The paper presents the mathematical theory of some credibility models, involving complicated properties of conditional expectations and conditional covariance. The fact that is based on complicated mathematics will give more insight and understanding of the theoretical aspects and will point the way to the practical possibilities of the credibility models.the risk premium, the credibility calculations

Virginia ATANASIU

Romanian

Research Papers in Economics

Revista Informatica Economică nr.2 (38)/2006  150
Credibility Models 
 
Dr. Virginia Atanasiu 
Catedra de Matematică, A. S. E. Bucureşti 
 
 
The paper presents the mathematical theory of some credibility models, involving 
complicated properties of conditional expectations and conditional covariance. The fact that 
is based on complicated mathematics will give more insight and understanding of the theo-
retical aspects and will point the way to the practical possibilities of the credibility models. 
Key words: the risk premium, the credibility calculations. 
 
ecţiunea 1. dezbate din punct de vedere 
teoretic modelul de credibilitate original 
al lui Bühlmann, relevându-i importanţa pen-
tru rezultatele viitoare privind credibilitatea 
în asigurările non-viaţă. 
Secţiunea 2. a articolului constituie una din-
tre extensiile (generalizările) modelului ori-
ginal al lui Bühlmann, prin introducerea es-
timării recursive a credibilităţii din acest mo-
del. 
Tema abordată de secţiunea  3. vizează, de 
asemenea, o extensie (generalizare) a mode-
lului original al lui Bühlmann, prin prezenta-
rea aşa-numitului model de credibilitate care 
încorporează volumul riscului,în sensul că 
permite variaţia volumului riscului din mode-
lul Bühlmann. 
 
Secţiunea 1 
Modelul ce face obiectul acestei secţiuni are 
drept principal scop estimarea primei nete de 
risc a unui contract (a unei poliţe) de asigura-
re non-viaţă, dacă parametrul de risc al său 
(al ei) este θ . Subliniem faptul că  θ  este 
asimilat cu o variabilă aleatoare reală ce des-
crie caracteristicile riscului  X  luat în consi-
derare pentru contractul respectiv, iar  X  cu o 
variabilă aleatoare nenegativă. Estimatorul ce 
urmează a fi folosit în scopul mai sus-
menţionat l-am definit ca estimator liniar şi 
neomogen, optim în sensul metodei celor mai 
mici pătrate (m.c.m.m.p.) şi l-am numit esti-
mator liniar şi neomogen de credibilitate pen-
tru prima netă de risc a contractului de asigu-
rare non-viaţă implicat de acest model. 
Pentru a ilustra cele spuse, fie: 
() t X X X X ,..., , 2 1
' =  vectorul () t × 1  aleator 
al observaţiilor efectuate pe durata a  () 2 ≥ t  
ani asupra contractului respectiv. Presupu-
nem:  ( ) t r X Var r , 1 , 0 = ∀ ∞ < < . 
Prima netă de risc a contractului de parame-
tru θ  am reprezentat-o printr-o funcţie  () ⋅ µ  
depinzând de parametrul θ  al contractului 
considerat, dar independentă de timp (de anul 
r  al observaţiei,  t r , 1 = ). Deci  () θ µ  este 
prima netă de risc a contractului de parame-
tru θ . 
Estimatorul liniar şi neomogen de credibilita-
te al lui  ( ) θ µ  bazat pe 
' X  (adică pe observa-
ţiile efectuate pe durata celor  () 2 ≥ t  ani asu-
pra contractului implicat în modelul pe care-l 
analizăm acum, adică asupra contractului de 
parametru θ ), notat  () θ µ
^
 este aşa după am 
afirmat ceva mai devreme, o funcţie de 
' X  
(adică de variabilele aleatoare observabile ale 
contractului de parametru θ ) liniară şi neo-
mogenă, ceea ce înseamnă că este de forma 
unei combinaţii liniare şi neomogene a tutu-
ror variabilelor observabile ale respectivului 
contract, deci de forma: 
() r
t
r
rX a a ∑
=
+ =
1
0
^
θ µ , 
a.î. să minimizeze eroarea medie pătratică a 
aproximării lui  ( ) θ µ  prin toate funcţiile 
( )
' X g , liniare şi neomogene de forma: 
( ) r
t
r
rX c c X g ∑
=
+ =
1
0
'  
În concluzie, estimatorul liniar şi neomogen 
de credibilitate al lui  () θ µ , adică  () θ µ
^
 
(funcţia liniară şi neomogenă a tuturor obser-
SRevista Informatica Economică nr.2 (38)/2006  151
vaţiilor efectuate asupra contractului de pa-
rametru  θ ) r
t
r
rX a a ∑
=
+ =
1
0  este, prin defini-
ţie, soluţia problemei de minim: 
()
⎪ ⎭
⎪
⎬
⎫
⎪ ⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− − ∑
=
=
2
1
0
, 1
, 0
t
r
r r
t r
c c
X c c M Min
r
θ µ  
În cele ce urmează, prezint soluţia (rezulta-
tul) liniar şi neomogen de credibilitate, pe ca-
re am obţinut-o în cadrul modelului abordat 
în studiul de faţă. În prealabil, realizez o des-
criere din punct de vedere. probabilistic a 
acestui model: contractul implicat de modelul 
original al lui Bühlmann l-am reprezentat din 
punct de vedere probabilistic sub forma vec-
torului aleator bidimensional de componente 
' X ∧ θ , unde: prima componentă a vectoru-
lui, adică  θ  este parametrul de risc aleator 
neobservabil ce caracterizează riscul din con-
tractul considerat, iar a doua componentă a 
vectorului, adică  () t X X X X ,..., , 2 1
' =  este 
vectorul () t × 1  aleator al observaţiilor efectu-
ate pe durata a  () 2 ≥ t  ani asupra contractului 
respectiv (
' X  indică observaţiile efectuate 
asupra poliţei pe durata a  () 2 ≥ t  ani;  r X  re-
prezintă înregistrarea din anul r pentru con-
tractul considerat; de regulă semnificaţia lui 
r X  este aceea de mărimea solicitărilor (cifra 
pretenţiilor) de despăgubire din anul r  pen-
tru contractul respectiv,  t r , 1 = ; am presupus 
că dispunem de înregistrările solicitărilor de 
despăgubire pe durata  () 2 ≥ t  ani pentru con-
tractul de parametru θ ). 
Prin urmare, contractul considerat l-am iden-
tificat cu perechea (cuplul, v.a.b.) de compo-
nente 
' X ∧ θ , ale căror semnificaţii le-am 
precizat anterior. 
Ipotezele de lucru introduse de Bühlmann 
sunt următoarele: 
(1) pentru θ  dat, v.a. observabile (observaţii-
le anuale)  t r X r , 1 , =  sunt i.i.d.; 
(2)  () t r X Var r , 1 , 0 = ∀ ∞ < < ; 
(3)  () ( ) t r X M r , 1 , | = ∀ = θ µ θ  (prima netă de 
risc este definită ca media condiţionată de θ  
a observaţiilor anuale efectuate asupra aces-
tui contract şi este notată printr-o funcţie  () ⋅ µ  
depinzând de θ , dar independentă de 
t r r , 1 , =  (adică de timp); am putut reprezen-
ta media v.a.condiţionate ()t r X r , 1 , | = θ  prin 
aceeaşi de funcţie  () ⋅ µ  depinzând de θ , dar 
independentă de  t r r , 1 , =  (adică de timp), în-
trucât aceste v.a.condiţionate sunt i.d.); 
(4)  ()( ) t r X Var
not
r , 1 , |
2
.
= ∀ = θ σ θ  (am putut 
reprezenta varianţa observaţiilor anuale con-
diţionate  ( ) t r X r , 1 , | = θ  prin aceeaşi funcţie 
() ⋅
2 σ  depinzând de θ , dar independentă de 
t r r , 1 , =  (adică de timp sau de anul observa-
ţiei), întrucât aceste v.a. condiţionate sunt 
i.d.); 
(5)  ( ) q r t q r X X Cov q r < = ∀ = , , 1 , , 0 | , θ  (co-
varianţa dintre observaţiile anuale condiţio-
nate efectuate asupra contractului θ  în ani 
diferiţi este nulă, întrucât aceste 
v.a.condiţionate sunt independente, cu alte 
cuvinte, observaţiile condiţionate efectuate 
asupra contractului de parametru θ  în ani di-
feriţi nu sunt corelate). 
Observaţie: 
Pentru contractul considerat rezultă următoa-
rea matrice de covarianţe a observaţiilor (ris-
curilor) condiţionate din anii  t r , 1 =  şi anu-
me:  ( ) ( ) () θ σ θ
2 , ' |
t t I X Cov =  
Pe baza presupunerilor (1)-(5) formulate de 
Bühlmann şi a parametrilor de structură no-
taţi cu  a s m , ,
2  şi definiţi de actuar după cum 
urmează: 
( )( ) [] θ µ M X M m r = =  
() [ ] θ σ
2 2 M s =  
() [ ] θ µ Var a =  
am obţinut folosind metoda celor mai mici 
pătrate, rezultatul liniar şi neomogen de cre-
dibilitate, în speţă prima liniară şi neomogenă 
de credibilitate, pe care-l ilustrez în continua-
re: „Estimatorul liniar şi neomogen de credi-
bilitate al primei nete de risc  () θ µ  pentru 
contractul de parametru θ , bazat pe 
' X  (adi-
că pe observaţiile (înregistrările) individuale Revista Informatica Economică nr.2 (38)/2006  152
efectuate asupra contractului considerat), 
deci  () θ µ
^
 este dat de relaţia:  
() () m z X z − + = 1
^
θ µ , 
unde:  ∑
=
=
t
r
r X
t
X
1
1
 este media aritmetică a 
înregistrărilor individuale pentru respectivul 
contract, ce indică estimatorul individual 
pentru  () θ µ , iar  ( ) at s at z + =
2 /  este facto-
rul de credibilitate pentru contractul de para-
metru  θ , ce indică de câtă credibilitate se 
bucură acestea”. 
Subliniez că, în acest caz, prima liniară şi ne-
omogenă de credibilitate a contractului con-
siderat, adică  () θ µ
^
 se poate calcula după 
formula prezentată mai înainte, numai dacă 
parametrii conţinuţi de ea şi anume  a s m , ,
2  
sunt cunoscuţi, ceea ce revine la a presupune 
că variabila aleatoare θ  (variabila de structu-
ră)  şi  ()t r X r , 1 , | = θ  (observaţiile anuale 
condiţionate sau riscurile anuale condiţiona-
te) au repartiţii cunoscute. 
În continuare prezentăm drept cazuri speciale 
din perspectiva atît a calculului estimatorului 
liniar  şi neomogen de credibilitate pentru 
() θ µ  (adică a calculului lui  () θ µ
^
), cât şi a 
formei rezultante a acestuia exemplele: 
1) Gama pentru θ  cu Poisson de parametru 
θ  pentru ()t r X r , 1 , | = θ ; 
2) Beta pentru θ  cu Bernoulli standard de 
parametru θ  pentru ()t r X r , 1 , | = θ ; 
3) Gama pentru θ  cu exponenţial-negativă 
de parametru θ  pentru ()t r X r , 1 , | = θ ; 
4)  ( )
2
0 0,σ µ θ N ∈ , cu 
() () t r N X r , 1 , , |
2 = ∈ σ θ θ . 
Însă din nefericire, în general nu stăm atât de 
bine la capitolul calculelor de credibilitate 
implicate de acest model particular. Pentru 
multe alegeri ale repartiţiilor v.a. θ   şi 
()t r X r , 1 , | = θ , calculul estimatorului liniar 
şi neomogen de credibilitate pentru  ( ) θ µ , 
adică a lui  () θ µ
^
 este dificil, iar formula sa 
rezultantă nu este o formulă liniară, care să-i 
satisfacă pe clienţii S.A., datorită proprietăţi-
lor atractive pe care forma liniară le posedă. 
Sfera de aplicabilitate a formulei lui  () θ µ
^
 fi-
ind restrânsă (ea vizează cu precădere cazuri-
le speciale redate la 1)-4)), se ridică o pro-
blemă în ceea ce priveşte calculul d.p.d.v. 
practic al lui  () θ µ
^
 după formula prezentată. 
Problema cu care se confruntă în practica de 
zi cu zi calculul lui  () θ µ
^
, rezidă în aceea că 
repartiţiile v.a. θ  şi  ( ) t r X r , 1 , | = θ  sunt în 
general necunoscute, ceea ce face ca parame-
trii  a s m , ,
2  conţinuţi de ea (de formulă) să 
fie necunoscuţi şi deci să necesite a fi esti-
maţi (în acest sens se trece la modelul clasic 
Bühlmann, a se v. [1].). 
 
Secţiunea 2 
Estimarea recursivă a credibilităţii din mode-
lul original al lui Bühlmann constituie una 
dintre extensiile acestui model, în sensul că 
riscul pe care-l implică poliţa de asigurare 
non-viaţă nu rămâne în general acelaşi (con-
stant, stabil) în timp, ceea ce înseamnă c ă 
pentru fiecare an  ( ) 1 ≥ i  există un alt parame-
tru de risc  i θ , conţinând caracteristicile de 
risc ale poliţei din anul i. 
Notaţie:  { } 1 ≥ = i i θ θ , cu 
... ... 2 1 ≠ ≠ ≠ ≠ i θ θ θ (cu θ  s-a notat şirul pa-
rametrilor de risc anuali diferiţi (adică ce di-
feră de la an la an) ai contractului). 
Pe baza presupunerilor (1)-(4) ale acestui 
model, prezentate mai jos şi anume: 
(1) pentru θ  dat, v.a. (observaţiile anuale) 
1 , ≥ i X i  sunt independente (condiţional) 
[( ) ( ) j j i i X X θ θ | | ∧  sunt independente, dacă 
1 , ≥ j i , cu  j i ≠ ]; 
(2)  ( ) 1 , 0 ≥ ∞ < < i X Var i ; 
(3)  ( ) ( ) 1 , | ≥ = i X M i i i θ µ θ  (prima netă de 
risc a contractului din anul i, deci a contrac-
tului de parametru  i θ  este definită ca media 
observaţiilor (riscurilor) condiţionate din acel 
an i), unde  () ⋅ µ  este o funcţie cu valori reale, 
depinzând de  i θ , oricare ar fi  1 ≥ i ); Revista Informatica Economică nr.2 (38)/2006  153
(4)  ()() [] 1 , , , ≥ ∀ =
− j i Cov
j i
j i λ ρ θ µ θ µ , cu 
1 0 < < ρ   şi  0 > λ  (v.a.  () ( ) j i θ µ θ µ ∧  sunt 
corelate, iar corelaţia între primele nete din 
ani diferiţi (din anii  j i ∧ , cu  j i ≠ ) descreşte 
odată cu creşterea distanţei temporale (în 
timp)), precum şi a parametrilor structurali 
definiţi după cum urmează:  
() ( ) [] 1 , ≥ = = i M X M i i θ µ µ ; 
( ) [] 1 , | ≥ = i X Var M i i θ ϕ ; 
ρ ; 
() [] 1 , ≥ = i Var i θ µ λ , 
am obţinut, folosind metoda celor mai mici 
pătrate şi proceduri de tip recursiv, rezultate-
le liniare şi neomogene de credibilitate, în 
speţă primele liniare şi neomogene de credi-
bilitate ale contractului de asigurare non-
viaţă, din anii i, cu  1 ≥ i , pe care le ilustrez 
în continuare: 
„Estimatorul liniar şi neomogen de credibili-
tate pentru prima netă de risc  () 1 + t θ µ  a con-
tractului din anul () 1 + t , bazat pe 
() t X X X X ,..., , 2 1
' = , (deci a observaţiilor 
efectuate pe durata a  () 2 ≥ t  ani), cu  1 ≥ t , 
adică  () 1
^
+ t θ µ  este: 
() 1 ,
1
1
^
0 ≥ + = ∑
=
+ t X
t
j
j t t t j α α θ µ , cu 
1 ... 0 2 1 < < < < < tt t t α α α , iar estimatorul 
primei nete de risc  () 1 θ µ  a contractului din 
anul 1, adică  () 1
^
θ µ  este:  ()µ θ µ = 1
^
”. 
Observaţie: 
Modelul original de credibilitate al lui 
Bühlmann se obţine din modelul de estimare 
recursivă a credibilităţii, atunci când 
1 , 1 ≥ ∀ = i i θ θ . 
 
Secţiunea 3 
Modelul prezentat de această secţiune apare 
ca o altă extensie (generalizare) a modelului 
original al lui Bühlmann, în sensul că permite 
variaţia volumului riscului din modelul abor-
dat în cadrul secţiunii  1., prin încorporarea 
volumului riscului de acolo. Afirmaţia „vo-
lumul riscului nu rămâne constant în timp”, 
trebuie înţeleasă astfel: „# riscurilor din fie-
care an de valabilitate a contractului nu este 
acelaşi, ci variază de la an la an, depinde de 
anul luat în consideraţie”. 
Notaţii:  = j P (# riscurilor din anul j), t j , 1 = ; 
j jr P r Y , 1 , =  sunt sumele pretinse (solicitate) 
pentru cele  j P  riscuri din anul  t j j , 1 , = ; 
∑
=
=
t
r
jr j Y S
1
= (suma totală pretinsă (solicita-
tă) pentru respectivul contract în anul  j ), 
t j , 1 = ;  j j j P S X / =  = (raportul pierderilor 
din anul j),  t j , 1 = ;  () = = t X X X X ,..., , 2 1
'  
(vectorul aleator al pierderilor anuale unita-
re). 
Pe baza presupunerilor (1)-(3) ale acestui 
model prezentate mai jos şi anume: 
(1) pentru θ  dat, v.a.  t j P r Y j jr , 1 , , 1 , = =  
sunt i.i.d., ceea ce implică faptul că pentru θ  
dat, observaţiile, adică pierderile anuale uni-
tare 
' X  sunt i.i.d.; 
(2)  ( ) ( ) t j X M j , 1 , | = = θ µ θ  (prima netă a 
contractului de parametru θ  se defineşte ca 
media pierderilor anuale unitare condiţiona-
te); 
(3)  ( ) ( ) t j P r s Y Var j jr , 1 , , 1 , |
2 = = = θ θ  (am 
putut reprezenta varianţa pretenţiilor condiţi-
onate  ( ) t j P r Y j jr , 1 , , 1 , | = = θ  prin aceeaşi 
funcţie  () ⋅
2 s  depinzând de θ  , dar indepen-
dentă de  t j j , 1 , =  (de an, de timp), întrucât 
aceste v.a. condiţionate sunt 
i.i.d.) ( ) () t j P s X Var j j , 1 , / |
2 = = ⇒ θ θ  (ipo-
teză care este fără dar şi poate cea mai rezo-
nabilă, dacă ţinem seamă de semnificaţia lui 
j P ), precum şi a parametrilor de structură de-
finiţi de actuarii Bühlmann-Straub, după cum 
urmează: 
( ) () [] t j M X M j , 1 , = = = θ µ µ ; 
() [ ] θ ϕ
2 s M = ; 
() [ ] θ µ λ Var = , 
am obţinut, folosind metoda celor mai mici 
pătrate rezultatul liniar şi neomogen de cre-
dibilitate, în speţă prima liniară şi neomoge-
nă, pe care o ilustrez în continuare: „Estima-Revista Informatica Economică nr.2 (38)/2006  154
torul liniar şi neomogen de credibilitate al 
primei nete de risc  () θ µ  pentru contractul 
considerat, bazat pe pierderile anuale unitare 
înregistrate în decursul a  () 2 ≥ t  ani, adică pe 
() t X X X X ,..., , 2 1
' = , deci  () θ µ
^
 este dat de 
relaţia:  () µ θ µ
K P
K
X
K P
P
t
+
+
+
=
^
, unde: 
∑
=
=
t
j
j P P
1
= (totalul riscurilor din cei  ( ) 2 ≥ t  
ani de observaţie efectuaţi asupra contractu-
lui),  = = ∑
=
t
j
j j t X P
P
X
1
1
(media aritmetică 
ponderată a pierderilor anuale unitare, ponde-
rile în sumă fiind numerele:  t j P Pj , 1 , / = ). 
Observaţii: 
1) Estimatorul primei nete de risc a contrac-
tului din modelul prezentat se poate calcula 
cu uşurinţă, întrucât formula sa rezultantă es-
te o formă liniară şi neomogenă în  t X  (esti-
matorul individual pentru  () θ µ ) şi  µ  (esti-
matorul colectiv pentru  ( ) θ µ ). 
2) Modelul original al lui Bühlmann se obţi-
ne din modelul care încorporează volumul 
riscului, pentru  1 = j P ,  1 ≥ ∀j . 
 
 
 
 
 
Concluzii 
Articolul prezintă teoria matematică a unor 
modele de credibilitate, implicând proprietăţi 
complicate ale valorilor medii condiţionate şi 
ale covarianţelor condiţionate. Faptul că se 
bazează pe matematici complicate, va condu-
ce la o aprofundare şi la o mai bună înţelege-
re a aspectelor teoretice şi va deschide calea 
către posibilităţile practice ale modelelor de 
credibilitate. 
 
Bibliografie 
[1]. Atanasiu V., Contributions to the credi-
bility theory, thesis of doctorate, University 
of Bucharest-Faculty of Mathematics, 2000. 
[2].  Atanasiu V., Calcule de credibilitate, 
Revista „Studii şi Cercetări de Calcul Eco-
nomic şi Cibernetică Economică” 4 / 1998, 
XXXII. 
[3].  Goovaerts M.J., Kaas R., Van 
Herwaarden A.E., BauwelinckxT., 
Insurance Series, volume 3, Efective 
Actuarial Methods, University of Amster-
dam, The Netherlands, 1991. 
[4]. Pentikäinen T., Daykin C.D., Pesonen 
M.,  Practical Risk Theory for Actuaries, 
Université Pierré et Marie Curie, 1990. 
[15]. Sundt B., An Introduction to Non-Life 
Insurance Mathematics, Veroffentlichungen 
des Instituts für Versicherungswissenschaft 
der Universität Mannheim Band 28 , VVW 
Karlsruhe, 1984. 
 

Credibility Models

http://www.revistaie.ase.ro/content/38/atanasiu%205p.pdf

Credibility Models

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Research Papers in Economics