Elle consiste à considérer le fluide en écoulement comme étant un fluide de Bingham, et à évaluer la vitesse de cisaillement caractéristique du fluide partiellement et/ou complètement cisaillé. La pertinence et l'intérêt pratique de la méthode sont examinés en analysant les résultats générés par des données numériques en géométrie Couette de fluides de propriétés fixées, en variant la taille de l'entrefer, puis en l'appliquant aux données expérimentales en géométrie Couette et vane d'un fluide visqueux newtonien et d'une suspension de Carbopol

Amziane, Sofiane

Estellé, Patrice

Lanos, Christophe

Perrot, Arnaud

HAL-Rennes 1

Courbes d’e´coulement en ge´ome´trie Couette par uneapproximation de BinghamPatrice Estelle´, Arnaud Perrot, Christophe Lanos, Sofiane AmzianeTo cite this version:Patrice Estelle´, Arnaud Perrot, Christophe Lanos, Sofiane Amziane. Courbes d’e´coulement enge´ome´trie Couette par une approximation de Bingham. 42e`me Colloque du Groupe Franc¸ais deRhe´ologie - Rhe´ologie des Syste`mes Evolutifs, Oct 2007, Clermont-Ferrand, France. pp.181-185,2007. <hal-00674815>HAL Id: hal-00674815https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00674815Submitted on 28 Jan 2014HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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La pertinence et l’intérêt pratique de la méthode sont examinés en analysant les résultats générés par des données numériques en géométrie Couette de fluides de propriétés fixées, en variant la taille de l’entrefer, puis en l’appliquant aux données expérimentales en géométrie Couette et vane d’un fluide visqueux newtonien et d’une suspension de Carbopol.  Mots-clé : Rhéometrie, Couette, Vane, Modèle de Bingham, Vitesse de cisaillement, Courbe d’écoulement  1. Introduction  La géométrie Couette ou à cylindres coaxiaux est largement utilisée pour évaluer les courbes d’écoulement des matériaux. Dans une telle géométrie, la vitesse de cisaillement n’est pas uniforme. Les techniques de calcul de la vitesse de cisaillement à la paroi du cylindre interne reposent généralement sur des hypothèses simplificatrice liées à la taille de l’entrefer et au choix de la loi de comportement rhéologique du fluide cisaillé. Des procédures mathématiques complexes ont été développées récemment pour s’affranchir de ces hypothèses [1,2]. Dans le même but, une méthode simple est ici développée pour identifier la courbe d’écoulement d’un fluide en cisaillement dans une géométrie Couette. Elle consiste à considérer localement le fluide en écoulement comme étant un fluide de Bingham, et à évaluer la vitesse de cisaillement caractéristique du fluide partiellement et/ou complètement cisaillé. L’intérêt pratique de la méthode est examiné en analysant les résultats générés par des données numériques en géométrie Couette de fluides de propriétés fixées, en variant la taille de l’entrefer. Notre approche est ensuite appliquée aux données expérimentales en géométrie Couette et vane d’un fluide visqueux newtonien et d’une suspension de Carbopol.  2. Principe de la méthode On considère une géométrie Couette de rayon interne Rb, de hauteur h et de rayon externe Rc. Le cylindre externe est fixe et le cylindre interne tourne avec une vitesse de rotation . Le fluide cisaillé est considéré incompressible, inélastique et en écoulement adhérent à la surface des cylindres. Les effets de bord, d’inertie ainsi que le cisaillement dans la partie basse du cylindre interne sont négligés. La contrainte de cisaillement b s’exerçant sur le cylindre interne est directement liée au couple, M, indépendamment de la nature du fluide [2] : 2...2)(bbRhMM      (1) La vitesse de rotation s’exprime en fonction de la vitesse de cisaillement   : drrrcbRR)(     (2) Différentes approches permettent de résoudre l’équation (2) [1-4] et permettent de tracer le courbe d’écoulement à partir des équations (1) et (2). Les solutions les plus courantes, rappelées dans le tableau 1, sont les suivantes : cisaillement simple (cisaillement uniforme dans un entrefer étroit, la contrainte correspondante est moyennée sur l’entrefer), la méthode de Krieger qui tend vers la solution d’un fluide en loi puissance (si l’index n peut être évalué pour chaque valeur de contrainte), la solution newtonienne souvent utilisée par défaut et la solution de Nguyen et Boger [4] pour un fluide à seuil partiellement cisaillé dans l’entrefer.  M éthode de calcul de    C isaillem ent sim ple Solution N ew tonienne Solution en loi puissance Solution de N guyen et Boger Expression  de   1 1222 12/2/2nnn  MM..2    Tableau 1 : Expressions de la vitesse de cisaillement en géométrie Couette.    Ici, on considère que le comportement rhéologique du fluide cisaillé suit la loi de Bingham :   . K   si   > K    (3) Dans ce cas, le fluide peut être partiellement cisaillé, sibcK   , ou complètement cisaillé quand Kc . Selon ces deux conditions, la vitesse de rotation s’exprime respectivement :     MKRhMRKhKbbln..2....41....2ln..222  (4) cbcbRRKRRhMln.)11.(...422  (5) L’équation (5) correspond à l’expression de Reiner-Riwlin. Ces équations, dérivées par rapport au couple, puis combinées aux équations (1) et (3), conduisent alors à deux expressions distinctes de vitesse de cisaillement [5]: MM ..2  si bc K      (6)  cbcbRRMMRRMMln..)1(..222 si Kc   (7) L’équation (6) correspond à la solution de [4] pour un fluide à seuil partiellement cisaillé sur la largeur de l’entrefer. L’équation (7) permet d’estimer   pour un fluide ne présentant pas de seuil ou dans le cas d’un cisaillement complet de l’entrefer. En référence au principe des travaux virtuels, la valeur caractéristique de  , exploitée pour tracer la courbe d’écoulement, est celle pour laquelle la dissipation d’énergie est maximale dans l’entrefer. Ainsi, ))7();6(max( équationéquation   (8) La contrainte de cisaillement caractéristique correspondante est la moyenne arithmétique des valeurs de contraintes obtenues pour les couples ( ; M) utilisées pour le calcul de  . En balayant alors l’ensemble des valeurs ( ; M) obtenues au cours d’un essai de type rampe, la courbe d’écoulement du fluide testé peut ainsi être construite point par point, sans connaître nécessairement le régime ou le seuil d’écoulement du fluide. 3. Application numérique Notre approche est ici comparée aux solutions décrites dans le tableau 1 à partir de données synthétiques de fluides modèles en l’absence de bruit. Les fluides testés présentent successivement un comportement newtonien, en loi puissance, puis à seuil d’écoulement de type Herschel-Bulkley et Casson. La taille de l’entrefer, définie par le rapport des rayons α = Rc / Rb, varie également de 1,04, 2 puis 3. Le but est ainsi de montrer, d’une part, que la méthode proposée permet d’obtenir une courbe d’écoulement caractéristique du fluide, indépendamment du type de comportement et de la taille de l’entrefer, et d’autre part, que l’évaluation de   par l’équation (8) est pertinente. Les données numériques sont générées à partir des lois de comportement, des paramètres géométriques et rhéologiques décrits dans le tableau 2. Les valeurs de couples sont obtenues numériquement par l’équation (1). Les vitesses de rotation sont calculées analytiquement (newton et loi puissance, voir tableau 1) et numériquement par différence finies (Herschel-Bulkley et Casson, avec r = (Rc-Rb)/100). La courbe d’écoulement obtenue pour chaque simulation est confrontée à la courbe théorique. Les résultats décrits ci-après traduisent l’erreur de calcul de la vitesse de cisaillement estimée par rapport à sa valeur théorique en fonction de la contrainte de cisaillement. Fluide R c (m m ) h (m m ) Incrém ent du couple (N .m ) K  (Pa) μ  (Pa.s) - η  (Pa.sn) n (-) new tonien 16 16 0.00046 - 100 - Loi puissance 16 16 0.0001 - 50 0.3 H erschel-Bulkley  14 20 0.008 300 50 0.6 C asson  16 16 0.0005 100 1 -   Tableau 2 : Paramètres rhéologiques et géométriques utilisés pour générer les données synthétiques d’écoulement en géométrie Couette. Comme le montre la figure 1, dans le cas d’un fluide de Newton, l’approximation de Bingham fournit une courbe d’écoulement identique à celle obtenue par la solution newtonienne pour les différents entrefers envisagés. L’erreur reste inférieure à 5.10-12 %. -1E-1201E-122E-123E-124E-125E-120 200 400 600 800 1000 1200Contrainte de cisaillement (Pa)Série3Série1Série2Série4Erreur sur la vitesse de cisaillement calculée (%)olution newtonienneApproximation de Bingham -  = 1,04Approximation de Bingham -  = 2Approximation de Bingham -  = 3 Figure 1 : Erreur sur la vitesse de cisaillement calculée pour un fluide de Newton (=100 Pa.s) – influence de la taille de l’entrefer.  La figure 2 décrit les résultats pour un fluide en loi puissance. La comparaison des courbes construites par l’approximation de Bingham et la solution en loi puissance (qui fournit la solution exacte) montre que notre approche est pertinente ici aussi. L’erreur calculée décroît rapidement pour de faibles valeurs de contraintes et se stabilisent à une valeur inférieure à 2% au-delà de 50 Pa quelque soit la taille de l’entrefer.   -202468100 50 100 150 200 250 300 350 400 450Contrainte de cisaillement (Pa)Série4Série1Série2Série3Erreur sur la vitesse de cisaillement calculée (%)Solution en Loi PuissanceApproximation de Bingham -  = 1,04Approximation de Bingham -  = 2Approximation de Bingham -  = 3 Figure 2 : Erreur sur la vitesse de cisaillement calculée pour un fluide en loi puissance (=50 Pa.sn, n=0,3) – influence de la taille de l’entrefer. -200204060801000 20 40 60 80 100 120Contrainte de cisaillement / seuil d'écoulement Approximation de BinghamCisaillement simpleSolution newtonienneSolution en Loi PuissanceSolution de Nguyen and BogerErreur sur la vitesse de cisaillement calculée (%) (a) -505101520253035400 20 40 60 80 100 120Contrainte de cisaillement / seuil d'écoulement Approximation de Binghamsolution NewtonienneSolution de Nguyen and BogerErreur sur la vitesse de cisaillement calculée (%) (b) Figure 3 : Erreur sur la vitesse de cisaillement calculée pour un fluide d’Herschel-Bulkley – influence de la méthode de calcul (a)  = 1,04 ; (b)  = 2. Les résultats relatifs aux fluides à seuil sont décrits par les figures 3 (Herschel-Bulkley) et 4 (Casson). Pour un entrefer étroit (α = 1,04) et pour les deux types de fluides, on constate que les fluides sont rapidement complètement cisaillé et que l’approximation de Bingham fournit la meilleure estimation de la courbe d’écoulement, devant la solution newtonienne.  Pour un entrefer plus important (α = 2), les fluides sont partiellement cisaillés pour de faibles valeurs de contraintes. Dans ce cas, la solution de Nguyen and Boger [4] fournit la meilleure solution. Une fois la valeur de seuil d’écoulement atteinte au cylindre extérieur, les figures (3b) et (4b) montrent que l’approximation de Bingham donne une valeur de vitesse de cisaillement adéquate et que l’utilisation de certaines méthodes peut conduire à de larges erreurs. La transition entre les deux solutions constitue aussi un moyen pour évaluer à posteriori le seuil d’écoulement. Enfin, notons qu’un large entrefer (α = 3) conduit en permanence à un écoulement partiellement cisaillé [5], avec une erreur inférieure à 3 %.         -9-7-5-3-1135790 5 10 15 20 25 30 35Contrainte de cisaillement / seuil d'écoulement Approximation de BinghamCisaillement simpleSolution NewtonienneSolution en Loi PuissanceErreur sur la vitesse de cisaillement calculée (%) (a) -50-30-1010305070900 5 10 15 20 25 30Contrainte de cisaillement / seuil d'écoulement Approximation de BinghamCisaillement simpleSolution NewtonienneSolution en Loi PuissanceSolution de Nguyen & BogerErreur sur la vitesse de cisaillement calculée (%) (b) Figure 4 : Erreur sur la vitesse de cisaillement calculée pour un fluide de Casson – influence de la méthode de calcul (a)  = 1,04 ; (b)  = 2.     4. Application expérimentale La méthode est à présent exploitée pour dépouiller les essais en géométrie Couette d’un fluide Newtonien et d’une suspension de carpobol. Une géométrie vane, assimilable à un cylindre, est également utilisée avec un protocole de dépouillement identique. Les courbes d’écoulement identifiées selon la méthode proposée sont confrontées aux courbes générées en géométrie plan-plan.  4.1 Fluide newtonien Une huile de silicone de viscosité 98,5 Pa.s à 25°C est ici utilisée. Les essais sont réalisés, à 25°C0,1 avec un rheomètre Malvern Gemini 150 équipé successivement d’une géométrie Couette (Rb = 7 mm, Rc = 13,5 mm, h = 21 mm), d’une vane (Rb = 15 mm, Rc = 40 mm, h = 30 mm), et d’une géométrie plan-plan (D = 40 mm, h = 2 mm). Une rampe linéaire croissante en vitesse de 0 à 160 s-1 en 240 s est appliquée dans tous les cas à partir du rhéomètre. Les résultats de la figure 5 montrent que les trois essais fournissent une courbe d’écoulement similaire, traduisant bien le comportement newtonien du fluide de viscosité conforme à la valeur connu à 25°C, en particulier pour  <30s-1. Ce résultat est identique en faisant varier les géométries [6]. On peut noter cependant l’influence du bruit sur le tracé de la courbe. 0,11101001000100000,001 0,01 0,1 1 10 100Vitesse de cisaillement (1/s)Contrainte de cisaillement (Pa)vaneCouetteplan-plan Figure 5 : Courbes d’écoulement de l’huile de silicone. 4.2 Fluide à seuil Des essais sur une suspension de carpobol (0,15% ; pH 3,4), dont le protocole de préparation est décrit dans [6], sont aussi réalisés avec un rheomètre Malvern Gemini 200 à 25°C0,1. Les géométries exploitées, de rugosité contrôlée pour éviter le glissement, sont : géométrie Couette (Rb = 12,5 mm, Rc = 13,5 mm, h = 37,6 mm), vane (Rb = 12,5 mm, Rc = 22,15 mm, h = 37,6 mm), et géométrie plan-plan (D = 40 mm, h = 1 mm).  Une rampe linéaire croissante puis décroissante en vitesse de 0 à 30 s-1 est appliquée dans tous les cas à partir du rhéomètre. La figure 6 compare l’évolution de la viscosité apparente du carbopol en géométrie plan-plan et en géométrie Couette et vane identifiée à l’aide du protocole de dépouillement proposé. Les différentes courbes sont correctement corrélées dans le domaine de vitesse de cisaillement étudié. La suspension de carbopol présente un seuil d’écoulement et un comportement rhéofluidifiant comme prédit par la littérature. 11010010000,1 1 10 100vitesse de cisaillement (1/s)vaneplan-planCouetteviscosité apparente (Pa.s) Figure 6 : Courbes d’écoulement de la suspension de carpobol. 5. Conclusion La méthode proposée pour identifier la courbe d’écoulement d’un fluide quelconque en cisaillement dans une géométrie Couette ou vane est simple et efficace. Les résultats numériques et expérimentaux ont montré la pertinence de la méthode qui permet de s’affranchir de certaines limitations liées à ce type d’essai : taille de l’entrefer, choix à priori d’une loi de comportement, régime d’écoulement dans l’entrefer, évaluation préalable du seuil d’écoulement. La méthode semble opportune pour l’étude rhéologique de suspensions très concentrées de grosses particules, généralement réalisée au moyen de géométries à très large entrefer. Références [1] Yeow Y.L., Woan C.K., Pannie P.P.T., Solving the inverse problem of Couette viscometry by Tikhonov regularization, J. Rheology 44(6) 1335-1351 (2000) [2] Ancey C., Solving the Couette inverse problem using a wavelet-vaguelette decomposition, J. Rheology 49(2) 441-460 (2005) [3] Steffe J.F., Rheological methods in food engineering process, 2d Edition, Freeman Press, East Lansing, USA, 1996 [4] Nguyen Q.D., Boger D.V., Characterization of yield stress fluids with concentric cylinder viscometers Rheol. Acta 26 508-515 (1987) [5] Estellé P., Lanos C., Perrot A., Processing the Couette viscometry data using a Bingham approximation in shear rate calculation, J. Non-Newtonian Fluid Mech. 154 31-38 (2008). [6] Estellé P., Lanos C., Perrot A., Amziane S., Processing the vane shear flow data from Couette analogy, Appl. Rheol. 18:3, 34037 (2008).  

Courbes d'écoulement en géométrie Couette par une approximation de Bingham

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