Bu çalışmada ρ metriğine göre lineer kodların yapıları incelendi. Kodların yapılarından faydalanılarak, bu met-riğe göre lineer ve devirli kodların minimum uzaklığının kolaylıkla tespit edilebildiği gösterildi. Bu metriğe bağlı olarak lineer kodların dualleri incelendi ve MDS kodların ağarlık sayaçları bulundu.We explore the structure of linear codes with respect to the ρ metric. Taking advantage of this structure, we show that the minimum distance of linear and cyclic codes can be determined easily. We investigate the dual of linear codes and the weight enumerator of MDS codes with respect to this metric

Çallıalp, Fethi

Özen, Mehmet

Şiap, İrfan

Dogus University Institutional Repository

 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ  ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Cilt/Vol.:5-Sayı/No: 2 : 253-258 (2004)      ARAŞTIRMA MAKALESİ/RESEARCH ARTICLE    NON-HAMMING (ROSENBLOOM-TSFASMAN) METRİĞİNE GÖRE LİNEER  KODLARIN YAPISI Mehmet ÖZEN1, İrfan ŞİAP2, Fethi ÇALLIALP3 ÖZ  Bu çalışmada ρ metriğine göre lineer kodların yapıları incelendi. Kodların yapılarından faydalanılarak, bu met-riğe göre lineer ve devirli kodların minimum uzaklığının kolaylıkla tespit edilebildiği gösterildi. Bu metriğe bağlı olarak lineer kodların dualleri incelendi ve MDS kodların ağarlık sayaçları bulundu.    Anahtar Kelimeler: Lineer Kodlar, Non-Hamming Metriği, MDS Kodlar   THE STRUCTURE OF LINEAR CODES WITH RESPECT TO A NON-HAMMING (ROSENBLOOM-TSFASMAN) METRIC  ABSTRACT   We explore the structure of linear codes with respect to the ρ metric. Taking advantage of this structure, we show that the minimum distance of linear and cyclic codes can be determined easily. We investigate the  dual of linear codes and the weight enumerator of MDS codes with respect to this metric.    Key Words: Linear Codes, Non-Hamming Metric, MDS Codes                                                             q1 Sakarya Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Serdivan, 54100,SAKARYA  E-Posta:ozen@sakarya.edu.tr. 2  Gaziantep Üniversitesi, Adıyaman Eğitim Fakültesi. 3  Doğuş Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü.   Geliş: 02 Ocak 2002; Düzeltme: 18 Kasım2002; Kabul; 04 Mayıs 2004 1. GİRİŞ   ρ non-Hamming (Rosenbloom-Tsfasman) metriği [4]’te yakın zamanda sunulmuş ve minimum uzaklık için üst sınırlar ispatlanmıştır. [1]’de bu metriğe göre Hamming ağırlık sayaçları incelenmiştir. Ayrıca, [5]’te yine bu non-Hamming metriğine göre tam ağırlık sa-yaçları tanımlanmış ve MacWilliams eşitlikleri ispat-lanmıştır. Birinci bölümde Hamming metriğine bağlı olarak bilinen bazı temel teorem ve sonuçları verile-cektir. İkinci bölümde, Hamming metriğinde bilinen ve tanımlanan bazı kavramlar, Hamming olmayan Rosenbloom-Tsfasman metriğinde incelenecektir. Ü-çüncü bölümde ise MDS kodlar ile ağırlık sayaçları incelenecektir. q bir asal sayının kuvveti olmak üzere, Fq={α0,α1,...,αq-1}, q elemanlı sonlu bir cisim olsun. , F( , )V n q q üzerinde n uzunluğundaki bütün vektörle-rin kümesi olsun. Bu küme, bir vektör uzayıdır.  ve C, V n  nun k boyutlu bir alt vek-tör uzayı ise C ye  n uzunluğunda, k  boyutlu bir lineer kod denir ve kısaca [n,k] ile gösterilir. C  nin elemanla-rına ise kodsöz denir. Bir kodsözdeki sıfırdan farklı bileşenlerin sayısına ise o kodsözün Hamming ağırlığı ya da kısaca kodsözün ağırlığı denir. İki kodsöz ara-sındaki Hamming uzaklığı ise; bu kodsözlerin farkları-nın Hamming ağırlığına eşittir. C deki kodsözlerin sıfırdan farklı en küçük ağırlığına C nin Hamming ağırlığı denir ve kısaca ile gösterilir. Diğer yan-dan, C deki sıfırdan farklı en küçük Hamming uzaklı-ğına ise C nin minimum uzaklığı denir. Lineer kodlarda ( , )C V n q⊂ ( , )( )w CAnadolu Üniversitesi Bilim ve Teknoloji Dergisi, 5 (2) 254 ( ) ( )d C w C= dir. Bir vektör uzayı olarak tanımlanan bir C kodu için uzunluk, boyut parametreleri yanında minimum uzaklık parametresinin rolü çok önemlidir. Minimum uzaklığa göre bir kodun hata düzeltme özel-liği ölçülebilir [2]. C, [n,k] bir lineer kod olsun. Satırla-rı C nin bazından oluşan bir G′ ,  matrisine C nin üreteç matrisi denir. Eğer bir C kodunun bileşenlerine bir permütasyon uygulanarak  kodu elde ediliyorsa C kodu ile  kodu birbirine denktir denir. Dikkat edilirse C ile C  nün üç temel parametreleri n, k, ve d aynıdır ve kodlama anlamında farklı yapılar değildir-ler. k n×C′C′′ Teorem 1. [2] Fq üzerinde, C [n,k,d] lineer kodu ve-rildiğinde; ilk k sütunu k boyutlu kI  birim matrisi olan  stand art formdaki üreteç matrisine sa-hip bir  koduna denktir.  [ , ]kG I A=C′  Hamming metriğinde iç çarpım, C nin herhangi 1 2( , ,..., )nx x x=x  ve 1 2( , ,..., )ny y y=y  kodsözleri için, 1nii ix y== ∑,x y          şeklinde tanımlanır. { }( , ) , 0,C V n q c c⊥ = ∈ = ∀ ∈x x C]kümesine C nin dual kodu denir.   Teorem 2. [3]  standart formdaki üreteç matrise sahip C bir [ ,  lineer kod olsun. O zaman ,  [ , ]kG I A=]n kC ⊥ [ ,T n kH A I −= −  üreteçli, [ ,  lineer kod olur.  ]n n k− Yukarıdaki teoremde adı geçen H matrisine C kodunun kontrol matrisi denir. Rn= Fq[x]/  xn-1 , bir temel ideal halkasıdır. Ф:  ve Ф  ise Ф,  ile nV(n,q) R→10 1 1 0 1 1(( , ,..., )) ...nn nc c c c c x c x−− −= + + +( , )V n q nR  arasında bir vektör uzayı izomorfizma-sıdır. Eğer herhangi bir  için  ise   ye bir devirli kod denir. C devirli kodu Ф(C) ile özdeşliğinde 0 1 1( , ,..., )nc c c C− ∈1 0 2( , ,..., )n nc c c C− − ∈ ( , )C V n q⊂nR  in bir ideali olduğu görülür.  Önerme 3. [3]  C, nR  in bir ideali olsun. Bu durumda ( )C f x=  ve  olacak şekilde bir vardır. C, ( )| 1nf x x −0 1( ) ... , 1rr rf x a a x a x a= + + + = ( )f x  tarafından üretilen  boyutlu ve  n r k− =  0000 00 00 0rrr k na aa aGa a ×⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦L KL KM ML K  üreteç matrisli bir devirli koddur.   ( ) | 1nf x x −  olmak üzere  ( )C f x=  devirli bir kod (ideal) olsun. 1 ( ) (n )x f x h x− =  ise  h(x) e,  C nin kontrol polinomu denir   Teorem 4. [3] h(x), devirli  C, [n,n-r] lineer kodunun, nR  deki kontrol polinomu olsun. O zaman kontrol matrisi,   0000 0 00 00 0 0n rn rn rh hHh hh h−−−0⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦L KM ML KL K  olur ve r boyutlu devirli dual kodunun üreteç polinomu  1 10( ) ( )n rh x h x h x−⊥ − −=     dir. Giriş bölümündeki temel bilgi ve teoremlerle ilgili olarak daha geniş bilgi için [2] ve [3] kaynaklarına bakılabilir.   2. NON-HAMMING METRİĞİNE GÖRE LİNEER KODLARIN YAPISI  1 2( , ,..., )n Cξ ξ ξ= ∈x  kodsözünün  non-Hamming ağırlığı,  { }max 0 , 0( )0 , 0iNiwξ⎧ ≠ ≠⎪= ⎨ =⎪⎩xxx.  Herhangi , C∈x y  için ( , ) ( )Nwρ = −x y x y  şek-linde tanımlanan ρ fonksiyonuna x ve y kodsözlerinin non-Hamming Rosenbloom-Tsfasman uzaklığı denir. ρ bir metriktir [4]. Non-Hamming metriğinde minimum uzaklık, { },( ) min ( , ) ( , ) 0N Cd C ρ ρ∈= ≠x y x y x y şeklinde tanımlanır ve kısaca  ile gösterilir. Non-Hamming metriğinde bir C kodunun minimum ağırlığı ise, Nd{ }( ) min ( ) 0N C Nw C w∈= ≠x x x şeklinde tanımlanır ve kısaca  ile gösterilir. Hamming metriğinde olduğu gibi, C lineer bir kod ise  olur. ( )Nw C( ) ( )N Nd C w C=   Anadolu University Journal of Since and Technology, 5 (2) 2552.1. Lineer Kodun Üreteç Matrisi   Satırları k boyutlu C nin bazından oluşan bir  matrisi C nin üreteç matrisi olsun. Genel-liği bozmadan G  matrisinin son sütununun sıfırdan farklı olduğu kabul edilir. ,G k n′ ×′Önerme 5. C,  parametreli bir lineer kod ol-sun.C kodu, [ , ]n k 1 1 2 2 11 1 2 2111 1 1 1 1 1 1 121 2 2 2 1 210 00 00 0 0 0 0k kk kk ks s s s ss s s sk ks ksg g g g g gg g g g gGg g g− +− +−− +−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣K K KK K KM M M M M M M M M M MK K K0⎥⎦kk(1)  211 2 3 1 2... 1 ... 1kk s s ksn s s s s ve g g g≥ > > > > ≥ = = = =     şeklindeki bir üreteç matrisine sahiptir.  Kanıt:  matrisi lineer cebirden bilinen elemanter satır işlemleri ile (sütun işlemleri yapmadan) yukarı-daki gibi üçgensel formda olan G  matrisine indirge-nir.  G′ Tanım 6. Yukarıdaki önermede verilen ve non-Hamming metriğine göre yapılan incelemede temel teşkil edecek (1) matrisine bir kodun standart formdaki üreteç matrisi denir.  Önerme 7. Non-Hamming metriğine göre, (1) standart formundaki G üreteç matrisine sahip C kodunun mi-nimum uzaklığı  olur. Nd s= Kanıt: Standart forma getirilen matriste 1 2bileşenleri sıfırdan farklıdır. Bütün kodsözler bu üreteç matrisin satırlarının lineer kombi-nasyonlarından oluşur. Dolayısıyla k nıncı satırdakin-den daha küçük ağırlığa sahip kodsöz oluşamaz. Non-Hamming metriğine göre 1 2, ,..., ks s ksg g gNd s=  olur.   Önerme 8. [4]  (Singleton Üst Sınırı) C, Fq üzerinde bir [ ,  lineer kod ise  olur.  , ]Nn k d 1Nd n k≤ − + Kanıt:. Burada standart formu kullanarak bağımsız ve daha basit bir ispat verilir.  üreteç matrisi elemanter satır işlemleri sonucu G′1s n=  ve ,   ve  olacak şekilde (1) deki standart forma indirgenir. Bir kodun kodsözleri bu matrisin lineer kombinasyonlarından oluştuğundan elde edilecek bütün kodsözlerin ağırlıkları n-k+1 den büyük olamaz. Dolayısıyla 1 1i is s −= −2 i k≤ ≤ 1ks n k≤ − +1Nd n k≤ − +  olur.   Tanım 9. [4] Singleton üst sınırını sağlayan kodlara maksimum uzaklığa ayrışabilir (Maximum Distance Separable) kod denir.  G′  elemanter satır işlemleri ile 1 1, 1, 2i is n s s i k−= = − ≤ ≤ ,  ve A, 1ks n k= − +(k n - k )× tipinde bir matris olmak üzere;  0 1,1 0G A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦LOL                          (2)  standart formuna gelen   üreteç matrisine sahip  kodu bir MDS kod olur. G C  2.2. Lineer Kodların Duali ve Dualinin Üreteç Matrisi   Non-Hamming metriğinde iç çarpım, C  nin her-hangi iki kodsöz          1 2( , ,..., )nx x x=x  ve  1 2( , ,..., )ny y y=y  için;    11,ni n iix y − +== ∑x y            şeklinde tanımlanır.[4]                    Önerme 10.  (1) deki G üreteçli  C, [n,k] lineer kodu-nun duali C ⊥ , bir [ ],n n k−  lineer kod olur.  Kanıt: C ⊥  in lineerliği ve boyutunun n k−  olduğu Hamming metriğine benzer şekilde gösterilir.   Non-Hamming metriğine göre H kontrol matrisinin bulunuşu:  Standart  formdaki üreteç matrisi 2 , nσ -li sütun permütasyonu ile, [ ]2 ( ) , , kG G G A Iσ ′′ ′′= =  Hamming anlamında standart formuna getirilir. Bun-dan yararlanarak Hamming metriğine göre [ ,n k ]H I AΤ−′′ = −  kontrol matrisi elde edilir. 12 ( )H Hσ − ′′ = ′ olsun. G de herhangi bir i  inci satırı  ve ,... )ing g gi1 i2( , H ′  nün herhangi j  inci satırı 1122 , ( ), (1)( ,..., )j j nh h σσ −−′′ ′′ olsun.  ile G′′ H ′′  Hamming anlamında birbirine diktir.    ( ) 0.G H Τ′′ ′′ =   nin i  inci satır G 2σ  altında,  2(1) 22 ( ) 1) ve ( ,..., )i1 in n j jng g g g g G h hσ σ ′′ ′′ ′′(σ ∈ ∈i2 i, i,( , ,..., ) = ,...,  olsun.  2(1) 2( ), 1 ,0,ni j i jng h g hσ σ′′ ′′+ + =L2(1) 2( ), , 1( ,..., ), ( ,..., ) 0.ni i j jng g h hσ σ ′′ ′′ =   Her iki çarpana ayrı ayrı 12σ −  permütasyonu uygulanıp skaler çarpılırsa skaler çarpımın değerinde bir değişme Anadolu Üniversitesi Bilim ve Teknoloji Dergisi, 5 (2) 256 olmayacağıdan,  olur. Dolayısıyla G  ile 1 12 21 , (1) , ( )... 0i inj jg h g hσ σ− −′′ ′′+ + =nH ′  Hamming anlamında  diktir. H ′  ye  permütasyonu uygulana-rak satırlar ters çevrildiğinde ( 1 21 1 nn nσ − )1KK=1 ( )Hσ ′ , elde edlir. olsun.  ye non-Hamming anla-mında dik olur. 01 ( )H Hσ ′ = 0 ,H G0σ  satır permütasyonu ile,  stan-dart forma getirilerek  0H00 ( ) , ( )H H n kσ = − n×  tipindeki H  kontrol matrisi bulunur.  Önerme 11. Yukarıdaki paragrafta geçen tanım ile ve ifadeler altında,  üreteç matrisli bir kodun non-Hamming metriğine göre kontrol matrisi;  G10 1 2( ( ( )))H Hσ σ σ − ′′ = olur.  Örnek  1. Bir C  kodunun non-Hamming ağırlığa gö-re standart formdaki matrisi,  0 0 0 0 1 1 10 1 0 1 0 0 01 0 1 0 0 0 0G =⎡ ⎤⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎥ olsun. Önerme 7. ye göre  olur.  ye uygulandığında  3Nd =21234567,1276435Gσ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ [ ]3,G A I′′ =  olur. Bundan yararlanarak  1 0 0 0 0 0 10 1 0 0 0 1 00 0 1 0 1 0 00 0 0 1 1 0 0H⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥′′ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦  yazılır. H ′′  ye öncelikle 12σ −  uygulanır, sonra 1σ  ile satırları ters çevirip,  satır permütasyonu  kullanılarak, 012341243σ ⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠⎟⎥⎥10 1 20 0 0 0 1 0 10 0 0 1 0 1 0( ( ( )))1 0 1 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0H Hσ σ σ −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥′′ = = ⎢⎢⎣ ⎦  bulunur.  2.3. Devirli Kodların Duali ve Minimum         Uzaklık  Önerme 12. 0 1( ) ... , 1 ( )rr rf x a a x a x a ve f x= + + + =  fonksiyonu   i bölsün.1nx − ( )C f x=  devirli kodu-nun non-Hamming ağırlığına göre standart formdaki üreteç matrisi,  0000 00 00 0rrra aa aGa a⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦K KK KM MK K  ve rank ( )G n r k= − =  olduğundan ( ) 1Nd C n k= − +     olur.  Kanıt: Elemanter satır işlemleri ile G  standart formu bulunur. 1ra =  ve rank ( )   olduğu için non-Hamming ağırlığına göre G  standart formdaki üreteç matrisinden G = k1Nw n k= − +  olduğu çıkar.   Aşağıdaki sonuç tanımlardan kolayca elde edilir.  Sonuç 1. Devirli kodlar non-Hamming metriğinde MDS kodlardır.  Sonuç 2. Devirli C ⊥  dual kodunun  H  üreteç matrisi  olsun ve ( )rank H n k= −  ise    olur. 1Nd k⊥ = + Kanıt: Devirli C  lineer kodunun üreteç matrisi  standart formdadır ve burada  G, ( )A k x n k−   bo-yutlu bir matristir.  0 1,1 0G A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦KOK     G  matrisinin satırları yer değiştirilerek [ , ]kA I′  full  (son  sütuna birimin oturması) formuna  getirilir. Bundan yararlanarak  Hamming  anlamında diki yazı-lıp satırlar ters çevrilip non-Hamming anlamında dik olan kH  kontrol matrisi yazılır.   full formdadır. Satırlar yer değiştirilerek standart forma  getirilir ve dolayısı ile    olduğu [ , ]n kH B I −=1Nd k⊥ = + H  matri-sinden çıkar.    3. MDS KODLAR VE AĞIRLIK  SAYAÇLARI   Teorem 13. , C [ ], , Nn k d   lineer kodu MDS ise duali olan C ⊥  de MDS dir.  Kanıt. C ⊥ , lineer kodunun minimum uzaklığı Nd⊥ ol-sun.  lineer kodu MDS olduğundan üreteç matrisi (2) deki  standart formundadır ve CG ( )rank G k= ol-Anadolu University Journal of Since and Technology, 5 (2) 257duğundan,  dir. C  lineer kod oldu-ğundan  ve buradan da  olur. G  matrisinin satırları yer değiştirile-rek  formuna getirilir. Bundan yararlanarak. Hamming anlamında diki yazılıp satırlar ters çevrilip non-Hamming anlamında dik olan 1Nd n k= − + ⊥(Nd n n k⊥ ≤ − − −1)1Nd k⊥ ≤ +[ , ]kA I′H  kontrol matrisi yazılır.   full formundadır. Dolayısıyla  olur. C  in MDS olduğu gösterilmiş olur.  [ , ]n kI −H B=1Nd k⊥ = + ⊥ Tanım 14.  bir kod ve ,  kodundaki  non-Hamming ağırlığında olan kodsözlerin sayısı olsun. C iA C i ( )0( ) Nw ciC ii c CnW z A z z= ∈= =∑ ∑    polinomuna kodunun non-Hamming ağırlık sayacı denir. C Teorem 15.Fq,  elemanlı sonlu bir cisim ve C , bir q[ ], , 1n k n k− +  MDS  kod olsun. ,  ağırlığındaki kodsözlerin sayısını göstermek ve ,  ol-mak üzere; iA ii Nd i≤ ≤ n( 1) Ni diA q q−= −  olur.  Kanıt.  olduğundan , MDS kodunun üreteç matrisi elemanter satır işlemleri ile (2) deki standart formuna getirilir. Burada 1Nd n k= − + C, ( )A k n k× −  ti-pinde bir matrisdir.  nıncı satır için  ağırlığındaki kodların sayısı  tane olur.    inci satırda    ağırlığındaki kodlarının sayısı ise  nıncı sa-tırla lineer kombinasyonunda,  ağırlığı değiş-meyeceğinden  tane olur.  inci satırda  ağırlığındaki kodlarının sayısı ise  olur. Tümevarım ile 1 inci satırda   ağırlığındaki kodların sayısı  da  olur. Dolayısıyla  için , k Nd1q − 1k −1Nd + k1Nd +( 1q q − )))n2k −2Nd + 2( 1)(q q−n1( 1)( kq q −−Nd i≤ ≤ ( 1) Ni diA q q −= −   olur.   Sonuç 3. Fq,  elemanlı sonlu bir cisim ve , q C[ ], , 1n k n k− +  MDS kodunun duali C  olmak üzere , ⊥C ⊥ [ ], , 1n k k +  MDS kodu olur. Ayrıca üreteç mat-risi,   0 1,1 0H B⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦KOK   olduğundan standart formdadır. Burada kkn ×−  tipinde bir matristir. , i  ağırlığındaki kodsözlerin sayısını göstersin. ⊥nİANd i⊥ ≤ ≤  olmak üzere, ( 1) Nii dA q q⊥⊥ −= −   olur. Örnek 2. F3 cismi üzerinde C ,  [ ]7,4,4  MDS  kodu-nun standart formdaki üreteç matrisi,  0 0 2 0 0 0 12 0 0 0 0 1 00 1 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0 0G⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦                             olsun. 1 4Nd n k= − + =  tür.  tane kodsöz  vardır. 43 8= 174Nd i= ≤ ≤  ağırlıkları  4 olan, 4 2A =  tane vardır. Ağırlıkları 5 olan ,  tane vardır. Ağırlık-ları 6 olan , 5 6A =6 18A =  tane vardır. Ağırlıkları 7 olan  7 54A =  tane vardır. Sıfır kodsözü ile toplam 81 tane kodsöz olur.  Duali için ; 0 0 0 1 0 0 10 2 0 0 0 1 00 0 1 0 1 0 0H⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦  1 5 7Nd k i⊥ = + = ≤ ≤  için,  tane, 5 2A⊥ = 6 6A⊥ = , tane 7 18A⊥ = , tane olmak üzere sıfır, kodsözü ile top-lam 27 tane kodsöz olur.    Makalenin düzeltmesinde katkıda bulunan hakeme teşekkürü bir borç biliriz.   KAYNAKÇA  [1]Dougherty, S. T. and Skriganov, M. M, (2002) MacWilliams Duality and the Rosenbloom-Tsfasman Metric, Moscow Mathematical Journal, Vol. 2, Number (2) 1, 83-99.  [2]MacWilliams, F.J. and  Sloane N.J.A.  (1977), The Theory of Error-Correcting Codes, North Holland.     [3]Roman, S. (1992),Coding and Information Theory, Springer-Verlag.  [4]Rosenbloom, M. Yu. and Tsfasman M. A. (1997), Codes for the m-metric, Problems of Information Transmission , Vol. 33, (1), 45-52.  [5]Siap, I. (2001), The Complete Weight Enumerator for Codes over  8th IMA Conference on Cryptography and Codes, Cincester, UK, )( qsn FM ×Anadolu Üniversitesi Bilim ve Teknoloji Dergisi, 5 (2) 258 Lecture Notes on Computer Sciences Vol. 2260, pp. 20-26 .   Fethi ÇALLIALP, 1970 yılında Çapa Yüksek Öğretmen Okulunu ve İstanbul Üniversitesi Fen Fa-kültesi Matematik Bölümünü bitirdi. 1973 yılında, Hacettepe Üniversitesi Fen Fakültesi Mate-matik Bölümüne Asistan ola-rak,1978 yılında  Doktorasını ve 1982 yılında Doçentliğini aldı. 1984-1992 yılları arasında 19 Mayıs Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünde Bölüm Başkanı olarak çalıştı. 1988 yılında Profesör olarak atandı. 1992–1998 yılları arasında İTÜ Fen- Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünde Prof. olarak çalışırken 1993-1996 yılları arasında Sakarya Üniversitesi Fen–Edebiyat Fakültesi Dekanı olarak atandı. 1998-2000 yılları arasında Marmara Üniversi-tesi Eğitim Fakültesinde Bölüm Başkanı olarak çalışır-ken emekli oldu ve Doğuş Üniversitesi Fen–Edebiyat Fakültesi Profesör kadrosuna atandı. Halen Matematik ve Fen Bilimleri Bölüm Başkanı olarak görev yap-maktadır. Araştırma alanları; Cebirsel Sayılar Teorisi, Halkalar Teorisi ve Modül Teori üzerinedir  İrfan Şiap, 1992 İstanbul Üni-versitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü mezunudur. 1994-1999 yıllarında Ohio State Üniversitesi (A.B.D) Matematik alanında sırasıyla Yüksek lisans ve Doktora derecelerini almıştır. 2000-2002 yılları arasında Sa-karya Üniversitesinde çalışmış. 2003 yıllından itibaren Doçent olarak Gaziantep Üniversitesi Adıyaman Eğitim Fa-kültesi’nde çalışmaktadır. Çalışma alanı ağırlıklı ola-rak kodlama teorisi ve matematik eğitimi üzerinedir.  Mehmet Özen, 1994 yılı Ege Üniversitesi Fen Fakültesi Mate-matik mezunudur. 1998 yılında Yüksek Lisansını ve 2002 yılında da Doktorasını Sakarya Üniver-sitesi’nde tamamlamıştır. Halen Sakarya Üniversitesi’nde Yrd. Doç. Dr. olarak görev yapmakta-dır. Çalışma alanı Cebirsel Kod-lama Teorisi dir.   

The structure of linear codes with respect to a non-hamming (rosenbloom-tsfasman) metric

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Dogus University Institutional Repository