A redução de dimensionalidade é uma tarefa crucial no processamento e análise de dados hiperespectrais. Esta comunicação propõe um método de estimação do subespaço de sinal baseado no erro quadrático médio. O método consiste em primeiro estimar as matrizes de correlação do sinal e do ruído e em segundo seleccionar o conjunto de vectores próprios que melhor representa o subespaço de sinal. O eficiência deste método é ilustrada em imagens hiperespectrais sintéticas e reais

Bioucas-Dias, José M.

Nascimento, Jose

Repositório Científico do Instituto Politécnico de Lisboa

Estimac¸a˜o do Subespac¸o de Sinal emDados HiperespectraisJose´ M. P. Nascimento? and Jose´ M. B. Dias??? Instituto Superior de Engenharia de Lisboa and Instituto de Telecomunicac¸o˜esedif´ıcio DEETC, R. Conselheiro Emı´dio Navarro, N 1, 1950-062 Lisboa, PortugalTelefone:+351.21.8317282, Fax:+351.21.8317114E-mail: zen@isel.pt?? Instituto de Telecomunicac¸o˜es and Instituto Superior Te´cnicoAv. Rovisco Pais, Torre Norte, Piso 10, 1049-001 Lisboa, PortugalTelefone: +351.21.8418466, Fax: +351.21.841472E-mail: bioucas@lx.it.ptResumoA reduc¸a˜o de dimensionalidade e´ uma tarefa crucial no processamento e ana´lise de dados hipere-spectrais. Esta comunicac¸a˜o propo˜e um me´todo de estimac¸a˜o do subespac¸o de sinal baseado no erroquadra´tico me´dio. O me´todo consiste em primeiro estimar as matrizes de correlac¸a˜o do sinal e doru´ıdo e em segundo seleccionar o conjunto de vectores pro´prios que melhor representa o subespac¸ode sinal. O eficieˆncia deste me´todo e´ ilustrada em imagens hiperespectrais sinte´ticas e reais.Palavras-Chave : Reduc¸a˜o de dimensionalidade; Subespac¸o de sinal; Dados hiperespectrais;Misturas lineares.1 Introduc¸a˜oA detecc¸a˜o remota de alta resoluc¸a˜o espectral explora o facto de todas as substaˆncias dispersarem ener-gia electromagne´tica, em diferentes comprimentos de onda, consoante a sua composic¸a˜o molecular [1].Os sensores de detecc¸a˜o remota de alta resoluc¸a˜o espectral, denominados por sensores hiperespectrais,geram imagens compostas por centenas de bandas cont´ıguas de alta resoluc¸a˜o espectral (< 10nm)no espectro o´ptico e infra-vermelho (0.3 − 2.5µm) [2]. Em muitos casos a resoluc¸a˜o espacial destessensores e´ de 10 a 20 metros. Em consequeˆncia, o vector de observac¸a˜o associado a cada pixel e´ umamistura da energia solar dispersada por va´rias substaˆncias com concentrac¸o˜es distintas (designadaspor abundaˆncias) [3].Cada pixel de uma imagem hiperespectral pode ser representado como um vector no espac¸o <L,onde L e´ o numero de bandas. Segundo o modelo linear, os vectores espectrais sa˜o uma combinac¸a˜olinear das reflectaˆncias (assinaturas) das substaˆncias presentes na imagem. Assim, a dimensionalidadedos dados (nu´mero de substaˆncias) e´ muito menor que o nu´mero de bandas.Um problema fundamental na reduc¸a˜o de dimensionalidade em dados hiperespectrais e´ a deter-minac¸a˜o do nu´mero de substaˆncias presentes na imagem, tambe´m designada por dimesionalidadeintrinseca (ID) do conjunto de dados. A estimac¸a˜o da ID permite uma reduc¸a˜o da dimensionalidadedos dados correcta, trazendo ganhos computacionais e simultaneamente melhorar a relac¸a˜o sinal ru´ıdo(SNR).Para estimar a ID, sa˜o sobejamente conhecidas as te´cnicas de projecc¸a˜o, que minimizando umfuncional de custo procuram o subespac¸o que melhor representa o sinal. Sa˜o exemplos, a ana´liseem componentes principais (principal component analysis - PCA) [4]; a maxima fracc¸a˜o de ru´ıdo(maximum noise fraction - MNF) [5] ou as componentes principais com ru´ıdo ajustado (noise adjustedprincipal components - NAPC) [6].Recentemente Harsanyi, Farrand e Chang desenvolveram um detector de Neyman-Pearson (HFC),que determina o nu´mero de substaˆncias presentes numa imagem hiperespectral (ver [7]).Esta comunicac¸a˜o propo˜e um novo me´todo para estimar o nu´mero de substaˆncias bem como o sube-spac¸o de sinal de misturas lineares hiperespectrais. O me´todo proposto estima a matriz de correlac¸a˜odo sinal e do ru´ıdo, esta u´ltima com base em regressa˜o mu´ltipla. O subespac¸o de sinal e´ determinadocom base num conjunto de vectores pro´prios que melhor representam o erro quadra´tico me´dio do valorme´dio do conjunto de dados [8].A comunicac¸a˜o organiza-se da seguinte forma: Na secc¸a˜o 2 descreve-se os fundamentos do me´todoproposto. Na secc¸a˜o 3 avalia-se o algoritmo proposto com dados hiperespectrais simulados. Na secc¸a˜o4 o algoritmo e´ testado com dados reais. A secc¸a˜o 5 apresenta as concluso˜es da comunicac¸a˜o.2 Estimac¸a˜o do subespac¸oConsidere-se Y =[Y1,Y2 . . .YN]uma matriz de dimensa˜o L × N cujas as colunas sa˜o vectoresespectrais, um por cada pixel, onde N e´ o nu´mero de pixels e L o nu´mero de bandas. Assumindo omodelo de misturas lineares, cada vector espectral observado e´ dado por:y = x+ n= Ms+ n, (1)onde y e´ um vector de dimensa˜o (L× 1), M ≡ [m1,m2, . . . ,mp] a matriz de mistura (em que mi rep-resenta a assinatura da i-e´sima substaˆncia e p o nu´mero de substaˆncias presentes na a´rea em ana´lise),s = [s1, s2, . . . , sp]T e´ o vector com as abundaˆncias de cada substaˆncia (a notac¸a˜o (·)T representa ovector transposto) e n modela o ru´ıdo do sistema que se assume de me´dia nula e independente de x.Devido a limitac¸o˜es f´ısicas [9], as abundaˆncias sa˜o positivas (s ≥ 0) e a soma de todas estas e´unita´ria (1T s = 1)1.A matriz de correlac¸a˜o do vector y e´ Ry = Rx+Rn, onde Rx =MRsMT e´ a matriz de correlac¸a˜odo vector de sinal x, Rn e´ a matriz de correlac¸a˜o do ru´ıdo eRs a matriz de correlac¸a˜o das abundaˆncias.A estimativa da matriz de correlac¸a˜o do sinal e´ dada porR̂x = R̂y − R̂n, (2)onde R̂y = YYT /N e´ a matriz de correlac¸a˜o amostral de Y e R̂n uma estimativa da matriz decorrelac¸a˜o do ru´ıdo.11 denota um vector de uns com dimensa˜o de p× 10.20.40.60.80.5 1 1.5 2 2.5x  x+nReflectânciaComprimento de onda (mm)(a)-0.2-0.100.10.2ruído     ruído estimado0.5 1 1.5 2 2.5Comprimento de onda (mm)(b)Figura 1: (a) Ilustrac¸a˜o da estimac¸a˜o do ru´ıdo por regressa˜o mu´ltipla; linha grossa: reflectaˆncia numpixel; line fina: reflectaˆncia mais ru´ıdo; (b): linha fina: ru´ıdo adicionado; linha tracejada: ru´ıdoestimado para o mesmo pixel.Defina-se Yi = [Yi1, . . . , YiN ]T , ou seja, Yi e´ o transposto de i-e´sima linha da matriz Y, que conte´mos dados lidos pelo sensor hiperespectral na i-e´sima banda para todos os pixeis da imagem. Defina-setambe´m a matriz Y∂i = [Y1, . . . ,Yi−1,Yi+1, . . . ,YL].Assumindo que a dimensa˜o do subespac¸o de sinal e´ muito inferior ao nu´mero de bandas, enta˜o amatriz de correlac¸a˜o do ru´ıdo, R̂n, pode ser estimada com base na teoria da regressa˜o mu´ltipla [10].Este conceito assume queYi = Y∂iβi + ²i, (3)onde βi = [β1, . . . , βL−1]T e´ o vector de regressa˜o e ²i o erro da regressa˜o. Para cada i ∈ {1, . . . , L}, ovector de regressa˜o e´ dado por βi = [Y∂i ]#Yi, onde (·)# denota a matriz pseudo-inversa. Finalmente,e´ calculado ²̂i = Yi −Y∂iβ̂i e a sua matriz de correlac¸a˜o de ru´ıdo R̂n.A Figura 1 (a) apresenta uma reflectaˆncia x e a mesma reflectaˆncia com ru´ıdo x+n para um dadopixel. Na Figura 1 (b), apresenta-se o ru´ıdo que foi adicionado e a sua estimativa, para o mesmo pixel.Repare-se que a estimativa do ru´ıdo com o me´todo de regressa˜o mu´ltipla e´ muito semelhante ao ru´ıdoque foi adicionado ao sinal.Considere-se a decomposic¸a˜o singular (SVD) da matriz de correlac¸a˜o do sinal, R̂x = EΣET , onde E =[e1, . . . , ek, ek+1 . . . , eL] e´ uma matriz com os vectores singulares ordenados por ordem decrescente dovalores singulares respectivos. O espac¸o <L pode ser dividido em dois subespac¸os ortogonais: < Ek >gerado por Ek = [e1, . . . , ek] e < E⊥k > gerado por E⊥k = [ek+1, . . . , eL], onde k e´ dimensionalidade dosubespac¸o de sinal.Dado que as abundaˆncias das substaˆncias nas misturas hiperespectrais sa˜o positivas, a projecc¸a˜odo valor me´dio de Y em qualquer vector singular ei, 1 ≤ i ≤ k, e´ sempre diferente de zero. Assim, osubespac¸o de sinal pode ser identificado pelo conjunto de vectores singulares que melhor representamo erro quadra´tico do valor me´dio dos dados.O valor me´dio das amostras Y e´y =1NN∑i=1Yi=1NMN∑i=1si +1NN∑i=1ni= c+w, (4)onde c esta´ no subespac¸o de sinal e w ∼ N (0,Rn/N) [N (µ,C) denota uma func¸a˜o densidade normalcom me´dia µ e covariaˆncia C]. Considere-se que ck e´ a projecc¸a˜o de c no subespac¸o < Ek >. Aestimac¸a˜o de ck e´ obtida pela projecc¸a˜o de y no subespac¸o de sinal < Ek >, ou seja, ĉk = Pky, ondePk = EkETk e´ a matriz de projecc¸a˜o no subespac¸o < Ek >.O primeiro e segundo momentos do erro de estimac¸a˜o c− ĉk sa˜oE[c− ĉk]= c− E[ĉk]= c− E[Pky]= c−Pkc= c− ck≡ bk, (5)E[(c− ĉk)(c− ĉk)T]= bkbTk +PkRnPTk /N, (6)onde bk = P⊥k c e´ a projecc¸a˜o de c no subespac¸o < E⊥k >. Assim, a func¸a˜o de densidade de probabil-idade do erro estimado c− ĉk e´ N (bk,bTk bk +PkRnPTk /N),O erro quadra´tico me´dio (mse) entre c e ĉk e´mse(k) = E[(c− ĉk)T (c− ĉk)]= tr{E[(c− ĉk)(c− ĉk)T ]}= bTk bk + tr(PkRnPTk /N), (7)onde tr(·) denota o operador trac¸o. Dado que se desconhece bk, podemos aproximar a Eq. (7)estimando o valor de bk, ou seja, b̂k = P⊥k y. Contudo, E[b̂k]= bk e E[b̂Tk b̂k]= bTk bk +tr(P⊥kRnP⊥kT/N), ou seja, a estimativa de bTk bk e´ b̂Tk b̂k − tr(P⊥kRnP⊥kT/N). O crite´rio para de-terminar a dimensionalidade do subespac¸o de sinal e´k̂ = argmink(b̂Tk b̂k + tr(PkRnPTk /N)− tr(P⊥kRnP⊥kT/N))= argmink(yTP⊥kTP⊥k y + 2tr(PkRn/N)− tr(Rn/N))= argmink(yTP⊥k y + 2tr(PkRn/N)), (8)onde se usa os factos P = PT e P2 = P para qualquer matriz de projecc¸a˜o.Note-se que o primeiro termo da equac¸a˜o (8) representa a energia da projecc¸a˜o do erro que e´decrescente a` medida que k aumenta; O segundo termo da mesma equac¸a˜o representa a energia doru´ıdo e´ crescente com k.0 5 10 15 20k10-710-410-10mse(k)Erro quadrático médioErro de projecçãoEnergia do ruídoFigura 2: Erro quadra´tico me´dio versus k. primeira experieˆncia com SNR = 35dB e p = 5.3 Testes em dados hiperespectrais simuladosNesta secc¸a˜o o me´todo proposto e´ testado com dados hiperespectrais simulados. As assinaturasespectrais foram extra´ıdas da base de dados de U.S. geological survey (USGS) [11]. As abundaˆnciasdas substaˆncias forma geradas de acordo com a distribuic¸a˜o de Dirichlet que e´ dada por:p(α1, α2, . . . , αp) =Γ(µ1 + µ2 + . . . + µp)Γ(µ1)Γ(µ2) . . . Γ(µp)αµ1−11 αµ2−12 . . . αµp−1p , (9)onde 0 ≤ αi ≤ 1,∑pi=1 αi = 1, e Γ(·) denota a func¸a˜o Gamma. O valor me´dio da abundaˆncia dai-e´sima substaˆncia, αi, e´ E[αi] = µi/∑pk=1 µk.Nesta secc¸a˜o realizaram-se dois tipos de experieˆncias. Na primeira os testes realizados avaliam aeficieˆncia do me´todo proposto em func¸a˜o do nu´mero de substaˆncias presentes nos dados p e em func¸a˜oda relac¸a˜o sinal ru´ıdo SNR. Define-se SNR comoSNR ≡ 10 log10E[xTx]E[nTn] . (10)Na segunda experieˆncia, o me´todo e´ avaliado em imagens onde algumas substaˆncias ocorrem numconjunto pequeno de pixeis.Na primeira experieˆncia o cena´rio e´ composto por 104 pixeis e o nu´mero de substaˆncias presentesvaria entre 3 e 15. As abundaˆncias seguem uma distribuic¸a˜o de Dirichlet com valores me´dios µi = 1/p,i = 1, . . . , p.A Figura 2 apresenta o erro quadra´tico me´dio, ou seja, yTP⊥k y + 2tr(PkRn/N) em func¸a˜o doparaˆmetro k, para SNR = 35dB e p = 5. O mı´nimo do erro quadra´tico me´dio ocorre quando k = 5,que e´ o nu´mero de substaˆncias presentes na mistura hiperespectral.A Tabela 1 apresenta a estimativa da dimensionalidade do subespac¸o de sinal em func¸a˜o da SNR ede p. Nesta tabela compara-se o me´todo proposto com o me´todo de dimensionalidade virtual (virtualdimensionality - VD), recentemente proposto em [7]. A VD e´ estimada pelo pelo me´todo NWHFC,que e´ baseado no detector de Neyman-Pearson com uma probabilidade de falso alarme Pf = 10−4. Ome´todo proposto estima o valor correcto de ID para SNR maiores que 25 dB e subestima-a a` medidaTabela 1: Dimensionalidade do subespac¸o de sinal k̂ em func¸a˜o da SNR e de p; a cheio: me´todoproposto; entre pareˆntesis: estimac¸a˜o da VD com o me´todo NWHFC (Pf = 10−4).Me´todo Novo (VD) Novo (VD) Novo (VD) Novo (VD) Novo (VD)SNR (dB) 50 35 25 15 5p = 3 3 (3) 3 (3) 3 (4) 3 (4) 3 (2)p = 5 5 (6) 5 (6) 5 (6) 5 (6) 4 (3)p = 10 10 (11) 10 (11) 10 (9) 8 (8) 6 (2)p = 15 15 (16) 15 (15) 13 (13) 9 (9) 5 (2)0 5 10 15 20k10-810-610-410-210-10100mse(k)Erro quadrático médioErro de projecçãoEnergia do ruídoFigura 3: Erro quadra´tico me´dio versus k, com SNR = 35dB, p = 8 (3 vectors espectrais apenasoccorem em 4 pixeis cada; (segunda experieˆncia)que a SNR diminui. Comparando com o algoritmo NWHFC com o me´todo proposto, este u´ltimoapresenta sempre resultados iguais ou melhores.Na segunda experieˆncia, testou-se o me´todo proposto com oito substaˆncias p = 8 e com SNR =35dB. As primeiras cinco substaˆncias seguem uma distribuic¸a˜o de Dirichlet como na experieˆnciaanterior e as restantes treˆs esta˜o presentes em apenas 4 pixeis cada. A Figura 3 apresenta o erroquadra´tico me´dio em func¸a˜o de k, quando p = 8. O valor mı´nimo de mse(k) ocorre para k = 8.Este resultado significa que o me´todo tem a capacidade de detectar substaˆncias raras na imagem. Noentanto, esta capacidade degrada-se com a diminuic¸a˜o da SNR.4 Testes em dados AVIRISNesta secc¸a˜o o me´todo proposto e´ testado com dados reais adquiridos pelo sensor hiperespectralAVIRIS [12]. O cena´rio de teste, designado por Cuprite, enquadra uma explorac¸a˜o mineira no sul doestado do Nevada, a cerca de 200km da cidade de Las Vegas. Esta regia˜o e´ sobretudo composta porminerais, tendo sido alvo de estudos de detecc¸a˜o remota. Este estudo baseia-se em parte do conjuntode dados adquirido no voo AVIRIS de 19 de Junho 1997, compreendendo uma imagem de 250× 190pixeis como se ilustra na Figura 4 (a). O instrumento AVIRIS gera imagens compostas por 224 bandas0.020.040.060.080.10.120.140.16a) b)Figura 4: (a) Banda 30 (comprimento de onda λ = 667.3nm) de parte do cena´rio de teste CupriteNevada (dados AVIRIS); (b) Percentagem of da energia contida no subespac¸o E9:23.cont´ıguas com cerca 10nm que cobrem o espectro desde 0.41µm a 2.45µm.Nesta experieˆncia o valor estimado para a dimensionalidade do subespac¸o de sinal e´ k̂ = 23 (verFigura 5 (b)). De acordo com [13] o nu´mero de substaˆncias presentes na regia˜o e´ de 8. O valorestimado e´ diferente principalmente por duas razo˜es: a) Existem substaˆncias raras que na˜o foramtomadas em conta no mapeamento [13]; b) Existeˆncia de variabilidade espectral nas assinaturas dassubstaˆncias.Grande parte da energia espectral encontra-se distribu´ıda em poucos vectores singulares, comose observa na Figura 5 (a), onde se apresenta o valor da energia do sinal acumulada em func¸a˜o donu´mero de vectores singulares. Pode-se constatar que 99.94% da energia total se encontra nos primeiros8 vectores singulares. Esta ideia e´ reforc¸ada na Figura 4 (b), onde se apresenta, em n´ıveis de cinzento,a percentagem de energia contida no subespac¸o < E9:23 >=< [e9, . . . , e23] >, para cada pixel. Nota-seque existem poucos pixeis que conteˆm energia no subespac¸o < E9:23 > e que esta e´ apenas uma ı´nfimaparte dessa energia espectral (menos que 0.16%).A estimac¸a˜o da VD realizada pelo me´todo HFC [7] (Pf = 10−3) para o mesmo conjunto de dados e´de k̂ = 20. Nota-se que um valor mais baixo da probabilidade de falso alarme, Pf , resulta num nu´meromais baixo de substaˆncias. Este resultado evidencia que em conjuntos de dados com substaˆncias raras,o me´todo proposto apresenta melhores resultados que o me´todo HFC.5 Concluso˜esA determinac¸a˜o da dimensionalidade do subespac¸o de sinal e´ um problema em aberto na comunidadecient´ıfica. Nesta comunicac¸a˜o, propo˜e-se um me´todo, baseado num crite´rio de erro quadra´tico me´dio,de estimac¸a˜o da dimensionalidade de dados hiperespectrais.A partir de um conjunto de experieˆncias com dados hiperespectrais simulados e reais, conclui-se2 4 6 8 109092949698100Energia (%)Número de vectores0 20 40 60 8010-1010 -610 -2kmse(k)Erro quadrático médioErro de projecçãoEnergia do ruídoFigura 5: (a) Percentagem da energia do sinal em func¸a˜o do nu´mero de vectores singulares; (b) Erroqueadra´tico me´dio versus k no teste com dados Cuprite.que o me´todo proposto obte´m resultados semelhantes ou melhores do que os me´todos consideradosestado-da-arte. Por este motivo considera-se que este me´todo e´ uma ferramenta u´til na ana´lise deimagens hiperespectrais.AgradecimentosEste trabalho foi financiado pela Fundac¸a˜o para a Cieˆncia e Tecnologia, nos projectos POSC/EEA-CPS/61271/2005 ePDCTE/CPS/49967/2005 e pelo Departamento de Engenharia de Electro´nica e Telecomunicac¸o˜es e de Computadoresdo Instituto Superior de Engenharia de Lisboa.Refereˆncias[1] B. Hapke, Theory of Reflectance and Emmittance Spectroscopy., Cambridge Univ. Press, Cambridge, U. K., 1993.[2] G. Shaw e D. Manolakis, “Signal Processing for Hyperspectral Image Exploitation,” IEEE Signal Processing Mag.19(1), pp. 12–16, 2002.[3] T. M. Lillesand, R. W. Kiefer e J. W. Chipman, Remote Sensing and Image Interpretation, John Wiley & Sons,Inc., fifth ed., 2004.[4] I. T. Jolliffe, Principal Component Analysis, Spriger Verlag, New York, 1986.[5] A. Green, M. Berman, P. Switzer e M. D. 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Estimação do subespaço de sinal em dados hiperespectrais

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