Вивчено умови збіжності ряду ∑n=1∞ (n^(t–1))L(n)P(|Sn| ≥ εn^1/r) для різних значень параметрів t ≥ 0, 0 0. Такі ряди виникають при вивченні повної збіжності та дослідженні різноманітних питань стосовно великих відхилень у граничних теоремах теорії ймовірностей. Знайдено достатні умови збіжності такого ряду для необов’язково монотонних і неперервних повільно змінних функцій L. При r = 1 та немонотонній функції L з умови E[|X|^(t+1) L(|X|)] εn^1/r), який включає медіани сум med(Sn). Для того щоб позбутися медіан, потрібно вимагати виконання додаткової умови – скінченності першого моменту. Отримані результати є узагальненням одного з результатів Хейді та Рохатгі на випадок немонотонної повільно змінної функції L для t ≥ 0. Також розширено клас функцій, для яких знайдено достатні умови збіжності ряду для t ≥ 0. Виявляється, результати справедливі не тільки для необов’язково монотонних або неперервних повільно змінних функцій, а й для більш широкого класу OSV-функцій. Наведено також узагальнення для випадку нормувальних послідовностей Марцинкевича—Зігмунда, де для позбавлення від медіан потрібно розглядати два випадки додаткових умов залежно від параметра r.In this paper conditions for the convergence of series ∑n=1∞ (n^(t–1))L(n)P(|Sn| ≥ εn^1/r) for arbitrary ε > 0, different values of parameters t ≥ 0, 0 εn^1/r) which includes medians of sums med(Sn) instead of generalized Baum—Katz series ∑n=1∞ (n^(t–1))L(n)P(|Sn| ≥ εn^1/r). In order to get rid of medians it is necessary to add an assumption on the finiteness of the first moment. This mean that obtained results extend one result of Heyde and Rohatgi to the case of non-monotone slowly varying functions L, for t ≥ 0. Moreover, we enlarge the class of functions for which sufficient conditions for the convergence of introduced series, for t ≥ 0, are found. It turns out that appropriate results hold true not only for monotone and for continuous slowly varying functions, but also for a more wide class of functions, namely, OSV-functions. Generalization of main result for the case of normalizing sequences, that are Marcinkiewicz—Zygmund sequences, is also presented. In this case, depending on r, two additional moment assumptions are imposed in order to avoid medians.Изучены условия сходимости ряда ∑n=1∞ (n^(t–1))L(n)P(|Sn| ≥ εn^1/r) для различных значений параметров t ≥ 0, 0 0. Такие ряды возникают при изучении полной сходимости и исследовании различных вопросов относительно больших отклонений в предельных теоремах теории вероятностей. Найдены достаточные условия сходимости такого ряда для необязательно монотонных и непрерывных медленно меняющихся функций L. При r =1 и немонотонной функции L из условия E[|X|^(t+1) L(|X|)] εn^1/r), который включает медианы сумм med(Sn). Для того чтобы избавиться от медиан, нужно требовать выполнения дополнительного условия – конечности первого момента. Полученные результаты являются обобщением одного из результатов Хейди и Рохатги на случай немонотонной медленно меняющейся функции L для t ≥ 0. Также расширен класс функций, для которых найдены достаточные условия сходимости ряда для t ≥ 0. Оказывается, результаты справедливы не только для необязательно монотонных или непрерывных медленно меняющихся функций, но и для более широкого класса OSV-функций. Приведено также обобщение для случая нормирующих последовательностей Марцинкевича—Зигмунда, где для избавления от медиан нужно рассматривать два случая дополнительных условий в зависимости от параметра r
