In this paper the procedures of the objects weights estimation are offered and proved at the certain assumption by the matrix of pair comparisons containing the following information: wi ≷ wj (wi, i = 1,n weight of i object).По матрице парных сравнений, содержащей информацию вида wi ≷ wj (wi, i = 1,n вес i-того объекта), при определенных допущениях предлагаются и обосновываются процедуры оценки значений весов объектов

Аракелян, Г. А.

Кут, В. И.

Павлов, А. А.

Electronic Archive of Kyiv Polytechnic Institute

 3 УДК 519.854.2  ПАВЛОВ А.А., АРАКЕЛЯН Г.А., КУТ В.И.  НАХОЖДЕНИЕ ВЕСОВ ОБЪЕКТОВ ПО МАТРИЦЕ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ, НЕ СОДЕРЖАЩЕЙ ЦИФРОВОЙ ИНФОРМАЦИИ  По матрице парных сравнений, содержащей информацию вида iw >< jw ( iw , ni ,1=  вес i-того объекта), при определенных допущениях предла-гаются и обосновываются процедуры оценки значений весов объектов.  In this paper the procedures of the objects weights estimation are offered and proved at the certain assumption by the matrix of pair comparisons containing the following information: ji ww>< ( niwi ,1, = weight of i object).  Эффективность метода анализа иерархий Саати существенно зависят от точности нахождений весов объектов по матрицам парных сравнений [1–7]. В этих работах предполагалось, что матрицы парных сравнений содержат пусть искаженную, но цифровую информацию о сравнении двух альтернатив. В статье исследуется формально некорректная задача: ∀ ij  элемент матриц парных сравнений последнего уровня иерархии [6] содержит только информацию вида i j j iw wили w w> >  ji ≠∀  ( iw , mi ,1=  – неизвест-ные веса объектов, которые априори считаются неотрицательными) либо являются пустыми. В такой общей постановке, корректно оценить неиз-вестные значения весов невозможно. Однако в некоторых случаях и такая постановка задачи может привес-ти к конструктивным результатам. Предварительно рассмотрим кратко метод анализа иерархий Саати. (МАИ).  Постановка задачи Рассмотрим следующую задачу многокритериального выбора: Есть глобальная цель и ряд альтернатив ....1 mAA  Необходимо выбрать ту альтернативу, которая является «наилучшей» с точки зрения глобаль-ной цели. Если бы можно было, введя единицу измерения достижения альтернативой глобальной цели, построить функцию ( )iAf  mi ,1= , изме-ряющую в заданных единицах соответствие альтернативы ,iA mi ,1=  за- 4 данной цели, то задача имеет тривиальное решение: выбирается та аль-тернатива, для которой достигается максимум ( ).max ii Af Примечание. Глобальная цель может принципиально не задаваться функцией ( )Af  – числовой, скалярной, ограниченной, однозначной. От-носительно глобальной цели может нарушаться условие транзитивности: существуют такие альтернативы iA , jA , eA , для которых выполняется ji AA  , ej AA  , ie AA  . Для большинства реальных задач проблема непосредственного по-строения функции ( )iAf является неразрешимой в силу многих факторов: 1) слабо структурированные задачи; 2) сочетания количественных и качественных факторов, с помощью которых оцениваются задачи; 3) уверенность в том, что существуют факторы, задающие функцию ( )iAf , которые исследователю не известны либо непосредственно не могут быть измерены. В этом случае и применяется метод анализа иерархий, который явля-ется аппроксимацией исходной задачи. Вкратце основные этапы решения задачи многокритериального выбо-ра с помощью метода анализа иерархий Т. Саати [1–4] следующие. 1. Очертить проблему и определить, что необходимо узнать. 2. Построить иерархию, начиная с вершины (цели – с точки зрения управления), через промежуточные уровни (критерии, от которых зависят следующие уровни) к самому нижнему уровню, который обычно является перечнем альтернатив. 3. Построить множество матриц парных сравнений для каждого из нижних уровней – по одной матрице для каждого элемента примыкающе-го сверху уровня. 4. По матрицам парных сравнений найти значения весов объектов. 5. Найти согласованность всей иерархии. 6. Найти наилучшую альтернативу. Заложенный в МАИ принцип идентичности и декомпозиции преду-сматривает структурирование проблем в виде иерархии или сети. Обычно в наиболее элементарном виде иерархическая структура строится с вер-шины, через промежуточные уровни к самому низкому уровню. Поэтому первый шаг при решении задачи многокритериального выбора состоит в декомпозиции и представлении задачи в иерархической форме. Имеем следующую задачу принятия решений (Рис. 1), представленную в иерар-хической форме.  5  21E  mA  11E  2jE  22mE  … … 11−sE  1−sjE  11−−smsE  … … sE1  sjE  smsE  … … 1A  …  Рис. 1 Пример иерархического представления задачи принятие решений  В представленной на рисунке задаче имеем m альтернатив mAA ...1 и s уровней критериев ,ijE  si ,1=  imj ,1= . На последующих этапах МАИ элементы иерархии сравниваются по-парно по отношению к их воздействию на общую характеристику (гло-бальную цель либо критерий верхнего уровня). Из группы матриц парных сравнений формируется набор локальных приоритетов, которые выража-ют относительное влияние множества элементов на элемент примыкаю-щего сверху уровня, т.е. в нашем случае компоненты векторов будут иметь следующий вид [6]: EEAEAEAEAEEEAEAEAEAEEEAEAEAEAEEEAEAEAEAEsjsmjsjsmjsjsjsjsmjsjsjsmjsjsjsssmssmssssmsssmsssWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW111121111112111112111112111 ][ ][ ][ ][−−+−+−+−+−−−−+−+−+−+−−−−−−−−====  6 Последняя формула  EEAEAEAEAE WWWWW m 1122222111  ][ = ,          (1) =2211211111mEEEEEEwwW  , где 211jEEw – вес критерия 2jE  в глобальную цель 11E , 2,1 mj = . =mEEAEwwW1111111 , где jEw 11 – результирующий вес i -ой альтернативы в гло-бальную цель 11E , mj ,1= . Таким образом, j -я компонента (1) – это 11EjW . =−−−−mEEEAEjsljsljsljslwwwW21, где iE jslw − – вес (вклад) j -ой альтернативы в критерий jslE− , jsmlsjmi −=−== ,1   ,1,1   ,,1 . 111211s js jls js jls jls jms js jlEEEEEEEEwwWw− +−− +−−− +− +−    =      �, где 1+−−jspjslEEw - вес 1+− jspE  критерия в критерий jslE− ,  1,1   ,,1   ,1,1 +−− ==−= jsjs mpmlsj . Принимается та альтернатива, на которой достигается максимум jEjw 11max . Если в дереве иерархий не все связи имеют место, то соответствую-щие веса принимаются равными нулю. Поэтому в данной статье рассмат-ривается только общий случай. Рассмотрим, каким образом дерево иерархий с весами приписанными каждой из ветвей, аппроксимирует неизвестное выражение ( ),iAf  mi ,1= . Для этого рассмотрим следующие выражения:  7 ( )isj AE  – значение, которое принимает критерий sjE  – на альтернативе iA , ( ) ,ijsEisj wAE =  mi ,1= , smj ,1= . При этом для фиксированного j  ijsEw  измеряются в одних и тех же единицах и нормируются:∑==misjEiw11. ( ) ( ),111islsmlsjslisj AEEEwAE ∑=−− =  при этом веса lsEsE jw 1−  при фиксированных s и j измеряются в одних и тех же единицах и нормируются ∑=− =smjsjslEEw11 1. В общем случае ∑+−+−−=+−− =1 111 )()(js jsljstmlijslEEijst AEwAE , при этом веса 1+−−jsEjsEltw при фиксированных s j и t измеряются в одних и тех же единицах и нормиру-ются. ∑+−+−−==1 111js jsljstmlEEw. Примечание: в иерархической системе Саати все веса считаются не-отрицательными. И наконец:  ( ) ( ),22111211 ilmlli AEEEwAE ∑==  mi ,1=  (2) Выражение (2) и есть аппроксимация неизвестного значения f(A),  mi ,1= . ( ),11 iAE  mi ,1=  можно также представить следующим образом: ( ) ,111 ∑==smtstti EiwAE α mi ,1= , где коэффициенты αt ≥ 0 очевидным образом определяются из выражения (2). Посылка 1. Веса объектов (альтернатив) объективно существуют (f(A) существует). В этом случае не может нарушаться условие транзитивности и анализ неравенств каждой матрицы парных сравнений последнего уровня иерар-хии (рис. 1) приводит к построению полного порядка miiiwww >> ...21. Рассмотрим последний и предпоследний ряды дерева иерархий МАИ (рис 1).  8 Пусть smWW 1  матрицы парных сравнений альтернатив mAA 1 , от-носительно критериев ,sjE  smj ,1=  соответственно. Матрицы 1 smW W�  удовлетворяют посылке 1. Веса альтернатив mAA 1  в каждой матрице парных сравнений за-дают строгий порядок:  ,1 mjjsEjjsEww >>  smj ,1= , (3) lj   – номер альтернативы, у которой вес в jW  является l-тым по величи-не. Обозначим через І множество номеров альтернатив, удовлетворяющих следующим условиям: Условие 1. Пусть І к, к – мощность множества І. Тогда из альтернатив множе-ства І можно построить последовательности альтернатив 1jA  2jA …kjA  для всех ,,1 smj =  т.е. начальные подпоследовательности длины к после-довательностей (3). Условие 2. Число к является минимально возможным натуральным числом, для которого выполняется условие 1. Утверждение. Номер оптимальной альтернативы принадлежит мно-жеству І. Доказательство следует из анализа выражения (2), т.к. 0≥tα  ,t∀ а для Ij ∈∀  и любого Il ∉  выполняется lEjE ststww ≥ , smt ,1= . Следствие 1. Если к=1, то множество І задает оптимальную альтерна-тиву. Следствие 2. Вместо альтернатив mAA 1  достаточно рассматривать только альтернативы с индексами из множества І. Обоснуем выбор значений весов в случае, когда матрицы парных сравнений задают лишь полный порядок. Обоснование построим по принципу аналогии. Вспомним классическое определение вероятности: если ни одному элементарному событию нельзя заранее отдать предпоч-тение до испытания, все элементарные события считаются равновероят-ными и равными s1 , s – общее число элементарных событий. Матрица парных сравнений не содержит цифровой информации, т.е эксперт (эксперты) не имеет основания считать, что величины  9  1+− ejjsEejjsEww и 1+− tjjsEtjjsEww, (4) 1,1, −= mte , smj ,1= , являются различными.  Таким образом, с учетом нормировки получим: ( ) 1,1;121 −=+=−= + memmwww ejjsEejjsEmjjsE ( ) ;121+=mmmwjjsE  ( )( ) ,112++−=mmemw ejjsE .,2 me =  Посылка 1 должна соответствовать всем матрицам парных сравнений последнего уровня иерархии (рис. 1). Посылка 2. В матрицах парных сравнений последнего уровня иерар-хии (рис. 1) дерева иерархий нарушаются условия транзитивности и фор-мально элементы матриц парных сравнений содержат условия вида ,i j j iA Aили A A  втесто неравенств i jw w>  или .j iw w>  Это обозначает (в случае достоверности информации, содержащейся в матрицах парных сравнений), что глобальная цель не выражается число-вой скалярной ограниченной однозначной функцией от альтернатив. То-гда можно предложить следующую модификацию метода анализа иерар-хий, которую следует считать «грубой» формализацией процесса приня-тия решений для всех уровней иерархий. По матрицам парных сравнений последнего уровня иерархии (рис. 1)оценки весов находятся с помощью аналога алгоритма Копленда [8]. Выражения записываем для абстрактной матрицы парных сравнений (т.е. веса не привязаны к критериям предпоследнего уровня иерархии (рис.1)). Для mj ,1=  рассматриваем j-ю строку матрицы парных сравнений: ,1 jj kw +=  где кj – количество неравенств в j строке вида pj ww >  ,,1 mp =  .jp ≠  Примечание. Исходя из общих положений МАИ найденные значения весов должны быть пронормированы ∑==miiw11.  Список используемой литературы 1. Saaty T.L. Multycriteric Decision Making. The Analytic Hierarchy Process, McGraw Hill International. – New York, 1980. Translated to Russian, Portuguese, and Chinese. Revised edition, Paperback. – Pittsburgh, PA: RWS Publications, 1990,1996. 2. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем: Пер. с  10 англ. Р.Г. Вачнадзе: Под ред. И.А. Ушакова. – М.: Радио и связь, 1991. – 223 с. 3. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Tomas Saaty. The Ana-lytic Hierarchy Process. –Пер. с англ. Р.Г. Вачнадзе. – М.: Радио и связь, 1993. – 315 с. 4. Тоценко В.Г. Методы и системы поддержки принятия решений. Алгоритмиче-ский аспект. – Киев: Наукова думка. – 2002. – 381 с.  5. Ларичев О.И. Теория и методы принятие решений. – М.:Логос, 2000. 6. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. – Москва: Финансы и статистика. – 2001. 7. А.А. Павлов, Е.И. Лищук, В.Н. Кут. Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов в методе парных сравнений. // Системні дослідження та інформаційні технології 2007р. №2. 8. Э. Мулен. Кооперативное принятие решений аксиомы и модели М.: Мир.– 1991.– 451 с. 

Нахождение весов объектов по матрице парных сравнений, не содержащей цифровой информации

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic Archive of Kyiv Polytechnic Institute