National audienceCet article aborde le problème du codage d'une source X avec information adjacente Y disponible uniquement au décodeur dans le cas où P(Y|X) est mal connue au décodeur

Dupraz, Elsa

Kieffer, Michel

Roumy, Aline

HAL-CentraleSupelec

Codage Distribue´ dans des Re´seaux de Capteurs avecConnaissance Incertaine des Corre´lationsElsa Dupraz, Aline Roumy, Michel KiefferTo cite this version:Elsa Dupraz, Aline Roumy, Michel Kieffer. Codage Distribue´ dans des Re´seaux de Capteursavec Connaissance Incertaine des Corre´lations. GRETSI 2013, Sep 2013, Brest, France. pp.1-4,2013. <hal-00935788>HAL Id: hal-00935788https://hal-supelec.archives-ouvertes.fr/hal-00935788Submitted on 24 Jan 2014HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Codage Distribue´ dans des Re´seaux de Capteursavec Connaissance Incertaine des Corre´lationsElsa DUPRAZ1, Aline ROUMY2, Michel KIEFFER11L2S - CNRS - SUPELEC - Univ Paris-Sud, 3, rue Joliot Curie, 91192 Gif-sur-Yvette, France2INRIA, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes, Franceelsa.dupraz@lss.supelec.fr, aline.roumy@inria.fr, michel.kieffer@lss.supelec.frThe`me – 2.1 - The´orie de l’information, 2.7 - Coope´ration, Diversite´, Re´seaux de capteurs, 2.8 - Syste`mes de communicationsProble`me traite´ – Cet article conside`re le proble`me de la compression de donne´es sans perte dans un re´seau de capteurs.Originalite´ – Les sche´mas classiques de compression dans les re´seaux de capteurs supposent que les corre´lations entre les mesures pre´leve´espar les capteurs sont parfaitement connues. Ici, nous prenons en compte une possible incertitude sur les niveaux de ces corre´lations et mode´lisonscette incertitude par par un parame`tre θ inconnu a` valeurs dans un ensemble connu.Re´sultats – Nous comparons plusieurs strate´gies de codage : 1) codage conjoint, ou` une coope´ration entre capteurs est autorise´e 2) codagese´pare´, ou` la corre´lation entre les sources est prise en compte, sans coope´ration entre capteurs, et en tenant compte des incertitudes sur lescorre´lations 3) sans coope´ration entre capteurs mais avec une se´quence d’apprentissage pour que le re´cepteur estime la corre´lation entre lescapteurs. Les couˆts de codage sont e´value´s analytiquement pour chaque strate´gie en fonction des couˆts de transmission entre les nœuds dure´seau.1 IntroductionConside´rons un re´seau de capteurs dans lequel les capteurs doivent transmettre re´gulie`rement leurs mesures a` un point de collectedont le but est de reconstruire l’ensemble des informations collecte´es dans le re´seau. Un certain nombre de solutions pratiques onte´te´ propose´es dans le cas ou` la distribution de probabilite´ jointe entre les sources est parfaitement connue [1, 5]. Dans ce cas, lecodage se´pare´ des sources est aussi efficace en terme de de´bit qu’un codage conjoint [4]. Pour le re´seau de capteurs, on choisitdonc en ge´ne´ral d’effectuer un codage se´pare´, ce qui e´vite aux capteurs d’avoir a` de´penser du de´bit pour communiquer entre eux.Malheureusement, la distribution jointe est souvent difficile a` caracte´riser avec pre´cision, puisqu’elle peut de´pendre de grandeursincertaines : position relative des capteurs, variations de l’environnement, etc.Cet article conside`re un re´seau a` trois nœuds : deux capteurs X , Y et un re´cepteur S . On suppose que la distribution jointe estparame´tre´e par un vecteur θ inconnu, qui peut varier d’une transmission a` l’autre. Il s’agit d’un mode`le non ergodique. On montreque pour ce mode`le, le codage conjoint peut eˆtre plus efficace que le codage se´pare´ et on explique comment choisir l’une ou l’autredes me´thodes en fonction des parame`tres du mode`le et du re´seau. De plus, nous proposons e´galement l’analyse d’une solutionmettant en œuvre des se´quences d’apprentissage pour estimer θ.2 Mode`le de sources et de re´seauLes capteurs X et Y sont associe´s a` des sources discre`tes X et Y qui ge´ne`rent des suites de symboles {(Xn, Yn)}+∞n=1inde´pendants et identiquement distribue´s. La loi jointe est parame´tre´e par un vecteur θ avec P (X,Y |θ) = P (X)P (Y |X,θ).Le vecteur θ est inconnu mais fixe´ pour une suite de symboles {(Xn, Yn)}+∞n=1. Il appartient a` un ensemble Pθ connu. En re-vanche, aucune distribution de probabilite´ a priori n’est disponible pour θ. Le re´cepteur S doit reconstruire {(Xn, Yn)}+∞n=1 sansperte.X , Y et S peuvent communiquer entre eux selon le sche´ma de communication repre´sente´ sur la Figure 1. Les areˆtes repre´sententles liens de communication entre les nœuds et sont associe´es a` des poids µ1, µ2, µ3. Le couˆt de transmission a` un de´bit R sur leFIGURE 1 – Mode`le de re´seaulien i est µiR. La de´termination des µi re´sulte des proble`mes de codage canal associe´s au re´seau, nous ne les analysons pas ici. Enrevanche, nous nous inte´ressons au proble`me de codage des sources et e´valuons le couˆt des transmissions point a` point pour desµi fixe´s.3 Codage conjoint ou Codage se´pare´Nous proposons ici une analyse asymptotique, c’est-a`-dire que l’on conside`re le codage des suites de symboles {Xn}+∞n=1 et{Yn}+∞n=1. Quelque soit le type de codage conside´re´, nous supposerons que le de´bit moyen par symbole est donne´ par le de´bit moyenminimum atteignable au sens de la the´orie de l’information. Meˆme si ces de´bits the´oriques ne sont pas toujours atteignables, ilsnous permettent de comparer deux strate´gies de codage conjoint et deux strate´gies de codage se´pare´.Avec la premie`re strate´gie de codage conjoint, X transmet {Xn}+∞n=1 a` Y et a` S a` un de´bit par symbole H(X), et Y transmet{Yn}+∞n=1 a` S en utilisant {Xn}+∞n=1 comme information adjacente disponible a` la fois au codeur et au de´codeur. Le codage de Xavec l’information adjacente Y pre´sente a` la fois au codeur et au de´codeur se fait a` un de´bitH(X|Y,θ), ou` θ est le vrai parame`tre.Avec la deuxie`me strate´gie de codage conjoint, les roˆles de X et Y sont simplement inverse´s. On note m(X)c (θ) et m(Y )c (θ) lescouˆts moyens par symbole correspondant aux deux strate´gies pour un θ donne´.Dans la premie`re strate´gie de codage se´pare´, X transmet {Xn}+∞n=1 uniquement a` S , et Y transmet {Yn}+∞n=1 a` S en utilisant{Xn}+∞n=1 comme information adjacente disponible seulement au de´codeur. D’apre`s [2] le de´bit par symbole ne´cessaire a` cettedernie`re ope´ration est donne´ par supθ∈Pθ H(X|Y,θ). Dans la deuxie`me strate´gie de codage se´pare´, les roˆles de X et Y sonta` nouveau inverse´s. D’apre`s [1], si µ3 ≥ µ2, la premie`re strate´gie de codage se´pare´ donne toujours un couˆt plus faible que ladeuxie`me. On conside`re donc ici le cas µ3 ≥ µ2 et on note m(X)s (θ) le couˆt moyen par symbole associe´ a` la premie`re strate´gie.L’analyse s’adapte directement si l’ine´galite´ est inverse´e. On remarque e´galement que ces deux strate´gies correspondent a` dessommets de la re´gion des de´bits atteignables [4]. Ce sont en effet les seules qui peuvent eˆtre optimales pour ce mode`le de re´seau [1].On a alorsm(X)c (θ) = (µ1 + µ2)H(X) + µ3H(Y |X,θ) (1)m(Y )c (θ) = (µ1 + µ3)H(Y |θ) + µ2H(X|Y,θ) (2)m(X)s (θ) = µ2H(X) + µ3 supθ∈PθH(Y |X,θ) . (3)Une strate´gie est optimale si le sous-ensemble de parame`tres θ pour lesquels le couˆt de transmission est minimal (parmi toutesles strate´gies), est de mesure maximale. Pour de´terminer la strate´gie optimale, nous les comparons deux a` deux. Pour comparerles deux strate´gies de codage conjoint, conside´rons la diffe´rence de couˆt∆c(θ) = m(X)c (θ)−m(Y )c (θ). Soit Pcθ l’ensemble des θpour lesquels∆c(θ) ≥ 0 et soit γc = 1−∫Pcθdθ/∫Pθdθ la mesure associe´e a` Pcθ. On conserve la strate´gie ou` Y est informationadjacente si γc > 0.5, on conserve l’autre strate´gie sinon. Ensuite, on compare la strate´gie conserve´e a` la strate´gie de codagese´pare´. Par exemple, si γc > 0.5, on calcule ∆cs(θ) = m(Y )c (θ) − m(X)s (θ), on de´finit Pcsθ comme l’ensemble des θ tels que∆cs(θ) ≥ 0 et on note γcs la mesure associe´e. On choisit l’une ou l’autre des strate´gies en conse´quence. On observe par exempleque lorsque le rapport µ1/µ3 ≪ 1 ou µ1/µ2 ≪ 1, la meilleure strate´gie est syste´matiquement le codage conjoint.Remarquons que si l’on souhaite conside´rer le cas du broadcast, les expressions des couˆts sont modifie´es. Par exemple, latransmission de {Yn}+∞n=1 a` X et S a un couˆt max(µ1, µ3)H(Y ).4 Estimation de parame`tresNous avons montre´ dans [2] que la connaissance d’une estime´e θˆ de θ au de´codeur pouvait re´duire le temps de de´codageet ame´liorer sa pre´cision, a` condition que l’estimation soit suffisamment pre´cise. Nous e´tudions donc l’inte´reˆt pour les sourcesde transmettre au pre´alable des se´quences d’apprentissage, pour permettre au de´codeur d’estimer θ. Il s’agit ici de caracte´riserl’augmentation de de´bit qui serait due au choix d’une strate´gie avec se´quence d’apprentissage. Dans cette partie, nous supposonsque la strate´gie optimale est la solution se´pare´e, i.e., µ1 est grand devant µ2 et µ3. De plus, nous conside´rons le codage dese´quences {Xn}Nn=1 et {Yn}Nn=1 de longueurs finiesN . Sans perte de ge´ne´ralite´, nous supposons que µ3 ≥ µ2 c’est-a`-dire queXest l’information adjacente. L’analyse est la meˆme dans l’autre cas.On e´tudie deux strate´gies possibles. Soit {uN}N∈N une suite d’entiers tels que limN→∞ uN = +∞ et limN→∞uNN= 0. Pourla strate´gie avec se´quence d’apprentissage, X transmet {Xn}Nn=1 a` S a` un de´bit H(X), Y transmet une se´quence d’apprentis-sage {Yn}uNn=1 de longueur uN a` S a` un de´bit H(Y ) puis transmet les {Yn}Nn=uN+1 restants en utilisant {Yn}Nn=uN+1 commeinformation adjacente pre´sente uniquement au de´codeur. La strate´gie sans se´quence d’apprentissage correspond a` la strate´gie decodage se´pare´ de´crite dans la section pre´ce´dente. On noteml(θ) etmwl(θ) les couˆts moyens par symbole correspondant a` chaquestrate´gie pour un θ donne´, et on aml(θ) = µ2H(X) + µ3(uNNH(Y |θ) +N − uNNsupθ∈PθH(Y |X,θ))(4)mwl(θ) = µ2H(X) + µ3 supθ∈PθH(Y |X,θ) . (5)La solution avec se´quence d’apprentissage implique un couˆt plus important a` longueur N finie, mais les deux solutions sonte´quivalentes quand N → ∞. A longueur finie, soit ∆(uN , θ) la perte en de´bit de la solution avec se´quence d’apprentissage enfonction de uN et de θ :∆(uN ,θ) =ml −mwlµ3=uNN(H(Y |θ)− supθ∈PθH(Y |X,θ)). (6)La perte ne de´pend pas des parame`tres µi. On suppose que l’estime´e de θ est obtenue avec un estimateur au sens du maximumde vraisemblance pour lequel la variance de l’erreur d’estimation est infe´rieure a` K/uN , ou` K est le nombre de parame`tres a`estimer [3, Chap. 7]. Pour une contrainte de qualite´ d’estimationK/uN ≤ ǫ fixe´e, on a alors∆(uN ,θ) ≥ǫKN(supθ∈PθH(Y |X,θ)−H(Y |θ)). (7)Pour finir, on peut expe´rimentalement de´terminer la valeur de ǫ qui garantit un de´codage correct, et obtenir un et ∆(uN ) a` partirde cette valeur.Re´fe´rences[1] R. Cristescu, B. Beferull-Lozano, and M. Vetterli. Networked Slepian-Wolf : theory, algorithms, and scaling laws. IEEETransactions on Information Theory, 51(12) :4057–4073, Dec 2005.[2] E. Dupraz, A. Roumy, and M. Kieffer. Source coding with side information at the decoder : models with uncertainty, per-formance bounds, and practical coding schemes. In International Symposium on Information Theory and its Applications,2012.[3] S.M. Kay. Fundamentals of Statistical Signal Processing, Estimation theory. Prentice Hall PTR, 1993.[4] D. Slepian and J. Wolf. Noiseless coding of correlated information sources. IEEE Transactions on Information Theory,19(4) :471–480, July 1973.[5] Z. Xiong, A.D. Liveris, and S. Cheng. Distributed source coding for sensor networks. IEEE Signal Processing Magazine,21(5) :80–94, Sep 2004.

Codage Distribué dans des Réseaux de Capteurs avec Connaissance Incertaine des Corrélations

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