In this article we give the mathematical theory of some credibility models. The first section describes the original credibility model of BÃ¼hlmann and we derive the best linearized credibility estimator for this model. His original model, involving only one contract, contains the basics of all further credibility models. Section 2 contains a description of the Hachemeister regression model allowing for effects like inflation.linearized regression credibility premium, the original credibility model of BÃ¼hlmann

Virginia ATANASIU

Romanian

Research Papers in Economics

Revista Informatica Economică, nr.3(39)/2006 
 
 
149
Estimation of the Credibility in the Original Bühlmann Model Illustrated 
by Introducing a Regression Technique 
 
Conf. dr. Virginia ATANASIU 
Catedra de Matematică, Academia de Studii Economice, Bucureşti 
 
 
  In this article we give the mathematical theory of some credibility models. The first 
section describes the original credibility model of Bühlmann and we derive the best linearized 
credibility estimator for this model. His original model, involving only one contract, contains 
the basics of all further credibility models. Section 2 contains a description of the Hachemeis-
ter regression model allowing for effects like inflation. 
Keywords:  linearized regression credibility premium, the original credibility model of 
Bühlmann. 
 
ntroducere 
Pentru a introduce efectele timpului asu-
pra primei nete de risc a contractului din mo-
delul de credibilitate original al lui Bühlmann 
sau pentru a introduce efectele inflaţiei asu-
pra acesteia am apelat la tehnica regresiei. 
Mai precis, pentru a estima credibilitatea din 
modelul original al lui Bühlmann ce implică 
un singur tip de contract de asigurare non-
viaţă, în condiţiile existenţei inflaţiei sau a 
unei tendinţe inflaţioniste accentuate (pro-
nunţate), am folosit modelul de regresie a 
credibilităţii elaborat de actuarul de marcă 
Hachemeister. Secţiunea 1 dezbate din punct 
de vedere teoretic modelul de credibilitate al 
lui Bühlmann, relevându-i importanţa pentru 
rezultatele viitoare privind credibilitatea în 
asigurările non-viaţă, iar Secţiunea 2 prezintă 
modelul de regresie a credibilităţii ce face 
obiectul acestui articol. 
 
Secţiunea 1 
Modelul original al lui Bühlmann constă 
dintr-un singur contract de asigurare non-
viaţă, aflat sub observaţie statistică un număr 
de  () 2 ≥ t  ani. Riscul implicat de respectivul 
contract este notat cu X şi asimilat cu o vari-
abilă aleatoare nenegativă. Lucrăm în ipoteza 
că, riscul pentru poliţa considerată este stabil 
în timp, ceea ce înseamnă că poate fi caracte-
rizat prin aceeaşi valoare a parametrului de 
risc de-a lungul anilor de valabilitate ai con-
tractului; parametrul riscului X este notat cu 
θ  şi este presupus variabilă aleatoare reală; 
θ  este cunoscut şi sub numele de variabilă 
aleatoare structurală a contractului. Denumi-
rile acordate lui θ  sunt justificate de faptul 
că, acesta reprezintă variabila aleatoare ce 
descrie caracteristicile riscului luat în consi-
deraţie. Variabilele observabile ale riscului X 
se notează cu  t X X X ,..., , 2 1 ;  r X este înregis-
trarea din anul r pentru contractul de parame-
tru  θ , unde  t r , 1 = ; de regulă semnificaţia 
lui  r X  este aceea de solicitare de despăgubi-
re, din anul r pentru respectivul contract, un-
de  t r , 1 = . 
Deci, acest model constă din variabila alea-
toare structurală θ  şi din variabilele aleatoare 
observabile  r X , unde  t r , 1 = , a.î. putem 
afirma despre contractul considerat că este un 
vector aleator de componente: θ  (parametrul 
de risc aleator neobservabil al contractului) şi 
t X X X ,..., , 2 1  (observaţiile efectuate asupra 
poliţei respective). Aşadar, contractul impli-
cat se identifică cu vectorul () t X X X ,... , , 2 1 θ , 
sau simplificând scrierea cu perechea ( )
' , X θ ; 
.
'
not
X = (vectorul observaţiilor) = (vectorul de 
componente  t X X X ,..., , 2 1 ). 
Introducem prima netă de risc a contractului, 
dacă parametrul de risc al acestuia este θ , 
prin următorul şir de egalităţi: 
( ) ( )() t r X M X M r , 1 , | | = ∀ = = θ θ θ µ . 
Pentru modelul de faţă teoria credibilităţii, 
aşa după cum a fost dezvoltată de Bühlmann 
IRevista Informatica Economică, nr.3(39)/2006 
 
150
are ca scop principal, estimarea lui  () θ µ . Es-
timatorul ce urmează a fi folosit în acest sens, 
sunt funcţii de variabilele observabile, adică 
de componentele vectorului aleator 
() t X X X X ,..., , 2 1
' = , determinată a.î. să mi-
nimizeze eroarea medie pătratică, mai precis, 
estimarea lui  () θ µ  necesită rezolvarea pro-
blemei de minim: 
() () ( ) [] { }
2
2 1 ,..., , t g X X X g M Min −
⋅ θ µ , 
unde  () ⋅ g  este o funcţie de observaţiile 
t r X r , 1 , = , arbitrară. În modelul original de 
credibilitate al lui Bühlmann, clasa de funcţii 
g este limitată la mulţimea D de funcţii linia-
re şi neomogene (la mulţimea D de combina-
ţii liniare şi neomogene) ale variabilelor alea-
toare observabile  t X X X ,..., , 2 1 , de forma: 
() r
t
r
r t X c c X X X g ∑
=
+ =
1
0 2 1 ,..., , , 
cu  t c c c ,..., , 1 0  constante reale, iar  t r X r , 1 , =  
presupuse a avea varianţa finită. Bühlmann 
introduce aşa-numiţii parametrii de structură, 
notaţi: 
2 , , s a m  şi definiţi de actuar după cum 
urmează: 
() ( ) ( ) [] t r M X M X M m r , 1 , = = = = θ µ , 
() [] () [] () [] t r Var X M Var X M Var a r , 1 , | | = = = = θ µ θ θ , 
() [] () [] () []t r M X Var M X Var M s r , 1 , | |
2 2 = = = = θ σ θ θ , 
unde: 
() ( ) ( ) t r X Var X Var r , 1 , | |
2 = = = θ θ θ σ  
(evident sunt îndeplinite ipotezele cerute de 
aceste notaţii). 
În continuare, prezentăm ipotezele de lucru 
ale modelului şi anume: 
(1) pentru θ  dat, variabilele aleatoare obser-
vabile (observaţiile anuale)  t r X r , 1 , =  sunt 
independente şi identic distribuite condiţional 
(i.i.d. condiţional); 
(2)  () t r X Var r , 1 , 0 = ∞ < < ; 
(3)  () ( )t r X M r , 1 , | = = θ µ θ  (prima netă de 
risc a contractului de parametru θ  este defi-
nită ca media observaţiilor (riscurilor) condi-
ţionate; am putut reprezenta media observaţi-
ilor anuale condiţionate  ( ) t r X r , 1 , | = θ  prin 
aceeaşi funcţie  () ⋅ µ  depinzând de θ , dar in-
dependentă de  t r r , 1 , = , întrucât aceste vari-
abile aleatoare condiţionate sunt i.d.); 
(4)  ( ) ( ) t r X Var r , 1 , |
2 = = θ σ θ  (am putut re-
prezenta varianţa observaţiilor anuale condi-
ţionate  ( ) t r X r , 1 , | = θ  prin aceeaşi funcţie 
() ⋅
2 σ , depinzând de θ , dar independentă de 
t r , 1 = , întrucât aceste variabile aleatoare 
condiţionate sunt i.d.); 
(5)  ( ) t q r X X Cov q r , 1 , , 0 | , = = θ , cu  q r <  
(covarianţa condiţionată de θ  dintre observa-
ţiile efectuate asupra contractului de parame-
tru θ  în ani diferiţi este nulă, întrucât varia-
bilele aleatoare condiţionate  ()t r X r , 1 , | = θ  
sunt independente; ipoteza (5) exprimă faptul 
că observaţiile (riscurile) condiţionate din ani 
diferiţi nu sunt corelate). 
Observaţie: 
Pentru contractul considerat, rezultă următoa-
rea matrice de covarianţe a observaţiilor (ris-
curilor) condiţionate din anii  t r , 1 =  şi anu-
me: 
( ) ( ) ( ) θ σ θ
2 , ' |
t t I X Cov =  
Pe baza presupunerilor (1)-(5) şi a parametri-
lor de structură  a s m , ,
2 , am obţinut folosind 
m.c.m.m.p. rezultatul liniar şi neomogen de 
credibilitate, în speţă prima liniară şi neomo-
genă de credibilitate, pe care o ilustrăm în 
continuare: 
„Estimatorul liniar şi neomogen de credibili-
tate al primei nete de risc  () θ µ  pentru con-
tractul de parametru θ  bazat pe observaţiile 
(înregistrările) 
' X  efectuate asupra contrac-
tului considerat este dat de relaţia: 
() () m z X z − + = 1
^
θ µ , unde  ∑ =
t
r X
t
X
1
1
 este 
media aritmetică a înregistrărilor individuale 
pentru respectivul contract, ce indică estima-
torul individual pentru  () θ µ , iar 
( ) at s at z + =
2 /  este factorul de credibilitate 
pentru contractul considerat, ce exprimă o 
pondere a înregistrărilor individuale pentru 
contractul de parametru θ , indicând de câtă 
credibilitate se bucură acestea”. 
 
 Revista Informatica Economică, nr.3(39)/2006 
 
 
151
Secţiunea 2 
Modelul de regresie a credibilităţii elaborat 
de actuarul de marcă Hachemeister vizează 
presupunerea din cadrul modelului (de credi-
bilitate pentru un singur tip de contract) pre-
zentat în cadrul secţiunii 1., conform căreia: 
prima netă de risc a contractului de parame-
tru θ  este independentă de timp, fiind defini-
tă prin egalitatea: 
() ( ) θ θ µ | j X M = = (media observaţiilor (ris-
curilor) anuale condiţionate), oricare ar fi 
anul  1 ≥ j  
Datorită inflaţiei, prima netă de risc a con-
tractului de parametru θ , adică  ( ) θ µ  se 
schimbă (se modifică, variază) în timp, ceea 
ce înseamnă că este dependentă de timp, deci 
că trebuie scrisă astfel: 
() ( ) 1 , | ≥ = j X M j j θ θ µ  
După aceste remarci introductive privind ne-
cesitatea considerării modelului de regresie a 
credibilităţii, prezentăm ipotezele de lucru ale 
modelului lui Hachemeister. 
Fie  () t X X X X ,..., , 2 1
' =  vectorul ( ) t × 1 a l e a -
tor al observaţiilor  şi  θ  parametrul de risc 
aleator neobservabil, ce caracterizează riscul 
considerat. 
În cele ce urmează, formulăm ipotezele de 
lucru ale modelului de regresie a credibilită-
ţii, aşa după cum au fost ele introduse de ac-
tuar şi anume: 
(1) dat fiind θ - parametrul de risc aleator ne-
observabil al contractului, variabilele aleatoa-
re observabile (observaţiile anuale) ale res-
pectivului contract, adică  t X X X ,..., , 2 1  sunt 
independente condiţional (s-a presupus că 
dispunem de înregistrările solicitărilor de 
despăgubire pe durata a  () 2 ≥ t  ani pentru 
contractul de parametru θ ); 
(2)  () () ( ) t j x X M j j j , 1 , |
' = = = θ β θ µ θ  
(prima netă de risc a contractului de parame-
tru θ  din anul  j , definită ca media observa-
ţiilor (riscurilor) anuale condiţionate este, 
conform presupunerii de regresie făcute de 
actuar, de forma:  () θ β
'
j x ,unde primul factor 
din presupunerea de regresie:
'
j x  este vectorul 
() q × 1  nealeator, cunoscut, ale cărui compo-
nente depind de timp (deci de inflaţie), fapt 
ilustrat de prezenţa indicelui j în notaţia aces-
tui vector ( 1 ≤ q ), iar al doilea factor din pre-
supunerea de regresie:  () θ β  este vectorul 
( ) 1 × q  aleator de regresie necunoscut, adică 
vectorul ce conţine q constante în raport cu 
timpul, necunoscute, numite constante (în ra-
port cu timpul) de regresie); ipoteza (2) scrisă 
matriceal este echivalentă cu următoarea: 
( )
( )( ) () () () ( ) t n rgx x X M
n n t t ≤ = = = , |
1 , , 1 , θ β θ µ θ
 (vectorul ( ) 1 × t  al primelor nete de risc pen-
tru contractul de parametru θ  din anii 1,2,...,t 
sau vectorul ( ) 1 × t  al primelor nete de risc 
anuale pentru contractul de parametru θ , de-
finit ca media condiţionată a vectorului ob-
servaţiilor anuale efectuate asupra contractu-
lui de parametru θ  pe durata a  () 2 ≥ t  ani es-
te, conform presupunerii de regresie scrise 
matriceal, de forma:  () () () θ β
1 , , n n t x , unde 
( ) n t x
,  este matricea ( ) n t×  nealeatoare cunos-
cută, de rang egal cu  () t n ≤ , iar 
() ( ) θ β
1 , n  este 
vectorul  ( ) 1 × n  aleator de regresie necunos-
cut (vector ce conţine n constante în raport cu 
timpul, necunoscute, numite constante de re-
gresie)); 
(3) 
( )( ) [ ] () n n n a a Cov
, 1 , = = θ β = (matrice 
( ) n n×  pozitiv definită); ipoteza (3) afirmă 
despre covarianţa vectorului de regresie că 
este o matrice de tipul () n n× , presupusă po-
zitiv definită; 
(4)  ( ) [ ] () t t X Cov M
, | φ φ θ = = = (matrice 
( ) t t×  pozitiv defini-
tă)
( ) [ ]
() [] ⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
θ
θ
| 0
0 | 1
t X Var M
X Var M
K
M O M
K
; 
ipoteza (4) afirmă că matricea de covarianţe a 
observaţiilor (riscurilor) anuale condiţionate 
este o matrice diagonală de dimensiune 
( ) t t× , pozitiv definită având forma mai sus 
prezentată, dacă ţinem seama de faptul că: Revista Informatica Economică, nr.3(39)/2006 
 
152
()
()
() ⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
θ
θ
θ
| 0
0 |
|
1
t X Var
X Var
X Cov
K
M O M
K
, 
conform ipotezei (1); 
(5)  () ( )t r X Var r , 1 , |
2 = = θ σ θ  (s-a presupus 
că varianţele observaţiilor (riscurilor) anuale 
condiţionate se reprezintă prin aceeaşi funcţie 
() ⋅
2 σ , depinzând de θ , dar independentă de 
t r r , 1 , = ). 
Pe baza ipotezelor (1)-(5) şi a parametrilor 
structurali definiţi de actuar, după cum ur-
mează şi anume: 
() () () [ ] θ β
1 , 1 , n n M b b = =  
() [ ] θ σ
2 2 M s =  
a (a se vedea ipoteza (3)) 
(presupuşi independenţi de timp, adică de  j , 
cu  t j , 1 = ), am obţinut folosind m.c.m.m.p. 
şi tehnica regresiei, prima liniară şi neomo-
genă de regresie a credibilităţii, pe care o 
ilustrăm în continuare: 
„Estimatorul liniar şi neomogen de credibili-
tate al primei nete de risc  () θ µ j  pentru con-
tractul de parametru  θ  din anul  j , bazat pe 
observaţiile anuale  () t X X X X ,..., , 2 1
' =  
efectuate asupra respectivului contract pe du-
rata a  () 2 ≥ t  ani, adică  () θ µ
^
j  este dat de re-
laţia: 
() () ⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎣
⎡ − + = b Z I b Z x j j
^
'
^
θ µ , cu  t j , 1 = , unde 
()
= =
×1 ^ ^ q
b b () X x x x
1 ' 1 1 ' − − − φ φ  este un vector 
() 1 × q  având expresia menţionată şi semnifi-
caţia estimatorului liniar şi neomogen de cre-
dibilitate θ - nedeplasat pentru vectorul alea-
tor necunoscut de regresie  () θ β , ceea ce, 
conform definiţiei, înseamnă c ă estimatorul 
liniar şi neomogen de credibilitate 
^
b  îl esti-
mează aproape sigur (a.s.) în medie condiţio-
nată de θ  pe  () θ β , adică  () θ β θ = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ |
^
b M  
a.s. (deci un estimator foarte bun pentru vec-
torul aleator necunoscut de regresie  ( ) θ β ), 
iar  () ( )
1 1 ' 1 ' − − − × + = = x ax I x ax Z Z
q q φ φ  este o 
matrice de tipul ( ) q q×  având expresia men-
ţionată şi semnificaţia factorului de credibili-
tate rezultat, adică a ponderii lui 
^
b , ce arată 
de câtă credibilitate se bucură acesta”. 
 
Concluzii 
1) Subliniem faptul că în rezultatul pe care l-
am obţinut mai sus, factorul reprezentat de 
paranteza dreaptă şi anume: „ () b Z I b Z − +
^
” 
indică estimatorul liniar şi neomogen de cre-
dibilitate pentru vectorul aleator necunoscut 
de regresie pentru  ( ) θ β . 
2) Factorul la care facem referire în cadrul 
observaţiei 1), apare ca o combinaţie liniar-
convexă sau ca o medie aritmetică ponderată 
a estimatorului liniar şi neomogen de credibi-
litate θ - nedeplasat pentru  () θ β , reprezentat 
de 
^
b  cu estimatorul colectiv pentru vectorul 
de regresie  ( ) θ β , reprezentat de b . 
3) Aşadar, estimând prima netă de risc  ( ) θ µ j  
a contractului de parametru θ  din anul  j , cu 
t j , 1 =  implicat în modelul de regresie a cre-
dibilităţii elaborat de actuarul Hachemeister, 
am estimat implicit vectorul aleator necunos-
cut de regresie  ( ) θ β  ce figurează în ipoteza 
de regresie scrisă pentru această primă. 
 
Bibliografie 
[1]. Atanasiu V., Contributions to the credibility 
theory,  thesis of doctorate, University of Bucharest-
Faculty of Mathematics, 2000. 
[2]. Atanasiu V., Calcule de credibilitate, Revista 
„Studii şi Cercetări de Calcul Economic şi Cibernetică 
Economică” 4 / 1998, XXXII. 
[3]. Goovaerts M.J., Kaas R., Van Herwaarden A.E., 
BauwelinckxT., Insurance Series, volume 3, Efective 
Actuarial Methods, University of Amsterdam, The 
Netherlands, 1991. 
[4]. Pentikäinen T., Daykin C.D., Pesonen M., 
Practical Risk Theory for Actuaries, Université Pierré 
et Marie Curie, 1990. 
[5]. Sundt B., An Introduction to Non-Life Insurance 
Mathematics, Veroffentlichungen des Instituts für 
Versicherungswissenschaft der Universität Mannheim 
Band 28 , VVW Karlsruhe, 1984. 
 

Estimation of the Credibility in the Original BÃ¼hlmann Model Illustrated by Introducing a Regression Technique

http://revistaie.ase.ro/content/39/atanasiu.pdf

Estimation of the Credibility in the Original BÃ¼hlmann Model Illustrated by Introducing a Regression Technique

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Research Papers in Economics