Dans ce travail, nous présentons une stratégie pour prendre en compte les symétries dans la méthode des moments magnétostatique (MoM). Ceci permet de réduire les dimensions de la matrice d’interaction, difficulté principale de la méthode

Lefèvre, Yvan

Oubaid, Rania

Poirier, Jean-René

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    OATAO is an open access repository that collects the work of Toulouse researchers and makes it freely available over the web where possible Any correspondence concerning this service should be sent  to the repository administrator: tech-oatao@listes-diff.inp-toulouse.fr This is an author’s version published in: http://oatao.univ-toulouse.fr/21969    To cite this version:  Oubaid, Rania and Lefèvre, Yvan and Poirier, Jean-René Prise en compte des symétries dans la méthode des moments magnétostatiques. (2015) In: Numélec 2015 (Conférence Européenne sur les Méthodes Numériques en Electromagnétisme), 3 June 2015 - 5 June 2015 (Saint-Nazaire, France). (Unpublished) Open  Archive  Toulouse  Archive  Ouverte Prise en compte  des symétries dans la méthode des moments magnétostatiques R. Oubaid, Y. Lefevre and J-R. Poirier Université de Toulouse, INPT,LAPLACE, ENSEEIHT, Toulouse, France roubaid@laplace.univ-tlse.fr Résumé Dans ce travail, nous présentons une stratégie pour prendre en compte les symétries dans la méthode des moments magnétostatique (MoM). Ceci permet de réduire les dimensions de la matrice d’interaction, difficulté principale de la méthode. I. INTRODUCTION La méthode des moments magnétiques (MoM) est intéressante pour modéliser les dispositifs électromagnétiques basses fréquences [1]. Dans cette méthode, seuls les milieux ferromagnétiques sont divisés en éléments. Chaque élément interagit avec tous les autres éléments y compris avec lui-même. Ces interactions propres et mutuelles sont décrites par la matrice d’interaction. Comme toutes les interactions sont prises en compte, cette matrice est pleine. Ainsi le principal inconvénient de la MoM est qu’elle nécessite de résoudre un système linéaire plein. Pour certains dispositifs nécessitant beaucoup d’éléments, l’utilisation de la méthode peut poser certaines difficultés puisque la taille mémoire nécessaire pour la résolution du système linéaire est importante. Cependant pour les structures présentant certaines symétries, on peut réduire considérablement la taille du système à résoudre.  Dans la plupart des travaux sur la MoM, la prise en compte des symétries est traitée au cas par cas. Dans [1] une méthode systématique est proposée, pour la première fois, pour traiter des symétries simples permettant de réduire de moitié le domaine d’étude initial. Dans ce travail, nous présentons une méthodologie qui permet de prendre en compte la composition de rotations et de symétries par rapport à un plan pour  réduire de plus de la moitié le domaine d’étude initial.  Dans la section suivante,  nous rappelons les principes de  la MoM. Ensuite, la méthode de prise en compte des symétries connues est proposée. La vérification de la méthode est présentée dans une quatrième section. II. LA METHODE DES MOMENTS Le dispositif étudié est caractérisé par des bobines alimentées par des courants constants et un matériau ferromagnétique de loi de comportement :                                   =  − 1                                (1) où  et µ r sont respectivement la magnétisation et la perméabilité. Le champ magnétique H est décomposé en deux champs, le champ magnétique dû aux courants seuls H et le champ magnétique induit H:                            HP = HP + HP                         (2)   La construction de la matrice MoM consiste à discrétiser le milieu magnétique en Ne éléments. A l’intérieur d’un élément J l’aimantation  est uniforme. La composante k du champ magnétique induit H au centre d’un élément I est égale à [2] :                         H = ∑ ∑ F . M                           (3) où les 	F  sont des coefficients de la matrice d’interaction élémentaire [F]IJ. Pour un maillage avec Ne éléments, la relation (3) peut être mise sous forme matricielle :                                  "#$ = %Ӻ'"Ӎ$                                (4) où {#} et "Ӎ$ sont deux vecteurs de dimension 3Ne contenant respectivement les composantes du champ d’excitation magnétique induit et les composantes du vecteur aimantation. %Ӻ' est la matrice d’interaction globale de dimensions : 3Nex3Ne. A partir de (1), (2) et (4), on obtient le système linéaire:              %I' − μ+ − 1%Ӻ'"Ӎ$ = μ+ − 1"H$            (5) La résolution du problème (5) donne les composantes de l’aimantation dans chaque élément qui permet de calculer le champ magnétique total en tout point. III. ROTATION ET SYMETRIE Le but consiste essentiellement à réduire les dimensions de la matrice d’interaction	%,' (4).  Cela n’est possible que si la géométrie et les sources présentent des propriétés d’invariance suivant certaines transformations géométriques comme les rotations ou symétries.  Les rotations les plus courantes, dans les problèmes 3D, sont les rotations autour d’un axe que nous allons prendre pour l’axe Oz. Ce type de rotation est défini par un angle de rotation :  - = ./0                                   (6)  où n est un entier naturel. Si les sources et les propriétés physiques des matériaux sont aussi invariantes par une telle rotation alors le domaine d’étude peut-être divisé par n.  Sur la figure 1 par exemple, n est égal à 4. Le domaine réduit correspond donc au quart du domaine. Soit Ne le nombre d’éléments sur le domaine initial et Nr le nombre d’éléments sur le domaine réduit. On a :  1 = 230                                          (7)  

Prise en compte des symétries dans la méthode des moments magnétostatiques

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