9 pages dont 1 page de bibliographieEXACT SOLUTION OF THE INVERSE PROBLEM OF OPTION PRICING IN THE BLACK-SCHOLES MODEL The main result of this study concerns the expression of the volatility of an option as a function of the other parameters intervening in the traditional Black-Scholes model. This expression, exact, is firstly deduced in an analytical way and secondly verified with simulated data.Le résultat principal de cette étude réside dans l'expression de la volatilité d'une option en fonction des autres paramètres intervenant dans le modèle classique de Black et Scholes. Cette expression, exacte, est déduite de manière analytique puis vérifiée de manière numérique

Jacquinot, Philippe

Sukhomlin, Nikolay

HAL-Paris1

Solution exacte du proble`me inverse de valorisation desoptions dans le cadre du mode`le de Black et ScholesNikolay Sukhomlin, Philippe JacquinotTo cite this version:Nikolay Sukhomlin, Philippe Jacquinot. Solution exacte du proble`me inverse de valorisationdes options dans le cadre du mode`le de Black et Scholes. 9 pages dont 1 page de bibliographie.2007. <hal-00144781>HAL Id: hal-00144781https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00144781Submitted on 4 May 2007HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Copyright : Sukhomlin N., Jacquinot Ph. 04/05/2007 1/9 SOLUTION EXACTE DU PROBLEME INVERSE DE VALORISATION DES OPTIONS DANS LE CADRE DU MODELE DE BLACK ET SCHOLES   NIKOLAY SUKHOMLIN1 ∗  PHILIPPE JACQUINOT2  Le résultat principal de cette étude réside dans l’expression de la volatilité d’une option en fonction des autres paramètres intervenant dans le modèle classique de Black et Scholes. Cette expression, exacte, est déduite de manière analytique puis vérifiée de manière numérique.  Mots clés : Modèle de Black et Scholes, volatilité implicite, problème inverse de valorisation des options.  EXACT SOLUTION OF THE INVERSE PROBLEM OF OPTION PRICING IN THE BLACK-SCHOLES MODEL The main result of this study concerns the expression of the volatility of an option as a function of the other parameters intervening in the traditional Black-Scholes model. This expression, exact, is firstly deduced in an analytical way and secondly verified with simulated data.  Key words : Black Scholes model, implied volatility, inverse problem of option pricing.  Classification JEL : G13, G15    INTRODUCTION  Le modèle formulé en 1973 par Black et Scholes est, depuis l’année de son invention, demeuré la pierre de touche de la théorie des options et de la pratique des marchés de produits dérivés. Il permet, dans des conditions strictes, de valoriser une option en fonction de paramètres dont les valeurs sont connues ou observables, tels que le taux d’intérêt, et d’un paramètre non observable : la volatilité. Très vite s’est posée la question du problème inverse visant à connaître le paramètre non observable en fonction des paramètres habituels, dont les valeurs sont connues ou observables, et de la valeur de l’option, également observable.  Un grand nombre d’auteurs, parmi lesquels Bouchouev et Isakov (1997), Chiarella et alii (2003), Cont et alii (2004), Egger et alii  (2006) se sont penchés sur la résolution du problème inverse de valorisation des options.  Ils se sont heurtés, dans leurs approches respectives, à des complications importantes. D’autres, tels que Hull (2006), ont estimé, de manière plus radicale, que cette inversion était impossible.                                                    1 Department of Physics, the Autonomous University of Santo-Domingo; Department of Economy, the Pontifical Catholic University of Santo-Domingo, Dominican Republic,  2 Université Paris 1, Pantheon – Sorbonne, France. Chargé de cours vacataire dans les départements de Sciences Economiques, de Sciences de Gestion et à l’Institut d’Administration des Entreprises de Paris. ph.jacquinot@laposte.net ; philippe.jacquinot@univ-paris1.fr  ∗ Auteur de correspondance : Nikolay Sukhomlin  w17971865@gmail.com, ww17971865@yahoo.fr,  Department of Economy, the Pontifical Catholic University of Santo-Domingo, Dominican Republic, Ave. Abraham Lincoln, Esq. Romulo Betancourt, Ap. 2748, Tel. 809 535 0111, ext 2144, Fax: 809 534 7060 Copyright : Sukhomlin N., Jacquinot Ph. 04/05/2007 2/9 Les développements qui suivent présentent la solution analytique au problème de l’inversion de la formule de Black et Scholes puis sa vérification numérique. Nous partons des résultats des études de symétries effectuées par Sukhomlin (2004, 2006) et des approches quantitatives sur lois de conservation proposées par Sukhomlin et Jacquinot (2006).  FORMULATION ANALYTIQUE EXPLICITE DE LA VOLATILITE  L’équation aux dérivées partielles de Black et Scholes est couramment exprimée de la manière suivante :  0212222=−∂∂+∂∂+∂∂ VrSVSrSVStVσ ,  où V est la valeur de l’option, S la valeur du sous-jacent à l’instant t, r le taux d’intérêt sans risque (supposé constant) et σ  la volatilité (supposée constante). La condition aux bornes est : V = max (S - K; 0) à l’échéance pour une option d’achat de style européen3 concernant un sous-jacent ne procurant pas de flux. Les constantes K et T représentent respectivement le prix d’exercice et l’échéance ( ],0[ Tt ∈ ).  La solution classique de Black et Scholes s’écrit :  )()()( 21 dNtFdNSV −= ,  avec :  )()( tTreKtF −−≡ ,  ∫∞−−≡du duedN 2/221)(pi,     τβτ)1(lnln1 −+−≡KSd ,  τβτ−−≡KSd lnln2 ,  tT −≡ στ ,     (1)  221σβ r−≡ .     (2)   Etant donné que :      τ+= 21 dd ,                                                    3 Seule l’étude des options d’achat est présentée puisque tous les résultats peuvent être facilement étendus aux options de vente. Copyright : Sukhomlin N., Jacquinot Ph. 04/05/2007 3/9 il est possible d’écrire4 :           )()()( 21 dNtFdNS ′=′ .  Soit par ailleurs la fonction ξ  :  )1()2( VV −≡ξ ,     (3)    avec : )(ln/)1( SVV ∂∂≡ ,  et     22)2( )ln(/ SVV ∂∂≡ .  Compte tenu de la propriété de la loi normale :  )()( dNddN ′−=′′ ,      il vient : )(1 1dNS ′= τξ ,     (4) ou encore :  )()(1 2dNtF ′= τξ .       Soit ξE  l’élasticité de la fonction auxiliaire ξ  par rapport à S :   SElnln∂∂≡ξξ   ( ) βτ+−−= KS lnln12 ,       et  SKE lnln)(2 −=− βτ ξ .     (5)  En remplaçant τ  et β  dans la relation (5) par leurs expressions dans (1) et (2), la volatilité peut alors directement être exprimée de la manière suivante :   )21()()()/(ln−−−−=ξσEtTtTrSK. (6)  Dans cette formule, la volatilité est ainsi écrite en fonction du quotient entre le prix du sous-jacent et le prix d’exercice, du taux d’intérêt sans risque, de la maturité et de l’élasticité de la fonction auxiliaire ξ . Cette dernière est une combinaison de dérivées première et seconde de la valeur de l’option par rapport au logarithme du sous-jacent. La volatilité est donc bien définie de manière exacte en fonction des autres paramètres du modèle. Les valeurs de ces dernières sont connues, observables ou calculables à partir de données de marché.                                                      4 Voir par exemple Wilmott et alii (1995). Copyright : Sukhomlin N., Jacquinot Ph. 04/05/2007 4/9 VERIFICATION NUMERIQUE  L’objectif des propos qui suivent est de vérifier de manière numérique l’expression directe de la volatilité formulée à la fin de la section précédente  La méthodologie employée repose sur la simulation de données. La valeur d’une option d’achat Vi  est calculée à l’aide de la formule de Black et Scholes en utilisant une maturité   (T-t), un prix d’exercice K, un taux d’intérêt sans risque  r,  une volatilité  σ   et un prix du sous-jacent  Si  donnés. L’opération est répétée en donnant au sous-jacent des valeurs successives différentes.  On compare ensuite la volatilité calculée en se fondant sur la formule (6) avec celle qui a servi pour simuler les données.   De manière chiffrée, les valeurs choisies du sous-jacent vont de 95 à 105 par saut de 0,01, le prix d’exercice est égal à 100 (milieu de la plage des valeurs du sous-jacent), le taux d’intérêt est égal à 4%, la maturité est égale à 0,2 et la volatilité est égale à 20%.  Pour chaque valeur iS du sous-jacent, la valeur de ξ est calculée en utilisant la formule qui suit : 2)1(lnln221−+−−=τβτpiτξKSiiieS ,       où [ ]1000;0∈i ,  Ν∈i ,  950 =S ;  1051000 =S   et  01,01 =−+ ii SS .  Cette formule est l’expression discrète de l’égalité (4), après dérivation de la loi normale5.  La représentation graphique de ξ (figure 1) est une courbe concave.  Figure 1 Ksi 010020030040050094 96 98 100 102 104 106ST-t=0,20 T-t=0,40 T-t=0,60ξ 2,004,0100 === σrK                                                   5 Les calculs de  ξ  sur données discrètes en partant de la formule (3) aboutit à des données voisines au millionième de la valeur approchée près. Copyright : Sukhomlin N., Jacquinot Ph. 04/05/2007 5/9 Pour des maturités plus importantes que 0,2, la courbe est moins élevée et plus aplatie6.    L’utilisation de la formule (6) nécessite le calcul l’élasticité de ξ . Ceci peut être fait, sur données discrètes, à l’aide de la formule suivante :  [ ]1000;1)Sln()Sln()(ln)ln(1-ii1-ii ∈∀−−=Ε iiξξξ .  Afin d’apprécier visuellement ξ , il est possible de reformuler l’expression (6) comme suit :  βτξ +−−= 2lnln KSE . (7)  D’après cette relation, l’élasticité est une fonction linéaire décroissante de ln (S/K) avec pour coefficient directeur  2/1 τ−   et ordonnée à l’origine  β .  L’élasticité étant un rapport de variations entre deux points, il est nécessaire pour représenter correctement l’élasticité de ξ  d’associer, pour chaque i compris entre 1 et 1000, iEξ à Kln2)Sln()Sln( 1-ii−+.   Sur la figure 2, l’élasticité de ξ calculée sur données simulées semble apparemment bien être une fonction linéaire décroissante de ln(S/K).  Figure 2 Elasticité de Ksi-2,8-2,5-2,2-1,9-1,7-1,4-1,1-0,8-0,6-0,30,00,30,60,81,11,41,71,9-0,020 -0,015 -0,010 -0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020ln(S/K )T-t=0,20 T-t=0,40 T-t=0,60β)(2 tT −βσξE 2,004,0100 === σrKξ                                                   6 La valeur du sous-jacent pour laquelle la valeur de Ksi est maximale peut être, selon la valeur de r, supérieure, égale ou inférieure au prix d’exercice. Copyright : Sukhomlin N., Jacquinot Ph. 04/05/2007 6/9 En utilisant la même méthode et en donnant des valeurs de 0,40 puis de 0,60 à la maturité, les deux courbes supplémentaires obtenues sont visuellement des droites passant par la même ordonnée à l’origine et dont la pente est moins négative. Ceci semble conforter la validité de la relation (7).  D’un point de vue dynamique, la droite tourne avec le passage du temps autour du point fixe ),0( β , dans le sens des aiguilles d’une montre. La connaissance de  β   permet aisément de connaître la volatilité.  La validité expérimentale de la relation (6) peut être appréciée également en la réécrivant comme suit.  ( ) 0lnln)(2 =−−− SKE βτ ξ .   (8)  En utilisant les données simulées, il est possible de calculer le résidu i1ε défini de la manière suivante :    +−−−=2)Sln()Sln(ln)( 1-ii21 KE ii βτε ξ .  Sur la représentation graphique de i1ε  il n’apparaît visuellement aucune tendance.  Figure 3 Expression 8 : résidus de calcul-0,00000000000015-0,00000000000010-0,000000000000050,000000000000000,000000000000050,000000000000100,0000000000001595 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105Sci1ε 2,02,004,0100 =−=== tTrK σ  Les valeurs de  i1ε  paraissent uniformément réparties de part et d’autre de l’axe des abscisses, sans évolution apparente de la dispersion.  Dès lors que ξ  et son élasticité ont été calculés, il est possible de calculer la volatilité.  Copyright : Sukhomlin N., Jacquinot Ph. 04/05/2007 7/9 La relation (6) peut être transcrite de la manière suivante :  [ ]1000;1)21()()(2)Sln()Sln(ln 1-ii∈∀−−−−+−= iEtTtTrKiicalcξσ .  On peut alors déterminer l’écart entre la volatilité calculée et la volatilité ayant servi pour la simulation des données :  ii calcσσε −=2 .  Cet écart est représenté graphiquement sur la figure 4.  Figure 4 Volatilité - résidus de calcul-0,000000000050,000000000000,000000000050,000000000100,000000000150,0000000002095 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105Si2ε0,00000000018642,02,004,0100 =−=== tTrK σ   Les valeurs se partagent uniformément de part et d’autre de l’axe des abscisses, avec une dispersion plus forte autour de la valeur du spot égale 99,21 qui correspond à la valeur de l’élasticité de ξ  proche de 0,5. La formule (6) montre la forte sensibilité au voisinage de cette valeur. L’approximation liée au calcul sur données discrètes a donc des effets amplifiés autour de ce point.  Un changement d’échelle permet d’observer de manière plus précise ce phénomène (voir figure 5).       Copyright : Sukhomlin N., Jacquinot Ph. 04/05/2007 8/9  Figure 5 Volatilité - résidus de calcul - zoom-0,00000000004-0,00000000003-0,00000000002-0,000000000010,000000000000,000000000010,000000000020,000000000030,0000000000498,5 99,0 99,5 100,0Si2ε 2,02,004,0100 =−=== tTrK σ  L’écart maximal entre la valeur de la volatilité calculée à partir de la formule (6) et la valeur de la volatilité ayant servi à simuler les données est de l’ordre du milliardième de cette dernière. La formule (6) déduite de manière analytique semble ainsi, à des seuils acceptables, être corroborée par les chiffres.   CONCLUSION   Contrairement à un préjugé courant dans la littérature financière, le problème inverse de valorisation des options du modèle de Black et Scholes peut être résolu de manière exacte. Dans la première section de ce document, la solution analytique a été présentée. Dans la seconde section, elle a été vérifiée de manière numérique par la simulation de données.  Plus largement, le résultat ici obtenu a eu pour point de départ l’analyse de la symétrie spécifique de la solution classique de Black et Scholes trouvée par Sukhomlin (2006). La connaissance de cette symétrie cachée a permis la construction d’une expression de la volatilité implicite en fonction des paramètres observables sur le marché via l’introduction d’une nouvelle caractéristique « grecque » ξ . Cette approche peut s’avérer fructueuse pour le dégagement d’autres propriétés des systèmes dynamiques financiers.  Les débouchés futurs en matière de recherche théorique et appliquée sont multiples. D’un point de vue fondamental, les enchaînements analytiques de cet article peuvent par exemple être utilisés pour extérioriser la volatilité dans des modèles représentant des extensions du modèle classique de Black et Scholes. D’un point de vue pratique, les travaux peuvent porter sur l’application des formules théoriques aux données réelles pour tenter de capter avec plus d’acuité qu’actuellement la volatilité implicite historique.     Copyright : Sukhomlin N., Jacquinot Ph. 04/05/2007 9/9 Remerciements :  Philippe Jacquinot remercie vivement, de leur confiance et de leur soutien, les responsables des formations où il intervient. Nikolay Sukhomlin exprime sa gratitude à la fondation de SEESCyT, à M Roberto Reyna et au Département de Physique de la UASD pour leur coopération et l’aide apportée.   BIBLIOGRAPHIE :   Black F., Scholes M. (1973), “The pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Economy, 81 (mai/juin), 637-659  Bouchouev I. and Isakov V. (1997), “The inverse problem of option pricing”, Inverse Problems, v. 13, pp. 11-17  Chiarella C., Craddock M. and El-Hassan N., (2003),  An Implementation of Bouchouev's Method for a Short Time Calibration of Option Pricing Models, Computational Economics, v. 22 ,  n. 2-3, pp. 113 – 138  Cont R., Tankov P., Voltchkova E. (2004), Option pricing models with jumps: integro-differential equations and inverse problems.   Published in : P. Naittaanmäki, T. Rossi, S. Korotov, E. Onate, J. Périaux and D. Knorzer (Eds.) European Congress on Computational Methods in Applied Sciences (ECCOMAS 2004)}, Jyväskylä.  Egger H., Hein T. and Hofmann B. (2006), “On decoupling of volatility smile and term structure in inverse option pricing”, Inverse Problems, v. 22, 1247-1259  Hull J. (2006), Options, Futures and Other Derivative Securities, 6th edition, Upper Saddle River, N.J., Prentice Hall, 2006  Sukhomlin N. (2004), “Simetría y nuevas soluciones de la ecuación de Black Scholes”, Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, Vol. XI, No. 2, pp. 175-189  Sukhomlin N. (2006), “Ley de conservación del precio final en el modelo de Black Scholes”, Economía, Universidad de los Andes, Venezuela, n. 17-18, pp. 147-161  Sukhomlin N., Jacquinot Ph. (2006) “Lois de conservation et modèle de Black et Scholes: généralisation au cas du portefeuille multi-composants”, Communication au XVè Symposium de Méthodes Mathématiques Appliquées aux Sciences (SIMMAC), Université d’Antilles Guyane, Guadeloupe, France, 18-21 avril 2006  Wilmott P., Howison S., Dewynne J. (1995), The Mathematics of Financial Derivatives, Cambridge University Press. Cambridge  _____ 

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