Réflexion sur des effets d'approximation dans les calculs en statistique et sur l'interprétation statistique qui en découle

Regnier, Jean-Claude

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Danger! Approximations...

HAL-ENS-LYON

Danger! Approximations...Jean-Claude RegnierTo cite this version:Jean-Claude Regnier. Danger! Approximations.... Enseigner la Statistique du CM a` la SecondePourquoi? Comment ?, IREM de Lyon Universite´ Lyon1, pp.99-105, 1998. <halshs-00405999>HAL Id: halshs-00405999https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00405999Submitted on 26 Jul 2009HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.J-C. Régnier-Danger ! Approximations... pp. 99-105  Danger! Approximations... Réflexion sur des effets d'approximations dans les calculs en statistique Jean-Claude Régnier   Voici trois exemples dont le but est de faire comprendre l’intérêt des précautions à prendre lorsque l’on remplace une valeur par une “valeur approchée tout à fait raisonnable”. Lorsque l’on utilise une machine à calculer, comme ceci est pratiquement une nécessité pour réaliser des calculs statistiques, il convient de travailler avec la précision maximale de l’instrument dans le déroulement des opérations. Le recours à une valeur approchée d'un ordre de grandeur compatible avec la situation d'étude n’intervient alors que pour en communiquer les informations et les conclusions. Notons cependant que l'usage de la précision maximale du calculateur automatique ne fait que diminuer le risque de provoquer les effets dont nous allons donner un exemple sans pouvoir garantir la non-réalisation de l'événement. Un tel outil ne travaille qu'avec un ensemble fini de nombres décimaux dont les nombres entiers ne sont qu'un cas particulier. Cette caractéristique est importante car elle nous rappelle quelques limites de l'instrument dans les procédures démonstratives, par exemple pour étudier le comportement d'une suite numérique déterminée par la valeur initiale : si cette valeur initiale est un nombre irrationnel comme π ou 2  , il sera impossible de partir de ce point exact. Ainsi pour une suite qui serait convergente en partant de 2  et divergente à partir de toute autre valeur, l’étude empirique à l’aide d’une calculatrice s’avérera conduire inévitablement à l’erreur. Autre cas, pour comparer deux fractions ab    et  cd    avec une calculatrice, on procède habituellement aux opérations a :   b et c :   d, certes si les affichages à l'écran sont différents, nous concluons que  ab   ≠  cd    mais si les écritures décimales nécessitent un nombre de chiffres supérieur à la précision de l'outil et si les affichages sont identiques, nous n'avons plus qu'une présomption d'égalité car un des chiffres cachés peut être distinct.  J-C. Régnier- réflexions théoriques  Dans le premier exemple, nous considérons une étude portant sur le prix unitaire d’un objet  en fonction de 80 points de vente existants. La variable est considérée comme une variable quantitative discrète. On cherche à obtenir le prix moyen et la dispersion des valeurs à l’aide de l’écart-type. valeurs de la variable 6,55 6,8 6,85 6,9 7 7,1 7,35 7,4 effectif total effectifs 7 6 8 13 16 18 7 5 80  Les calculs donnent les résultats suivants:  somme des 80 valeurs  559,4   prix unitaire moyen 6,9925 prix unitaire moyen arrondi “raisonnablement” 7 somme des carrés des écarts à la valeur moyenne exacte 3,8005 somme des carrés des écarts à la valeur moyenne approchée 3,805 variance calculée selon la définition 0,04750625 variance calculée selon la définition 0,048 somme des carrés des valeurs de la variable 3915,405   variance calculée selon la formule “moyenne des carrés moins le carré de la moyenne”  0,04750625 variance calculée selon la formule “moyenne des carrés moins le carré de la moyenne”  -0,06  Nous repérons une aberration dans le résultat issu du calcul de la variance par la seconde méthode. En utilisant dans le cours des calculs, une valeur approchée tout à fait raisonnable (7 pour 6,9925), on obtient une valeur négative - 0,06 ce qui est impossible puisque la variance est par définition positive.  Dans le second exemple, nous considérons une étude portant sur la taille d’individus La variable est considérée comme une variable quantitative continue. On cherche à obtenir la taille moyenne et la dispersion des valeurs à l’aide de l’écart-type.  J-C. Régnier-Danger ! Approximations... pp. 99-105  valeurs de la variable [148;152[ [152;156[ [156;160[ [160;164[ [164;168[ [168;172[ [172;176[ [176;180[valeurs centrales 150 154 158 162 166 170 174 178 effectif total effectifs 5 12 21 39 33 10 2 3 125  Les calculs donnent les résultats suivants:  somme des 125 valeurs  20294   TAILLE moyenne 162,352 TAILLE moyenne arrondie “raisonnablement” 162,5 somme des carrés des écarts à la valeur moyenne exacte 4032,512 somme des carrés des écarts à la valeur moyenne approchée 4035,25 variance calculée selon la définition 32,260096 variance calculée selon la définition 32,282 somme des carrés des valeurs de la variable 3298804   variance calculée selon la formule “moyenne des carrés moins le carré de la moyenne” 32,260096 variance calculée selon la formule “moyenne des carrés moins le carré de la moyenne” -15,818  Nous repérons encore une aberration dans le résultat issu du calcul de la variance par la seconde méthode. En utilisant dans le cours des calculs, une valeur approchée tout à fait raisonnable (162,5 pour 162,352), on obtient  ici encore une valeur négative -15,818   Dans ce troisième exemple, nous allons considérer le croisement de la variable Taille des individus  avec la variable Poids des individus. Le tableau statistique ci-après fournit les résultats à l'issue d'une enquête auprès de 125 individus.  J-C. Régnier- réflexions théoriques  valeurs de la variable Taille (cm) X [148;152[ [152;156[ [156;160[ [160;164[ [164;168[ [168;172[ [172;176[ [176;180[  Poids (kg) Y valeurs centrales  150  154  158  162  166  170  174  178 effectif [39;43[ 41 4 1 1 0 0 0 0 0 6 [43;47[ 45 1 8 0 0 0 0 0 0 9 [47;51[ 49 0 2 18 0 0 0 0 0 20 [51;55[ 53 0 0 1 32 0 0 0 0 33 [55;59[ 57 0 0 0 4 26 0 0 0 30 [59;63[ 61 0 1 1 1 0 8 0 0 11 [63;67[ 65 0 0 0 1 4 1 2 0 8 [67;71[ 69 0 0 0 1 3 1 0 3 8  effectifs 5 12 21 39 33 10 2 3 125Ci-après, la représentation graphique du nuage des 125 points apporte des informations sur une éventuelle liaison statistique entre ces deux variables biométriques.  nuage statistique010203040506070150 155 160 165 170 175 180variable TailleVariable Poids Cette recherche de lien est aussi étayée par le recours au coefficient de corrélation linéaire de Bravais-Pearson RBP entre deux variables quantitatives X et Y. Nous donnons l'expression algébrique :  R2BP =  Cov2 (X;Y) V(X) V(Y)    où  Cov(X ; Y) désigne la covariance de X et de Y , V(X) et V(Y) la variance respective de X et de Y. Par construction les valeurs de R2BP  sont comprises entre 0 et 1 donc celles de RBP , entre -1 et 1.  J-C. Régnier-Danger ! Approximations... pp. 99-105  Nous convenons de calculer leurs valeurs par les algorithmes suivant :   Variance = moyenne des carrés des valeurs de la variable - carré de la moyenne   Covariance = moyenne des produits des valeurs des deux variables - produit des deux moyennes  Le tableau ci-dessous donne alors les valeurs obtenues à partir de diverses conduites d'approximation :  résultats exacts résultats approchés  (1) résultats approchés (2) somme des valeurs de X 20294 *** *** moyenne de X 162,352 162,4 162,3 somme des carrés de X 3298804 *** *** moyenne des carrés de X 26390,432 *** *** carré de la moyenne de X 26358,171904 26373,76 26341,29 somme des valeurs de Y 6833 *** *** moyenne de Y 54,664 54,7 54,7 somme des carrés de Y 379317 *** *** moyenne des carrés de Y 3034,536 *** *** carré de la moyenne de Y 2988,152896 2992,09 2992,09 somme des produits XY 1113454 *** *** moyenne des produits XY 8907,632 *** *** produit des moyennes 8874,809728 8883,28 8877,81  covariance cov(X,Y)= 32,8222719999994 24,351999999999 29,8219999999983 cov2(X;Y) =  1077,30153924195 593,019903999949 889,351683999898 variance V(X)= 32,2600959999982 16,6719999999987 49,1419999999962 variance V(Y)= 46,383104 42,4459999999999 42,4459999999999 coefficient   R2BP(X,Y)=  0,719965715975999  0,838001505446728  0,426367344276117  J-C. Régnier- réflexions théoriques   résultats approchés (3) résultats approchés (4) résultats approchés  (5) somme des valeurs de X *** *** *** moyenne de X 162,4 162,5 162 somme des carrés de X *** *** *** moyenne des carrés de X *** *** *** carré de la moyenne de X 26373,76 26406,25 26244 somme des valeurs de Y *** *** *** moyenne de Y 54,6 54,66 55 somme des carrés de Y *** *** *** moyenne des carrés de Y *** *** *** carré de la moyenne de Y 2981,16 2987,7156 3025 somme des produits XY *** *** *** moyenne des produits XY *** *** *** produit des moyennes 8867,04 8882,25 8910  covariance cov(X,Y)= 40,5919999999987 25,3819999999996 -2,36800000000039 cov2(X;Y) =  1647,7104639999 644,24592399998 5,60742400000186 variance V(X)= 16,6719999999987 -15,8179999999993 146,432000000001 variance V(Y)= 53,3759999999997 46,8204000000005 9,53600000000006    coefficient   R2BP(X,Y)=  1,85160000598374 -0,869891302577595 0,004015699066036  Dans la colonne Résultats exacts, nous rapportons effectivement les valeurs exactes obtenues à partir des calculs. Dans les autres colonnes nous avons adopté une conduite d'approximation en modifiant les valeurs des moyennes en choisissant des valeurs concrètement raisonnables. Force est de constater les effets spectaculaires que ces choix peuvent provoquer.   résultats exacts résultats approchés (1) résultats approchés (2) moyenne de X 162,352 162,4 162,3 moyenne de Y 54,664 54,7 54,7 coefficient   R2BP(X,Y)= 0,719965715975999 0,838001505446728 0,426367344276117 coefficient de Bravais-Pearson  RBP(X,Y) ≈ 0,8485 0,9154 0,6529 J-C. Régnier-Danger ! Approximations... pp. 99-105    résultats approchés(3) résultats approchés(4) résultats approchés (5) moyenne de X 162,4 162,5 162 moyenne de Y 54,6 54,66 55 coefficient   R2BP(X,Y)= 1,85160000598374 -0,8698913025775950,004015699066036 coefficient de Bravais-Pearson  RBP(X,Y) ≈ absurde absurde 0,0633  Comment ne pas s'étonner devant les faits suivants  : - en arrondissant  le poids moyen de 54,664 kg à 54,7 kg et la taille moyenne de 162,352 cm à la valeur au dixième près par excès c'est à dire en prenant 162,4 cm ou à la valeur au dixième près par défaut c'est à dire en prenant 162,3 cm , nous faisons passer la valeur du coefficient   R2BP(X,Y) ≈ 0,7199 de 0,8300 à 0,4236 ce qui revient après l'avoir augmenté à le diminuer de moitié ! - en choisissant les valeurs approchées au dixième près suivantes, par excès pour la taille moyenne avec 162,4 cm et par défaut pour le poids moyen avec 54,6 kg, nous obtenons une aberration avec une valeur supérieure à 1! - en choisissant une valeur approchée au 1/100 près par défaut pour le poids moyen, c'est à dire  54,66 kg et la valeur centrale 162,5 cm pour la taille moyenne, nous obtenons une valeur aberrante parce que négative ! - en choisissant d'arrondir aux unités ce qui revient à considérer un poids moyen de 55 kg et une taille moyenne de 162 cm, nous aboutissons à une valeur coefficient  R2BP(X,Y) proche de 0 ! De cela vont résulter des décisions opposées. Ainsi une valeur du coefficient R2BP(X,Y) voisine de 0,8380, c’est à dire une valeur du coefficient de Bravais-Pearson voisine de 0,91, incite à rejeter l'hypothèse d'absence de lien linéaire. Mais il n'en est pas de même avec une valeur de R2BP(X,Y) voisine de 0,0040 qui donne une valeur de RBP(X,Y)≈ 0,06. Cette dernière incite à renoncer à ce rejet par référence au cadre théorique qui donne un sens à ce coefficient  et dont nous ne faisons pas état ici.  En ce qui concerne la situation où le coefficient prend une valeur supérieure à 1, il m'a été donné de l'observer effectivement lors d'une surveillance d'épreuve de baccalauréat , il y a une dizaine d'années. J'ai pu alors me rendre compte par hasard qu'une candidate se débattait avec sa J-C. Régnier- réflexions théoriques  calculatrice et que ses résultats l'étonnaient. Recommençant plusieurs fois, elle trouvait cependant toujours un coefficient supérieur à 1. Force est de constater qu’elle entrait à chaque fois des valeurs arrondies qui la plaçait dans des conditions analogues à celles que j'ai tentées de décrire dans cet article. Les erreurs ainsi produites ne relèvent pas d'une incompréhension des notions statistiques mises en œuvre mais bien des limites posées par un instrument de calcul. L'enseignement a tout intérêt à intégrer ce genre de problème dans l'éducation statistique des élèves. Le but principal de cet article est d'attirer l'attention des enseignants et des étudiants sur ce phénomène, effet secondaire des avantages majeurs qu’apporte les calculateurs automatiques. 

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Danger! Approximations...
Jean-Claude Regnier
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Jean-Claude Regnier. Danger! Approximations.... Enseigner la Statistique du CM a` la Seconde
Pourquoi? Comment ?, IREM de Lyon Universite´ Lyon1, pp.99-105, 1998. <halshs-00405999>
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recherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoires
publics ou prive´s.
J-C. Régnier-Danger ! Approximations... 
pp. 99-105 
 
Danger! Approximations... 
Réflexion sur des effets d'approximations dans les calculs en statistique 
Jean-Claude Régnier 
 
 
Voici trois exemples dont le but est de faire comprendre l’intérêt des 
précautions à prendre lorsque l’on remplace une valeur par une “valeur 
approchée tout à fait raisonnable”. Lorsque l’on utilise une machine à 
calculer, comme ceci est pratiquement une nécessité pour réaliser des 
calculs statistiques, il convient de travailler avec la précision maximale de 
l’instrument dans le déroulement des opérations. Le recours à une valeur 
approchée d'un ordre de grandeur compatible avec la situation d'étude 
n’intervient alors que pour en communiquer les informations et les 
conclusions. Notons cependant que l'usage de la précision maximale du 
calculateur automatique ne fait que diminuer le risque de provoquer les 
effets dont nous allons donner un exemple sans pouvoir garantir la non-
réalisation de l'événement. Un tel outil ne travaille qu'avec un ensemble fini 
de nombres décimaux dont les nombres entiers ne sont qu'un cas particulier. 
Cette caractéristique est importante car elle nous rappelle quelques limites 
de l'instrument dans les procédures démonstratives, par exemple pour 
étudier le comportement d'une suite numérique déterminée par la valeur 
initiale : si cette valeur initiale est un nombre irrationnel comme π ou 2  , 
il sera impossible de partir de ce point exact. Ainsi pour une suite qui serait 
convergente en partant de 2  et divergente à partir de toute autre valeur, 
l’étude empirique à l’aide d’une calculatrice s’avérera conduire 
inévitablement à l’erreur. Autre cas, pour comparer deux fractions 
a
b    et  
c
d    avec une calculatrice, on procède habituellement aux opérations a :   b 
et c :   d, certes si les affichages à l'écran sont différents, nous concluons 
que  
a
b   ≠  
c
d    mais si les écritures décimales nécessitent un nombre de 
chiffres supérieur à la précision de l'outil et si les affichages sont identiques, 
nous n'avons plus qu'une présomption d'égalité car un des chiffres cachés 
peut être distinct. 
 
J-C. Régnier- réflexions théoriques 
 
Dans le premier exemple, nous considérons une étude portant sur le prix 
unitaire d’un objet  en fonction de 80 points de vente existants. La variable 
est considérée comme une variable quantitative discrète. On cherche à 
obtenir le prix moyen et la dispersion des valeurs à l’aide de l’écart-type. 
valeurs de 
la variable 
6,55 6,8 6,85 6,9 7 7,1 7,35 7,4 effectif 
total 
effectifs 7 6 8 13 16 18 7 5 80 
 
Les calculs donnent les résultats suivants: 
 
somme des 80 valeurs  559,4   
prix unitaire moyen 6,9925 prix unitaire moyen arrondi 
“raisonnablement” 
7 
somme des carrés des 
écarts à la valeur moyenne 
exacte 
3,8005 somme des carrés des 
écarts à la valeur moyenne 
approchée 
3,805 
variance calculée selon la 
définition 
0,04750625 variance calculée selon la 
définition 
0,048 
somme des carrés des 
valeurs de la variable 
3915,405   
variance calculée selon la 
formule “moyenne des 
carrés moins le carré de la 
moyenne” 
 
0,04750625 
variance calculée selon la 
formule “moyenne des 
carrés moins le carré de 
la moyenne” 
 
-0,06 
 
Nous repérons une aberration dans le résultat issu du calcul de la 
variance par la seconde méthode. En utilisant dans le cours des calculs, une 
valeur approchée tout à fait raisonnable (7 pour 6,9925), on obtient une 
valeur négative - 0,06 ce qui est impossible puisque la variance est par 
définition positive. 
 
Dans le second exemple, nous considérons une étude portant sur la 
taille d’individus La variable est considérée comme une variable 
quantitative continue. On cherche à obtenir la taille moyenne et la 
dispersion des valeurs à l’aide de l’écart-type. 
 
J-C. Régnier-Danger ! Approximations... 
pp. 99-105 
 
valeurs 
de la 
variable 
[148;152[ [152;156[ [156;160[ [160;164[ [164;168[ [168;172[ [172;176[ [176;180[
valeurs 
centrale
s 
150 154 158 162 166 170 174 178 effecti
f total 
effectifs 5 12 21 39 33 10 2 3 125 
 
Les calculs donnent les résultats suivants: 
 
somme des 125 valeurs  20294   
TAILLE moyenne 162,352 TAILLE moyenne 
arrondie 
“raisonnablement” 
162,5 
somme des carrés des 
écarts à la valeur moyenne 
exacte 
4032,512 somme des carrés des 
écarts à la valeur moyenne 
approchée 
4035,25 
variance calculée selon la 
définition 
32,260096 variance calculée selon la 
définition 
32,282 
somme des carrés des 
valeurs de la variable 
3298804   
variance calculée selon la 
formule “moyenne des 
carrés moins le carré de la 
moyenne” 
32,260096 variance calculée selon la 
formule “moyenne des 
carrés moins le carré de 
la moyenne” 
-15,818 
 
Nous repérons encore une aberration dans le résultat issu du calcul de 
la variance par la seconde méthode. En utilisant dans le cours des calculs, 
une valeur approchée tout à fait raisonnable (162,5 pour 162,352), on 
obtient  ici encore une valeur négative -15,818  
 
Dans ce troisième exemple, nous allons considérer le croisement de la 
variable Taille des individus  avec la variable Poids des individus. Le 
tableau statistique ci-après fournit les résultats à l'issue d'une enquête auprès 
de 125 individus. 
 
J-C. Régnier- réflexions théoriques 
 
valeurs 
de la 
variabl
e 
Taille 
(cm) 
X 
[148;152[ [152;156[ [156;160[ [160;164[ [164;168[ [168;172[ [172;176[ [176;180[  
Poids 
(kg) 
Y 
valeurs 
centrale
s 
 
150 
 
154 
 
158 
 
162 
 
166 
 
170 
 
174 
 
178 
effecti
f 
[39;43[ 41 4 1 1 0 0 0 0 0 6 
[43;47[ 45 1 8 0 0 0 0 0 0 9 
[47;51[ 49 0 2 18 0 0 0 0 0 20 
[51;55[ 53 0 0 1 32 0 0 0 0 33 
[55;59[ 57 0 0 0 4 26 0 0 0 30 
[59;63[ 61 0 1 1 1 0 8 0 0 11 
[63;67[ 65 0 0 0 1 4 1 2 0 8 
[67;71[ 69 0 0 0 1 3 1 0 3 8 
 effectifs 5 12 21 39 33 10 2 3 125
Ci-après, la représentation graphique du nuage des 125 points apporte 
des informations sur une éventuelle liaison statistique entre ces deux 
variables biométriques.  
nuage statistique
0
10
20
30
40
50
60
70
150 155 160 165 170 175 180
variable Taille
V
ar
ia
bl
e 
Po
id
s
 
Cette recherche de lien est aussi étayée par le recours au coefficient de 
corrélation linéaire de Bravais-Pearson RBP entre deux variables 
quantitatives X et Y. Nous donnons l'expression algébrique :  
R2BP = 
 Cov2 (X;Y)
 V(X) V(Y)    où  Cov(X ; Y) désigne la covariance de X et de 
Y , V(X) et V(Y) la variance respective de X et de Y. Par construction les 
valeurs de R2BP  sont comprises entre 0 et 1 donc celles de RBP , entre -1 et 
1. 
 
J-C. Régnier-Danger ! Approximations... 
pp. 99-105 
 
Nous convenons de calculer leurs valeurs par les algorithmes suivant :  
 
Variance = moyenne des carrés des valeurs de la variable - carré de la moyenne   
Covariance = moyenne des produits des valeurs des deux variables - produit des deux 
moyennes 
 
Le tableau ci-dessous donne alors les valeurs obtenues à partir de 
diverses conduites d'approximation : 
 résultats exacts résultats 
approchés  
(1) 
résultats 
approchés 
(2) 
somme des valeurs de 
X 
20294 *** *** 
moyenne de X 162,352 162,4 162,3 
somme des carrés de X 3298804 *** *** 
moyenne des carrés de 
X 
26390,432 *** *** 
carré de la moyenne de 
X 
26358,171904 26373,76 26341,29 
somme des valeurs de 
Y 
6833 *** *** 
moyenne de Y 54,664 54,7 54,7 
somme des carrés de Y 379317 *** *** 
moyenne des carrés de 
Y 
3034,536 *** *** 
carré de la moyenne de 
Y 
2988,152896 2992,09 2992,09 
somme des produits 
XY 
1113454 *** *** 
moyenne des produits 
XY 
8907,632 *** *** 
produit des moyennes 8874,809728 8883,28 8877,81 
 covariance cov(X,Y)= 32,8222719999994 24,351999999999 29,8219999999983 
cov2(X;Y) =  1077,30153924195 593,019903999949 889,351683999898 
variance V(X)= 32,2600959999982 16,6719999999987 49,1419999999962 
variance V(Y)= 46,383104 42,4459999999999 42,4459999999999 
coefficient   
R2BP(X,Y)= 
 
0,71996571597599
9 
 
0,838001505446728 
 
0,42636734427611
7 
 
J-C. Régnier- réflexions théoriques 
 
 résultats 
approchés 
(3) 
résultats approchés 
(4) 
résultats approchés  
(5) 
somme des valeurs de X *** *** *** 
moyenne de X 162,4 162,5 162 
somme des carrés de X *** *** *** 
moyenne des carrés de 
X 
*** *** *** 
carré de la moyenne de 
X 
26373,76 26406,25 26244 
somme des valeurs de Y *** *** *** 
moyenne de Y 54,6 54,66 55 
somme des carrés de Y *** *** *** 
moyenne des carrés de 
Y 
*** *** *** 
carré de la moyenne de 
Y 
2981,16 2987,7156 3025 
somme des produits XY *** *** *** 
moyenne des produits 
XY 
*** *** *** 
produit des moyennes 8867,04 8882,25 8910 
 covariance cov(X,Y)= 40,5919999999987 25,3819999999996 -2,36800000000039 
cov2(X;Y) =  1647,7104639999 644,24592399998 5,60742400000186 
variance V(X)= 16,6719999999987 -15,8179999999993 146,432000000001 
variance V(Y)= 53,3759999999997 46,8204000000005 9,53600000000006 
   coefficient   
R2BP(X,Y)= 
 
1,85160000598374
 
-0,869891302577595
 
0,00401569906603
6 
 
Dans la colonne Résultats exacts, nous rapportons effectivement les 
valeurs exactes obtenues à partir des calculs. Dans les autres colonnes nous 
avons adopté une conduite d'approximation en modifiant les valeurs des 
moyennes en choisissant des valeurs concrètement raisonnables. Force est 
de constater les effets spectaculaires que ces choix peuvent provoquer. 
 
 résultats exacts résultats approchés 
(1) 
résultats approchés 
(2) 
moyenne de X 162,352 162,4 162,3 
moyenne de Y 54,664 54,7 54,7 
coefficient   
R2BP(X,Y)= 
0,71996571597599
9 
0,838001505446728 0,42636734427611
7 
coefficient de Bravais-
Pearson  RBP(X,Y) ≈ 
0,8485 0,9154 0,6529 
J-C. Régnier-Danger ! Approximations... 
pp. 99-105 
 
 
 résultats 
approchés(3) 
résultats approchés(4) résultats approchés 
(5) 
moyenne de X 162,4 162,5 162 
moyenne de Y 54,6 54,66 55 
coefficient   
R2BP(X,Y)= 
1,85160000598374 -
0,869891302577595
0,004015699066036 
coefficient de Bravais-
Pearson  RBP(X,Y) ≈ 
absurde absurde 0,0633 
 
Comment ne pas s'étonner devant les faits suivants  : 
- en arrondissant  le poids moyen de 54,664 kg à 54,7 kg et la taille 
moyenne de 162,352 cm à la valeur au dixième près par excès c'est à dire en 
prenant 162,4 cm ou à la valeur au dixième près par défaut c'est à dire en 
prenant 162,3 cm , nous faisons passer la valeur du coefficient   R2BP(X,Y) 
≈ 0,7199 de 0,8300 à 0,4236 ce qui revient après l'avoir augmenté à le 
diminuer de moitié ! 
- en choisissant les valeurs approchées au dixième près suivantes, par 
excès pour la taille moyenne avec 162,4 cm et par défaut pour le poids 
moyen avec 54,6 kg, nous obtenons une aberration avec une valeur 
supérieure à 1! 
- en choisissant une valeur approchée au 1/100 près par défaut pour le 
poids moyen, c'est à dire  54,66 kg et la valeur centrale 162,5 cm pour la 
taille moyenne, nous obtenons une valeur aberrante parce que négative ! 
- en choisissant d'arrondir aux unités ce qui revient à considérer un 
poids moyen de 55 kg et une taille moyenne de 162 cm, nous aboutissons à 
une valeur coefficient  R2BP(X,Y) proche de 0 ! 
De cela vont résulter des décisions opposées. Ainsi une valeur du 
coefficient R2BP(X,Y) voisine de 0,8380, c’est à dire une valeur du 
coefficient de Bravais-Pearson voisine de 0,91, incite à rejeter l'hypothèse 
d'absence de lien linéaire. Mais il n'en est pas de même avec une valeur de 
R2BP(X,Y) voisine de 0,0040 qui donne une valeur de RBP(X,Y)≈ 0,06. 
Cette dernière incite à renoncer à ce rejet par référence au cadre théorique 
qui donne un sens à ce coefficient  et dont nous ne faisons pas état ici.  
En ce qui concerne la situation où le coefficient prend une valeur 
supérieure à 1, il m'a été donné de l'observer effectivement lors d'une 
surveillance d'épreuve de baccalauréat , il y a une dizaine d'années. J'ai pu 
alors me rendre compte par hasard qu'une candidate se débattait avec sa 
J-C. Régnier- réflexions théoriques 
 
calculatrice et que ses résultats l'étonnaient. Recommençant plusieurs fois, 
elle trouvait cependant toujours un coefficient supérieur à 1. Force est de 
constater qu’elle entrait à chaque fois des valeurs arrondies qui la plaçait 
dans des conditions analogues à celles que j'ai tentées de décrire dans cet 
article. Les erreurs ainsi produites ne relèvent pas d'une incompréhension 
des notions statistiques mises en œuvre mais bien des limites posées par un 
instrument de calcul. L'enseignement a tout intérêt à intégrer ce genre de 
problème dans l'éducation statistique des élèves. Le but principal de cet 
article est d'attirer l'attention des enseignants et des étudiants sur ce 
phénomène, effet secondaire des avantages majeurs qu’apporte les 
calculateurs automatiques. 


https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00405999/document

Danger! Approximations...

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